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Função e equação exponencial 13
1. FUNÇÃO EXPONENCIAL
Definição:
Consideremos um número 𝑎 real positivo tal que 𝑎 ≠ 0. A
função exponencial de base 𝑎, 𝑓: ℝ → ℝ+
, representada por
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
, é uma função que tem as seguintes propriedades, para
quaisquer que sejam 𝑥 e 𝑦 reais:
𝑃1) 𝑎 𝑥
∙ 𝑎 𝑦
= 𝑎 𝑥+𝑦
𝑃2) 𝑓(1) = 𝑎1
= 𝑎
𝑃3) 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑎 𝑥
> 𝑦 quando 𝑎 > 1
𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑎 𝑥
< 𝑦 quando 0 < 𝑎 < 1
Exemplos:
𝑎) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥
𝑐) 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
𝑏) 𝑦 = 5 𝑥
𝑑) 𝑓(𝑥) = (0,4) 𝑥
2. GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
O gráfico da função exponencial é chamado de curva
exponencial. Vamos analisar duas situações para a função 𝑓(𝑥) =
𝑎 𝑥
: a primeira com 𝑎 > 1 e a segunda com 0 < 𝑎 < 1.
1ª) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥
2ª) 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
Crescente Decrescente
3. EQUAÇÃO EXPONENCIAL
Chamam-se equações exponenciais aquelas em que a
incógnita aparece nos expoentes. Para resolvê-las usamos o fato
de que a função exponencial é injetiva, ou seja, para 𝑎 > 0 e
𝑎 ≠ 1, temos:
𝒂 𝒙
= 𝒂 𝒚
⇔ 𝒙 = 𝒚
Exemplos:
a) 4 𝑥
= 32
b) (
1
3
)
𝑥
= 81
EXERCÍCIO
Questão 1
Resolva as seguintes equações exponenciais na variável x.
a) 2 𝑥
= 64 d) 101−𝑥
=
1
10
b)3 𝑥−2
= 9 e) 24𝑥−𝑥2
= 8
c) 5 𝑥2−2𝑥
= 125 f) 32−𝑥
=
1
27
Questão 2
(PUC-MG) Seja a função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
é correto afirmar
que:
(a) Ela é crescente se 𝑥 > 0.
(b) Ela é crescente se 𝑎 > 0.
(c) Ela é crescente se 𝑎 > 1.
(d) Ela é decrescente se 𝑎 ≠ 0.
(e) Ela é decrescente se 0 < 𝑥 < 1.
Questão 3
Um grupo de estudantes observa uma cultura de bactérias. A cada
cinco horas a quantidade de bactérias triplica. O número de
bactérias 15 horas após a primeira observação era de 8 100. Qual
a quantidade inicial de bactérias nesse experimento?
(a) 100
(b) 200
(c) 300
(d) 400
(e) 500
Questão 4
Numa determinada cultura há 200 bactérias em condições ideais.
A cada duas horas a quantidade dobra. Determine o número de
bactérias, 12 horas após o início do estudo, sabendo que esse
crescimento é dado pela lei exponencial: 𝑁(𝑡) = 𝑁0 ∙ 𝑘 𝑡
, onde 𝑁(𝑡)
é o número de bactérias no instante 𝑡, 𝑁0 é o número inicial de
bactérias, 𝑡 é o tempo, em horas e 𝑘 uma constante.
(a) 10 230
(b) 12 800
(c) 13 120
(d) 14 480
(e) 15 100
Questão 5
(ENEM) Os números e cifras envolvidos, quando lidamos com
dados sobre produção e consumo de energia em nosso país, são
sempre muito grandes. Apenas no setor residencial, em um único
dia, o consumo de energia elétrica é da ordem de 200 mil MWh.
Para avaliar esse consumo, imagine uma situação em que o Brasil
não dispusesse de hidrelétricas e tivesse de depender somente de
termoelétricas, em que cada kg de carvão, ao ser queimado,
permite obter uma quantidade de energia da ordem de 10 kWh.
