Este documento discute progressões geométricas, definindo-as como sucessões onde o quociente entre qualquer dois termos consecutivos é uma constante chamada de razão. Explica como calcular o termo geral de uma progressão geométrica a partir de um termo inicial e da razão, e fornece exemplos para ilustrar como calcular termos, razões e somas de progressões geométricas.

1. [MODELOS DISCRETOS] EPCC
5 – PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Novo problema – Cada célula subdivide-se em duas ao fim de uma hora. Quantas
produz uma só célula ao fim de 24 horas?
Ao fim de uma hora temos 2 células
Ao fim de duas horas temos 4 células
Ao fim de três horas temos 8 células
……………………….
Ao fim de vinte e quatro horas temos 24 células
Assim, ao fim de 24 horas, uma célula gera 16 777 216 células!
Analisa agora as seguintes sucessões:
1, 2, 4, 8, …
1, 4, 16, 64, …
8, 4, 2, 1, …
Estas sucessões têm em comum passar-se de um termo para o seguinte
multiplicando-se sempre por um mesmo número, ou seja, o quociente entre
qualquer termos e o anterior é uma constante. A uma sucessão deste tipo
chamamos de progressão geométrica.
DEFINIÇÃO
Uma sucessão de termos não nulos é uma progressão geométrica
(p.g.) se existe um número real tal que
.
Ao número chama-se razão da progressão.
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2. [MODELOS DISCRETOS] EPCC
Termo Geral
Em qualquer progressão geométrica temos:
u2
r logo u2 = u1 r
u1
u3
r logo u3 = u2 r = u1 r2
u2
Generalizando: O termo geral de uma progressão geométrica (un) de razão
r será dada por
Se é um termo qualquer de uma progressão geométrica (un), podemos escrever:
Assim, uma progressão geométrica fica definida conhecendo-se um termo
qualquer e a razão!
Exemplo:
Determina o termo geral de uma progressão geométrica (an) de razão em que:
.
Resolução:
Como já viste, para escrever o termo geral de uma p.g. necessitamos de conhecer
um termo geral e a razão. Como temos dois termos é preciso calcular a razão:
Aplica:
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3. [MODELOS DISCRETOS] EPCC
1 – Indica 3 termos consecutivos e a expressão de termo geral de uma progressão
geométrica (an), de razão r, sabendo que:
a) a1= 4 e r = 3;
b) a3 = 4 e r = -2;
c) a10=½ e r = 1/3 .
Soma dos Termos Consecutivos
A soma, ,dos primeiros termos de uma progressão geométrica
de razão e cujo primeiro termo é é dada por:
Exemplo:
Sabia-se que num lago havia 1200 peixes e que o número de peixes triplicava
anualmente. Para calcular o número de peixes que, teoricamente, haveria daí a 20
anos não se calcularam os termos todos.
Resolução:
Analisando o problema obtemos:
Logo,
Aplica:
1 – Calcula a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão geométrica de
razão 2 e 1.º termo igual a 5.
2 – Sabendo que a1=128, ak= 250 e Sk = 738, calcula k.
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