1) O documento discute a história e propriedades de logaritmos, potências e raízes. 2) É explicado que potenciação representa a multiplicação de números iguais, com a base sendo o número multiplicado e o expoente o número de vezes. 3) Cinco propriedades fundamentais de potenciação são descritas: da multiplicação e divisão de potências da mesma base, de potenciação de potências, de potenciação de produtos e divisões, e de potências com expoente zero.

1. Logaritmo PARTE 2 – Potências e Raízes

2. Um Pouco de História Na ânsia de ajuntar dois grupos de mesmo objeto e saber a quantia total dos dois grupos quando juntos, surgiu a primeira operação: ADIÇÃO. Operação de Adição 01. 4 + 6 = 10; 02. 5 + 7 + 9 = 21 Cada um dos números participantes da soma é uma parcela. Até que surgiu um tipo de soma especial: Soma em que todas as parcelas fossem iguais, tal qual a ilustração: 7 + 7 + 7 + 7 + 7

3. Com o aparecimento de somas com parcelas iguais, a matemática criou uma nova operação para este fim: A Multiplicação Multiplicação É a representação de uma soma em que todas as parcelas são iguais. Ilustrando: 01. 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5 x 7 (5 é o número de parcelas 7 é o valor de cada parcela); 02. 13 + 13 + 13 + 13 = 4 x 13. Passou a ter multiplicação com mais de duas parcelas tal qual: 01. 11 x 3 x 7 x 2.

4. Não podia ter sido diferente: Apareceram Multiplicações Com Parcelas Iguais tal qual: 01. 9 x 9 x 9 x 9 x 9 02. 7 x 7 x 7 Com isto surgiu a: Potenciação para fazer a sua representação, assim: Potencia É a multiplicação de números em que todas as parcelas são iguais Ilustrando: 01. 8 x 8 x 8 x 8 = 8 4 02. 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 6

5. Note que pela notação de potência criada pela matemática, Os números ficaram em dois níveis diferentes, e assim foram batizados de: a. O que fica no nível inferior é a: BASE: b. O que fica no outro nível é o: EXPOENTE Pela Ilustração citada tem: 01. 8 x 8 x 8 x 8 = 8 4 Base: 8 ; Expoente: 4 02. 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 6 Base: 2 ; Expoente: 6 Pela ilustração percebe: Base é o número que se Repete na multiplicação; Expoente é o número de vezes que este número repete na multiplicação.

6. Seja a um número real qualquer e n um número natural. Denomina Potência de a elevado ao expoente n ao número real dado por: a n = a x a x a x a x. . . x a (ao todo n parcelas) Exemplo Calcule o valor de: 01. M = 5 4 Solução M = 5 4 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625 Resposta: 625. 02. N = 3 6 Solução N = 3 6 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 729 Resposta: 729.

7. Sejam a e b números reais, m e n números naturais. Para a Potência valem as seguintes propriedades : Propriedade 1 . Da multiplicação de Potências de Mesma Bases. a n x a m = a n+ m Ou Seja : “Quando se tem o produto de potencias que possuem a mesma base, o resultado é outra potencia em que a base é a mesma e o expoente é a soma dos expoentes das potencias que estavam sendo multiplicada.” Ou ainda: “Para Multiplicar Potências de Mesma Base, conserva a Base e Soma os Expoentes” Demonstração

8. Esta propriedade pode ser ampliada quando se tem a multiplicação de 3 ; 4 etc potências de mesma base, a saber: a) a n x a m x a k = a n+ m + k b) a n x a m x a k x a r = a n+ m+ k + r c) etc.

9. Propriedade 2 . Da Divisão de Potências de Mesma Bases. a n : a m = a n - m Ou Seja : “Quando se tem a divisão de potencias que possuem a mesma base, o resultado é outra potencia em que a base é a mesma e o expoente é a diferença entre o expoente da potencia divisor e a da potência.” Ou ainda: “Para Dividir Potências de Mesma Base, conserva a Base e Subtrai os Expoentes” Demonstração

12. Propriedade 3 . De uma Potência elevada a outra Potência. (a n ) m = a n . m Ou Seja : “Quando se tem uma potencia elevada a outra Potência , o resultado é outra potencia em que a base é a mesma e o expoente é o produto entre os expoentes das Potências.” Ou ainda: “Para elevar uma Potência a outra potência, conserva a Base e Multiplica os Expoentes” Demonstração Para a sua demonstração basta aplicar a Propriedade da Multiplicação uma sucessiva vezes.

13. Propriedade 4 . De Potência de um Produto. ( a x b ) m = a m x b m Ou Seja : “Quando se tem uma Potência de um produto , o resultado é o produto da Potência do primeiro número elevado a este expoente pelo outro número também elevado a este mesmo expoente.” Ou ainda: “Para elevar um produto a uma potencia, eleva a cada fator do produto a esta Potência.” Demonstração

14. Demonstração ( a x b ) m = (a x b )x(a x b )x(a x b)x . . . x (a xb ) Ao Todo m- parenteses Ao qual o único operador. Aplicando as Propriedades Comutativa e Associativa da Multiplicação, vem: ( a x b ) m = (a x a x a x . . . x a )x(b x b x bx . . . x b ) Em cada Parênteses tem m Parcelas, aplicando a definição: Chega a: ( a x b ) m = a m x b m

15. Propriedade 5 . De Potência de uma Divisão. ( a : b ) m = a m : b m Ou Seja : “Quando se tem uma Potência de uma Divisão , o resultado é a Divisão da Potência do Dividendo elevado a este expoente pelo divisor também elevado a este mesmo expoente.” Ou ainda: “Para elevar uma Divisão a uma potencia, eleva a cada fator da Divisão a esta Potência.” Demonstração

16. Demonstração Transformando a Divisão em fração e desenvolvendo: Multiplicando as frações fica:

17. Caso 1 . De uma Potência de Expoente Zero. a 0 = 1 Demonstração. a 0 = a 1 -1 = a 1 : a 1 = a / a = 1 Caso 2 . De uma Potência de Expoente negativo. Demonstração.

18. Caso 3.1 . De uma Potência de Expoente Fracionário. Demonstração

19. Caso 3.2 . De uma Potência de Expoente Fracionário. Demonstração Similar ao Caso 3.1 Esta propriedade diz: “ A Raiz de uma Potência é uma outra Potência em que o Expoente é uma fração onde: Numerador é o Expoente da Potencia do Radical e o Denominador é o Índice da Raiz”

21. Simplifique cada operação abaixo, usando propriedades da Potência

23. PARTE 2 – Potência e Raízes FIM Prof. Gercino Monteiro Filho