(1) O documento apresenta os cálculos para analisar colisões entre objetos em movimento, resolvendo equações de conservação da quantidade de movimento e energia.
(2) É analisada uma onda senoidal, calculando seu comprimento de onda, valores em pontos específicos e distância percorrida após um tempo.
(3) São calculadas a força e carga elétrica em equilíbrio estático de um sistema de duas cargas pontuais.
1) A sequência xn = 1/n2 é limitada e monotônica decrescente, com limite igual a zero.
2) Existem infinitas subsequências da sequência (-1)n+1, pois podemos fazer combinações infinitas entre 1 e -1.
3) Não é possível encontrar subsequências monotônicas crescentes de tamanho infinito para a sequência dada, pois ela gera um número finito de termos em cada subsequência.
1) O documento discute a conservação do momento angular e da quantidade de movimento em sistemas de barras giratórias. É fornecida a solução para determinar esses valores antes e depois de um projétil atingir uma barra giratória.
2) A relação vetorial entre momento angular e velocidade angular é verificada e a energia cinética de um corpo é expressa em função da velocidade angular.
3) Para um sistema com uma esfera e um cilindro ligados por um fio, as acelerações lineares e angulares
O documento apresenta conceitos sobre funções exponenciais e logarítmicas. Inclui exemplos de cálculos envolvendo essas funções e exercícios resolvidos sobre taxas de crescimento exponencial, valor de ações ao longo do tempo e população de espécies animais.
Este documento apresenta exercícios sobre expressões binomiais e números de Fibonacci. Nos exercícios sobre expressões binomiais, prova-se propriedades sobre divisibilidade de termos binomiais. Nos exercícios sobre números de Fibonacci, mostra-se que a divisibilidade de um termo pela sequência está relacionada à divisibilidade do índice.
1) O documento descreve a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e apresenta exemplos de sua aplicação.
2) A derivada implícita permite calcular a derivada de funções definidas por equações, derivando ambos os lados da equação.
3) A derivada de funções potência f(x)=xr é dada por rxr-1, onde r é um número racional.
1) A função f(m,n) = 2m.3n - 1 é provada ser injetiva, pois se f(m1,n1) = f(m2,n2) então m1 = m2 e n1 = n2.
2) O resto da divisão de 1! + 2! + ... + 50! por 15 é 3.
3) Os números 210, 301 e 352 escritos na base b estão em PA, portanto b = 6.
1) O documento apresenta resoluções de questões sobre dinâmica de rotação, incluindo o cálculo do momento angular antes e depois da colisão de um projétil com uma barra giratória, a análise das condições de conservação do momento linear, e a determinação da energia cinética do sistema.
2) A segunda questão calcula a energia cinética de rotação de um corpo rígido em função de sua velocidade angular e raio, utilizando propriedades do produto vetorial.
3) A terceira questão calcula a
1) A sequência xn = 1/n2 é limitada e monotônica decrescente, com limite igual a zero.
2) Existem infinitas subsequências da sequência (-1)n+1, pois podemos fazer combinações infinitas entre 1 e -1.
3) Não é possível encontrar subsequências monotônicas crescentes de tamanho infinito para a sequência dada, pois ela gera um número finito de termos em cada subsequência.
1) O documento discute a conservação do momento angular e da quantidade de movimento em sistemas de barras giratórias. É fornecida a solução para determinar esses valores antes e depois de um projétil atingir uma barra giratória.
2) A relação vetorial entre momento angular e velocidade angular é verificada e a energia cinética de um corpo é expressa em função da velocidade angular.
3) Para um sistema com uma esfera e um cilindro ligados por um fio, as acelerações lineares e angulares
O documento apresenta conceitos sobre funções exponenciais e logarítmicas. Inclui exemplos de cálculos envolvendo essas funções e exercícios resolvidos sobre taxas de crescimento exponencial, valor de ações ao longo do tempo e população de espécies animais.
Este documento apresenta exercícios sobre expressões binomiais e números de Fibonacci. Nos exercícios sobre expressões binomiais, prova-se propriedades sobre divisibilidade de termos binomiais. Nos exercícios sobre números de Fibonacci, mostra-se que a divisibilidade de um termo pela sequência está relacionada à divisibilidade do índice.
1) O documento descreve a regra da cadeia para derivadas de funções compostas e apresenta exemplos de sua aplicação.
2) A derivada implícita permite calcular a derivada de funções definidas por equações, derivando ambos os lados da equação.
3) A derivada de funções potência f(x)=xr é dada por rxr-1, onde r é um número racional.
1) A função f(m,n) = 2m.3n - 1 é provada ser injetiva, pois se f(m1,n1) = f(m2,n2) então m1 = m2 e n1 = n2.
2) O resto da divisão de 1! + 2! + ... + 50! por 15 é 3.
3) Os números 210, 301 e 352 escritos na base b estão em PA, portanto b = 6.
1) O documento apresenta resoluções de questões sobre dinâmica de rotação, incluindo o cálculo do momento angular antes e depois da colisão de um projétil com uma barra giratória, a análise das condições de conservação do momento linear, e a determinação da energia cinética do sistema.
2) A segunda questão calcula a energia cinética de rotação de um corpo rígido em função de sua velocidade angular e raio, utilizando propriedades do produto vetorial.
3) A terceira questão calcula a
Este documento fornece exemplos resolvidos de equações de retas normais a curvas. Explica que a equação da reta normal é semelhante à equação da reta tangente, exceto que o coeficiente angular da reta normal é o oposto do inverso da reta tangente. Fornece dois exemplos, encontrando a equação da reta normal a uma função e mostrando que duas curvas se interceptam em ângulo reto em um ponto.
1) O capítulo descreve modelos matemáticos para molas, crescimento exponencial e logístico, circuitos elétricos e reações químicas.
2) A seção sobre molas fornece a equação diferencial que descreve o movimento de um corpo preso a uma mola e sua solução.
3) As seções sobre crescimento exponencial e logístico fornecem as equações diferenciais que descrevem esses modelos populacionais e suas soluções.
Este documento descreve ondas eletromagnéticas planas propagando-se em uma direção. Ele fornece expressões para os campos elétrico e magnético e intensidade da onda. Também apresenta dois exercícios resolvidos sobre ondas eletromagnéticas.
1) O documento apresenta o cálculo da área entre duas curvas através da integral definida.
2) A área é dada pela fórmula A = ∫ab f(x) - g(x) dx, onde f(x) é a curva superior e g(x) a inferior.
3) Dois exemplos ilustram o procedimento passo-a-passo para calcular a área entre diferentes pares de curvas.
1) A soma dos n primeiros números pares é n(n-1) e a soma dos n primeiros ímpares é n2.
2) A soma dos quadrados dos primeiros n números é n(2n+1)(n+1)/6.