Considerando que um caminhão transporta, em média, 10
toneladas de carvão, a quantidade de caminhões de carvão
necessária para abastecer as termoelétricas, a cada dia, seria da
ordem de:
(a) 20
(b) 200
(c) 1 000
(d) 2 000
(e) 10 000
Questão 6
O carbono 14 é um isótopo raro do carbono presente em todos os
seres vivos. Com a morte, o nível de C14 no corpo começa a
decair. Como é um isótopo radioativo de meia-vida de 5730 anos,
e como é relativamente fácil saber o nível original de C14 no corpo
dos seres vivos, a medição da atividade de C14 em um fóssil é
uma técnica muito utilizada para datação arqueológicas. A
atividade radioativa do C14 decai com o tempo pós-morte segundo
a função exponencial 𝐴(𝑡) = 𝐴0 ∙ (
1
2
)
𝑡
5 730
, em que 𝐴0 é a atividade
natural do C14 no organismo vivo e 𝑡 é o tempo decorrido em anos
após a morte. Suponha que um fóssil encontrado em uma caverna
foi levado ao laboratório para ter sua idade estimada. Verificou-se
que emitia 7 radiações de C14 por grama/hora. Sabendo que o
animal vivo emite 896 radiações por grama por hora, então a idade
aproximada desse fóssil, em anos, seria:
(a) 400 mil (b) 200 mil (c) 80 mil (d) 40 mil

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Função exponencial - definições e exercícios - AP 13

  • 1. Função e equação exponencial 13 1. FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: Consideremos um número 𝑎 real positivo tal que 𝑎 ≠ 0. A função exponencial de base 𝑎, 𝑓: ℝ → ℝ+ , representada por 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , é uma função que tem as seguintes propriedades, para quaisquer que sejam 𝑥 e 𝑦 reais: 𝑃1) 𝑎 𝑥 ∙ 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦 𝑃2) 𝑓(1) = 𝑎1 = 𝑎 𝑃3) 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑎 𝑥 > 𝑦 quando 𝑎 > 1 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑎 𝑥 < 𝑦 quando 0 < 𝑎 < 1 Exemplos: 𝑎) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 𝑐) 𝑓(𝑥) = ( 1 2 ) 𝑥 𝑏) 𝑦 = 5 𝑥 𝑑) 𝑓(𝑥) = (0,4) 𝑥 2. GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL O gráfico da função exponencial é chamado de curva exponencial. Vamos analisar duas situações para a função 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 : a primeira com 𝑎 > 1 e a segunda com 0 < 𝑎 < 1. 1ª) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 2ª) 𝑓(𝑥) = ( 1 2 ) 𝑥 Crescente Decrescente 3. EQUAÇÃO EXPONENCIAL Chamam-se equações exponenciais aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. Para resolvê-las usamos o fato de que a função exponencial é injetiva, ou seja, para 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, temos: 𝒂 𝒙 = 𝒂 𝒚 ⇔ 𝒙 = 𝒚 Exemplos: a) 4 𝑥 = 32 b) ( 1 3 ) 𝑥 = 81 EXERCÍCIO Questão 1 Resolva as seguintes equações exponenciais na variável x. a) 2 𝑥 = 64 d) 101−𝑥 = 1 10 b)3 𝑥−2 = 9 e) 24𝑥−𝑥2 = 8 c) 5 𝑥2−2𝑥 = 125 f) 32−𝑥 = 1 27 Questão 2 (PUC-MG) Seja a função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 é correto afirmar que: (a) Ela é crescente se 𝑥 > 0. (b) Ela é crescente se 𝑎 > 0. (c) Ela é crescente se 𝑎 > 1. (d) Ela é decrescente se 𝑎 ≠ 0. (e) Ela é decrescente se 0 < 𝑥 < 1. Questão 3 Um grupo de estudantes observa uma cultura de bactérias. A cada cinco horas a quantidade de bactérias triplica. O número de bactérias 15 horas após a primeira observação era de 8 100. Qual a quantidade inicial de bactérias nesse experimento? (a) 100 (b) 200 (c) 300 (d) 400 (e) 500 Questão 4 Numa determinada cultura há 200 bactérias em condições ideais. A cada duas horas a quantidade dobra. Determine o número de bactérias, 12 horas após o início do estudo, sabendo que esse crescimento é dado pela lei exponencial: 𝑁(𝑡) = 𝑁0 ∙ 𝑘 𝑡 , onde 𝑁(𝑡) é o número de bactérias no instante 𝑡, 𝑁0 é o número inicial de bactérias, 𝑡 é o tempo, em horas e 𝑘 uma constante. (a) 10 230 (b) 12 800 (c) 13 120 (d) 14 480 (e) 15 100 Questão 5 (ENEM) Os números e cifras envolvidos, quando lidamos com dados sobre produção e consumo de energia em nosso país, são sempre muito grandes. Apenas no setor residencial, em um único dia, o consumo de energia elétrica é da ordem de 200 mil MWh. Para avaliar esse consumo, imagine uma situação em que o Brasil não dispusesse de hidrelétricas e tivesse de depender somente de termoelétricas, em que cada kg de carvão, ao ser queimado, permite obter uma quantidade de energia da ordem de 10 kWh. Considerando que um caminhão transporta, em média, 10 toneladas de carvão, a quantidade de caminhões de carvão necessária para abastecer as termoelétricas, a cada dia, seria da ordem de: (a) 20 (b) 200 (c) 1 000 (d) 2 000 (e) 10 000 Questão 6 O carbono 14 é um isótopo raro do carbono presente em todos os seres vivos. Com a morte, o nível de C14 no corpo começa a decair. Como é um isótopo radioativo de meia-vida de 5730 anos, e como é relativamente fácil saber o nível original de C14 no corpo dos seres vivos, a medição da atividade de C14 em um fóssil é uma técnica muito utilizada para datação arqueológicas. A atividade radioativa do C14 decai com o tempo pós-morte segundo a função exponencial 𝐴(𝑡) = 𝐴0 ∙ ( 1 2 ) 𝑡 5 730 , em que 𝐴0 é a atividade natural do C14 no organismo vivo e 𝑡 é o tempo decorrido em anos após a morte. Suponha que um fóssil encontrado em uma caverna foi levado ao laboratório para ter sua idade estimada. Verificou-se que emitia 7 radiações de C14 por grama/hora. Sabendo que o animal vivo emite 896 radiações por grama por hora, então a idade aproximada desse fóssil, em anos, seria: (a) 400 mil (b) 200 mil (c) 80 mil (d) 40 mil