O documento apresenta a resolução de 4 problemas utilizando a teoria das congruências lineares. O primeiro problema envolve a quantidade de ovos quebrados em uma barraca, resolvido em 301 ovos. O segundo trata de perguntas em que o nariz de Pinóquio cresceu, nas respostas 6 e 14. O terceiro envolve moedas divididas entre 3 marinheiros, com 241 moedas no total. O quarto problema é sobre gastos em um hotel com 41 homens e 17 mulheres.
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
Sistemas de equações do 1o grau são ferramentas comuns em matemática e outras áreas. Embora geralmente resolvidos com facilidade, é importante prestar atenção na construção e solução corretas do problema. O documento descreve três métodos para resolver sistemas de equações do 1o grau: método da adição, método da substituição e método da igualdade.
O documento apresenta exemplos de sistemas de equações do 1o e 2o grau. No primeiro exemplo, é resolvido um sistema linear com duas equações e duas incógnitas para encontrar as idades de Marlon e Maria. O segundo exemplo resolve um sistema não linear com duas equações do 2o grau para encontrar dois números cuja soma é 18 e produto é 45.
Profº Marcelo Santos Chaves Cálculo I (limites trigonométricos)MarcelloSantosChaves
The document provides solutions to 12 limit problems involving trigonometric functions. Each problem is solved in 3 steps or less. The solutions show that:
1) Many of the limits evaluate to simple numeric values like 1, 0, or constants like a.
2) Trigonometric limits are often solved by factorizing the expressions and applying standard trigonometric limits like lim(sinx/x) = 1 as x approaches 0.
3) More complex problems are broken down into composite limits and simplified through algebraic manipulation and properties of limits.
O documento apresenta notas de aula sobre funções de várias variáveis ministradas pelo Professor Wilson Canesin. São abordados conceitos como funções de duas variáveis, seus domínios e gráficos, além de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Exemplos ilustram cada um desses tópicos.
Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.
1) O documento explica o conceito de módulo ou valor absoluto de um número real.
2) Inclui exemplos de equações e inequações modulares e como resolvê-las.
3) Discute a relação entre módulo e raiz quadrada, e como determinar o domínio de funções usando inequações modulares.
O documento apresenta um resumo sobre equações do 1o grau, incluindo como identificar incógnitas e encontrar as raízes de equações. Exemplos e atividades são fornecidos para ajudar os alunos a aprender o conteúdo. Um software chamado "Os Labirintos da Matemática" é recomendado para praticar resolvendo equações de forma interativa.
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
Sistemas de equações do 1o grau são ferramentas comuns em matemática e outras áreas. Embora geralmente resolvidos com facilidade, é importante prestar atenção na construção e solução corretas do problema. O documento descreve três métodos para resolver sistemas de equações do 1o grau: método da adição, método da substituição e método da igualdade.
O documento apresenta exemplos de sistemas de equações do 1o e 2o grau. No primeiro exemplo, é resolvido um sistema linear com duas equações e duas incógnitas para encontrar as idades de Marlon e Maria. O segundo exemplo resolve um sistema não linear com duas equações do 2o grau para encontrar dois números cuja soma é 18 e produto é 45.
Profº Marcelo Santos Chaves Cálculo I (limites trigonométricos)MarcelloSantosChaves
The document provides solutions to 12 limit problems involving trigonometric functions. Each problem is solved in 3 steps or less. The solutions show that:
1) Many of the limits evaluate to simple numeric values like 1, 0, or constants like a.
2) Trigonometric limits are often solved by factorizing the expressions and applying standard trigonometric limits like lim(sinx/x) = 1 as x approaches 0.
3) More complex problems are broken down into composite limits and simplified through algebraic manipulation and properties of limits.
O documento apresenta notas de aula sobre funções de várias variáveis ministradas pelo Professor Wilson Canesin. São abordados conceitos como funções de duas variáveis, seus domínios e gráficos, além de limites e continuidade de funções de duas variáveis. Exemplos ilustram cada um desses tópicos.
Este documento apresenta uma introdução aos limites e continuidade de funções. Explica conceitos como limites laterais, limites numéricos e a definição formal de limite. Também discute a noção intuitiva de limite e quando uma função é contínua.
1) O documento explica o conceito de módulo ou valor absoluto de um número real.
2) Inclui exemplos de equações e inequações modulares e como resolvê-las.