3) A soma dos cubos dos primeiros n números é 1/2n(n+1)2 e a soma de potências crescentes dos primeiros n números tem uma fórmula recursiva.
[1] O documento apresenta métodos para calcular o valor em risco (VaR) de portfólios não-lineares, incluindo aproximações delta e delta-quadrática para portfólios dependentes de um ou mais fatores de risco.
[2] No caso de um único fator de risco, o retorno do portfólio segue uma distribuição qui-quadrado misturada normal. Para múltiplos fatores, a variância do retorno é decomposta em uma combinação de variáveis qui-quadrado.
[3] É apresentado um exemplo
O documento discute métodos para estimar densidades de probabilidade a partir de dados, incluindo métodos paramétricos bayesianos, métodos de núcleo e misturas de distribuições. O algoritmo EM é descrito como uma abordagem para inferir parâmetros de misturas de distribuições maximizando a verossimilhança dos dados.
O documento apresenta um problema sobre o equilíbrio de duas partículas de massas m e M fixadas nas extremidades de uma barra posicionada dentro de uma casca hemisférica. A razão entre as massas m/M é igual a (L2 - 2r2)/(2r2), onde L é o comprimento da barra e r é o raio da casca hemisférica.
O documento discute redes neurais para classificação e regressão. Brevemente descreve a história das redes neurais, como elas podem ser usadas para classificação e regressão, e aplicações como detecção de fraude e previsão de riscos. Também resume perceptrons, redes multicamadas, e o algoritmo backpropagation para treinamento de redes neurais.
O documento apresenta cálculos envolvendo colisões entre corpos e ondas mecânicas. São determinadas velocidades finais em colisões perfeitamente inelásticas e elásticas entre corpos, considerando conservação de quantidade de movimento e energia. Também são calculadas propriedades de ondas mecânicas como comprimento de onda e deslocamento em função do tempo.
1. O documento descreve um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. É mostrada uma barra suspensa por uma corda, sustentando um peso no ponto indicado. A raz
1. O documento discute um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. Uma barra suspensa por uma corda sustenta um peso no ponto indicado. A razão entre a tens
1) O documento apresenta a resolução de um problema físico sobre conservação de energia mecânica envolvendo uma esfera rolando sem deslizar em um plano inclinado.
2) É analisado o equilíbrio de um disco sobre um plano inclinado, considerando o torque e a força resultante.
3) São resolvidos cálculos envolvendo a variação de pressão e temperatura de um gás confinado em um recipiente à medida que um líquido é despejado nele.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites e continuidade de funções. Inclui problemas envolvendo gráficos, funções explícitas e implícitas, limites laterais e no infinito.
2. São solicitados cálculos de limites em diversas situações como x tende a um valor, função tende a um ponto ou infinito, e verificação de continuidade.
3. Também são pedidos esboços de gráficos e interpretação de resultados no contexto dos problemas propostos.
O documento apresenta exercícios resolvidos sobre fluidoestática, incluindo lei de Stevin, vasos comunicantes, princípio de Pascal, empuxo e princípio de Arquimedes. Dois exercícios são resolvidos em detalhe, um sobre vasos comunicantes e diferença de nível de líquidos imiscíveis, e outro sobre aplicação do princípio de Pascal para calcular o peso de um elefante.
O documento discute conceitos de energia mecânica, incluindo energia potencial gravitacional, energia potencial elástica e energia mecânica total. Ele fornece exemplos e um exercício resolvido sobre esses tópicos.
O documento apresenta os principais conceitos de dinâmica de acordo com Isaac Newton, incluindo suas três leis de movimento. Exemplos e exercícios resolvidos são fornecidos para ilustrar a primeira lei da inércia, a segunda lei sobre força e aceleração, e a terceira lei da ação e reação. O documento também discute o conceito de peso e como ele depende da aceleração da gravidade no local.
Este documento apresenta um resumo de conteúdos básicos de matemática elementar, incluindo funções, inversas de funções, composição de funções e domínios de funções. Inclui seis questões resolvidas como exemplos.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de cinemática, como posição, deslocamento, distância percorrida, instante e intervalo de tempo.
2) É introduzido o conceito de partícula e como ela será usada nos estudos de mecânica.
3) São explicados em detalhe os conceitos de posição, deslocamento, distância percorrida, instante e intervalo de tempo.
El documento es un boletín escolar para un estudiante del tercer año en el Colegio Estatal Castro Alves. El boletín incluye el nombre de la escuela, el grado y el año del estudiante, así como un espacio para escribir el nombre del estudiante.
Diagnostico de pesquisa em biodiversidade no brasilKaroline Tavares
O documento discute a biodiversidade no Brasil, incluindo sua importância, áreas de estudos como hotspots de biodiversidade, descobertas de novas espécies, ameaças à biodiversidade marinha e terrestre, e perspectivas para a pesquisa e conservação da biodiversidade no futuro.
Este documento fornece exemplos resolvidos de equações de retas normais a curvas. Explica que a equação da reta normal é semelhante à equação da reta tangente, exceto que o coeficiente angular da reta normal é o oposto do inverso da reta tangente. Fornece dois exemplos, encontrando a equação da reta normal a uma função e mostrando que duas curvas se interceptam em ângulo reto em um ponto.
1) O capítulo descreve modelos matemáticos para molas, crescimento exponencial e logístico, circuitos elétricos e reações químicas.
2) A seção sobre molas fornece a equação diferencial que descreve o movimento de um corpo preso a uma mola e sua solução.
3) As seções sobre crescimento exponencial e logístico fornecem as equações diferenciais que descrevem esses modelos populacionais e suas soluções.
Este documento descreve ondas eletromagnéticas planas propagando-se em uma direção. Ele fornece expressões para os campos elétrico e magnético e intensidade da onda. Também apresenta dois exercícios resolvidos sobre ondas eletromagnéticas.
1) O documento apresenta o cálculo da área entre duas curvas através da integral definida.
2) A área é dada pela fórmula A = ∫ab f(x) - g(x) dx, onde f(x) é a curva superior e g(x) a inferior.
3) Dois exemplos ilustram o procedimento passo-a-passo para calcular a área entre diferentes pares de curvas.
1) A soma dos n primeiros números pares é n(n-1) e a soma dos n primeiros ímpares é n2.
2) A soma dos quadrados dos primeiros n números é n(2n+1)(n+1)/6.
3) A soma dos cubos dos primeiros n números é 1/2n(n+1)2 e a soma de potências crescentes dos primeiros n números tem uma fórmula recursiva.
[1] O documento apresenta métodos para calcular o valor em risco (VaR) de portfólios não-lineares, incluindo aproximações delta e delta-quadrática para portfólios dependentes de um ou mais fatores de risco.
[2] No caso de um único fator de risco, o retorno do portfólio segue uma distribuição qui-quadrado misturada normal. Para múltiplos fatores, a variância do retorno é decomposta em uma combinação de variáveis qui-quadrado.
