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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
Prof. Carlos Alberto G. de Almeida
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB
27 de abril de 2013
Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB
CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
INTRODUÇÃO
Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:
Conjunto dos números naturais;
Conjunto dos números inteiros;
Conjunto dos números racionais;
Conjunto dos números reais.
Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre os
assuntos descritos acima, porém, é interessante que você
estude antes a teoria no Livro de CÁLCULO.
BOM ESTUDO!
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CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N
Chama-se conjunto dos números naturais (N), o conjunto
formado pelos números 0, 1, 2, · · · .
N = {0, 1, 2, 3, · · · }
Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais, a
adição e a multiplicação, que apresentam as seguintes
propriedades:
associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c), para
todos, a, b ∈ N.
comutativa da adição: a + b = b + c, para todos, a, b ∈ N.
elemento neutro da adição: a + 0 = a, para todo, a ∈ N.
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CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N
associativa da multiplicação: (ab)c = a(bc), para todos,
a, b, c ∈ N.
comutatividade da multiplicação: ab = ba, para todos,
a, b ∈ N.
elemento neutro da multiplicação: a · 1 = a, para todo,
a ∈ N.
distributiva da multiplicação relativamente à adição:
a(b + c) = ab + ac, para todos, a, b, c ∈ N.
Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem
apresentados são ampliações de N, isto é, contêm N, têm uma
adição e uma multiplicação com as propriedades formais já
apresentadas e outras mais.
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CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXERCÍCIOS: Seja H o conjunto
{n ∈ N | 2 n 40, n multiplo de 2, n nao multiplo de 3}. Qual é
o número de elementos de H?
SOLUÇÃO:
múltiplos de 2:
{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40}
Então temos 20 múltiplos de 2 entre 2 e 40. Isto é:
{multiplos de 2} = 20.
não múltiplos de 3:
{2, 4, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28,
29, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40}
Então temos 26 não múltiplos de 3 entre 2 e 40. Isto é:
{nao multiplos de 3} = 26.
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CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CONTINUAÇÃO
Entretanto estamos procurando números que são
simultaneamente múltiplos de 2 e não múltiplos de 3. Logo,
observando a descrição dos elementos acima, teremos:
H = {2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34, 38, 40}
Portanto,
n(H) = 14
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CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CONJUNTO DO S NÚMEROS INTEIROS - Z
Chama-se conjunto dos números inteiros - símbolo Z - o
seguinte conjunto:
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
No conjunto Z distinguimos três subconjuntos notáveis:
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = N
(chamado conjunto dos inteiros não negativos)
Z− = {..., −3, −2, −1, 0}
(chamado conjunto dos inteiros não positivos)
Z∗
= {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}
(chamado conjunto dos inteiros não nulos).
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CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
OPERAÇÕES EM Z
No conjunto Z são definidas também as operações de adição e
multiplicação que apresentam, além de [A. 1], [A. 2], [A. 3],
[M. 1], [M. 2], [M. 3] e [D] a propridade:
[A.4] simétrico ou oposto para a adição
Para todo a ∈ Z existe − a ∈ Z tal que
a + (−a) = 0.
Devido à propriedade [A. 4], podemos definir em Z a operação
de subtração, estabelecendo que a − b = a + (−b) para todos
a, b ∈ Z.
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CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Chama-se conjunto dos números racionais - símbolo Q - o
conjunto dos pares ordenados (ou frações)
a
b
, em que a ∈ Z e
b ∈ Z∗, para os quais adotam-se as seguintes definições:
1 igualdade:
a
b
=
c
d
⇐⇒ ad = bc
2 adição:
a
b
+
c
d
=
ad + bc
bd
3 multiplicação:
a
b
·
c
d
=
ac
bd
No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos:
Q+ = conjunto dos racionais não negativos
Q− = conjunto dos racionais não positivos
Q∗ = conjunto dos racionais não nulos
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CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
REPRESENTAÇÃO DECIMAL
O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos,
diferentes de zero, isto é, é uma decimal exata.
Exemplos:
3
1
= 3,
1
2
= 0, 5,
1
20
= 0, 05,
27
1000
= 0, 027
O número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos
que se repetem periodicamente, isto é, é uma dízima
periódica.
Exemplos:
1
3
= 0, 333... (período 3)
2
7
= 0, 285714285714... = 0, 285714 (período 285714)
11
6
= 1, 8333... (período 3)
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CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
REPRESENTAÇÃO DECIMAL
Quando a decimal é exata, podemos transformá-lo em uma
fração cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula e
cujo denominador é o algorismo 1 seguido de tantos zeros
quantas forem as casas decimais do numeral dado.
Exemplos:
0, 37 =
37
100
2, 631 =
2631
1000
63, 4598 =
634598
10000
Quando a decimal é uma dízima periódica, devemos procurar
sua geratriz. Damos a seguir um exemplo de como obter a
geratriz de uma dízima periódica
Exemplo: 0,777 ...
x = 0, 777...
10x = 7, 777...
=⇒ 10x − x = 7 =⇒ x =
7
9
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CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R
Chama-se conjunto dos números reais - em símbolos R -
aquele formado por todos os números com representação
decimal, isto é, as decimais exatas ou periódicas
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CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
BIBLIOGRAFIA UTILIZADA
Fundamentos de matemática elementar - vol 1: conjuntos,
funções. Iezzi, Gelson - 8. ed. - São Paulo: Saraiva, 2008.
Pré-Cálculo. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999.
Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. Boulos - São
Paulo: MAKRON Books, 1999.
