Conjunto1

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
Prof. Carlos Alberto G. de Almeida
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB
27 de abril de 2013
Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB

INTRODUÇÃO
Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:
Teoria dos Conjuntos.
Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre o
assunto descrito acima, porém, é interessante que você estude
antes a teoria no Nos livros indicados na Bibliograﬁa.
BOM ESTUDO!

CONJUNTO - ELEMENTO - PERTINÊNCIA
Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem deﬁnição,
isto é, são consideradas noções primitivas:
1 conjunto;
2 elemento;
3 pertinência entre elemento e conjunto.
Um Conjunto é uma coleção, ou agrupamento, ou uma classe
de elementos.
1 conjunto de vogais: a, e, i, o, u;
2 conjunto dos algarismos romanos: I, V, X, L, C, D, M;
3 conjunto dos números ímpares positivos: 1, 3, 5, 7, 9, ...;
4 conjuntos dos núumeros primos positivos: 2, 3, 5, 7, 11, ....

Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número,
um nome, etc. É importante notar que um conjunto pode ser
elemento de outro conjunto. Por exemplo, o conjunto das
seleções que disputam um campeonato mundial de futebol é
um conjunto formado por equipes que, por sua vez, são
conjuntos de jogadores.
Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula,
A, B, C, ..., e um elemento com uma letra minúscula, a, b, c,
d, x, y, ... .
Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao
conjunto A, escrevemos: x ∈ A.
Para indicar que x não é elemento do conjunto A, escrevemos:
x ∈ A.

É habitual representar um con-
junto pelos interiores a uma
linha fechada e não entrela-
çada. Assim, na representação
ao lado temos:
a ∈ A, b ∈ A, d ∈ A.
Figura: Diagrama de Euler-Venn.

DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO: Pela citação dos elementos
Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus
elementos, devemos indicá-lo escrevendo seus elementos
entre Chaves.
1 conjunto de vogais: {a, e, i, o, u};
2 conjunto dos algarismos romanos: {I, V, X, L, C, D, M}.
3 conjunto dos números ímpares positivos: 1, 3, 5, 7, 9, ...;
4 conjuntos dos núumeros primos positivos: 2, 3, 5, 7, 11, ....
Esta notação também é empregada quando o conjunto é
inﬁnito: escrevemos alguns elementos que evidenciem a lei
de formação e em seguida colocamos reticências.
1 conjunto dos números ímpares positivos: {1, 3, 5, 7, 9, · · · };
2 conjuntos dos núumeros primos positivos:
{2, 3, 5, 7, 11, · · · }.

DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO: Por uma propriedade
Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma
propriedade de característica P de seus elementos x,
escrevemos:
A = {x|x tem a propriedade P}
e lemos: "A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a
propriedade P".
Exemplos:
1 {x|x e Estado da Regiao Nordeste Brasil} é uma maneira
de indicar o conjunto: {Paraiba, Pernambuco, Bahia}
2 {x|x e divisor inteiro de 3} é uma maneira de indicar o
conjunto: {1, −1, 3, −3}

CONJUNTO UNITÁRIO - CONJUNTO VAZIO
Chama-se Conjunto Unitário aquele que possui um único
elemento. Exemplos:
conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: {1};
conjunto das soluções da equação: 3x + 1 = 10: {3};
conjunto dos Estados brasileiros que fazem fronteira com
o Uruguai: { Rio Grande do Sul }.
Chama-se Conjunto Vazio aquele que não possui elemento
algum. O símbolo usual para o conjunto vazio é: { } ou ∅.
Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjunto
por meio de uma propriedade P logicamente falsa.
Exemplos:
{x|x = x} = ∅;
{x|x é impar e múltiplo de 2} = ∅

CONJUNTO UNIVERSO - U
Quando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática,
admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencem
todos os elementos utilizados no tal assunto. Esse conjunto U
recebe o nome de Conjunto Universo. Assim, se procurarmos
as soluções reais de uma equação, nosso conjunto universo é
R (conjunto dos números reais); se estamos resolvendo um
problema cuja solução vai ser um número inteiro, nosso
conjunto universo é Z (conjunto dos números inteiros). Quase
sempre a resposta para algumas questões depende do
universo U em que estamos trabalhando.
Portanto, quando vamos descrever um conjunto A através de
uma propriedade P, é essencial ﬁxarmos o conjunto universo U
em que estamos trabalhando, escrevendo:
A = {x ∈ U|x tem a propriedade P}

EXERCÍCIOS: Dê os elementos dos seguintes conjuntos:
1 A = {x|x é letra da palavra matemática}
2 B = {x|x é cor da bandeira brasileira}
3 C = {x|x é nome de Estado que começa com a}
Solução:
1. A = {m, a, t, e, i, c}
2. B = {branco, azul, amarelo, verde}
3. C = {Amazonas, Amapá, Acre, Alagoas}.