3) Discute a relação entre módulo e raiz quadrada, e como determinar o domínio de funções usando inequações modulares.
O documento apresenta um resumo sobre equações do 1o grau, incluindo como identificar incógnitas e encontrar as raízes de equações. Exemplos e atividades são fornecidos para ajudar os alunos a aprender o conteúdo. Um software chamado "Os Labirintos da Matemática" é recomendado para praticar resolvendo equações de forma interativa.
O documento descreve funções logarítmicas cuja forma é f(x) = logax, com a > 0 e a ≠ 1. Explica que o domínio é R+ e o contradomínio é R. Apresenta exemplos e características do gráfico, mostrando que a função logarítmica é inversa da exponencial. Por fim, explica aplicações em economia, sismologia e astronomia.
1. O documento discute resolução de congruências lineares, o teorema chinês dos restos e classes residuais.
2. É apresentado um método para resolver congruências do tipo aX ≡ b mod m, assim como o conceito de sistema completo de soluções.
3. O teorema chinês dos restos fornece uma única solução para sistemas de congruências quando os módulos são relativamente primos.
(1) O documento discute inequações, que são sentenças matemáticas abertas por desigualdades. (2) As inequações de 1o grau têm métodos de resolução similares às equações, mas seu conjunto de soluções permite valores variáveis da incógnita. (3) Um exemplo mostra como resolver uma inequação de 1o grau para obter o conjunto de soluções onde a incógnita é maior que um valor.
Histórico, Definição, Aplicação no dia a dia, Estudo de caso, Raizes das inequações, construções de gráficos, maior que ou menor que, maior e igual ou menor e igual.
1. O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação e radiciação. Inclui cálculos de potências com inteiros e fracionários, propriedades de potenciação, simplificação de expressões e transformação em radical.
2. Os exercícios abordam temas como cálculo de potências, propriedades para simplificar expressões, uso de propriedades de forma inversa e fatoração do tipo fator comum.
3. A resolução requer aplicar propriedades de potenciação, como leis de exponenciação e igualdade de
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
Teorema de pitágoras apresentação de slideRaquel1966
O documento apresenta o Teorema de Pitágoras e sua aplicação para calcular lados desconhecidos em triângulos retângulos. O teorema relaciona os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo da seguinte forma: a2 + b2 = c2. Exemplos ilustram como usar o teorema para resolver problemas geométricos.
Exercícios resolvidos. funções trigonométricas e as suas inversaszeramento contabil
1) O documento discute funções trigonométricas periódicas e determina seus períodos mínimos positivos.
2) É resolvido o período mínimo de funções como sen(4x - 1), cos(πx - 1) e tg(5x + 4).
3) O período varia de acordo com a função trigonométrica, sendo π/2 para sen(4x - 1), 2 para cos(πx - 1) e π/5 para tg(5x + 4).
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
Este documento explica o Teorema de Rolle e fornece dois exemplos resolvidos de sua aplicação. Resume que o Teorema de Rolle diz que se uma função contínua em um intervalo tem o mesmo valor nos extremos, então existe pelo menos um ponto no intervalo onde sua derivada é nula.
O documento apresenta os números racionais, incluindo frações e números decimais. Explica como representar números como frações com um numerador e denominador, e como converter entre representações fracionárias e decimais. Também cobre operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão com números racionais.
1) O documento discute decomposição de números em produtos de fatores primos, mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum.
2) Dois problemas são resolvidos sobre encontrar a próxima data em que eventos ocorrem simultaneamente baseado em sua periodicidade.
3) Um problema sobre organizar convidados em filas de forma uniforme com no máximo 10 filas.
O documento apresenta os seguintes conceitos fundamentais da Teoria dos Conjuntos:
1) Define o que é um conjunto e apresenta exemplos de representação de conjuntos utilizando chaves;
2) Apresenta os conceitos primitivos da teoria dos conjuntos como elemento, pertinência, inclusão e cardinalidade;
3) Discorre sobre tipos de conjuntos como finitos, infinitos, unitários e vazios.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau.pptCleiton Melo
1) O documento descreve a vida e obra de Isaac Newton, incluindo seu nascimento na Inglaterra no século XVII e suas descobertas fundamentais em matemática, física e astronomia.
2) A resolução de problemas envolvendo equações de 2o grau é explicada através de exemplos que demonstram como formular a equação a partir do enunciado, resolver a equação e interpretar a solução no contexto original do problema.