[3] É apresentado um exemplo
O documento discute métodos para estimar densidades de probabilidade a partir de dados, incluindo métodos paramétricos bayesianos, métodos de núcleo e misturas de distribuições. O algoritmo EM é descrito como uma abordagem para inferir parâmetros de misturas de distribuições maximizando a verossimilhança dos dados.
O documento apresenta um problema sobre o equilíbrio de duas partículas de massas m e M fixadas nas extremidades de uma barra posicionada dentro de uma casca hemisférica. A razão entre as massas m/M é igual a (L2 - 2r2)/(2r2), onde L é o comprimento da barra e r é o raio da casca hemisférica.
O documento discute redes neurais para classificação e regressão. Brevemente descreve a história das redes neurais, como elas podem ser usadas para classificação e regressão, e aplicações como detecção de fraude e previsão de riscos. Também resume perceptrons, redes multicamadas, e o algoritmo backpropagation para treinamento de redes neurais.
O documento apresenta cálculos envolvendo colisões entre corpos e ondas mecânicas. São determinadas velocidades finais em colisões perfeitamente inelásticas e elásticas entre corpos, considerando conservação de quantidade de movimento e energia. Também são calculadas propriedades de ondas mecânicas como comprimento de onda e deslocamento em função do tempo.
1. O documento descreve um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. É mostrada uma barra suspensa por uma corda, sustentando um peso no ponto indicado. A raz
1. O documento discute um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. Uma barra suspensa por uma corda sustenta um peso no ponto indicado. A razão entre a tens
1) O documento apresenta a resolução de um problema físico sobre conservação de energia mecânica envolvendo uma esfera rolando sem deslizar em um plano inclinado.
2) É analisado o equilíbrio de um disco sobre um plano inclinado, considerando o torque e a força resultante.
3) São resolvidos cálculos envolvendo a variação de pressão e temperatura de um gás confinado em um recipiente à medida que um líquido é despejado nele.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios sobre limites e continuidade de funções. Inclui problemas envolvendo gráficos, funções explícitas e implícitas, limites laterais e no infinito.
2. São solicitados cálculos de limites em diversas situações como x tende a um valor, função tende a um ponto ou infinito, e verificação de continuidade.
3. Também são pedidos esboços de gráficos e interpretação de resultados no contexto dos problemas propostos.
O documento apresenta exercícios resolvidos sobre fluidoestática, incluindo lei de Stevin, vasos comunicantes, princípio de Pascal, empuxo e princípio de Arquimedes. Dois exercícios são resolvidos em detalhe, um sobre vasos comunicantes e diferença de nível de líquidos imiscíveis, e outro sobre aplicação do princípio de Pascal para calcular o peso de um elefante.
O documento discute conceitos de energia mecânica, incluindo energia potencial gravitacional, energia potencial elástica e energia mecânica total. Ele fornece exemplos e um exercício resolvido sobre esses tópicos.
O documento apresenta os principais conceitos de dinâmica de acordo com Isaac Newton, incluindo suas três leis de movimento. Exemplos e exercícios resolvidos são fornecidos para ilustrar a primeira lei da inércia, a segunda lei sobre força e aceleração, e a terceira lei da ação e reação. O documento também discute o conceito de peso e como ele depende da aceleração da gravidade no local.
Este documento apresenta um resumo de conteúdos básicos de matemática elementar, incluindo funções, inversas de funções, composição de funções e domínios de funções. Inclui seis questões resolvidas como exemplos.
1) O documento apresenta os conceitos fundamentais de cinemática, como posição, deslocamento, distância percorrida, instante e intervalo de tempo.
2) É introduzido o conceito de partícula e como ela será usada nos estudos de mecânica.
3) São explicados em detalhe os conceitos de posição, deslocamento, distância percorrida, instante e intervalo de tempo.
El documento es un boletín escolar para un estudiante del tercer año en el Colegio Estatal Castro Alves. El boletín incluye el nombre de la escuela, el grado y el año del estudiante, así como un espacio para escribir el nombre del estudiante.
Diagnostico de pesquisa em biodiversidade no brasilKaroline Tavares
O documento discute a biodiversidade no Brasil, incluindo sua importância, áreas de estudos como hotspots de biodiversidade, descobertas de novas espécies, ameaças à biodiversidade marinha e terrestre, e perspectivas para a pesquisa e conservação da biodiversidade no futuro.
Vanessa Cardoso oferece serviços de social media e marketing digital. Ela se formou em Rádio e Televisão e está cursando pós-graduação em Marketing Digital. Tem experiência em comunicação online desde 2008 e trabalhou em agência de publicidade. Oferece consultoria, atualização de redes sociais, análises e projetos de vídeo para web.
El documento es un boletín escolar de un estudiante del tercer año en el Colegio Estatal Castro Alves. El boletín incluye el nombre de la escuela, el nombre del maestro Hélio Roberto da Rocha, y un espacio para escribir el nombre y grado del estudiante.
O documento apresenta exercícios resolvidos sobre expressões algébricas, incluindo expressões polinomiais, racionais e radiciação. O documento discute identidades envolvendo adição, subtração, produto e divisão, e fornece exemplos resolvidos destas operações com expressões algébricas. Finalmente, o documento apresenta exercícios para o leitor praticar estas operações.
Este documento apresenta um resumo da disciplina de Matemática Elementar. Ele contém dez questões resolvidas sobre Teoria dos Conjuntos, incluindo operações entre conjuntos como união, interseção e diferença. O autor enfatiza a importância dos alunos esclarecerem quaisquer dúvidas sobre o conteúdo.
O documento apresenta exemplos resolvidos de exercícios sobre teoria dos conjuntos numéricos. Inicialmente, define os principais conceitos como conjunto, elemento, pertinência e apresenta exemplos. Em seguida, explica como descrever conjuntos através da enumeração dos elementos ou por meio de propriedades características e apresenta exemplos de conjunto unitário, vazio e universo. Por fim, aborda subconjuntos, conjuntos iguais e o conjunto das partes, ilustrando com exercícios resolvidos.
Aristóteles foi aluno de Platão e fundou sua própria escola, o Liceu. Ele desenvolveu teorias sobre diversos tópicos como educação, política, causas e obras divididas em lógica, filosofia da natureza, filosofia prática e poéticas. Sua filosofia teve uma abordagem metódica e formal, discordando em alguns pontos de Platão.
Este documento apresenta resoluções de exercícios sobre fluidoestática e a lei de Stevin. Os tópicos abordados incluem densidade, pressão, pressão em fluidos e a lei de Stevin. Vários exercícios são resolvidos como exemplos para calcular densidade, pressão e profundidade máxima com base na pressão suportada de acordo com a lei de Stevin.
