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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
Prof. Carlos Alberto G. de Almeida
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB
14 de maio de 2013
Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB
CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
INTRODUÇÃO
Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:
Expressões polinomiais;
Expressões racionais;
Radiciação.
Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre o
assunto descrito acima, porém, é interessante que você estude
antes a teoria no Nos livros indicados na Bibliografia.
BOM ESTUDO!
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Qaundo temos soma ou diferença de termos semelhantes,
podemos usar a propriedade distributiva. Assim, temos as
identidades:
19x3
− 34x3
= (19 − 34) · x3
= −15x3
5x9
+ 12x9
= (5 + 12) · x9
= 17x9
4x5
y6
− 6x5
y6
= (4 − 6) · x5
y6
= −2x5
y6
O ideal é evitar a igualdade internediária nos cálculos acima,
ou seja, escrever diretamente o último membro.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
As identidades a seguir envolvem termos não-semelhantes. O
cuidado a ser tomado é considerar os termos semelhantes, e
efetuar as operações sobre eles.
1 (6x3+2x2−3x +1)+(2x3−4x2+2x −2) = 8x3−2x2−x −1.
2 (3x4 − 2x2 + x − 1) + (x4 − x3 + 5x − 12) =
4x4 − x3 − 2x2 + 6x − 13.
3 (x5 − 3x2 + 2) − (4x5 + x3 − 4x2 + 2) =
x5 − 3x2 + 2 − 4x5 − x3 + 4x2 − 2 = −3x5 − x3 + x2.
4 23x5 − 3x2 + 7y − y3 + 3 + 9y − 4y3 + x5 = 23x5 + x5 −
3x2 + 7y + 9y − y3 − 4y3 + 3 = 24x5 − 3x2 + 16y − 5y3 + 3.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
EXERCÍCIOS: Simplifique a expressão, em cada caso:
1 (5x − 3x2) + (4 − 5x) − (6x2 − 4x − 5) + (4 − 4x)
2 −6(x − 1 + x2) − (5x2 + x − 2) − 6
3 8x2 − (10 − 5x + x2) − 3[x − (2 + x2)]
4 4u + 3[u − (2v + 3u) − 3v] − 6v
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTO
Exemplos:
3t2
(4t3
−12t+3) = 3t2
·4t3
+3t2
·(−12t)+3t2
·3 = 12t5
−36t3
+9t2
(4a + b)(9a − 7b + 2) = 4a · (9a − 7b + 2) + b · (9a − 7b + 2) =
= 4a · 9a + 4a · (−7b) + 4a · 2 + b · 9a + b · (−7b) + b · 2 =
= 36a2
− 28ab + 8a + 9ab − 7b2
+ 2b =
= 36a2
− 19ab − 7b2
+ 8a + 2b.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTO
Você pode, se preferir, dispor os cálculos como uma
multiplicação entre números, como segue:
3t2
·(4t3
−12t+3) = 3t2
·4t3
+3t2
·(−12t)+3t2
·3 = 12t5
−36t3
+9t2
4t3 − 12t + 3
3t2
12t5 − 36t3 + 9t2
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTO
(4a + b) · (9a − 7b + 2)
9a − 7b + 2
4a + b
36a2 − 28ab + 8a
9ab − 7b2 + 2b
36a2 − 19ab − 7b2 + 8a + 2b
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO
O teorema que fala sobre a divisão de inteiros positivos é o
seguinte:
Dados os inteiros positivos a e b, existe um único par ordenado,
(q, r) de núumeros inteiros tal que a = bq + r, com 0 r < b.
q e r são chamados quociente e resto, respectivamente, da
divisão euclidiana de a por b. Neste contexto, a e b são
chamados dividendo e divisor, respectivamente.
Exemplo:
Se dividirmos 23 por 4 obteremos quociente 5, e resto 3, pois
23 = 4 · 5 + 3. Da igualdade anterior resulta
23
4
= 5 +
3
4
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO
Em geral,
dividendo
divisor
= quociente +
resto
divisor
Existe um teorema análogo que diz respeito à divisão de uma
expressão polinomial por outra.
