PROFMAT - MA14

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MATEMÁTICA DISCRETA

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PROFMAT - MA14

  1. 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA – PROFMAT MATEMÁTICA DISCRETA CUIABÁ – 04/20121) Prove que a função N  N  N definida por f(m,n) = 2 .3  1 é injetiva. m nSolução:Devemos mostrar que dados (m1 , n1 ) e (m2 , n2 ) , tais que: f (m1 , n1 )  f (m2 , n2 ) , então(m1 , n1 )  (m2 , n2 )De fato!Sejam (m1 , n1 ) e (m2 , n2 ) pertencente a N x N, tais que f (m1 , n1 )  f (m2 , n2 ) . Entãotemos que:2m1 .3n1  1  2m2 .3n2  1 , que nos leva a 2m1 .3n1  2m2 .3n2 .Como temos potências com expoentes naturais, então podemos aplicar a divisão deum mesmo termo em ambos os lados. Logo: 2m1 m2  3n2 n1Esta igualdade vem das propriedades da potenciação. Como 2 e 3 são primos entresi, temos que esta igualdade só será satisfeita quando o expoente for igual a zero,isto é: m1  m2  0  n2  n1 , mas isto só acontece se (m1 , n1 )  (m2 , n2 ) . c.q.d2) Quando dividimos a soma 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 50! Por 15, qual é o resto?Solução:O resto é 3.
  2. 2. Com efeito!Observe que a partir de 5! temos a seguinte situação: 5! = 5x4x3x2x1 = 15q, paraalgum q natural.Logo podemos de maneira análoga arrumar 6!, ..., 50! Como múltiplos de 15. Logotemos que:1! + 2! + 3! + 4! + ... + 50! = 1 + 2 + 6 + 24 + 15j, para algum j natural.1! + 2! + 3! + 4! + ... + 50! = 3 + 30 + 15j = 3 + 15w, para algum w natural.Portanto a divisão desta soma por 15 é igual a 3.3) Os números 210, 301 e 352 escrito na base b, estão em PA. Determine b.De maneira geral, um número natural N pode ser representado em uma base batravés do polinômio: N  a0b0  a1b1  ...  anbn , com n natural e 0  ai  b  1 .Sabendo disso temos que a representação destes números na base b é dada por:210  2b2  b , 301  3b2  1 e 352  3b2  5b  2 . Como estes números estão em PAtemos que: 301 – 210 = 352 – 301, logo: 3b  1  (2b  b)  3b  5b  2  (3b  1) . 2 2 2 2Resultando em: b²- b + 1 = 5b + 1, implicando em: b² - 6b = 0 = b(b - 6). Destaforma b = 0 ou b = 6, logo temos que b = 6.Transformando os números para a base decimal temos que: 210 = 78 na base dez;301 = 109 na base 10 e 352 = 140 na base 10. Logo de fato a base é 6, pois 109 – 78= 140 – 109 = 31. Logo r = 31 e a PA = {...,78,109,140,...}.4) Uma quantidade de 500 reais foi investida em uma conta remunerada a uma taxa de juros compostos anual de 10%: Dados: i = 0,1 ao ano, Capital = R$ 500,00.
  3. 3. Pelo Teorema 2 da página 3 da unidade 9 temos que o montante daqui a n anos é dado por: Cn  500(1.1) . n a) Escreva a definição recursiva da quantia P(n) na conta no início do (n)- ésimo ano. Chamando de Cn  P(n) , temos que a definição recursiva da quantia na conta no início do (n)-ésimo ano é: P(n)  500(1.1) . n b) Depois de quantos anos a quantia investida excederá 700 reais. Fazendo a iteração na definição da letra a, geramos a seguinte seqüência: P(n)  {550,605,665.5,732.05,805.255,...