O documento discute conceitos de trabalho, energia cinética e trabalho da força peso. Em três frases:
1) Explica como calcular o trabalho de uma força constante usando a fórmula trabalho = força × deslocamento × cosseno do ângulo entre a força e o deslocamento.
2) Discutem que o trabalho da força peso depende apenas da diferença de altitude inicial e final, e não da trajetória, tornando a força peso conservativa.
3) Apresenta a fórmula para calcular a energia cinética e o
Este documento apresenta 7 questões resolvidas sobre o Princípio de Indução Matemática. A introdução define o tópico estudado e as questões demonstram propriedades matemáticas usando o princípio de indução, como somar números consecutivos e provar que 2n é sempre maior que n. O autor encoraja os alunos a estudarem o conteúdo e colocarem dúvidas no fórum.
1) O documento introduz conceitos fundamentais da dinâmica como força, equilíbrio, inércia e as três leis de Newton.
2) A primeira lei de Newton estabelece que um corpo permanece em repouso ou movimento uniforme a menos que uma força externa atue sobre ele.
3) A terceira lei estabelece que para toda ação existe uma reação igual e oposta.
Este documento apresenta exercícios resolvidos sobre conjuntos numéricos no cálculo 1. Inclui definições e propriedades dos conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais, além de exemplos de representação decimal e resolução de um exercício. O autor enfatiza a importância dos alunos estudarem o material e tirarem dúvidas.
Este documento descreve um experimento para medir a densidade de uma solução aquosa de sal de cozinha. O experimento envolveu calcular a densidade da solução usando um densímetro e também usando a definição de densidade. A densidade calculada pela definição foi considerada correta e foi usada para determinar o erro relativo da densidade medida pelo densímetro. O resultado mostrou que o método da definição foi mais preciso do que o método experimental com o densímetro.
Este documento contém o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as soluções de 20 questões e observações sobre a correção.
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
Para DOWNLOAD acesse em
http://www.calculobasico.com.br/colegio-militar-do-rio-de-janeiro-prova-comentada/
1) O documento apresenta 6 questões de matemática sobre sequências numéricas, expressões algébricas, logaritmos e raízes complexas.
2) A segunda parte contém 6 questões de física sobre colisões, movimento harmônico simples, termodinâmica de gases ideais e óptica.
3) Os documentos fornecem problemas e exercícios típicos de vestibulares de engenharia com foco em matemática e física.
Este documento apresenta um problema clássico da cinemática que considera objetos se movendo conjuntamente em um polígono regular com velocidade constante. Após quanto tempo os objetos se encontrarão e qual será a distância percorrida por cada um? A resposta é que eles se encontrarão após 10 segundos no centro do hexágono, tendo cada um percorrido 20 metros.
O documento apresenta três exercícios sobre movimento de partículas e momento de inércia. O primeiro exercício calcula o deslocamento de uma partícula em uma haste giratória. O segundo exercício calcula o tempo para uma plataforma giratória atingir 33 rpm a partir do repouso. O terceiro exercício calcula o momento de inércia de um triângulo retângulo em torno do cateto menor.
1) O documento discute exercícios sobre movimento de partículas e momentos de inércia.
2) No primeiro exercício, é calculado o deslocamento de uma partícula em uma haste giratória.
3) No segundo exercício, é calculado o tempo para uma plataforma giratória atingir 33 rpm a partir do repouso, e a posição e deslocamento de um ponto nela.
Mat em funcoes trigonometricas sol vol1 cap9 parte 2trigono_metrico
1) A função f(x) é cíclica e decresce quando o seno de x cresce, atingindo seu valor mínimo de 1 quando o seno é 1 e seu valor máximo de 3 quando o seno é -1.
2) O triângulo OCB é semelhante ao triângulo OAT, logo a tangente de x é igual à razão entre o seno de x e o cosseno de x.
3) A soma do quadrado do seno de x com o quadrado do cosseno de x é igual a 1,44, logo o produto entre
1. O documento descreve um circuito elétrico com duas lâmpadas idênticas (L1 e L2) e três fontes idênticas. Quando a chave é fechada, o brilho das duas lâmpadas permanece o mesmo.
2. É apresentado um planeta em órbita circular ao redor da estrela Gliese 581. A razão entre as massas da Gliese 581 e do Sol é aproximadamente 0,3.
3. É mostrada uma barra suspensa por uma corda, sustentando um peso no ponto indicado. A raz
O documento fornece informações sobre o cálculo da capacidade de um açude em forma de losango. A capacidade é estimada multiplicando-se a área da superfície pelo a profundidade. Dados a área de 160.000 m2 e a profundidade de 2m, a capacidade é de 320.000 m3 ou 32.000.000 litros, o que poderia atender aproximadamente 16.000 famílias com consumo mensal de 2.000 litros cada.
[1] O documento apresenta um capítulo sobre cinemática vetorial, com conexões, exercícios e suas respostas.
[2] Inclui definições de grandezas vetoriais como deslocamento, velocidade e aceleração, além de exercícios sobre cálculo de módulos e componentes de vetores.
[3] Aborda conceitos como movimento uniforme e variado, aceleração centrípeta e tangencial em curvas, além de identificar grandezas como escalares ou vetoriais.
Este documento apresenta exemplos e exercícios sobre funções e suas aplicações em diferentes situações. Na primeira situação de aprendizagem, discute-se sobre grandezas que dependem de outras variáveis e exemplos de funções, incluindo circunferência em função do raio, área em função do lado de um quadrado e massa em função do tempo de decomposição. A segunda situação trata da construção de gráficos funcionais. A terceira aborda as formas básicas de crescimento e decrescimento linear, exponencial e logarítmica.
O documento apresenta a resolução de 4 problemas utilizando a teoria das congruências lineares. O primeiro problema envolve a quantidade de ovos quebrados em uma barraca, resolvido em 301 ovos. O segundo trata de perguntas em que o nariz de Pinóquio cresceu, nas respostas 6 e 14. O terceiro envolve moedas divididas entre 3 marinheiros, com 241 moedas no total. O quarto problema é sobre gastos em um hotel com 41 homens e 17 mulheres.
1) O documento apresenta 18 questões de matemática com suas respectivas alternativas de resposta.
2) As questões abordam tópicos como álgebra, geometria, funções, logaritmos e estatística.
3) As respostas corretas são indicadas no final de cada questão, variando entre as alternativas A, B, C, D ou E.
1. O documento apresenta uma proposta de resolução da Sociedade Portuguesa de Matemática para o Exame Nacional de Matemática A, incluindo vários problemas resolvidos.
2. São apresentados dois grupos de questões, a primeira com cálculos algébricos e trigonométricos e a segunda com probabilidades e estatística.
3. Inclui também resoluções de problemas de cálculo que envolvem derivadas, integrais, máximos e mínimos.
1) O documento apresenta 10 questões de matemática envolvendo trigonometria e geometria.