3) Sete exemplos ilustram o passo-a-passo para a formulação e resolução de equ
Este documento apresenta resoluções de exercícios relacionados a cubos e paralelepípedos retângulos. São calculadas medidas como diagonais, áreas totais e volumes destes sólidos geométricos a partir de expressões algébricas envolvendo as dimensões dadas nos enunciados.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O documento apresenta os conceitos básicos de números complexos, incluindo: (1) sua forma algébrica como expressão Z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária; (2) definição de parte real e imaginária de um número complexo; (3) exemplos de números complexos; (4) operações entre números complexos como soma, subtração, multiplicação e divisão.
O documento descreve diferentes conjuntos numéricos, incluindo: (1) Naturais, representados por N, que incluem números não-negativos; (2) Inteiros, representados por Z, que incluem naturais e seus opostos; e (3) Racionais, representados por Q, que incluem frações de inteiros.
O documento apresenta a resolução de 9 questões de matemática. A primeira questão trata do cálculo da área total lateral de um prisma retangular. A segunda questão envolve a identificação de uma cônica através de uma rotação de eixos. A terceira questão trata da representação de uma equação complexa como uma circunferência.
1. O documento contém 15 problemas de matemática envolvendo conjuntos numéricos, divisibilidade, porcentagem, restos de divisão e geratrizes de dízimas.
2. As respostas incluem determinar valores para que dois conjuntos sejam iguais, obter conjuntos de valores inteiros satisfazendo certas condições, e calcular quantidades relacionadas a porcentagens e restos de divisão.
3. Muitos problemas envolvem aplicar propriedades dos números inteiros como divisibilidade, decompor em fatores primos, e usar propriedades
O documento descreve funções logarítmicas cuja forma é f(x) = logax, com a > 0 e a ≠ 1. Explica que o domínio é R+ e o contradomínio é R. Apresenta exemplos e características do gráfico, mostrando que a função logarítmica é inversa da exponencial. Por fim, explica aplicações em economia, sismologia e astronomia.
1. O documento discute resolução de congruências lineares, o teorema chinês dos restos e classes residuais.
2. É apresentado um método para resolver congruências do tipo aX ≡ b mod m, assim como o conceito de sistema completo de soluções.
3. O teorema chinês dos restos fornece uma única solução para sistemas de congruências quando os módulos são relativamente primos.
(1) O documento discute inequações, que são sentenças matemáticas abertas por desigualdades. (2) As inequações de 1o grau têm métodos de resolução similares às equações, mas seu conjunto de soluções permite valores variáveis da incógnita. (3) Um exemplo mostra como resolver uma inequação de 1o grau para obter o conjunto de soluções onde a incógnita é maior que um valor.
Histórico, Definição, Aplicação no dia a dia, Estudo de caso, Raizes das inequações, construções de gráficos, maior que ou menor que, maior e igual ou menor e igual.
1. O documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação e radiciação. Inclui cálculos de potências com inteiros e fracionários, propriedades de potenciação, simplificação de expressões e transformação em radical.
2. Os exercícios abordam temas como cálculo de potências, propriedades para simplificar expressões, uso de propriedades de forma inversa e fatoração do tipo fator comum.
3. A resolução requer aplicar propriedades de potenciação, como leis de exponenciação e igualdade de
O documento fornece 10 exemplos resolvidos de problemas envolvendo taxas relacionadas em 3 etapas: 1) analisar os dados e objetivo, 2) encontrar a função apropriada, 3) substituir valores e encontrar a solução. Os exemplos variam de situações como pipas voando e tanques enchendo a balões inflando e carros se aproximando.
Teorema de pitágoras apresentação de slideRaquel1966
O documento apresenta o Teorema de Pitágoras e sua aplicação para calcular lados desconhecidos em triângulos retângulos. O teorema relaciona os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo da seguinte forma: a2 + b2 = c2. Exemplos ilustram como usar o teorema para resolver problemas geométricos.
Exercícios resolvidos. funções trigonométricas e as suas inversaszeramento contabil
1) O documento discute funções trigonométricas periódicas e determina seus períodos mínimos positivos.
2) É resolvido o período mínimo de funções como sen(4x - 1), cos(πx - 1) e tg(5x + 4).
