O documento explica o conceito de progressão geométrica através de uma construção geométrica onde pontos são marcados em segmentos de reta divididos sucessivamente ao meio. A seqüência gerada é 1-2-4-8, caracterizando uma progressão geométrica onde cada termo é o anterior multiplicado por um fator constante. O documento também define progressão geométrica formalmente e apresenta propriedades como o termo geral e a soma dos termos. Por fim, exemplos ilustram o cálculo de termos e soma em diferentes situações.

1. Progressões Numéricas PARTE 3 – Progressão Geométrica

2. PARTE 3 – Progressão Geométrica Considere a seguinte construção geométrica: Ter um segmento de Reta, digamos AB e encontrar o seu ponto Médio, observando quantos pontos serão marcados para este fim. A M 1 B Encontrados UM ponto ( M1 ) Refaça agora, com os dois segmentos encontrados: A M 2 M 1 M 3 B Foram encontrados DOIS pontos ( M2 e M3 ) De novo, refazer:

3. PARTE 3 – Progressão Geométrica A M 4 M 2 M 5 M 1 M 6 M 3 M 7 B Aqui foram QUATRO pontos ( M4 , M5 , M6 , M7 ) Outra Vez: A M8 M4 M9 M2 M10 M5 M11 M1 M12 M6 M13 M3 M14 M7 M15 B Foram encontrados OITO pontos ( M8 , M9 , M10 , M11 , M12 , M13 ,M14 ,M15 ) Com o Processo Acima ilustrado, obteve a seguinte seqüência: 1 - 2 - 4 e 8 Ocorre que nesta seqüência tem que cada número é o anterior MULTIPLICADO por 2.

4. PARTE 3 – Progressão Geométrica E quando se tem uma seqüência com a característica acima ( UM VALOR É O ANTERIOR MULTIPLICADO SEMPRE PELO MESMO NÚMERO) diz-se que ela forma uma Progressão Geométrica. Com isto tem a: DEFINIÇÃO A seqüência: : a 1 . a 2 . a 3 . a 4 . . . . .a n Diz ser uma progressão Geométrica se: a k = a k-1 . q Em que: q é a razão desta progressão; a 1 o primeiro termo ; a n o termo geral

5. PARTE 3 – Progressão Geométrica PROPRIEDADES Termo Geral. O termo geral de uma Progressão Geométrica é dado por: a n = a 1 . q n - 1 Demonstração Sabe que: a 2 = a 1 . q = a 1 . q 2 - 1 a 3 = a 2 . q = a 1 . q . q = a 1 . q 2 = a 1 . q 3 - 1 a 4 = a 3 . q = a 1 . q 2 . q = a 1 . q 4 - 1 De forma similar chega a: a n = a 1 . q n - 1

6. PARTE 3 – Progressão Geométrica Soma dos Termos de Uma Progressão Geométrica

7. PARTE 3 – Progressão Geométrica Soma dos Termos de Uma Progressão Geométrica

8. PARTE 3 – Progressão Geométrica Resumo: Exercícios 01. Dada a seqüência: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243. Faça: Verifique se ela caracteriza ou não uma Progressão Geométrica; Caso sim, ache o valor do 8º. Termo; Caso sim ache a soma dos 9 primeiros termos. Solução a . Para verificar se é uma Progressão Geométrica tem que dividir um valor pelo seu anterior.

9. PARTE 3 – Progressão Geométrica Solução - Exercício 1 Lembre a seqüência é: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243. Verifique se ela caracteriza ou não uma Progressão Geométrica; a 2 : a 1 = 48 : 32 = 1,5; a 3 : a 2 = 72 : 48 = 1,5; a 4 : a 3 = 108 : 72 = 1,5; a 5 : a 4 = 162 : 108 = 1,5; a 6 : a 5 = 243 : 162 = 1,5; Como o valor de cada divisão foi o mesmo indica que se trata de uma Progressão Geométrica.