2) As questões incluem cálculos de seno, cosseno, tangente e áreas para diferentes figuras geométricas como circunferências e trapézios.
3) São solicitados também cálculos como distância entre cidades e determinação de ângulos e alturas de torres.
Mat em funcoes trigonometricas sol vol1 cap9 parte 1trigono_metrico
1) Resolve exercícios de um capítulo sobre funções trigonométricas, incluindo identidades e equações trigonométricas.
2) Determina valores máximos e mínimos de funções, e valores de seno, cosseno e tangente em vários ângulos.
3) Usa identidades trigonométricas e fórmulas para resolver problemas envolvendo seno, cosseno e tangente de ângulos somados e dobrados.
O documento apresenta vários métodos para aproximar números reais como raiz quadrada de 2, pi e raízes não exatas através de truncamentos decimais e iterativos. Inclui exercícios resolvidos sobre aproximações decimais de raiz quadrada de 2 e estimativas de pi usando polígonos inscritos em circunferências.
Este documento contém 18 exercícios de matemática básica sobre trigonometria, geometria e álgebra. Os exercícios envolvem cálculos de ângulos, lados e áreas de figuras geométricas como triângulos, círculos e polígonos regulares. Também inclui resolução de equações e aplicação de fórmulas trigonométricas e teoremas geométricos.
1) O documento fornece dados físicos fundamentais como aceleração da gravidade, densidade da água, calor específico da água, carga do elétron, massa do elétron, velocidade da luz, constante de Planck e valores de seno e cosseno.
2) Inclui 11 exercícios resolvidos de mecânica newtoniana, termodinâmica e ondas, abordando conceitos como velocidade média, força, energia potencial e cinética, pressão de gases, calor e propagação de
1) O documento fornece dados físicos fundamentais como aceleração da gravidade, densidade da água, carga do elétron, velocidade da luz e constantes como constante de Planck.
2) Inclui também relações trigonométricas como seno e cosseno de 37 graus.
3) Apresenta 15 questões sobre mecânica newtoniana, termodinâmica, eletrostática e eletromagnetismo para exercitar o uso destes dados e relações.
Semelhante a Obf2007 3 fase_3serie_teorica_gabarito (20)
Este documento discute as relações ecológicas entre seres vivos, incluindo relações intraespecíficas dentro da mesma espécie e relações interespecíficas entre espécies distintas. Essas relações podem ser harmônicas, sem prejuízo para os indivíduos, ou desarmônicas, prejudicando pelo menos um indivíduo. Exemplos de relações interespecíficas harmônicas incluem comensalismo, mutualismo e inquilinismo.
O documento descreve vários tipos de forças e suas aplicações, incluindo: (1) a força peso que atrai objetos para a Terra, variando em diferentes planetas; (2) a força normal que surge quando objetos se pressionam; (3) a força elástica em molas e elásticos; e (4) as forças de atrito estático e cinético que atuam quando objetos se movem sobre superfícies.
O documento discute funções e ponteiros na linguagem C. Explica como definir funções, escopo de variáveis, passagem de parâmetros, ponteiros e como modificar o comportamento de funções usando ponteiros. Apresenta exemplos de funções sem retorno, funções com retorno, variáveis locais, globais e parâmetros.
Este documento resume as Normas de Segurança e Saúde no Trabalho (NRs) 17 a 24, abordando tópicos como ergonomia, condições do ambiente de trabalho, explosivos, inflamáveis, trabalhos a céu aberto, segurança na mineração, proteção contra incêndios e condições sanitárias.
A NR 26 trata da sinalização de segurança no ambiente de trabalho. Ela estabelece que sinalizações brancas devem ser usadas para indicar riscos e advertir sobre eles. Essas sinalizações podem ser feitas por meio de faixas, sinais, localização de itens e demarcação de áreas.
O documento discute a importância do uso do cinto de segurança em veículos, explicando que ele evita lesões graves em acidentes ao prender o passageiro no banco. Também descreve os diferentes tipos de cintos de segurança e suas aplicações, como o uso em aviões, veículos, trabalhos em altura e para crianças.
O documento apresenta o software WEKA para mineração de dados, descrevendo sua introdução, download, instalação, interfaces gráficas, formato de dados suportados e referências bibliográficas.
O documentário discute as visões do geógrafo Milton Santos sobre a globalização e o mundo atual. Milton defende que devemos enxergar o mundo com nossos próprios olhos e não com os olhos dos países desenvolvidos. A primeira globalização trouxe a ocupação de territórios e a destruição de culturas indígenas, enquanto a segunda globalização fragmentou os territórios e aumentou a desigualdade. Milton propõe a construção de "outra globalização" que promova a dignidade humana de forma igualitária.
O documento discute a importância da educação para o desenvolvimento econômico e social de um país. A educação é essencial para promover a inovação, o empreendedorismo e a competitividade global. Governos devem investir em sistemas de ensino de qualidade para formação de capital humano.
O Realismo surgiu no Brasil no século XIX, representado principalmente por obras literárias como Memórias Póstumas de Brás Cubas e pelo pintor Gustave Couber. Esse movimento artístico retratava de forma realista cenas do cotidiano, especialmente dos mais pobres, e problemas sociais como miséria e exploração. Autores como Machado de Assis e Aluísio Azevedo se destacaram nessa corrente.
O documento descreve os programas de ensino de física para três níveis de estudantes do ensino fundamental e médio. O nível A cobre conceitos básicos de matemática, gravitação, cinemática e termodinâmica para alunos do 9o ano. O nível B inclui mecânica clássica, termofísica e óptica geométrica para alunos do ensino médio. O nível C acrescenta oscilações, ondas, eletricidade, magnetismo e física moderna para alunos do 3o ano do ensino
O documento descreve os programas de ensino de física para três níveis de estudantes do ensino fundamental e médio. O nível A cobre conceitos básicos de matemática, gravitação, cinemática e termodinâmica para alunos do 9o ano. O nível B expande isso para mecânica clássica, termofísica e óptica geométrica para alunos do ensino médio. O nível C acrescenta oscilações, ondas, eletricidade, magnetismo e física moderna.
O documento apresenta uma lista de alunos inscritos para as Olimpíadas Brasileiras de Física de 2011, com seus respectivos IDs, nomes e séries. São listados 101 alunos do 1o ao 3o ano do Ensino Médio do Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia da Bahia - Campus Vitória da Conquista.
(1) O documento apresenta cálculos envolvendo colisões entre objetos e ondas mecânicas.
(2) Há duas situações analisadas (itens a e b) que levam à mesma velocidade final do sistema de 1,5 m/s.
(3) O comprimento de onda calculado é 1,57 m.
(1) O documento apresenta os cálculos para analisar colisões entre objetos em movimento, aplicando as leis da conservação da quantidade de movimento e da energia.
(2) É resolvido um problema sobre ondas, determinando o comprimento de onda, valores da função em diferentes pontos e distância percorrida pela onda em um intervalo de tempo.