3) O período varia de acordo com a função trigonométrica, sendo π/2 para sen(4x - 1), 2 para cos(πx - 1) e π/5 para tg(5x + 4).
O documento apresenta exercícios de função exponencial, incluindo resolução de equações e inequações exponenciais, sistemas de equações exponenciais e problemas envolvendo funções exponenciais.
Este documento explica o Teorema de Rolle e fornece dois exemplos resolvidos de sua aplicação. Resume que o Teorema de Rolle diz que se uma função contínua em um intervalo tem o mesmo valor nos extremos, então existe pelo menos um ponto no intervalo onde sua derivada é nula.
O documento apresenta os números racionais, incluindo frações e números decimais. Explica como representar números como frações com um numerador e denominador, e como converter entre representações fracionárias e decimais. Também cobre operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão com números racionais.
1) O documento discute decomposição de números em produtos de fatores primos, mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum.
2) Dois problemas são resolvidos sobre encontrar a próxima data em que eventos ocorrem simultaneamente baseado em sua periodicidade.
3) Um problema sobre organizar convidados em filas de forma uniforme com no máximo 10 filas.
O documento apresenta os seguintes conceitos fundamentais da Teoria dos Conjuntos:
1) Define o que é um conjunto e apresenta exemplos de representação de conjuntos utilizando chaves;
2) Apresenta os conceitos primitivos da teoria dos conjuntos como elemento, pertinência, inclusão e cardinalidade;
3) Discorre sobre tipos de conjuntos como finitos, infinitos, unitários e vazios.
O documento define funções exponenciais, discute seu domínio, contradomínio e características gráficas. Explica como resolver equações e inequações exponenciais através de redução a mesma base e aplicação de propriedades das potências. Fornece exemplos resolvidos de equações e inequações exponenciais.
Resolução de problemas envolvendo equações do 2º grau.pptCleiton Melo
1) O documento descreve a vida e obra de Isaac Newton, incluindo seu nascimento na Inglaterra no século XVII e suas descobertas fundamentais em matemática, física e astronomia.
2) A resolução de problemas envolvendo equações de 2o grau é explicada através de exemplos que demonstram como formular a equação a partir do enunciado, resolver a equação e interpretar a solução no contexto original do problema.
3) Sete exemplos ilustram o passo-a-passo para a formulação e resolução de equ
Este documento apresenta resoluções de exercícios relacionados a cubos e paralelepípedos retângulos. São calculadas medidas como diagonais, áreas totais e volumes destes sólidos geométricos a partir de expressões algébricas envolvendo as dimensões dadas nos enunciados.
Uma equação exponencial contém uma incógnita no expoente de uma potência. Resolve-se transformando as bases em iguais e usando a propriedade de que a função exponencial é injetora. Exemplos mostram resoluções de equações exponenciais simples e com artifícios de cálculo como mudança de variável. Exercícios são propostos no final.
O documento apresenta os conceitos básicos de números complexos, incluindo: (1) sua forma algébrica como expressão Z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária; (2) definição de parte real e imaginária de um número complexo; (3) exemplos de números complexos; (4) operações entre números complexos como soma, subtração, multiplicação e divisão.
O documento descreve diferentes conjuntos numéricos, incluindo: (1) Naturais, representados por N, que incluem números não-negativos; (2) Inteiros, representados por Z, que incluem naturais e seus opostos; e (3) Racionais, representados por Q, que incluem frações de inteiros.
O documento apresenta a resolução de 9 questões de matemática. A primeira questão trata do cálculo da área total lateral de um prisma retangular. A segunda questão envolve a identificação de uma cônica através de uma rotação de eixos. A terceira questão trata da representação de uma equação complexa como uma circunferência.
1. O documento contém 15 problemas de matemática envolvendo conjuntos numéricos, divisibilidade, porcentagem, restos de divisão e geratrizes de dízimas.
2. As respostas incluem determinar valores para que dois conjuntos sejam iguais, obter conjuntos de valores inteiros satisfazendo certas condições, e calcular quantidades relacionadas a porcentagens e restos de divisão.
3. Muitos problemas envolvem aplicar propriedades dos números inteiros como divisibilidade, decompor em fatores primos, e usar propriedades
Prova do Colégio Militar do Rio de Janeiro, COMENTADAthieresaulas
Prova de Matemática do Colégio Militar do Rio de Janeiro 2011, comentada.
