1) O documento discute a conservação do momento angular e da quantidade de movimento em sistemas de barras giratórias. É fornecida a solução para determinar esses valores antes e depois de um projétil atingir uma barra giratória. 2) A relação vetorial entre momento angular e velocidade angular é verificada e a energia cinética de um corpo é expressa em função da velocidade angular. 3) Para um sistema com uma esfera e um cilindro ligados por um fio, as acelerações lineares e angulares

1. 4a Tarefa
1- Uma barra de comprimento L e massa M pode girar livremente em torno
de um pino colocado em A. Um projétil de massa m e velocidade v atinge a
barra a uma distância a de A alojando-se nela.
(a)Determine o momento angular do sistema imediatamente antes e depois
que o projétil atinge a barra.
(b)Determine a quantidade de movimento do sistema imediatamente antes e
depois da colisão. Explique sua resposta cuidadosamente.
(c)Sob que condições será conservada a quantidade de movimento?
(d)Qual é o Q da colisão?
Solução:
(a)Existe conservação do momento angular, pois não há torque externo.
Lantes = mva = Ldepois
(b)Qantes = mv
L
M M wL
Qdepois = mwa + L
drwr = mwa + 2
0
L
M
mva = ma2 w + L
drwr2
0
2 M L2
mva = (ma + 3
)w
w = mva l2
2 M
ma + 3
ML mva
Qdepois = (ma + 2
) 2 M L2
ma + 3
2 M La 2 M L2
(c)ma + 2
= ma + 3
a
2
=L3
a = 2L
3
mv 2
(d)Ei = 2
M
v2 mω 2 a2
Ef = 2
dm + 2
0
L
(ωr)2 M mω 2 a2
Ef = 2 L
dr + 2
0
−M L 2
Ef − Ei = 1 mv 2 3ma2 +M L2 = Q
2
2)Verifique a relação vetorial (A×B)·(C×D)=(A·C)(B·D)×(A·D)(B·C). Aplique-
a para provar que, para o corpo do Prob. 10.44, v 2 = (ω×r)2 = ω 2 r2 (ωr)2 .Escreva
em seguida, sua energia cinética na forma:
Ek = 1 m[wx (y 2 + z 2 ) + wy (z 2 + x2 ) + wz (x2 + y 2 ) − 2wx wy xy − 2wy wz yz −
2
2 2 2
1

2. 2wz wx xz]
Solução:
Expandindo a equação do lado esquerdo:
[Ay Bz ux + Ax By uz + Az Bx uy − Ay Bx uz − Az By ux − Ax Bz uy ]
Chegamos assim:
Ay Bz Cy Dz −Ay Bz Cy Dz −Az By Cy Dz +Az By Cz Dy +Az Bx Cz Dx −Az Bx Cx Dz −
Ax Bz Cz Dx +Ax By Cx Dz +Ax By Cx Dy −Ax By Cy Dx −Ay Bx Cx Dy +Ay Bx Cy Dx
Vemos, assim, que os dois lados da equação são idênticos.
Agora, para a energia cinética:
1
Ek = 2 mv 2
(*)(v·v)=w2 r2 − (wr)2
Ek = 2 m(w2 r2 −(wr)2 ) = 1 m[(wx +wy +wz )2 (x+y+z)2 −(wx wy wz )(x+y+z)2 ]
1
2
Desenvolvendo, obtemos:
1
Ek = 2 m[wx (y 2 + z 2 ) + wy (x2 + z 2 ) + wz (x2 + z 2 ) − 2wx wy xy − 2wx wz xz −
2 2 2
2wy wz yz]
Comprovamos assim as fórmulas do enunciado.
3)No sistema representado na figura abaixo, M=10kg, m=0,2kg, r=0,2m.
Calcule a aceleração linear de m, a aceleração angular do cilindro M e a ten-
são no fio. Despreze o efeito da polia pequena.
Solução:
Utilizando-se os sistemas:
T + FAT = M acm
2

3. (T − FAT )r = Iα
acm = αr
I
g − m = αr + acm = 2acm (*)
Chegamos somando a primeira e a segunda equação: 2T = M acm
Substituindo a acm em (*):
g 8M +3m−3M = 2acm
8M +3m
acm = g(5M +3m)
2(8M
+3m)
Iα
2T = M acm + R2
I
2T = acm (M + R2 ) = cm3
T 8T
g − M = 3m
8 1
( 3m + M )T = g
3mM
T = 8M +3m g
Substituindo pelos valores fornecidos:
T = 0,626 N
α= 15,95 rad s
m
alinear = acm + αr=6,38 s2
3