Exemplo: 2x3 − 3x − 2 tem grau 3, x4 − 1 tem grau 4. Uma
expressão polinomial constante, isto é, formada apenas pelo
termo constante, tem grau 0.
Existe um algoritmo para efetuar a divisão de duas expressões
polinomiais, análogo ao da divisão de números.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO
Exemplo:
8x4 − 2x3 − x2 + 16x − 21 2x2 + x − 3
−8x4 − 4x3 + 12x2 4x2 − 3x + 7
0 − 6x3 + 11x2 + 16x − 21
6x3 + 3x2 − 9x
0 14x2 + 7x − 21
− 14x2 − 7x + 21
0
De acordo com o resultado acima, podemos escrever a
identidade em R
8x4
− 2x3
− x2
+ 16x − 21 = (2x2
+ x − 3)(4x2
− 3x + 7) + 0
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO
Exemplo:
5x3 + 0x2 − 3x + 4 x2 − x + 1
−5x3 + 5x2 − 5x 5x + 5
0 + 5x2 − 8x + 4
− 5x2 + 5x − 5
0 − 3x − 1
Como a expressão obtida −3x − 1 tem grau 1, menor que o
grau 2 do divisor x2 − x + 1, devemos parar aqui. Portanto, o
quociente é 5x + 5 e o resto é −3x − 1. Então,
5x3 − 3x + 4
x2 − x + 1
= (5x + 5) +
−3x − 1
x2 − x + 1
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXERCÍCIOS
Divida (isto é, dê o quociente e o resto)
1 4x2 − 3x + 6 por x + 2
2 x4 + x3 + 2x + 15 por 2x2 − 6x + 4
3 64x6 − 16x3 + 1 por 4x2 − 4x + 1
4 11x4 + 3x5 + 7x + 9 − 15x2 por x2 + 2x − 1
5 x3 − 3 por x2 + x − 3
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXPRESSÕES RACIONAIS
Exemplo: Efetue 2
x2−1
− 5x4
x2+2x+1
Inicialmente, tentamos fatorar os denominadores:
x2
− 1 = (x − 1)(x + 1) x2
+ 2x + 1 = (x + 1)2
Daí,
2
x2 − 1
−
5x4
x2 + 2x + 1
=
2(x + 1)
(x − 1)(x + 1)2
−
5x4(x − 1)
(x − 1)(x + 1)2
=
=
2(x + 1) − 5x4(x − 1)
(x − 1)(x + 1)2
=
2x + 2 − 5x5 + 5x4
(x − 1)(x + 1)2
.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXPRESSÕES RACIONAIS
Exemplos: Efetue 2
x + 1
x2 − x
x3−2x2 + 3
x2−2x
Fatorando denominadores a expressão fica:
2
x + 1
x2 − x
x2(x−2)
+ 3
x(x−2)
O mmc dos denominadores é: x2(x − 2). Portanto, temos que
2
x
+
1
x2
−
x
x2(x − 2)
+
3
x(x − 2)
=
=
2x(x − 2)
x2(x − 2)
+
1(x − 2)
x2(x − 2)
−
x
x2(x − 2)
+
3x
x2(x − 2)
=
=
2x2 − 4x
x2(x − 2)
+
x − 2
x2(x − 2)
−
x
x2(x − 2)
+
3x
x2(x − 2)
=
=
2x2 − 4x + x − 2 − x + 3x
x2(x − 2)
=
2x2 − x − 2