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CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
OBSERVAÇÕES:
Caros alunos e alunas, é de extrema importância que
vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,
estarem em dia com o conteúdo.
Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados
nesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem no
fórum de nosso curso, para que possamos esclarecê-las.
O assunto exposto acima servirá de suporte durante todo
o curso. Portanto aproveitem este material!
BOM ESTUDO!
Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB
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  • 1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB 27 de abril de 2013 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • 2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS INTRODUÇÃO Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos: Conjunto dos números naturais; Conjunto dos números inteiros; Conjunto dos números racionais; Conjunto dos números reais. Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre os assuntos descritos acima, porém, é interessante que você estude antes a teoria no Livro de CÁLCULO. BOM ESTUDO! Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • 3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N Chama-se conjunto dos números naturais (N), o conjunto formado pelos números 0, 1, 2, · · · . N = {0, 1, 2, 3, · · · } Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais, a adição e a multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades: associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c), para todos, a, b ∈ N. comutativa da adição: a + b = b + c, para todos, a, b ∈ N. elemento neutro da adição: a + 0 = a, para todo, a ∈ N. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • 4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N associativa da multiplicação: (ab)c = a(bc), para todos, a, b, c ∈ N. comutatividade da multiplicação: ab = ba, para todos, a, b ∈ N. elemento neutro da multiplicação: a · 1 = a, para todo, a ∈ N. distributiva da multiplicação relativamente à adição: a(b + c) = ab + ac, para todos, a, b, c ∈ N. Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem apresentados são ampliações de N, isto é, contêm N, têm uma adição e uma multiplicação com as propriedades formais já apresentadas e outras mais. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • 5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS: Seja H o conjunto {n ∈ N | 2 n 40, n multiplo de 2, n nao multiplo de 3}. Qual é o número de elementos de H? SOLUÇÃO: múltiplos de 2: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40} Então temos 20 múltiplos de 2 entre 2 e 40. Isto é: {multiplos de 2} = 20. não múltiplos de 3: {2, 4, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 29, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40} Então temos 26 não múltiplos de 3 entre 2 e 40. Isto é: {nao multiplos de 3} = 26. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • 6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONTINUAÇÃO Entretanto estamos procurando números que são simultaneamente múltiplos de 2 e não múltiplos de 3. Logo, observando a descrição dos elementos acima, teremos: H = {2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34, 38, 40} Portanto, n(H) = 14 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONJUNTO DO S NÚMEROS INTEIROS - Z Chama-se conjunto dos números inteiros - símbolo Z - o seguinte conjunto: Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} No conjunto Z distinguimos três subconjuntos notáveis: Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} = N (chamado conjunto dos inteiros não negativos) Z− = {..., −3, −2, −1, 0} (chamado conjunto dos inteiros não positivos) Z∗ = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...} (chamado conjunto dos inteiros não nulos). Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • 8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS OPERAÇÕES EM Z No conjunto Z são definidas também as operações de adição e multiplicação que apresentam, além de [A. 1], [A. 2], [A. 3], [M. 1], [M. 2], [M. 3] e [D] a propridade: [A.4] simétrico ou oposto para a adição Para todo a ∈ Z existe − a ∈ Z tal que a + (−a) = 0. Devido à propriedade [A. 4], podemos definir em Z a operação de subtração, estabelecendo que a − b = a + (−b) para todos a, b ∈ Z. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • 9. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Chama-se conjunto dos números racionais - símbolo Q - o conjunto dos pares ordenados (ou frações) a b , em que a ∈ Z e b ∈ Z∗, para os quais adotam-se as seguintes definições: 1 igualdade: a b = c d ⇐⇒ ad = bc 2 adição: a b + c d = ad + bc bd 3 multiplicação: a b · c d = ac bd No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos: Q+ = conjunto dos racionais não negativos Q− = conjunto dos racionais não positivos Q∗ = conjunto dos racionais não nulos Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • 10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS REPRESENTAÇÃO DECIMAL O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de zero, isto é, é uma decimal exata. Exemplos: 3 1 = 3, 1 2 = 0, 5, 1 20 = 0, 05, 27 1000 = 0, 027 O número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, é uma dízima periódica. Exemplos: 1 3 = 0, 333... (período 3) 2 7 = 0, 285714285714... = 0, 285714 (período 285714) 11 6 = 1, 8333... (período 3) Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • 11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS REPRESENTAÇÃO DECIMAL Quando a decimal é exata, podemos transformá-lo em uma fração cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula e cujo denominador é o algorismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. Exemplos: 0, 37 = 37 100 2, 631 = 2631 1000 63, 4598 = 634598 10000 Quando a decimal é uma dízima periódica, devemos procurar sua geratriz. Damos a seguir um exemplo de como obter a geratriz de uma dízima periódica Exemplo: 0,777 ... x = 0, 777... 10x = 7, 777... =⇒ 10x − x = 7 =⇒ x = 7 9 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • 12. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R Chama-se conjunto dos números reais - em símbolos R - aquele formado por todos os números com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou periódicas Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • 13. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS BIBLIOGRAFIA UTILIZADA Fundamentos de matemática elementar - vol 1: conjuntos, funções. Iezzi, Gelson - 8. ed. - São Paulo: Saraiva, 2008. Pré-Cálculo. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999. Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • 14. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS OBSERVAÇÕES: Caros alunos e alunas, é de extrema importância que vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma, estarem em dia com o conteúdo. Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados nesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum de nosso curso, para que possamos esclarecê-las. O assunto exposto acima servirá de suporte durante todo o curso. Portanto aproveitem este material! BOM ESTUDO! Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS