O documento discute matrizes, definindo-as como tabelas de números organizados em linhas e colunas. Explica brevemente a história das matrizes, tipos como identidade e transposta, operações como adição e multiplicação, e aplicações práticas como organização de preços. Finaliza com uma curiosidade sobre representação de números complexos por matrizes.

1. Acadêmicos:
Fernando Barbosa
Breno Batista
Jorge Raylan
Vitor Hugo
MATRIZES

2.  Um pouco da história
 Definição
 Tipo de matrizes
 Operações básicas (adição e multiplicação)
 Matrizes em nosso dia a dia
 Curiosidades a respeito

3. Contexto histórico
A história da matemática retrata que o estudo
das matrizes vem de tempos antigos da
humanidade: Elas estão presentes em textos
chineses, por volta do século II a.C., aplicadas em
problemas de resolução de equações lineares.

4. Nas obras matemáticas chinesas, percebe-se
ainda, o quanto eles gostavam de diagramas de
formato quadrado: os quadrados mágicos. Das
diversas histórias existentes sobre o surgimento
dos quadrados mágicos uma delas conta que eles
aparecem pela primeira vez na China, por volta de
2.200 a.C., o Lo Shu (rio livre), que, segundo a
lenda, acalmava a fúria do rio Lo.

5. Matematicamente, um Quadrado Mágico Elementar é uma matriz quadrada
(mesmo número de linhas e colunas) de ordem n (n linhas e n colunas) cujos
elementos (números naturais) variam sucessivamente de 1 até n2 que são
arrumados de modo que a soma de cada linha, cada uma das duas diagonais
principais ou de cada coluna seja sempre uma constante.
Por exemplo, o quadrado mágico abaixo, popularmente conhecido como
Sudoku, no qual a soma das horizontais, das verticais e das diagonais é sempre
15, remonta aos dias de um lendário imperador de nome Yii.

6. Definição
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos
por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam,
respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.
Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

7. Ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam,
respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo,
na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna. Ex.:
Na matriz A, temos:

8. Tipos de Matrizes
 Matriz identidade
 Matriz transposta
 Matriz simétrica
 Matriz oposta

9. Matriz identidade
A identidade é a matriz quadrada em que todas as entradas da diagonal
principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero. Ela é chamada de matriz
identidade, pois se multiplicá-la por outra não altera a matriz.
Ex.:

10. Matriz transposta
Matriz At obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por
colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
Desse modo, se a matriz A é
do tipo m x n, At é do tipo n x m.
Note que a 1ª linha
de A corresponde à 1ª coluna
de At e a 2ª linha de A
corresponde à 2ª coluna de At
.

11. Matriz simétrica
Matriz quadrada de ordem n tal que A = At. Por exemplo:
É simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6, a23 = a32 = 4,
ou seja, temos sempre a ij = a ij.

12. Matriz oposta
Matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A.
Por exemplo:

13. Operações com matrizes
 Adição
Ex.:
Dadas as matrizes A=[aij]m x n e B=[aij] m x n, chamamos de soma matrizes a
matriz C=[cij]m x n, tal que Cij = aij + bij, para todo 1 < i < m e todo 1 < j < n.
A + B = C

14. Multiplicação de um número real por uma
matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é
uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento
de A por x, ou seja, bij = xaij.
B = x.A
Ex.:

15. Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos
seus respectivos elementos.
Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x
n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos
correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
Observe que:
Portano, , A ,ou seja, para a
multiplicação de matrizes não vale a
propriedade comutativa.
Ex.:

16. Matriz em nosso dia a dia
Hoje em dia, as matrizes têm uma importância muito significativa no campo
das aplicações em Matemática, especialmente na Álgebra Linear e computação
Gráfica. Também são muitos utilizados em nosso cotidiano, por exemplo, na
organização de dados, como a tabela de preços, campeonatos e etc. Exemplo
prático:
Uma doceira preparou 3 tipos de salgados, usando ingredientes conforme a
tabela.
Os preços dos ingredientes constam na tabela abaixo:
Resolução:

17. Curiosidades sobre matrizes
Curiosidades sobre matrizes
Uma curiosidades sobre matrizes é estudar os números complexos, z = a + ib, é vê-
los como matrizes quadradas 2 x 2 da forma:
Desta forma, todas as propriedades dos números complexos podem ser obtidas
através do estudo de matrizes.