(3) É analisado um sistema em equilíbrio sob a ação de forças de Coulomb, calculando a carga elétrica envolvida.
(1) O documento apresenta os cálculos para analisar colisões entre objetos em movimento, resolvendo equações de conservação da quantidade de movimento e energia.
(2) É analisada uma onda senoidal, calculando seu comprimento de onda, valores em pontos específicos e distância percorrida após um tempo.
(3) São calculadas a força entre duas cargas pontuais e a carga de um sistema em equilíbrio, por meio da lei de Coulomb e momento resultante.
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1. Gabarito
Prova de 3o Ano – 3ª Fase
1.
a) Colisão entre A e C perfeitamente inelástica
(i) Pela conservação da quantidade de movimento:
• antes da colisão (em módulo) → Qi = (M A + M B + Barra ) v = 4 × 3
• depois da colisão (em módulo) → Q f = (M A + M B + Barra + M C ) v1 = 6v1
Então:
r r
Qi = Q f → 12 = 6v1 ⇒ v1 = 2 m s .
Colisão entre C e D perfeitamente elástica
(ii) Pela conservação da quantidade de movimento:
• antes da colisão (em módulo) → Qi = (M A + M B + Barra + M C ) v1 = 6 × 2
• depois da colisão (em módulo) → Q f = Mv2 + M D v3 = 6v 2 + 2v3
com M = (M A + M B + Barra + M C )
Então:
r r
Qi = Q f → 12 = 6v 2 + 2v3 ⇒ 6 = 3v 2 + v3 . (1)
Como há duas velocidades ( v 2 e v3 ) a determinar, é preciso obter uma segunda relação entre v 2 e
v3 . Essa relação é obtida usando a conservação da energia, ou seja:
1 1
• antes da colisão → E i = M v1 = × 6 × 4 = 12
2
2 2
1 1 1 1
• depois da colisão → Ef = M v 2 + M D v3 = × 6 v 2 + × 2 v3 = 3 v 2 + v3
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2. Assim:
E i = E f ⇒ 12 = 3v 2 + v3
2 2
(2)
Da relação (1) segue que v3 = 6 − 3v 2 (3). Substituindo (3) em (2), teremos:
12 = 3v 2 + (6 − 3v 2 ) ⇒ 12v 2 − 36v 2 + 24 = 0
2 2 2
v 2 − 3v 2 + 2 = 0
2
(4)
Resolvendo a equação (4), segue que:
v 2+ = 2 m s e v 2− = 1 m s . (5)
Usando o valor de v 2+ em (3), obtém-se
v 3+ = 0 (6)
e, para v 2 − , chega-se a
v 3− = 3 m s . (7)
A solução fisicamente aceitável é a (7) uma vez que, após o choque, o carrinho D fica em
movimento.
Colisão entre D e B perfeitamente inelástica
(iii) Pela conservação da quantidade de movimento:
• antes da colisão (em módulo) → Qi = M v 2− + M D v3− = 6 × 1 + 2 × 3 = 12
• depois da colisão (em módulo) → Q f = (M + M D ) v 4 = (6 + 2 ) v 4
Então:
r r
Qi = Q f → 12 = 8v 4 ⇒ v 4 = 1,5 m s .
Resposta: a velocidade final do sistema é 1,5 m s .
b) Colisão entre A e C perfeitamente inelástica
(i) Esta situação é a mesma do item (i) da parte (a) . Assim, tem-se que v1 , a velocidade
de M = (M A + M B + Barra + M C ) = 6kg , é igual a 2 m s .
Colisão entre C e D também perfeitamente inelástica
(ii) Pela conservação da quantidade de movimento:
• antes da colisão (em módulo) → Qi = M v1 = 6 × 2
• depois da colisão (em módulo) → Q f = (M + M D ) v f = (6 + 2 )v f = 8v f
Então:
r r
Qi = Q f → 12 = 8v f ⇒ v f = 1,5 m s .
3. Resposta: A velocidade final do sistema é v = 1,5 m s , ou seja, a mesma do item (a).
Explicação: em todas as colisões que ocorrem no processo, há conservação da quantidade de
movimento e o sistema final, nas duas situações analisadas, tem a mesma massa.
_____________________________________________________________________________________________________
2.
a) (i) Sabendo que f é a freqüência de oscilação da onda, tem-se:
λ f =v e ω = 2π f (1)
(ii) Da relação apresentada no enunciado do problema segue que
βv =ω ⇒ βλ f = ω ⇒ βλ f = 2π f
ou seja
2π
λ=
β
Usando o valor de β , obtido da equação que descreve a onda, tem-se:
2π π
λ= = m
4 2
π
Resposta: O comprimento da onda é λ= m = 1,57 m .
2
b) Em t = t 0 = 0 , tem-se
y = 10 cos 4 z
Considerando os pontos z = 0 , z = λ 4 , z = λ 2, 3λ 4, e z = λ segue que::
(i) para z = 0 , y = 10 ;
(ii) para z = λ 4 , y = 10 cos(4λ 4) ⇒ y = 10 cos λ = 10 cos (π 2) = 0 ;
(iii) para z = λ 2 , y = 10 cos(4 λ 2) ⇒ y = 10 cos 2λ = 10 cos π = −10 ;
(iv) para z = 3λ 4 , y = 10 cos( 4 × 3λ 4) ⇒ y = 10 cos(3λ ) = 10 cos(3π 2) = 0 ;
(v) para z = λ , y = 10 cos(4λ ) ⇒ y = 10 cos(4 π 2) = 10 cos 2π = 10
Fig. 1
c) Após um tempo Δ t a onda caminha uma distância:
Δ z = v Δt ⇒ Δ z = 10 6 × 0,523 × 10 −6 = 0,523 m
4. π
Como λ= m ≈ 1,5707 m , logo
2
λ
Δz =
3
Solução alternativa:
−6
Em t = t1 = 0 ,523 × 10 s , tem-se:
⎛ 2π ⎞
y = 10 cos⎜ 4 z − t⎟ (1)
⎝ T ⎠
Como λ f = v , segue que:
λ 1 v 10 6 2 × 10 6
=v ⇒ = = =
T T λ π 2 π
Então, substituindo 1 T em (1), obtém-se:
(
y = 10 cos 4 z − 4 × 10 6 t , )
−6 1,57 λ
e, usando t = 0 ,523 × 10 = × 10 −6 = × 10 −6 s , chega-se a:
3 3
⎛ 4λ ⎞
y = 10 cos⎜ 4 z − ⎟ (2)
⎝ 3 ⎠
Considerando, por exemplo, o ponto A da figura 01(lembre-se que esse ponto corresponde ao
argumento do cosseno nulo), tem-se que ele, no instante t = λ 3 × 10
−6
s , encontrar-se-á em:
4λ λ
4z − =0 ⇒ z= ,
3 3
ou seja, a onda terá se deslocado de λ 3.