Para DOWNLOAD acesse em
http://www.calculobasico.com.br/colegio-militar-do-rio-de-janeiro-prova-comentada/
- O documento apresenta uma apostila com 1000 questões resolvidas de matemática para concursos públicos, abrangendo diversos tópicos como álgebra, geometria, porcentagem e financiamento.
- A apostila é oferecida pelo site www.odiferencialconcursos.com.br e contém questões comentadas para ajudar os candidatos a fixar conceitos e reconhecer armadilhas em provas.
- Além das questões, a apostila traz uma breve introdução sobre a importância da prática de exercícios para concursos
- O documento apresenta uma apostila com 1000 questões resolvidas de matemática para concursos públicos, abrangendo diversos tópicos como álgebra, geometria, porcentagem e financiamento.
- A apostila é oferecida pelo site www.odiferencialconcursos.com.br e contém questões comentadas para ajudar os candidatos a fixar conceitos e reconhecer armadilhas em provas.
- Além das questões, a apostila traz uma breve introdução sobre a importância da prática de exercícios para concursos
Este documento contém o gabarito da primeira fase da Olimpíada Interestadual de Matemática de 2012, com as soluções de 20 questões e observações sobre a correção.
Este documento lista uma série de "Questões Resolvidas" sobre diversos assuntos como matemática, física e lógica. As questões 1-20 abordam vários tópicos diferentes e as questões 21-26 discutem tópicos específicos como binômio de Newton, razões e problemas lógicos. O documento também fornece resumos detalhados das soluções para cada questão.
Este documento contém 10 questões de um teste intermédio de matemática para o 9o ano de escolaridade. As questões abordam tópicos como probabilidade, sistemas de equações, geometria e finanças pessoais.
(1) O documento apresenta os cálculos para analisar colisões entre objetos em movimento, resolvendo equações de conservação da quantidade de movimento e energia.
(2) É analisada uma onda senoidal, calculando seu comprimento de onda, valores em pontos específicos e distância percorrida após um tempo.
(3) São calculadas a força entre duas cargas pontuais e a carga de um sistema em equilíbrio, por meio da lei de Coulomb e momento resultante.
(1) O documento apresenta cálculos envolvendo colisões entre objetos e ondas mecânicas.
(2) Há duas situações analisadas (itens a e b) que levam à mesma velocidade final do sistema de 1,5 m/s.
(3) O comprimento de onda calculado é 1,57 m.
(1) O documento apresenta os cálculos para analisar colisões entre objetos em movimento, resolvendo equações de conservação da quantidade de movimento e energia.
(2) É analisada uma onda senoidal, calculando seu comprimento de onda, valores em pontos específicos e distância percorrida após um tempo.
(3) São calculadas a força e carga elétrica em equilíbrio estático de um sistema de duas cargas pontuais.
(1) O documento apresenta os cálculos para analisar colisões entre objetos em movimento, aplicando as leis da conservação da quantidade de movimento e da energia.
(2) É resolvido um problema sobre ondas, determinando o comprimento de onda, valores da função em diferentes pontos e distância percorrida pela onda em um intervalo de tempo.
(3) É analisado um sistema em equilíbrio sob a ação de forças de Coulomb, calculando a carga elétrica envolvida.
O documento fornece resumos de 15 questões de matemática abordadas em uma aula. As questões envolvem cálculos, proporções e raciocínio lógico sobre tópicos como expressões algébricas, geometria, porcentagem e aritmética.
1) O documento apresenta um conjunto de 10 exercícios de matemática resolvidos, incluindo equações algébricas, sistemas de equações e raízes.
2) É fornecida a equipe docente de matemática composta por 3 professores de álgebra, aritmética e geometria, além dos contatos por email e blog.
3) A frase "NON MULTA SED MULTUM" é apresentada, que significa "não a quantidade, mas a qualidade" em latim.
Exercícios recuperação 2º bi matemática 7º ano.pdf Marcos Denilson
O documento apresenta 20 exercícios de matemática sobre números racionais e equações. Os exercícios envolvem operações com frações, representação de situações reais com expressões numéricas, resolução de equações e ordenamento de números racionais.
Proposta de resolução do exame de Matemática do 9.º ano 2011David Azevedo
1) O documento apresenta uma proposta de resolução de um exame nacional de matemática do ensino básico com 14 questões. 2) A primeira questão calcula a probabilidade de bolas terem números pares maiores que 3. A segunda calcula a probabilidade de alunos serem do sexo masculino ou feminino. A terceira calcula a média de alturas de cinco irmãos.