EXERCÍCIOS: Descreva por meio de uma propriedade
característica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes:
1 A = {0, 2, 4, 6, 8, ...}
2 B = {I, II, III, X, IX, XV, ..., L}
3 C = {Brasília, Rio de Janeiro, Salvador }
Solução:
1. A = {x| é inteiro, par e não negativo}
2. B = {x| x é algarismo romano}
3. C = {x| x é nome de cidade que já foi capital do Brasil}

CONJUNTOS IGUAIS
Dois conjuntos A e B são conjuntos iguais quando todo
elemento de A pertence a B, reciprocamente, todo elemento de
B petence a A. Em símbolos:
A = B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B)
Exemplos:
{a, b, c, d} = {d, c, b, a}
{1, 3, 5, 7, 9, ...} = {xvert x é inteiro, positivo e ímpar}
{x|2x + 1 = 5} = {2}
Observemos que na deﬁnição de igualdade entre conjuntos
não intervém a noção de ORDEM entre elementos; portanto:
{a, b, c, d} = {d, c, b, a} = {b, a, c, d}

SUBCONJUNTOS
Um subconjunto A é subcon-
junto de um conjunto B, se e so-
mente se, todo elemento de A
pertence também a B. Com a
notação A ⊂ B indicamos que
"A é subconjunto de B"ou "A
está contido em B"ou "A é parte
de B". O símbolo ⊂ é denomi-
nado sinal de inclusão.
Em símbolos, a deﬁnição ﬁca:
A ⊂ B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A =⇒ x ∈ B)
Exemplos:
{a, b} ⊂ {a, b, c, d}
{x|x é inteiro e par} ⊂ {x|x é inteiro}

SUBCONJUNTOS
Quando A ⊂ B indicamos que
"A não está contido em B", isto
é, a negação de A ⊂ B.
É evidente que A ⊂ B somente
se existe ao menos um ele-
mento de A que não pertence a
B.
Exemplos:
{a, b, c} ⊂ {b, c, d, e}
{x|x é inteiro e par} ⊂ {x|x é inteiro e primo}

PROPRIEDADES DA INCLUSÃO
Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes
propriedades:
1 ∅ ⊂ A
2 A ⊂ A (reﬂexiva)
3 (A ⊂ B e B ⊂ A) =⇒ A = B (anti-simétrica)
4 (A ⊂ B e B ⊂ C) =⇒ A ⊂ C (transitiva)

CONJUNTO DAS PARTES
Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A -
notação P(A) - aquele que é formado por todos os
subconjuntos de A. Em símbolos
P(A) = {X|X ⊂ A}
Exemplos:
Se A = {a}, os elementos de P(A) são ∅ e {a}, isto é:
P(A) = {∅, {a}}.
Se A = {a, b}, os elementos de P(A) são ∅, {a}, {b} e {a, b},
isto é: P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
Se A = {a, b, c}, os elementos de P(A) são
∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}, isto é:
P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}, {b, c}, {c, a}, {a, b, c}}.

EXERCÍCIOS: Dados A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4}.
1 escreva com os símbolos da teoria dos conjuntos as
seguintes sentenças:
1 3 é elemento de A
2 1 não está em B
3 B é parte de A
4 B é igual a A
5 4 pertence a B
2 classiﬁque as sentenças anteriores em falsa ou
verdadeira.
Solução:
1 3 ∈ A (V)
2 1 ∈ B (V)
3 B ⊂ A (V)
4 B = A (F)
5 4 ∈ B (V)

EXERCÍCIO: Sendo A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 4} e
D = {1, 2, 3, 4}, classiﬁque em V ou F cada sentença abaixo e
justiﬁque.
1 A ⊂ D
2 A ⊂ B
3 B ⊂ C
4 D ⊃ B
5 C = D
6 A ⊂ C
Solução:
1 V, pois 1 ∈ A, 1 ∈ D, 2 ∈ A e
2 ∈ D;
2 F, pois 1 ∈ A e 1 ∈ B;
3 F, pois 2 ∈ B e 2 ∈ C;
4 V, pois 2 ∈ B, 2 ∈ D, 3 ∈ B
e 3 ∈ D;
5 F, pois 2 ∈ D e 2 ∈ C;
6 V, pois 2 ∈ A e 2 ∈ C.

REUNIÃO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
A ∪ B = {x|x ∈ A ou x ∈ B}
O conjunto A ∪ B (lê-se "A reu-
nião B"ou "A u B") é formado
pelos elementos que perten-
cem a pelo menos um dos con-
juntos A e B. Notemos que x é
elemento de A∪B se ocorrer ao
menos uma das condições se-
guintes:
x ∈ A ou x ∈ B

INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, chama-se Interseção de A e B o
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e B.
A ∩ B = {x|x ∈ A e x ∈ B}
O conjunto A ∩ B (lê-se "A inter
B") é formado pelos elementos
que pertencem aos dois conjun-
tos A e B simultaneamente.
Se x ∈ A ∩ B, isso signiﬁca que
x pertence a A e também x per-
tence a B. O conectivo e colo-
cado entre as duas condições
signiﬁca que elas devem ser ob-
decidas ao mesmo tempo.

DIFERENÇA DE CONJUNTOS
Dados conjuntos A e B, chama-se Diferença entre A e B o
conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a
B.
A − B = {x|x ∈ A e x ∈ B}
EXEMPLOS
{a, b, c} − {b, c, d, e} = {a}
{a, b, c} − {b, c} = {a}
{a, b} − {c, d, e, f} = {a, b}
{a, b} − {a, b, c, d, e} = ∅

COMPLEMENTAR DE B EM A
Dados dois conjuntos A e B, tais
que B ⊂ A, chama-se Comple-
mentar de B em relação a A o
conjunto A − B, isto é, o con-
junto dos elementos de A que
não pertencem a B.
Com o símbolo B
A ou B indicamos o complementar de B em
relação a A. Notemos que B
A só é deﬁnido para B ⊂ A, e aí
temos: B
A = A − B
EXEMPLOS:
Se A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e}, então: B
A = {a, b}
Se A = {a, b, c, d} = B, então: B
A = ∅
Se A = {a, b, c, d} e B = ∅, então: B
A = {a, b, c, d} = A

Questão 01: Dados os conjuntos A = {3, 5, 7, 9}, B = {7, 9} e
C = {5, 7, 9}, determine (A ∩ B) ∪ C, (B ∪ C) ∩ A, ( B
C) ∩ A e
(B∩C)
A .
Solução:
(A ∩ B) = {7, 9}.
Daí, teremos (A ∩ B) ∪ C = {7, 9} ∪ {5, 7, 9} = {5, 7, 9} = C
(B ∪ C) = {5, 7, 9}, logo
(B ∪ C) ∩ A = {5, 7, 9} ∩ {3, 5, 7, 9} = {5, 7, 9} = C
Sabemos que B
C = C − B = {5}. Assim, temos que
( B
C) ∩ A = {5} ∩ {3, 5, 7, 9} = {5}.
B∩C
A = A − (B ∩ C) = {3, 5, 7, 9} − {7, 9} = {3, 5}

Questão 02: Determine o conjunto A tal que
A ∪ {a, b, c, d} = {a, b, c, d, e}, A ∪ {c, d} = {a, c, d, e} e
A ∩ {b, c, d} = {c}.
Solução:
De acordo com a primeira igualdade, podemos concluir
que os possíveis elementos do conjunto A são a,b,c,d ou
e. Porém, a única certeza é que e ∈ A
Da segunda igualdade, concluimmos que b /∈ A e também
que a ∈ A
Da terceira igualdade, segue que c ∈ A e d /∈ A
Portanto, o conjunto A = {a, c, e}

Questão 03: Dados os conjuntos A = {n, u, m, e, r, o} e
B = {z, e, r, o}, quantos são os subconjuntos de
(A ∪ B) − (A ∩ B)?
Solução: Observe que:
(A ∪ B) = {n, u, m, e, r, o, z} e
(A ∩ B) = {e, r, o}. Então
(A ∪ B) − (A ∩ B) = {n, u, m, z} possui quatro elementos.
Portanto, o número de subconjuntos de (A ∪ B) − (A ∩ B)
será 24 = 16 subconjuntos.

BIBLIOGRAFIA UTILIZADA
Fundamentos de matemática elementar - vol 1: conjuntos,
funções. Iezzi, Gelson - 8. ed. - São Paulo: Saraiva, 2008.
Pré-Cálculo. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999.
Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. Boulos - São
Paulo: MAKRON Books, 1999.

OBSERVAÇÕES:
Caros alunos e alunas, é de extrema importância que
vocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,
estarem em dia com o conteúdo.
Sugerimos que estudem os conteúdos apresentados
nesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem no
fórum de nosso curso, para que possamos esclarecê-las.
O assunto exposto acima servirá de suporte durante todo
o curso. Portanto aproveitem este material!
BOM ESTUDO!

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