x2(x − 2)
.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTE
Exemplos:
1
2x − 1
x2 + 1
·
x
x + 1
=
(2x − 1)x
(x2 + 1)(x + 1)
2
2x − 1
x2 + 1
x
x + 1
=
2x − 1
x2 + 1
·
x + 1
x
=
(2x − 1)(x + 1)
(x2 + 1)x
OBSERVAÇÃO: A identidade em 1 é em R − {1}, e a identidade
em 2 é em R − {0}.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTE
Vamos aproveitar a ocasião para exercitarmos mais em
fatoração. Exemplo:Efetue e simplifique
x2 − 16
x2 + 2x + 1
·
x + 1
x2 − 5x + 4
=
=
(x − 4)::::::
(x + 4)
(x + 1)2
:::::::
·
x + 1:::::
(x − 1)(x − 4)::::::
=
x + 4
(x + 1)(x − 1)
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTE
Exemplo: Efetue e simplifique
x3 − 1
x2 + 1
x2 − 1
x4 + 2x2 + 1
=
x3 − 1
x2 + 1
·
x4 + 2x2 + 1
x2 − 1
=
(x − 1)(x2 + x + 1)
x2 + 1
·
(x2 + 1)2
(x − 1)(x + 1)
=
(x2 + x + 1)(x2 + 1)
x + 1
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXERCÍCIOS
Efetue e simplifique:
1
x − 5
x2 + 5x
·
x2
25 − 5x
2
4x − 8
x + 7
3x2 − 12
2x2 − 98
3
x
x + 3
+
x2
x2 − 9
4
2
x − 1
−
3
x + 1
+
5 − x
1 − x2
5
2x − 6
x2 − x − 2
−
x + 2
x2 + 4x + 3
+
+
x − 1
x2 + x − 6
6
x
x2 − 4
−
2
x2 − 5x + 6
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
RADICIAÇÃO
Propriedades
Valem as seguintes propriedades, para n, p, m inteiros, n > 1,
m > 1:
1
n
√
ab = n
√
a n
√
b
2 n
a
b
=
n
√
a
n
√
b
(b = 0)
3 ( n
√
a)m = n
√
am
4
p n
√
a = pn
√
a
Exemplos:
1 3 7
√
5 + 2 7
√
5 − 7
√
5 = (3 + 2 − 1) 7
√
5 = 4 7
√
5.
2
5
√
4 · 5
√
6 = 5
√
4 · 6 =
5
√
24.
3
7
√
36
7
√
6
= 7 36
6
= 7
√
6.
4 ( 9
√
8)2 =
9
√
82 = 9
√
64.
5
3 4
√
2 =
12
√
2.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
RADICIAÇÃO
ATENÇÃO. Muitos gostariam de acrescentar às propriedades
acima o seguinte:
n
√
a + b = n
√
a +
n
√
b
Veja:√
9 + 16 =
√
25 = 5 e
√
9 = 3,
√
16 = 4. Claramente,√
9 + 16 =
√
9 +
√
16.
3
√
1 +
3
√
1 = 1 + 1 = 2 e 3
√
1 + 1 =
3
√
2. Claramente 2 =
3
√
2, ou
seja,
3
√
1 +
3
√
1 = 3
√
1 + 1.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
RADICIAÇÃO: RADICIAÇÃO
Para facilitar cálculos, às vezes quer-se eliminar radicais que
aparecem no denominador de uma fração. Esta operação é
conhecida como RACIONALIZAÇÃO.
Para racionalizar 1/
√
2, multiplicamos numerador e
denominador por
√
2:
1
√
2
=
1
√
2
·
√
2
√
2
=
√
2
(
√
2)2
=
√
2
2
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
RADICIAÇÃO: RADICIAÇÃO
Para racionalizar 1/(
√
11 +
√
5), multiplicamos numerador
e denominador por 1/(
√
11 −
√
5), chamado de conjugado
de 1/(
√
11 +
√
5). Lembrando que
a2 − b2 = (a − b)(a + b), vem:
1
√
11 +
√
5
=
1
√
11 +
√
5
·
√
11 −
√
5
√
11 −
√
5
=
√
11 −
√
5
(
√
11)2 − (
√
5)2
=
=
√
11 −
√
5
11 − 5
=
√
11 −
√
5
6
.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
RADICIAÇÃO: POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
Vamos definir ar como sendo q
√
ap, ou seja,
a
p
q =
q
√
ap
onde a > 0 é um número real, e r um racional. Destacamos o
caso particular em que r = 1/n, n > 1, inteiro:
a
1
n = n
√
a
Exemplos: 27/8 =
8
√
27, 31/5 = 5
√
3, 74/20 = 71/5 = 5
√
7.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
RADICIAÇÃO: POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL
Exemplos:
4
√
x · 4x · 5
√
x · x−2/3 = x1/4 · 4x · x1/5 · x−2/3 =
4x(1/4+1+1/5−2/3) = 4x47/60
9
√
x2 + 5
7
√
x3
5
√
x4
=
x2/9 + 5x3/7
x4/5
=
x2/9
x4/5
+
5x3/7
x4/5
=
x(2/9−4/5) + 5x(3/7−4/5) = x(−26/45) + 5x(−13/35)
(
4
√
2)1/8 = (21/4)1/8 = 2(1/4)·(1/8) = 21/32 =
32
√
2
( 8
√
x · 5
y2)40 = (x1/8 · y2/5)40 = x(1/8)·40 · y(2/5)·40 =
x40/8 · y80/5 = x5 · y16
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
EXERCÍCIOS
Simplifique:
1 x 3
√
x + 4x4/3 − 5
3
√
x4
2
3
√
x2 ·
√
x3 − 2x2 6
√
x
6
√
x13
3
5
√
x · x2 · x1/3 − (
15
√
x2)2 · x
15
√
x19
4 ( 3
√
5 · a2/3)9
5
4
3 3
√
3
3
√
3
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
BIBLIOGRAFIA UTILIZADA
Fundamentos de matemática elementar - vol 1: conjuntos,
funções. Iezzi, Gelson - 8. ed. - São Paulo: Saraiva, 2008.
Pré-Cálculo. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999.
Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. Boulos - São
Paulo: MAKRON Books, 1999.
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
OBSERVAÇÕES:
Caros alunos e alunas, é de extrema importância que
vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,
estarem em dia com o conteúdo.
Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados
nesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem no
fórum de nosso curso, para que possamos esclarecê-las.
O assunto exposto acima servirá de suporte durante todo
o curso. Portanto aproveitem este material!
BOM ESTUDO!
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CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS

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  • 1. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB 14 de maio de 2013 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS INTRODUÇÃO Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos: Expressões polinomiais; Expressões racionais; Radiciação. Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre o assunto descrito acima, porém, é interessante que você estude antes a teoria no Nos livros indicados na Bibliografia. BOM ESTUDO! Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 3. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS IDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Qaundo temos soma ou diferença de termos semelhantes, podemos usar a propriedade distributiva. Assim, temos as identidades: 19x3 − 34x3 = (19 − 34) · x3 = −15x3 5x9 + 12x9 = (5 + 12) · x9 = 17x9 4x5 y6 − 6x5 y6 = (4 − 6) · x5 y6 = −2x5 y6 O ideal é evitar a igualdade internediária nos cálculos acima, ou seja, escrever diretamente o último membro. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS IDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO As identidades a seguir envolvem termos não-semelhantes. O cuidado a ser tomado é considerar os termos semelhantes, e efetuar as operações sobre eles. 1 (6x3+2x2−3x +1)+(2x3−4x2+2x −2) = 8x3−2x2−x −1. 2 (3x4 − 2x2 + x − 1) + (x4 − x3 + 5x − 12) = 4x4 − x3 − 2x2 + 6x − 13. 3 (x5 − 3x2 + 2) − (4x5 + x3 − 4x2 + 2) = x5 − 3x2 + 2 − 4x5 − x3 + 4x2 − 2 = −3x5 − x3 + x2. 4 23x5 − 3x2 + 7y − y3 + 3 + 9y − 4y3 + x5 = 23x5 + x5 − 3x2 + 7y + 9y − y3 − 4y3 + 3 = 24x5 − 3x2 + 16y − 5y3 + 3. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS IDENTIDADES ENVOLVENDO ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EXERCÍCIOS: Simplifique a expressão, em cada caso: 1 (5x − 3x2) + (4 − 5x) − (6x2 − 4x − 5) + (4 − 4x) 2 −6(x − 1 + x2) − (5x2 + x − 2) − 6 3 8x2 − (10 − 5x + x2) − 3[x − (2 + x2)] 4 4u + 3[u − (2v + 3u) − 3v] − 6v Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 6. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS IDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTO Exemplos: 3t2 (4t3 −12t+3) = 3t2 ·4t3 +3t2 ·(−12t)+3t2 ·3 = 12t5 −36t3 +9t2 (4a + b)(9a − 7b + 2) = 4a · (9a − 7b + 2) + b · (9a − 7b + 2) = = 4a · 9a + 4a · (−7b) + 4a · 2 + b · 9a + b · (−7b) + b · 2 = = 36a2 − 28ab + 8a + 9ab − 7b2 + 2b = = 36a2 − 19ab − 7b2 + 8a + 2b. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 7. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS IDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTO Você pode, se preferir, dispor os cálculos como uma multiplicação entre números, como segue: 3t2 ·(4t3 −12t+3) = 3t2 ·4t3 +3t2 ·(−12t)+3t2 ·3 = 12t5 −36t3 +9t2 4t3 − 12t + 3 3t2 12t5 − 36t3 + 9t2 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 8. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS IDENTIDADES ENVOLVENDO PRODUTO (4a + b) · (9a − 7b + 2) 9a − 7b + 2 4a + b 36a2 − 28ab + 8a 9ab − 7b2 + 2b 36a2 − 19ab − 7b2 + 8a + 2b Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 9. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO O teorema que fala sobre a divisão de inteiros positivos é o seguinte: Dados os inteiros positivos a e b, existe um único par ordenado, (q, r) de núumeros inteiros tal que a = bq + r, com 0 r < b. q e r são chamados quociente e resto, respectivamente, da divisão euclidiana de a por b. Neste contexto, a e b são chamados dividendo e divisor, respectivamente. Exemplo: Se dividirmos 23 por 4 obteremos quociente 5, e resto 3, pois 23 = 4 · 5 + 3. Da igualdade anterior resulta 23 4 = 5 + 3 4 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 10. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO Em geral, dividendo divisor = quociente + resto divisor Existe um teorema análogo que diz respeito à divisão de uma expressão polinomial por outra. Exemplo: 2x3 − 3x − 2 tem grau 3, x4 − 1 tem grau 4. Uma expressão polinomial constante, isto é, formada apenas pelo termo constante, tem grau 0. Existe um algoritmo para efetuar a divisão de duas expressões polinomiais, análogo ao da divisão de números. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO Exemplo: 8x4 − 2x3 − x2 + 16x − 21 2x2 + x − 3 −8x4 − 4x3 + 12x2 4x2 − 3x + 7 0 − 6x3 + 11x2 + 16x − 21 6x3 + 3x2 − 9x 0 14x2 + 7x − 21 − 14x2 − 7x + 21 0 De acordo com o resultado acima, podemos escrever a identidade em R 8x4 − 2x3 − x2 + 16x − 21 = (2x2 + x − 3)(4x2 − 3x + 7) + 0 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 12. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS IDENTIDADES ENVOLVENDO DIVISÃO Exemplo: 5x3 + 0x2 − 3x + 4 x2 − x + 1 −5x3 + 5x2 − 5x 5x + 5 0 + 5x2 − 8x + 4 − 5x2 + 5x − 5 0 − 3x − 1 Como a expressão obtida −3x − 1 tem grau 1, menor que o grau 2 do divisor x2 − x + 1, devemos parar aqui. Portanto, o quociente é 5x + 5 e o resto é −3x − 1. Então, 5x3 − 3x + 4 x2 − x + 1 = (5x + 5) + −3x − 1 x2 − x + 1 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 13. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS Divida (isto é, dê o quociente e o resto) 1 4x2 − 3x + 6 por x + 2 2 x4 + x3 + 2x + 15 por 2x2 − 6x + 4 3 64x6 − 16x3 + 1 por 4x2 − 4x + 1 4 11x4 + 3x5 + 7x + 9 − 15x2 por x2 + 2x − 1 5 x3 − 3 por x2 + x − 3 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 14. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXPRESSÕES RACIONAIS Exemplo: Efetue 2 x2−1 − 5x4 x2+2x+1 Inicialmente, tentamos fatorar os denominadores: x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 Daí, 2 x2 − 1 − 5x4 x2 + 2x + 1 = 2(x + 1) (x − 1)(x + 1)2 − 5x4(x − 1) (x − 1)(x + 1)2 = = 2(x + 1) − 5x4(x − 1) (x − 1)(x + 1)2 = 2x + 2 − 5x5 + 5x4 (x − 1)(x + 1)2 . Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 15. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXPRESSÕES RACIONAIS Exemplos: Efetue 2 x + 1 x2 − x x3−2x2 + 3 x2−2x Fatorando denominadores a expressão fica: 2 x + 1 x2 − x x2(x−2) + 3 x(x−2) O mmc dos denominadores é: x2(x − 2). Portanto, temos que 2 x + 1 x2 − x x2(x − 2) + 3 x(x − 2) = = 2x(x − 2) x2(x − 2) + 1(x − 2) x2(x − 2) − x x2(x − 2) + 3x x2(x − 2) = = 2x2 − 4x x2(x − 2) + x − 2 x2(x − 2) − x x2(x − 2) + 3x x2(x − 2) = = 2x2 − 4x + x − 2 − x + 3x x2(x − 2) = 2x2 − x − 2 x2(x − 2) . Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 16. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTE Exemplos: 1 2x − 1 x2 + 1 · x x + 1 = (2x − 1)x (x2 + 1)(x + 1) 2 2x − 1 x2 + 1 x x + 1 = 2x − 1 x2 + 1 · x + 1 x = (2x − 1)(x + 1) (x2 + 1)x OBSERVAÇÃO: A identidade em 1 é em R − {1}, e a identidade em 2 é em R − {0}. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 17. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTE Vamos aproveitar a ocasião para exercitarmos mais em fatoração. Exemplo:Efetue e simplifique x2 − 16 x2 + 2x + 1 · x + 1 x2 − 5x + 4 = = (x − 4):::::: (x + 4) (x + 1)2 ::::::: · x + 1::::: (x − 1)(x − 4):::::: = x + 4 (x + 1)(x − 1) Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 18. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXPRESSÕES RACIONAIS: PRODUTO E QUOCIENTE Exemplo: Efetue e simplifique x3 − 1 x2 + 1 x2 − 1 x4 + 2x2 + 1 = x3 − 1 x2 + 1 · x4 + 2x2 + 1 x2 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) x2 + 1 · (x2 + 1)2 (x − 1)(x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 + 1) x + 1 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 19. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS Efetue e simplifique: 1 x − 5 x2 + 5x · x2 25 − 5x 2 4x − 8 x + 7 3x2 − 12 2x2 − 98 3 x x + 3 + x2 x2 − 9 4 2 x − 1 − 3 x + 1 + 5 − x 1 − x2 5 2x − 6 x2 − x − 2 − x + 2 x2 + 4x + 3 + + x − 1 x2 + x − 6 6 x x2 − 4 − 2 x2 − 5x + 6 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 20. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS RADICIAÇÃO Propriedades Valem as seguintes propriedades, para n, p, m inteiros, n > 1, m > 1: 1 n √ ab = n √ a n √ b 2 n a b = n √ a n √ b (b = 0) 3 ( n √ a)m = n √ am 4 p n √ a = pn √ a Exemplos: 1 3 7 √ 5 + 2 7 √ 5 − 7 √ 5 = (3 + 2 − 1) 7 √ 5 = 4 7 √ 5. 2 5 √ 4 · 5 √ 6 = 5 √ 4 · 6 = 5 √ 24. 3 7 √ 36 7 √ 6 = 7 36 6 = 7 √ 6. 4 ( 9 √ 8)2 = 9 √ 82 = 9 √ 64. 