1) O documento discute equações diofantinas lineares, que são equações polinomiais com coeficientes inteiros cujas soluções buscadas são também inteiras.
2) Dois exemplos ilustram problemas modelados por equações diofantinas lineares em duas incógnitas, relacionados a vale-transporte e selos de correio.
3) Métodos para resolver essas equações são apresentados, incluindo o uso do máximo divisor comum e soluções paramétricas.
1) O documento apresenta uma série de exercícios matemáticos sobre simplificação de expressões, perímetros, proporções, velocidades e quantidades de ingredientes. 2) Os alunos devem simplificar expressões algébricas, calcular perímetros de figuras geométricas, determinar razões entre quantidades e resolver problemas envolvendo proporções e velocidades. 3) Os exercícios abordam tópicos como expressões algébricas, geometria, proporções e unidades de medida.
Este documento apresenta resoluções comentadas de 10 questões de uma prova de matemática aplicada do Colégio Naval. As resoluções utilizam conceitos como teorema de Pitágoras, geometria plana, equações do segundo grau e razão e proporção.
Semelhante a Aplicações da Congruência Linear (20)
1. APLICAÇÕES DA TEORIA DAS CONGRUÊNCIAS LINEARES
O texto abaixo foi escrito em 28 de outubro de 2003.
Trata-se de probleminhas que são simples na sua aparên-
cia, porém para uma melhor compreensão há a necessi-
dade de se usar resultados da Teoria dos Números. Uti-
lizaremos a teoria das congruências lineares para solu-
cionar tais probleminhas.
Problema 1- UM PROBLEMA DE QUEBRAR OS OVOS.
A senhora Clara vende ovos em sua barraquinha na feira do Bagaço.
Certo dia, um bebum chamado Zé di Munes, ao passar por lá, quebrou todos
os ovos que estavam na barraca da senhora Clara. Inconformada com o pre-
juízo, chamou a polícia a qual conduziu vítima e acusado até uma delegacia.
Zé di Munes concordou em pagar o prejuízo, porém, ao ser interrogada pelo
delegado sobre a quantidade de ovos quebrados, Julieta disse apenas que se
somados de dois em dois, de três em três, de quatro em quatro, de cinco em
cinco e de seis em seis, sempre sobrava um ovo. Mas somados de sete em
sete não sobrava ovo. E agora? Se fosse você? Como resolveria o problema?
Solução: Se x é a quantidade de ovos existentes na barraca da senhora
Clara, então devemos ter
x = 2k1 + 1
x = 3k2 + 1
x = 4k3 + 1
x = 5k4 + 1
x = 6k5 + 1
x = 7k
ou de modo equivalente
x−1 = 2k1
x−1 = 3k2
x−1 = 4k3
x−1 = 5k4
x−1 = 6k5
1
2. x = 7k.
As cinco primeiras equações nos dão o seguinte sistema de congruências
x ≡ 1(mod 2)
x ≡ 1(mod 3)
x ≡ 1(mod 4)
x ≡ 1(mod 5)
x ≡ 1(mod 6).
Para resolver este problema, vamos lembrar de um resultado da teoria
das congruências.
Teorema A- Se x ≡ a(mod m1 ) e x ≡ a(mod m2 ), então x ≡ a(mod m),
onde m = mmc(m1 , m2 ).
Pelo Teorema A, devemos ter x ≡ 1(mod mmc(2, 3, 4, 5, 6)), ou seja,
x ≡ 1(mod 60). Então x = 60q + 1, para um q ∈ Z − {0} (ou vários) que deve
satisfazer o problema inicial. Pelo que vimos até agora, x deve ser tal que
x = 60q + 1 = 7k.
Mas
60q + 1 = 7k ⇒ 60q ≡ −1(mod 7).
Como −1 ≡ 6(mod 7), obtemos por transitividade 60q ≡ 6(mod 7) ou
6 · 10 ≡ 6 · 1(mod 7).
Precisaremos de mais um resultado da teoria dos números.
Teorema B-Sejam a, b, c, m ∈ N, com c = 0 e m > 1. Temos que
m
ac ≡ bc(mod m) ⇔ a ≡ b(mod ).
mdc(c, m)
Pelo Teorema B
6 · 10q ≡ 6 · 1(mod 7) ⇒ 10q ≡ 1(mod 7). (1)
2
3. Agora note que 1 ≡ −20(mod 7) e de (1) já sabemos que 10q ≡ 1(mod 7).
Então pela transitividade da congruência resulta que
10q ≡ −20(mod 7). (2)
Usando o Teorema B em (2) resulta que q ≡ −2(mod 7). Isso nos dá
q = 7k − 2 com k ∈ N − {0}. Substituindo-se esse resultado em x = 60q + 1,
obtemos
x = 420k − 119 onde k ∈ N − {0}. (3)
De acordo com (3), a menor quantidade de ovos que poderia ter na barraca
de dona Clara ocorre quando k=1,ou seja, x=301.
Venhamos e convenhamos, mesmo com essa menor quantidade, o fato de
se quebrarem todos é um azar danado hein? Bem, o final de estória nem me
perguntem que eu também não sei.
Problema 2- O PROBLEMA DO PINÓQUIO.
Sabe-se que Pinóquio ao passar por um bosque respondeu exatamente vinte
perguntas. Para cada mentira seu nariz crescia 5cm e para cada verdade,
diminuia 3cm. Em dois momentos se nariz havia crescido 22cm. Quais
foram esses momentos?
Solução- O problema consiste em obter inteiros x e y, satisfazendo a
condição
5x − 2y = 22 (4)
Fazendo-se algumas inspeções poder-se-i-a chegar à resposta. Porém re-
solveremos a equação diofantina acima utilizando congruência linear. Deter-
minaremos inicialmente x satisfazendo
5x ≡ 22(mod 3) (5)
e depois voltamos à equação (4) para determinarmos y.
Como 22 ≡ 1(mod 3), segue de (5) e da transitividade da congruência
que
5x ≡ 1(mod 3) (6)
Como 1 ≡ 10(mod 3), segue de (6) e da transitividade da congruência que
5x ≡ 10(mod 3). Pelo Teorema B resulta que x ≡ 2(mod 3), ou de modo
equivalente, x = 3k + 2, onde k ∈ N − {0}. Substituindo-se esse resultado na
equação (4) obtemos y = 5k − 4.
3
4. Assim, a solução do problema é
x = 3k + 2 e y = 5k − 4 com o mesmo k ∈ N − {0}.
Com k = 1 obtemos x = 5 e y = 1, ou seja, cinco mentiras e uma verdade
e portanto na sexta pergunta.
Com k = 2 obtemos x = 8 e y = 6, ou seja, oito mentiras e seis verdade
e portanto na décima quarta pergunta.
Problema 3- O PROBLEMA DOS TRÊS MARINHEIROS (OU
DAS MOEDAS).
Um navio que voltava de Serendibe trazendo grande partida de especiarias,
foi assaltado por violenta tempestade. A embarcação teria sido destruida pela
fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três marinheiros que,
no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema perícia. O coman-
dante, querendo recompensar os denodados marujos, deu-lhes certo número
de catis(moedas). Esse número, superior a duzentos, não chegava a trezen-
tos. As moedas foram colocadas numa caixa para que no dia seguinte, por
ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajosos
marinheiros. Aconteceu, porém que, durante a noite, um dos marinheiros
acordou, lembrou-se das moedas e pensou: será melhor que eu tire a minha
parte, assim não terei ocasião de discutir ou brigar com meus amigos. E, sem
nada a dizer aos companheiros, foi, pe ante pé, até onde se achava guardado
o dinheiro, dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era
exata e que sobrava um catil. "Por causa desta mísera moedinha é capaz de
haver amanhã discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora". E o marinheiro
atirou a moeda ao mar, retirando-se cauteloso. Levava a sua parte e deixava
no mesmo lugar a parte que cabia aos companheiros. Horas depois o segundo
marinheiro teve a mesma idéia. Foi à arca em que se depositara o prêmio
coletivo e dividiu-o em três partes iguais. Sobrava uma moeda. Ao marujo,
para evitar futuras dúvidas veio a lembrança de atirá-la no mar. E dali voltou
levando consigo a parte a que se julgava com direito. O terceiro marinheiro,
ignorando, por completo, a antecipação dos colegas, teve o mesmo alvitre.
Levantou-se de madrugada e foi, pé ante pé, à caixa dos catis. Dividiu as
moedas que lá encontrou em três partes iguais; a divisão não foi exata. So-
brou um catil. Não querendo complicar o caso, o marujo atirou ao mar a
moedinha excedente, retirou a terça parte para si e voltou tranquilo para o
seu leito. No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do navio
encontrou um punhado de catis na caixa. Soube que essas moedas pertencia
aos três marinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada um dos
marujos uma dessas partes, ainda dessa vez a divisão não foi exata. Sobrava
4
5. uma moeda, que o almoxarife guardou como pagamento do seu trabalho e de
sua habilidade.É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um
deles estava convencido de que já havia retirado da caixa a parte que lhe cabia
do dinheiro. Pergunta-se afinal: Quantas eram as moedas? Quanto recebeu
cada um dos marujos?
Solução- Seja A a quantidade de moedas existentes inicialmente. As situ-
ações vividas pelos três marinheiros podem ser descritas da seguite maneira:
À noite:
O primeiro marinheiro divide as A moedas em três partes iguais, sobra
uma moeda que é jogada fora e retira para si B moedas restando 2B moedas
na caixa.
(A − 1)/3 = B (7)
O segundo marinheiro divide as 2B moedas em três partes iguais, sobra
uma moeda que é jogada fora e retira para si C moedas restando 2C moedas
na caixa.
(2B − 1)/3 = C (8)
O terceiro marinheiro divide as 2C moedas em três partes iguais, sobra
uma moeda que é jogada fora e retira para si D moedas restando 2D moedas
na caixa
(2C − 1)/3 = D (9)
Pela manhã:
O almoxarife divide as 2D moedas em três partes iguais a E moedas que
cabem a cada um dos marinheiros, sobra uma moeda a qual fica para ele
pelos seus serviços.
(2D − 1)/3 = E (10)
Da equação (10) obtemos D = (3E + 1)/2,
que substituindo-se na equação (9) nos dá C = (9E + 5)/4,
que substituindo-se na equação (8) obtém-se B = (27E + 19)/8,
que substituindo-se na equação (7) resulta 8A − 65 = 81E.
A última equação nos diz que devemos determinar A tal que
8A ≡ 65(mod 81) (11)
Note agora que 65 ≡ −16(mod 81). Deste fato, da equação (11) e usando
a transitividade da congruência obtemos 8A ≡ −16(mod 81). O Teorema
B nos dá A ≡ −2(mod 81). Então, devemos ter
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6. A = 81k − 2 onde k ∈ N − {0}. (12)
Por exemplo, tomando k = 3 na equação (12) temos A = 241, que satisfaz
as condições do problema.
Problema 4- O PROBLEMA DO HOTEL.
Um grupo de pessoas gastou 1000 dólares em um hotel. Sabedo-se que
apenas alguns dos homens estavam acompanhados pelas esposas e que cada
homem gastou 19 dólares e que cada mulher gastou 13 dólares, pode-se de-
terminar quantas mulheres e quantos homens estavam no hotel?
Solução- Sendo x a quantidade de homens e y a quantidade de mulheres
devemos ter
19x − 13y = 1000 (13)
ou de modo equivalente
−19x ≡ −1000(mod 13) (14)
Como −1000 ≡ −25(mod 13) e −25 ≡ −38(mod 13), obtemos pela tran-
sitividade da congruência −19x ≡ −38(mod 13). O Teorema B nos dá
−x ≡ −2(mod 13), donde resulta que
x = −13k + 2 (15)
Das equações (13) e (15) obtemos
y = 19k + 74 (16)
Considerando que existem mais homens do que mulheres, devemos ter
x > y, ou seja,
−13k + 2 > 19k + 74
o que nos dá k < −2, 25, ou seja, k ≤ −3. Para k = −3 obtemos x = 41
e y = 17, os únicos valores que satisfazem o problema.
O problema do hotel foi retirado do site de Paulo Marques de Feira de
Santana na Bahia, em 19 de dezembro de 2002. Lá o problema foi resolvido
utilizando-se a técnica das equações diofantinas e obteve-se como solução
geral
x = −50 − 13k e y = 150 + 19k com k ≤ −7.
O leitor pode tirar suas conclusões a respeito das duas soluções.
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7. Espero que tenham gostado destes probleminhas.
Contato: fenix.elzy@gmail.com
Prof. Elzimar de Oliveira Rufino.
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