} , logo observamos que depois de quatro anos a quantia chegará a R$ 732,05 excedendo o valor de R$ 700,00.5) Escreva a função recursiva de cada uma das seqüências: a) a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, ......... Observe que: x1  a x2  b x3  a  b  x2  x1 x4  a  2b  x3  x2 x5  2a  3b  x4  x3 Logo concluímos que a função recursiva é: xn2  xn1  xn , com x1  a e x2  b . b) p, q, p – q, p + q, p – 2q, p + 2q, p – 3q, ........... Observe que a partir do terceiro termo temos expressões parecidas, alterando apenas o sinal. Desta forma podemos dividir em duas subseqüências: para n par e para n ímpar. Do terceiro termo em diante observamos a seguinte relação entre os termos e o q da expressão: (Termo * coeficiente de q): 3 * 1, 5 * 2, 7 * 3,..., n * ((n – 1): 2) e 4 * 1, 6 * 2, 8 * 3, ...., n * (n – 2): 2). Logo temos a seguinte situação:
  4. 4. x1  p x2  q  3 1   4 2  x3  p  q  p   q x4  p  q  p   q  2   2   5 1   6 2  x5  p  2q  p   q x6  p  2q  p   q  2   2   5 1   8 2  x7  p  3q  p   q x8  p  3q  p   q  2   2   n 1   n 2  xn  ímpar  p   q xn  par  p   q  2   2  Logo concluímos que a função recursiva é dada por:   n 1  n  ímpar : xn  p   2  q    xn   n  par : x  p   n  2  q    , com x1  p e x2  q . n   2 6) Calcular: n k k 1 4a)Solução:A idéia para solucionar este exercício é dada na Unidade 5 – página 9 – Somaspolinomiais.Devemos partir de: (k  1)5  k 5  5k 4  10k3  10k2  5k  1Aplicando o somatório em ambos os lados e juntamente as propriedades, temos que: n n n n n n [(k  1)5  k 5 ]  5 k 4  10 k3  10 k2  5 k  1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1Da teoria e dos exercícios temos que: n n(n  1)(2n  1) n n(n  1) n nkk 1 2  6 k  k 1 2 , 1  n k 1 k k 1 3 , . Não temos a expressão , todaviausando a mesma idéia inicial, isto é: (k  1)  k , chegamos à seguinte expressão: 4 4 2 n n4  2n3  n2  n(n  1)  k  k 1 3 4   2  Logo temos que: n n n n n n [(k  1) k 1 5  k 5 ]  5 k 4  10 k 3  10 k 2  5 k  1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1
  5. 5.   n(n  1) 2  n  n(n  1)(2n  1)   n(n  1)  (n  1)  1  5 k  10    10    5 n  2   5 4    6   2  k 1 Desenvolvendo e simplificando esta igualdade chegamos em: n n 4 k k 1 4  30 (6n  15n3  10n2  1) n 1 k k 2 2 1b)Solução: n 1 n  1  k k 2 2    1 k 2  (k  1).(k  1)  . Vamos tentar encontrar A e B tais que: Observe que: n  1  n  A B    (k  1).(k  1)     k  1  k  1   k 2   k 2 Resolvendo um sistema de equações encontramos A = -1/2 e B = 1/2. Logo temos que: n 1 n  1  n  A B  n  1/2 1/2  n  1 1 kk 2   2     k  1  k  1      k  1  k  1     2(k  1)  2(k  1)   1 k 2  (k  1).(k  1)  k 2   k 2   k 2  Desenvolvendo este somatório temos que: n  1 1  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   2(k  1)  2(k  1)    6  2  8  4  10  6  ...  2(n  1)  2(n  3)  2n  2(n  2)  2(n  1)  2(n  1) k 2 Desta forma observamos que sobrarão os dois primeiros termos positivos e os dois últimostermos negativos, isto é: n 1 1 1 1 1 3  2(n  1)  2n  3n2  n  2  k2  1 2 4 2n 2(n  1) 4  4n(n  1)   4n(n  1) k 2       

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