_________________________________________________________________________________
3.
a) Pela Lei de Coulomb tem-se, em módulo:
(i) força entre a carga em A e a carga em a :
5kQ 2
FAa = (1)
D2
(ii) força entre a carga em B e a carga em b :
6kQ 2
FBb = (2)
D2
Isolando a haste AB e indicando as forças que atuam sobre ela, tem-se (veja
5. T
A H B
mg
F Aa P = Mg
FBb
Fig. 2
(iii) Como o sistema está em equilíbrio, o momento resultante é nulo ( M R = 0 ). Calculando o
momento em relação ao ponto O , obtém-se:
FAa .AO + Mg . HO = FBb .BO , (3)
e, substituindo em (3) as expressões (1) e (2), e as distâncias AO = L 2 , HO = L 3 e BO = L 2 ,
chega-se a:
5kQ 2 L L 6kQ 2 L
. + Mg . = .
D2 2 3 D2 2
L kQ 2 L
Mg . = 2 .
3 D 2
3 kQ 2
M = (4)
2g D 2
b) De (4) segue que:
2 gD 2
Q2 = M
3k
e, substituindo as variáveis pelos valores do problema, tem-se:
0,3072 × 0,1
Q2 = = 0,1024 × 10 −10 ,
3 × 10 9
−6
ou seja, Q = 3,2 × 10 C . Como 1e = 1,6 ×10 −19 C , obtém-se:
Q = 2 × 1013 cargas elementares.
_________________________________________________________________________________
4.
a) O campo gerado pela espira A no ponto P , será:
r
r μ 0 iR 2 k
BA = (1)
2 (
z2 + R2 )
3/ 2
O campo gerado pela espira D no ponto P , será:
6. r
r μ 0 iR 2 k
BD =
[ ]
(2)
2 (l − z )2 + R 2 3/ 2
Daí, o campo total no ponto P será a superposição dos dois campos, ou seja:
r r r μ iR 2 ⎧
⎪ 1 1 ⎫r
⎪
B = B A + BD = 0 ⎨ + 3/ 2 ⎬
[ ]
k. (3)
2 ⎪ (l − z )2 + R 2
⎩
3/ 2
(
z2 + R2 )
⎪
⎭
b) Se l diminui, com P fixo, ou seja, se as duas espiras forem colocadas mais próximas, o
valor do campo total começará a crescer porque o termo [(l − z ) 2
+ R2 ]
3/ 2
diminui, atinge um valor
máximo em l = z e, em seguida, para 0 < l < z , começa a diminuir porque o temo
[(l − z ) 2
+ R2 ]3/ 2
aumenta. Quando l tende a zero o campo total aproxima-se do campo de uma
bobina com duas espiras, já que:
r μ iR 2 ⎧
⎪ 1 1 ⎫r
⎪ μ 0 iR 2 r
B= 0 ⎨ 2 + 3/ 2 ⎬
k= k
2 ⎪ (
⎩ z +R
2
) 3/ 2
( z2 + R2 ) ⎪
⎭ (
z2 + R2
3/ 2
)
c) (i) Se l = 0 e z ≠ 0 , tem-se:
r μ 0 iR 2 r
B= k
(z 2
+ R2 ) 3/ 2
(ii) Se l = 0 e z = 0 tem-se, de (3):
r μ i R2 ⎧ 1
⎪ 1 ⎫ r μ0 i r
⎪
B= 0 ⎨ 2 3/ 2 + 2 3/ 2 ⎬ k = k
2 ⎪R
⎩ ( ) R ⎪
⎭
R( )
que é duas vezes o campo no centro de uma espira circular de raio R , percorrida por uma corrente
elétrica i (lembre-se que o campo no centro de uma espira de raio R , percorrida por uma corrente
μ0 i 2π ×10 −7 × i
, onde μ 0 = 4π × 10 N A )
−7
elétrica i , tem módulo B = = 2
2R R
(iii) Se l = z e z ≠ 0 , obtém-se:
r μ 0 iR 2 ⎧ 1
⎪ 1 ⎫r
⎪
B= ⎨ 2 3/ 2 + 2 3/ 2 ⎬
k,
2 ⎪R
⎩ ( ) z + R2 ( ) ⎪
⎭
ou,
r μ 0i r μ 0iR 2 r
B= k+ k,
2R 2 z2 + R2 ( ) 3/ 2
isto é, tem-se como campo resultante a adição do vetor campo magnético no centro de uma espira
circular de raio R , percorrida por uma corrente elétrica i (no caso a espira D ) e o campo em P
gerado pela espira no plano xy , percorrida pela corrente i .
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7. Tf 300
5. O rendimento de uma máquina de Carnot é obtido por ηC = 1 − = 1− , ou seja η C = 0,5 .
Tq 600
Como a máquina do problema tem rendimento 20% menor, logo η = 0,4 .
a) De acordo com o enunciado, o fluxo de calor proveniente da fonte quente, que penetra na máquina
é numericamente igual ao de uma barra submetida a uma diferença de temperatura de 500 K, ou
seja:
ΔQq ΔT ΔQq 500 ΔQq
=kA ⇒ = 50 × 2 × ⇒ = 500 kW
Δt l Δt 0,1 Δt
Δτ
O rendimento de uma máquina é definido como η= , onde Δτ é o trabalho realizado.
ΔQ q
Δτ ΔQ q
Assim, =η , ou seja, a potência da máquina é:
Δt Δt
Δτ
P= = 200 kW
Δt
b) Em uma máquina térmica, o calor rejeitado para a fonte fria é:
ΔQ f ΔQq Δτ ΔQ q
ΔQ f = ΔQq − Δτ ⇒ = − = (1 − η )
Δt Δt Δt Δt
ΔQ f
Logo, = 300 kJ / s
Δt
A quantidade de calor rejeitada em 10 minutos (= 600 s) será:
ΔQ f = 300 × 103 × 600 ⇒ ΔQ f = 1,8 ×108 J
A quantidade de calor necessária para elevar uma massa m de gelo de T0 = −20o C até 0 o C e em
seguida derrete-la, é:
ΔQ f = m c g (T − To ) + m L ,
onde c g = 2100 J /(kg 0C ) é o calor específico do gelo e L = 330 kJ / kg é o calor de fusão do
gelo. Assim,
(
1,8 × 108 = m 2100 × 20 + 330 ×10 3 )
Resulta m = 483,9 kg
Observação: Por engano da comissão de provas, os valores do calor específico cg e do calor de
fusão L do gelo não foram fornecidos. Desta forma, foi atribuída pontuação total ao aluno que
resolveu corretamente a questão, mas não apresentou o resultado numérico final.
