1) O documento apresenta 23 exercícios sobre progressões geométricas. 2) Os exercícios envolvem cálculos com razões, termos e somatórios de progressões geométricas. 3) As questões abordam aplicações de progressões geométricas em contextos como crescimento populacional, juros compostos e padrões fractais.

1. LISTAS DE EXERCÍCIOS
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

2. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
1
01. (Famerp 2020) José deseja fazer uma poupança mensal durante 10 anos, sempre acrescentando 0,5% a mais em
relação ao valor poupado no mês anterior. Adotando 120
1,005 1,819
= em seu cálculo final, se José começar sua
poupança depositando R$ 100,00 no primeiro mês, ao final do último mês de depósito ele terá depositado um total
de
a) R$ 69.600,00.
b) R$ 6.645,00.
c) R$ 32.760,00.
d) R$ 16.380,00.
e) R$ 6.500,00.
02. (Famema 2020) A progressão geométrica 1 2 3
(a , a , a , )
 tem primeiro termo 1
3
a
8
= e razão 5. A progressão
geométrica 1 2 3
(b , b , b , )
 tem razão
5
.
2
Se 5 4
a b ,
= então 1
b é igual a
a)
25
4
b) 5
c)
3
20
d) 15
e)
9
2
03. (Unicamp 2020) Tendo em vista que a e b são números reais positivos, a b,
≠ considere a função x
f(x) ab ,
=
definida para todo número real x. Logo, f(2) é igual a
a) f(1)f(3).
b) f(3) f(0).
c) f(0)f(1).
d) 3
f(0) .
04. (Unicamp 2019) A figura a seguir exibe um pentágono em que quatro lados consecutivos têm comprimentos a, b, c
e d.
Se a sequência (a, b, c, d) é uma progressão geométrica de razão q 1,
> então tan θ é igual a
a) 1 q.
b) q.
c) 2
q .
d) q.

3. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
2
05. (Famema 2019) A progressão aritmética 1 2 3
(a , a , a , )
 tem razão 2 e os termos 1 2
a , a e 5
a formam, nesta
ordem, uma progressão geométrica. A razão da progressão geométrica é
a) 4.
b) 5.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
06. (Fuvest 2019) Forma‐se uma pilha de folhas de papel, em que cada folha tem 0,1mm de espessura. A pilha é
formada da seguinte maneira: coloca‐se uma folha na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas
já houverem sido colocadas anteriormente. Depois de 33 dessas operações, a altura da pilha terá a ordem de
grandeza
a) da altura de um poste.
b) da altura de um prédio de 30 andares.
c) do comprimento da Av. Paulista.
d) da distância da cidade de São Paulo (SP) à cidade do Rio de Janeiro (RJ).
e) do diâmetro da Terra.
07. (Mackenzie 2019) Se o quarto termo de uma progressão geométrica é 2, então o produto dos seus 7 primeiros
termos é igual a
a) 108
b) 128
c) 148
d) 168
e) 188
08. (Insper 2018) Mateus aplicou o capital 0
C à taxa de juros compostos de 1% em regime de capitalização mensal.
Ao final do 12º mês, o montante total de capital na aplicação era igual a 12
C . Se Mateus pretende resgatar seu dinheiro
apenas ao final do 18º mês da aplicação, nessa ocasião ele resgatará um valor, descrito em função de 0
C e 12
C , igual
a
a) 3
0 0 12
C C C
⋅ ⋅
b) 0 12
C C
⋅
c) 12
0 12
0
C
C C
C
⋅ ⋅
d) 0 0 12
C C C
⋅ ⋅
e) 12 12
0 0
C C
C C
⋅
09. (Unicamp 2018) Dois anos atrás certo carro valia R$ 50.000,00 e atualmente vale R$ 32.000,00. Supondo que o
valor do carro decresça a uma taxa anual constante, daqui a um ano o valor do carro será igual a
a) R$ 25.600,00.
b) R$ 24.400,00.
c) R$ 23.000,00.
d) R$ 18.000,00.

4. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
3
10. (Unesp 2018) A sequência de figuras, desenhadas em uma malha quadriculada, indica as três primeiras etapas de
formação de um fractal. Cada quadradinho dessa malha tem área de 2
1cm .
Dado que as áreas das figuras, seguindo o padrão descrito por esse fractal, formam uma progressão geométrica, a
área da figura 5, em 2
cm , será igual a
a)
625
81
b)
640
81
c)
125
27
d)
605
81
e)
215
27
11. (Mackenzie 2017) Se 1 2 10
a , a , , a
 é uma sequência de números inteiros tal que 1
a 1,
= para n 1,
> n
n 1 n
a a 3
+ − =
o valor de 10
a é igual a
a) 29.524
b) 88.572
c) 265.719
d) 9.840
e) 3.279
12. (Famerp 2017) Em 1996, 25% da energia produzida por um país era obtida de usinas hidrelétricas. Em 2016, essa
produção passou a ser de 40%. Admitindo-se que de 25%, em 1996, para 40%, em 2016, o crescimento anual da
porcentagem foi geométrico, é correto afirmar que o fator constante de crescimento anual foi igual a
a) 20 6,25
b) 1,6
log 20
c) 20
log 6,25
d) 20
log 1,6
e) 20 1,6

5. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
4
13. (Famema 2017) Considere a progressão aritmética 1 3 4 5
(a , 4, a , a , a ,16, )
 de razão r e a progressão geométrica
1 2 3 4
(b , b , b , b , 4, )
 de razão q. Sabendo que
r
6,
q
= o valor de 9 3
a b
− é
a) 12.
b) 6.
c) 3.
d) 15.
e) 9.
14. (Mackenzie 2016) O número de triplas (a, b, c) de números inteiros positivos menores ou iguais a 50 tais que a, b
e c, nesta ordem, estejam em progressão geométrica é
a) 22
b) 23
c) 27
d) 30
e) 35
15. (Mackenzie 2016) Sejam 1 2 100
, , ... ,
   os lados dos quadrados 1 2 100
Q , Q , ... , Q , respectivamente. Se 1 1
=
 e
k k 1
2 ,
−
=
  para k 2, 3, ... ,100,
= a soma das áreas desses quadrados é igual a
a) 99
3
4
4
⋅
b) 99
1
4
4
⋅
c) 100
1
(4 1)
3
⋅ −
d) 100
1
4
3
⋅
e) 100
1
4 1
3
⋅ −
16. (Fuvest 2015) Dadas as sequências 2
n
a n 4n 4,
= + +
2
n
n
b 2 ,
= n n 1 n
c a a
+
= − e n 1
n
n
b
d ,
b
+
= definidas para valores
inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmações:
I. n
a é uma progressão geométrica;
II. n
b é uma progressão geométrica;
III. n
c é uma progressão aritmética;
IV. n
d é uma progressão geométrica.
São verdadeiras apenas
a) I, II e III
b) I, II e IV
c) I e III
d) II e IV
e) III e IV

6. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
5
17. (Insper 2015) Para percorrer 1km, o jovem Zeno adota a estratégia de dividir seu movimento em várias etapas,
percorrendo, em cada etapa, metade da distância que ainda falta até o ponto de chegada. A tabela mostra a distância
percorrida por ele em cada etapa.
Etapa Distância percorrida (km)
1
1
2
2
1
4
3
1
8
 
n n
1
2
Ao final da etapa n, a distância total percorrida por Zeno será igual a
a)
n
n
2 1
.
2
−
b)
n
n
2 1
.
2
+
c) n
n
.
2
d) n
2n 1
.
2
−
e) n
2n 1
.
2
+
18. (Mackenzie 2015) Se os números 3, A e B, nessa ordem, estão em progressão aritmética e os números 3, A 6
−
e B, nessa ordem, estão em progressão geométrica, então o valor de A é
a) 12
b) 15
c) 18
d) 21
e) 24

7. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
6
19. (Unesp 2013) Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre semicircunferências traçadas a partir de
um ponto 0
P , localizado em uma reta horizontal r, com deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a
trajetória da partícula, até o ponto 3
P , em r. Na figura, 1
O, O e 2
O são os centros das três primeiras
semicircunferências traçadas e R,
R
2
,
R
4
seus respectivos raios.
A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse comportamento indefinidamente,
sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados por n
O e n n
R
R ,
2
= respectivamente, até o ponto n
P ,
também em r. Nessas condições, o comprimento da trajetória descrita pela partícula, em função do raio R, quando
n tender ao infinito, será igual a
a) 2
2 R.
π
⋅ ⋅
b) 3
2 R.
π
⋅ ⋅
c) n
2 R.
π
⋅ ⋅
d)
7
R.
4
π
 
⋅ ⋅
 
 
e) 2 R.
π
⋅ ⋅
20. (Unesp 2012) O artigo Uma estrada, muitas florestas relata parte do trabalho de reflorestamento necessário após
a construção do trecho sul do Rodoanel da cidade de São Paulo. O engenheiro agrônomo Maycon de Oliveira mostra
uma das árvores, um fumo-bravo, que ele e sua equipe plantaram em novembro de 2009. Nesse tempo, a árvore
cresceu – está com quase 2,5 metros –, floresceu, frutificou e lançou sementes que germinaram e formaram
descendentes [...] perto da árvore principal. O fumo-bravo [...] é uma espécie de árvore pioneira, que cresce
rapidamente, fazendo sombra para as espécies de árvores de crescimento mais lento, mas de vida mais longa.
Considerando que a referida árvore foi plantada em 1º de novembro de 2009 com uma altura de 1 dm e que em 31
de outubro de 2011 sua altura era de 2,5 m e admitindo ainda que suas alturas, ao final de cada ano de plantio, nesta
fase de crescimento, formem uma progressão geométrica, a razão deste crescimento, no período de dois anos, foi de
a) 0,5 b) 5 × 10–1/2
c) 5 d) 5 × 101/2
e) 50

8. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
7
21. (Unicamp 2012) Para construir uma curva “floco de neve”, divide-se um segmento de reta (Figura 1) em três partes
iguais. Em seguida, o segmento central sofre uma rotação de 60º, e acrescenta-se um novo segmento de mesmo
comprimento dos demais, como o que aparece tracejado na Figura 2. Nas etapas seguintes, o mesmo procedimento
é aplicado a cada segmento da linha poligonal, como está ilustrado nas Figuras 3 e 4.
Se o segmento inicial mede 1 cm, o comprimento da curva obtida na sexta figura é igual a
a)
6!
cm
4!3!
 
 
 
b)
5!
cm
4!3!
 
 
 
c)
5
4
cm
3
 
 
 
d)
6
4
cm
3
 
 
 
22. (Mackenzie 2011) O lado, a altura e a área de um triângulo equilátero inscrito em um círculo formam, nesta ordem,
uma progressão geométrica. A área do círculo é igual a
a) 2π
b) 3 3π
c) π
d) 3π
e) 3π
23. (Unesp 2011) Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma caderneta de
poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, até o mês em que o valor do depósito
atingisse R$ 2.048,00. No mês seguinte o pai recomeçaria os depósitos como de início e assim o faria até o 21º
aniversário do filho. Não tendo ocorrido falha de depósito ao longo do período, e sabendo-se que 210 = 1.024, o
montante total dos depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de
a) 42947,50
b) 49142,00
c) 57330,00
d) 85995,00
e) 114660,00

9. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
8
24. (Mackenzie 2010) Para que o produto dos termos da sequência
2 3 4 n 1
1, 3, 3 , 3 , 3 ,..., 3
−
 
 
 
seja 314
, deverão
ser considerados, nessa sequência,
a) 8 termos
b) 6 termos
c) 10 termos
d) 9 termos
e) 7 termos
25. (Fuvest 2010) Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que 1
α + 3, 2
α - 3,
3
α – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que 1
α > 0 e 2
α = 2, conclui-se que r é igual a
a) 3 + 3
b) 3
3
2
+
c) 3 + 3
4
d) 3 -
3
2
e) 3 - 3
GABARITO
1 - D 2 - D 3 - A 4 - A 5 - E
6 - D 7 - B 8 - C 9 - A 10 - A
11 - A 12 - E 13 - E 14 - ANULADA 15 - C
16 - E 17 - A 18 - B 19 - E 20 - C
21 - C 22 - C 23 - D 24 - A 25 - E