10. PARTE 3 – Progressão Geométrica Solução - Exercício 1 Lembre a seqüência é: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243. b . Pede-se: a 8 Assim: n = 8 e também: a 1 = 32; a 8 = a 1 . q 8 – 1 = 32 . 1,5 8 – 1 = 32 . 1,5 7 = 946,75 Resposta: 946,75 c . Pede-se: S 9 S 9 = a 1 .( q 9 - 1 ) / ( q – 1 ) = 32 . (1,5 9 – 1 ) / ( 1,5 – 1 ) S 9 = 32 . (38,44 – 1 ) / 0,5 = 32 . 37,44 / 0,5 = 1 198,18 / 0,5 = 2 396, 38. Resposta: 2 396,38

11. PARTE 3 – Progressão Geométrica Exercício 2 Uma construção geométrica consiste em: Ter inicialmente um quadrado; Traçar uma reta perpendicular ao ponto médio dos lados opostos, formando novos quadrados; Traçar, de novo, uma reta perpendicular ao ponto médio dos lados opostos de cada quadrado obtidos no passo anterior; Repetir o anterior. Pede para achar: Na sexta divisão o número de quadrados obtidos; O total de quadrados até a sexta divisão. Solução

12. PARTE 3 – Progressão Geométrica Solução - Exercício 2 Inicialmente vamos simular tal construção: Início: UM quadrado. Primeiro Passo: QUATRO quadrados. Segundo Passo: DEZESSEIS quadrados. E assim sucessivamente.

13. PARTE 3 – Progressão Geométrica Solução - Exercício 2 Pela construção, percebe que em cada passo, cada quadrado se transforma em quatro quadrados, assim é uma Progressão Geométrica de Razão 4. a. Na sexta divisão indica que completou SETE quadrados ( Inicial e mais SEIS) Então tem-se: a 1 = 1 ; r = 4 e n = 7. Logo : a 7 = 1 . 4 7 – 1 = 1 . 4 6 = 4 096. Resposta : Na Sexta Divisão terão: 4 096 quadrados. b. O Total de quadrados até a sexta divisão é: S 7 = 1 . (4 7 – 1 ) / (4 – 1) = (16 384 – 1 ) / 3 = 16 383 / 3 = 5 461. Resposta: Ao todo terão 5 461 quadrados.

14. PARTE 3 – Progressão Geométrica Exercício 3 Um cidadão conseguiu fazer um empréstimo de R$ 12 000,00 à taxa de juro de 5% ao mês, e calculado no Saldo Devedor do mês anterior. Ao final de um ano, calcule o total de juros que terá de pagar. Solução Note que a dívida, em cada período é: No contrato: 12 000,00 No Primeiro mês: 12 000,00 + 12 000,00x0,05 = 12 600,00 No Segundo Mês: 12 600,00 + 12 600,00x0,05 = 13 230,00 No terceiro Mês: 13 320,00 + 13 320x0,05 = 13 891, 50 O Saldo Devedor é uma progressão Geométrica de Razão: 0,05 e Primeiro termo: 12 000,00 e n=12.

15. PARTE 3 – Progressão Geométrica Solução - Exercício 3 Assim após UM ano o saldo devedor será: SD 12 = a 12 = a 1 . q 12 – 1 = 12 000. 1,05 12 – 1 = 12 000 . 1,05 11 SD 12 = 21 550,28 Devido a que o que deseja é o Juro vem: Juro = Saldo Devedor – Inicial = 21 550,28 – 12 000,00 = 9 550,28 Resposta: O Total de Juro a pagar é de: R$ 9 550,28

16. PARTE 3 – Progressão Geométrica Um caso Particular: Razão Menor Que 1. Como se sabe a fórmula de encontrar o termo geral é: a n = a 1 . q n – 1 Ocorre que se a razão for menor que UM, o valor de q n – 1 vai reduzindo de valor, tal qual a Ilustração: Seja o caso particular de q = 0,5, com isto tem: q = 0,5 q 2 = 0,5 x 0,5 = 0,25; q 3 = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125; q 4 = 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625; q 5 = 0,5 x 0,5 x 0,5 x0,5 x 0,5 = 0,03125; etc. O motivo disto é bem simples: Ao Multiplicar um Número por outro menor que UM , reduz o seu valor.

17. Progressões Numéricas PARTE 3 - Progressão Geométrica FIM Prof. Gercino Monteiro Filho