Mecanica6

FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS -
TRABALHO E ENERGIA

Prof. Carlos Alberto G. de Almeida
Tutores: Luis Paulo Silveira Machado e
Wagner Máximo de Oliveira

UFPB VIRTUAL

2 de setembro de 2012

Prof. Carlos Alberto G. de AlmeidaTutores: Luis Paulo Silveira Machado e Wagner Máximo de Oliveira ENERGIA de 2012
FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO E de setembro
2 (UFPB VIRTUAL) 1 / 21

INTRODUÇÃO

Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:
Trabalho de uma força constante;
Trabalho da força peso;
Energia Cinética;
Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre os assuntos
descritos acima, porém, é interessante que você estude antes a teoria
no Livro de FÍSICA., na segunda unidade.

BOM ESTUDO!


TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE
Existem outros modos de analisar os movimentos, sem depender da
aplicação direta das leis de Newton. Um desses modos é baseadonos
conceitos de Trabalho e Energia, que apresentaremos agora.
Cnsideremos um corpo que se move em trajetória retilínea, efetuando
→
− →
−
um deslocamento d . Seja F uma das forças que atuam no corpo e
suponhamos que essa força seja constante (em módulo, direção e
→
−
sentido) e forme um ângulo θ com o deslocamento d . O trabalho da
→
−
força F (τF ) é deﬁnido por:
τF = F · d · cos θ (1)


TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE

No (SI) a unidade de trabalho é o joule, cujo símbolo é J.
Como o cos θ não tem unidade, da equação (1), temos:

unidade de τ = (unidade de F ) · (unidade de d)

J =N ·m

θ = 0 =⇒ cos θ = 1 =⇒ τF = F · d
θ = 90o =⇒ cos θ = 0 =⇒ τF = 0
θ = 180o =⇒ cos θ = −1 =⇒ τF =
−F · d
Quando θ é agudo, isto é, 0 < θ < 90o , teremos cos θ > 0, e o
trabalho será positivo. Quando θ é obtuso, isto é, 90o < θ < 180o ,
teremos cos θ < 0, e o trabalho é negativo.


TRABALHO TOTAL
Frequentemente encontramos situações em que um corpo está sob a
ação de várias forças. O trabalho total realizado durante um
deslocamento é simplemente a soma dos trabalhos realizados por
cada força:
τtotal = τF1 + τF2 τF3 + τF4 + . . .
−
→
Sendo FR a resultante das forças que atuam no corpo, é possível
−
→
demonstrar que o trabalho total é igual ao trabalho de FR :
τFR = τtotal = τF1 + τF2 τF3 + τF4 + . . .


EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um bloco apoiado em uma superfície
horizontal é puxado para a direita, pela aplicação de uma força
→
−
F de intensdade F = 100 N. Além dessa força, o bloco está sob
→
− −
→
a ação de outras três forças: o peso P , a normal FN e a força de
−
→
atrito FA . Suponhamos que P = 90 N, FA = 20 N, senθ = 0, 60 e
→
−
cos θ = 0, 80. Para um deslocamento d tal que d = 5, 0 m,
vamos calcular o trabalho de cada força e o trabalho total.


CONTINUAÇÃO

Resolução:
→
−
Trabalho da força F :

τF = F · d · cos θ = (100) · (5, 0) · (0, 80) =⇒ τF = 400 J
−
→
Trabalho da força de atrito FA :

τFA = FA · d · cos 180o = (20) · (5, 0) · (−1) =⇒ τFA = −100 J


CONTINUAÇÃO
−→ → −
Como as forças FN e P são perpendiculares ao deslocamento, seus
trabalhos são nulos:
τP = τFN = FN ·d · cos(π/2) = 0
ou P =0

Portanto, o trabalho total é:

τtotal = τF + τFA + τP + τFN = (400 J) + (−100 J) + 0 + 0 = 300 J

τtotal = 300 J


TRABALHO DA FORÇA PESO
Consideremos uma região próxima da superfície da Terra, de modo
que a aceleração da gravidade possa ser considerada constante.
Suponhamos que uma partícula vá de um ponto A a um ponto B.



Usando-se o Cálculo Integral é possível mostrar que o trabalho
→
−
realizado pelo peso ( P ) da partícula é dado por:

τAB = P · h

onde h é o desnível entre os pon-
tos A e B, independentemente da
trajetória seguida. Na ﬁgura ao
lado exempliﬁcamos dois caminhos
ligando A a B. O trabalho do peso é
o mesmo em qualquer desses ca-
minhos.

FÍSICA PARA CIÊNCIAS BIOLÓGICAS - TRABALHO2 de setembro
E (UFPB VIRTUAL) 10 / 21


Indo de A para B, a partícula
moveu-se a favor do peso e, assim,
o trabalho é positivo. Se a par-
tícula fosse de B para A, subindo,
portanto, estaria se movendo con-
tra o peso e nesse caso o trabalho
do peso seria negativo:

τBA = −P · h
Quando o trabalho de uma força depende apenas do ponto inicial e do
ponto ﬁnal e não da trajetória seguida, a força é chamada
conservativa. Assim, o peso é uma força conservativa.


ENERGIA CINÉTICA

Consideremos uma partícula de
massa m, que passa por um ponto
A com velocidade −A e por um
→
ν
ponto B com velocidade −B , ao
ν→
longo de uma trajetória qualquer,
sob a ação de um número qualquer
de forças, constantes ou variáveis.
Usando o Cálculo Integral é possível demosntrar que o trabalho total
realizado por essas forças, entre os pontos A e B (τAB ), é dado por:

m · ν2 m · ν2
B A
τAB = − (2)
2 2
Final Inicial


ENERGIA CINÉTICA
A energia cinética (EC ) de um corpo de massa m e velocidade ν é
deﬁnida do seguinte modo:
m · ν2
EC = (3)
2
mν2
Desse modo, na equação (2), 2
B
é a energia cinética no ponto B
mν2
(ECB ) e é a energia cinética no ponto A (ECA ). Podemos, então,
2
A

dar outra forma à equação (2):
τAB = ECB − ECA = ∆EC (4)
onde ∆EC é a variação da energia cinética. As equações (2) e (4) são
os modos matemáticos de enunciar o Teorema da Energia Cinética
(TEC):
O trabalho total das forças atuantes numa
partícula é igual à variação da energia ci-
nética dessa partícula.

EXERCÍCIO RESOLVIDO: Uma partícula de massa m = 4, 0 kg
é abandonada do alto de um tobogã, passando pelo ponto A com
velocidade νA = 3, 0 m/s e pelo ponto B com velocidade
νB = 8, 0 m/s. Durante o movimento, o bloco esteve sob a ação
de apenas três forças: o peso, a normal e a força de atrito.
Sendo g = 10 m/s2 , calculemos o trabalho da força de atrito no
trecho AB.


CONTINUAÇÃO
Resolução:
Durante o movimento, a força nor-
mal não se mantém constante, pois
a trajetória é curva. Assim, mesmo
que conhecêssemos o coeﬁcinte
de atrito µ, não teríamos um va-
lor constante para a força de atrito
e, assim, não poderíamos calcular
o seu trabalho pela fórmula τ =
F · d · cos θ.
Vamos, então, utilizar o Teorema da Energia Cinética. As energias
cinéticas da partícula nos pontos A e B são:
mν2A (4, 0) · (3, 0)2
ECA = = = 18 =⇒ ECA = 18 J
2 2
mν2B (4, 0) · (8, 0)2
ECB = = = 128 =⇒ ECB = 128 J
2 2

CONTINUAÇÃO

−
→
O trabalho de FN é nulo e o trabalho do peso é:
τP = +P · h = +mgh = (4, 0) · (10) · (5, 0) = 200 =⇒ τP = 200 J
De acordo com o Teorema da Energia Cinética:

mν2B mν2A
τtotal = τFA + τP + τFN = −
2 2

τFA + 200 + 0 = 128 − 18 ∴ τtotal = −90 J
τtotal = −90 J

EXERCÍCIO RESOLVIDO: Um bloco de massa m = 6, 0 kg tem
→
−
movimento retilíneo sobre uma superfície horizontal, sendo F a
→
−
resultante de todas as forças que atuam no bloco. A força F tem
diração constante, mas intensidade variável, e, de acordo com o
gráﬁco, o bloco passa pelo ponso s = 0 com velocidade
ν0 = 5 m/s

Vamos calcular a velocidade do bloco ao passar pelo ponto de
espaço s = 8 m e a força média nesse percurso.

CONTINUAÇÃO

Resolução:
→
−
O trabalho de F é dado pela área
da região colorida na ﬁgura. Pode-
mos calcular essa área dividindo a
região em um retângulo e um triân-
gulo.

4 · (30)
τF = (8) · (30) + = 300 J
2
Aplicando o Teorema da Energia Cinética:

mν2 mν20 (6, 0) · v 2 (6, 0) · (5)2 √
τF = − =⇒ 300 = − ∴ ν = 5 5 m/s
2 2 2 2


CONTINUAÇÃO

→
−
Vamos calcular também a intensidade da força média ( F ), que
corresponde a uma força constante que realizaria o mesmo trabalho
nesse percurso. Sendo Fm cosntante e paralela ao deslocamento,
temos:
Fm · d = τF =⇒ Fm · (8, 0) = 300 ∴ Fm = 37, 5 N

Fm = 37, 5 N

BIBLIOGRAFIA UTILIZADA

Curso de Física básica - vol 1. Nussenzveig, Herch Moysés - 4.
ed. - São Paulo: Blucher, 2002.
Física básica: Mecânica. Chaves, Alaor, Sampaio, J.F. - Rio de
Janeiro: LTC, 2007.
Física 1: mecânica. Luiz, Adir M. - São Paulo: Editora Livraria da
Física, 2006.
Física: volume único. Calçada, Caio Sérgio, Smpaio, José Luiz -
2. ed. - São Paulo: Atual, 2008.


OBSERVAÇÕES:

Caros alunos e alunas, é de extrema importância que vocês não
acumulem dúvidas e procurem, dessa forma, estarem em dia com
o conteúdo.
Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados nesta
semana, e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum da
semana, para que possamos esclarecê-las.
O assunto exposto acima servirá de suporte durante todo o curso.
Portanto aproveitem este material!

ÓTIMA SEMANA E BOM ESTUDO!


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