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8. 6.
a) Se o processo A → B é isobárico, a pressão no estado B é igual ao do estado A, isto é
PB = PA = 32 ×105 N /m 2 . O volume do gás em B, de acordo com o enunciado é VB = 2 m 3 .
1
γ γ ⎛P ⎞γ
Como o processo B → C é adiabático, então PB VB = PC VC ⇒ VC = ⎜ B ⎟ VB .
⎜P ⎟
⎝ C⎠
cp
VC = (32)3 / 5 VB ⇒
5
Como γ= , então γ= ⇒ VC = 16 m 3
cv 3
O diagrama PV será então:
A B
32
1 C 3
V(m )
0 1,0 2,0 16,0
Fig. 03
b) o trabalho na expansão A → C será:
Δτ = Δτ AB + Δτ BC
• O trabalho no processo isobárico A → B é
Δτ AB = PA (VB − V A ) Δτ AB = 32× 10 5 J
• No processo adiabático B → C o trabalho é:
Δτ BC =
1
(PC VC − PB VB )
1− γ
Δτ BC =
1
(1×16 − 32 × 2)×105 = 72 ×105 J
1− 5 3
• O trabalho total será, portanto:
Δτ = 104× 10 5 J
c) A variação da energia interna total será ΔU AC = ΔU AB + ΔU BC
Da primeira lei da termodinâmica, teremos:
ΔU = ΔQ − Δτ (1)
• Como o processo A → B é isobárico, então:
9. ΔU AB = n C p ΔT − PΔV
Usando a equação dos gases ideais, PV = nRT e usando o fato de que a pressão se mantém
P ΔV
constante, teremos: ΔT = , de forma que:
nR
⎛ Cp ⎞ C
⎜
ΔU AB = ⎜ − 1⎟ P ΔV = v P ΔV , pois C p = Cv + R
⎟
⎝ R ⎠ R
Mas P ΔV = PA (VB − V A ) = τ AB
3
Como Cv = R , então
2
3
ΔU AB = τ AB = 48 ×10 5 J
2
• O processo B → C é adiabático, de forma que ΔQ = 0 . Assim, de (1) deve-se ter:
ΔU BC = −Δτ BC = −72× 10 5 J
• A variação da energia interna em todo processo será:
ΔU AC = −24×10 5 J
_________________________________________________________________________________
7.
α
x
h’
n α h
θ
x
Fig. 04
x
Da figura observa-se que tgα = ⇒ x = h' tgα
h'
x
Temos também que tgθ = ⇒ x = h tgθ
h
onde h e h’ são respectivamente a profundidade e a profundidade aparente da moeda. Assim
tgα senα cosθ
h tgθ = h' tgα ⇒ h = h' = h'
tgθ cosα senθ
Usando a lei da refração n senθ = senα , teremos:
10. cosθ 1 − sen 2θ n 2 − sen 2α
h = h' n = h' n ⇒ h = h' (1)
cosα cosα cosα
Quando o carro acelera, a superfície da água inclina de um ângulo φ em relação ao nível horizontal.
α
θ h” φ
n h hi
Fig. 05
A moeda estará agora a uma profundidade hi = h cos φ e a profundidade aparente será h" . Como o
ângulo de observação é o mesmo ( α ), então:
n 2 − sen 2α
hi = h" (2)
cos α
Dividindo a equação (2) por (1), obtemos:
hi h" h cos φ h"
= ⇒ =
h h' h h'
Como h"= 25 3 cm e h'= 50 cm
3
obtemos cos φ = ⇒ φ = 30 0
2
nível inicial
φ O
a
φ g
gef
Fig. 06
Considere uma pequena porção de água. Como o caminhão acelera para a direita, então, em um
referencial fixo no caminhão, devido à inércia, essa pequena porção de água sofrerá uma aceleração
para a esquerda. Contudo, devido à presença do campo gravitacional, essa massa estará submetida
r r r
à uma aceleração total g ef , que é a soma vetorial entre a e g .
r
A superfície da água deve ser perpendicular à g ef , pois se isto não ocorresse, dois pontos à
mesma profundidade (em relação à linha d’água) estariam com pressões diferentes e
consequentemente haveria um fluxo de líquido entre eles. Realmente isto ocorre durante um curto
11. intervalo de tempo, mas na situação estacionária o fluxo cessa, de modo que as pressões são as
mesmas.
A nova linha d’água é obtida girando o nível inicial em torno de um eixo que passa pelo
centro deste nível (ponto O da figura), pois a massa de água deslocada abaixo da linha d’água inicial
deve ser igual à massa deslocada acima desta linha. Assim, como a moeda está na parte central do
tanque, sua distancia até o ponto O não é alterada.
a
Por fim, da figura podemos ver que tg φ = .
g
Assim a = g tg30 0
3
Resulta a= g
3
_________________________________________________________________________________
8.
a) Na região do visível: de λ f = c , segue que:
(i) limite inferior (em freqüência): 0,7 × 10 −6 f = 3 × 10 8 ⇒ f = 4,3 × 1014 Hz
(ii) limite superior (em freqüência): 0,4 × 10 −6 f = 3 × 10 8 ⇒ f = 7 ,5 × 1014 Hz
Daí tem-se para a energia dos fótons:
(i) limite inferior: Ei = hf = 6,62 × 10 −34 × 4,3 × 1014 = 28,46 × 10 −20 J
Usando que 1 eV = 1,6 × 10 −19 J , obtém-se:
Ei = 1,80 eV
(ii) limite superior: E s = hf = 6 ,62 × 10 −34 × 7 ,5 × 1014 = 49,65 × 10 −20 J ,ou seja,
E s = 3,1eV .
Assim, a energia dos fótons na região do visível varia da ordem de 1,80 eV a 3,1 eV .
Para uma onda de rádio de comprimento λ = 310 m , tem-se
310 f = 3 × 10 8 ⇒ f = 0,968 × 10 6 Hz
e o fóton terá energia:
E = hf = 6,62 × 10 −34 × 0,968 × 10 6 = 6,41×10 −28 J
e, fazendo a mudança de unidade:
E = 4 ,0 × 10 −9 eV .
b) Como a energia de um fóton de λ = 310 m −9
é 4 ,0 × 10 eV , para se ter 40 eV precisa-
se de 1010 fótons.
12. c) De λ f = c , segue que:
hc 6,62 × 10 −34 × 3 × 10 8
λ= = J ×s×m s
hf Ef
1,99 × 10 −25
λ= J .m (1)
Ef
0
−19
Como 1 eV = 1,6 × 10 J , segue que 1J = 6 ,25 × 1018 eV e, sabendo que 1m = 1010 A , tem-se
1,99 × 10 −25 × 6,25 × 1018 × 1010 o 1,24 × 10 4 o
λ= eV . A = eV . A
Ef Ef
ou seja, a expressão que dará o comprimento de onda λ em angstroms com a energia E em
elétron-volts é
1,24 × 10 4
λ == .
E