5 3 4 √ 2 = 12 √ 2. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 21. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS RADICIAÇÃO ATENÇÃO. Muitos gostariam de acrescentar às propriedades acima o seguinte: n √ a + b = n √ a + n √ b Veja:√ 9 + 16 = √ 25 = 5 e √ 9 = 3, √ 16 = 4. Claramente,√ 9 + 16 = √ 9 + √ 16. 3 √ 1 + 3 √ 1 = 1 + 1 = 2 e 3 √ 1 + 1 = 3 √ 2. Claramente 2 = 3 √ 2, ou seja, 3 √ 1 + 3 √ 1 = 3 √ 1 + 1. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 22. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS RADICIAÇÃO: RADICIAÇÃO Para facilitar cálculos, às vezes quer-se eliminar radicais que aparecem no denominador de uma fração. Esta operação é conhecida como RACIONALIZAÇÃO. Para racionalizar 1/ √ 2, multiplicamos numerador e denominador por √ 2: 1 √ 2 = 1 √ 2 · √ 2 √ 2 = √ 2 ( √ 2)2 = √ 2 2 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 23. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS RADICIAÇÃO: RADICIAÇÃO Para racionalizar 1/( √ 11 + √ 5), multiplicamos numerador e denominador por 1/( √ 11 − √ 5), chamado de conjugado de 1/( √ 11 + √ 5). Lembrando que a2 − b2 = (a − b)(a + b), vem: 1 √ 11 + √ 5 = 1 √ 11 + √ 5 · √ 11 − √ 5 √ 11 − √ 5 = √ 11 − √ 5 ( √ 11)2 − ( √ 5)2 = = √ 11 − √ 5 11 − 5 = √ 11 − √ 5 6 . Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 24. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS RADICIAÇÃO: POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL Vamos definir ar como sendo q √ ap, ou seja, a p q = q √ ap onde a > 0 é um número real, e r um racional. Destacamos o caso particular em que r = 1/n, n > 1, inteiro: a 1 n = n √ a Exemplos: 27/8 = 8 √ 27, 31/5 = 5 √ 3, 74/20 = 71/5 = 5 √ 7. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 25. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS RADICIAÇÃO: POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL Exemplos: 4 √ x · 4x · 5 √ x · x−2/3 = x1/4 · 4x · x1/5 · x−2/3 = 4x(1/4+1+1/5−2/3) = 4x47/60 9 √ x2 + 5 7 √ x3 5 √ x4 = x2/9 + 5x3/7 x4/5 = x2/9 x4/5 + 5x3/7 x4/5 = x(2/9−4/5) + 5x(3/7−4/5) = x(−26/45) + 5x(−13/35) ( 4 √ 2)1/8 = (21/4)1/8 = 2(1/4)·(1/8) = 21/32 = 32 √ 2 ( 8 √ x · 5 y2)40 = (x1/8 · y2/5)40 = x(1/8)·40 · y(2/5)·40 = x40/8 · y80/5 = x5 · y16 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 26. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EXERCÍCIOS Simplifique: 1 x 3 √ x + 4x4/3 − 5 3 √ x4 2 3 √ x2 · √ x3 − 2x2 6 √ x 6 √ x13 3 5 √ x · x2 · x1/3 − ( 15 √ x2)2 · x 15 √ x19 4 ( 3 √ 5 · a2/3)9 5 4 3 3 √ 3 3 √ 3 Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 27. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS BIBLIOGRAFIA UTILIZADA Fundamentos de matemática elementar - vol 1: conjuntos, funções. Iezzi, Gelson - 8. ed. - São Paulo: Saraiva, 2008. Pré-Cálculo. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999. Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999. Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS
  • 28. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS OBSERVAÇÕES: Caros alunos e alunas, é de extrema importância que vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma, estarem em dia com o conteúdo. Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados nesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem no fórum de nosso curso, para que possamos esclarecê-las. O assunto exposto acima servirá de suporte durante todo o curso. Portanto aproveitem este material! BOM ESTUDO! Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB CÁLCULO 1 - EXPERSSÕES ALGÉBRICAS