1. Cálculo a uma Variável
Sinésio Pesco
CAP 2 - Expansão Decimal e Aproximações de Números Reais
Exercícios Resolvidos
Exercício 1: Obter um truncamento até a 9o casa decimal da expansão decimal de 2 .
Para obter truncamentos de 2 usamos a propriedade que se 0 < a < b então a< b
Assim no primeiro passo observamos que
1<2<4
e portanto
1< 2< 4
1< 2 < 2
Portanto a parte inteira de 2 é 1.
Para determinarmos os dígitos restantes, iniciamos dividindo o intervalo [1,2) em 10
subintervalos de mesmo tamanho e devemos encontrar qual dos subintervalos, contém
2
> restart;
for x from 1 by 0.1 to 2 do
x, " ao quadrado = ", x^2;
end do;
Assim observamos que para
temos que 1.96 < 2 < 2.25 e portanto 1.4 < 2 < 1.5 e determinamos que o
truncamento até a primeira casa de 2 é 1.4.
Prosseguindo:
> for x from 1.4 by 0.01 to 1.5 do
x, x^2;
end do;
E analogamente temos que 1.9881 < 2 < 2.0164 e portanto 2 = 1.41...
> for x from 1.41 by 0.001 to 1.42 do
x, x^2;
end do;
Você pode voltar com o cursor e editar o for, trocando para os novos valores e sem ser
necessario digitar novamente.

2. Ao final de 6 passos teremos:
> for x from 1.414213 by 0.0000001 to 1.414214 do
x, x^2;
end do;
Após algumas casas decimais, será necessário alterar o número de dígitos desejados
na precisão numérica:
> Digits:=20:
for x from 1.41421356 by 0.000000001 to 1.41421357 do
x, x^2;
end do;
Assim o truncamento na nona casa decimal será: 1,414213562
Exercício 2: Outro método de se obter aproximações para 2.
Outro método de se obter aproximações para 2 inicia:
2
x =2
xx=2
2
x=
x
2
Considerando c uma boa aproximação para x (desconhecido), então também será.
c
Neste caso, uma melhor aproximação poderia ser a média entre estes dois valores:
 2
1 c + 
 
 c
m=
2
Assim podemos montar um pequeno programa para verificar a convergência de 2:
> restart;
c:=1;
for i from 1 to 5 do
c:=1/2*(c+2/c)
end do;
Numericamente (note a substituição de 2/c por 2./c)
> restart;
c:=1;
for i from 1 to 5 do
c:=1/2*(c+2./c)
end do;

3. > restart;
Digits := 100;
c:= 1;
for i from 1 to 3 do
c:=0.5*(c+2.0/c);
d:=evalf(sqrt(2));
end do;
Exercício 3: Aproximações para π (Arquimedes).
Um dos métodos de estimar π é devido a Arquimedes. Usando polígonos inscritos e
circunscritos, ele estimou o comprimento do circulo por aproximação do perímetro dos
polígonos. Vamos estimar π usando o perímetro de polígonos inscritos em uma
circunferência de raio 0.5, assim o comprimento será C = 2 π 0.5 = π. O algoritmo
consiste em partir de um polígono regular qualquer (no nosso exemplo o hexágono), e
depois seguir subdividindo cada aresta gerando um novo poligono de 12 lados
(dodecágono) conforme a figura e assim por diante. A cada passo, partindo de um
polígono de n lados, geramos um novo polígono que terá 2n lados.
Queremos determinar o valor de y em função de x. Podemos usar Pitágoras, porém falta
determinar a dimensão do cateto b.
Por pitágoras podemos obter o cateto a em azul:
2
x2  1 
2
a + = 
 
4 2

4. 2 1 x2
a = −
4 4
segue que:
1 − x2
a=
2
Como
1
a+b=
2
1
b= −a
2
1− 1 − x2
b=
2
Agora aplicamos Pitágoras no triângulo:
x2
y2 = b2 +
4
2
 1 − 1 − x2  2
y =
2  +x
 
 2  4
2
 1 − 1 − x2  2
y=   +x
 
 2  4
1− 1 − x2
y=
2
> restart;
x := 0.5;
h := 6;
Digits := 100;
for i from 1 to 5 do
y:= sqrt((1-sqrt(1-x^2))/2.0);
w := y/(sqrt(1-y*y));
x := y;
" Pi estimado = ", 2* h * y;
"Pi estimado 1 = ", 2*h*w;
" Pi = ", evalf(Pi);

5. " Erro = ", abs(evalf(Pi)-2*h*y);
h := 2*h;
end do;
Exercício 4: Outras formulas:
1) Jonathan and Peter Borwein
(19 dígitos após 4 iterações segundo os autores)
> restart;
Digits := 50;
y:=1/sqrt(2.0);
a:=1/2.0;
for n from 0 to 3 do
y := (1-sqrt(1-y*y))/(1+sqrt(1-y^2));
a:= (a*(1+y)^2)-y*(2^(n+1));
1/a;
erro := evalf(Pi-1/a);
end do;
2) Jonathan and Peter Borwein
(694 dígitos após 4 iterações segundo os autores)
Em 1997, o recorde era de 51 539 600 000 de digitos para π.
> restart;
Digits := 700;
y:=sqrt(2.0)-1;
a:=6-4*sqrt(2.0);
for n from 0 to 3 do
y := (1-sqrt(sqrt(1-y^4)))/(1+sqrt(sqrt(1-y^4)));
a := (a*(1+y)^4)-y*(1+y+y^2)*2^(2*n+3);
1/a;
evalf(Pi-1/a);
end do;
Exercícios Propostos
Exercício 1: Obtenha o truncamento até a 15o casa decimal da expansão decimal de 5
.
Exercício 2: Determine um intervalo I = (a,b), tal que se um número real α pertence a I,
( −8 )
então α é uma aproximação para 7 com erro menor do que 10 .
3 ( −5 )
Exercício 3: Determine uma aproximação para 9 com erro menor do que 10 .