Término de Curso Formação Docente de Capacitação de Professores do Estado do Rio de Janeiro - 2º ano - 3º Bimestre de 2019

1. Plano de Trabalho
Bloco Temático: 1
Professor Cursista: José Américo dos Santos
Tutor: Thiago Gomes Quaresma
Informações sobre a turma:
Número de alunos: 38 alunos
Disponibilidade de Recursos Tecnológicos na sala: não existem
Existe laboratório de Informática: não
Números de aulas para exposição do conteúdo: 38
Números de aulas para avaliação: 2
Roteiro de Ação
Operações com matrizes
Duração prevista: 150 minutos
Área de conhecimento: Matemática
Assunto: Matrizes e Determinantes
Objetivos: Desenvolver as habilidades relacionadas às operações com matrizes.

2. Pré-requisitos: Definição de matriz, operações elementares com números reais.
Material necessário: Folha de atividades, régua, lápis de cor ou caneta hidrográfica.
Organização da classe: Turma disposta em duplas de forma a propiciar um trabalho
colaborativo.
Descritores associados:
 H33 – Efetuar cálculos envolvendo as operações com matrizes
Introdução
Neste item deve ser feita uma contextualização do conteúdo que se pretende ensinar e a
metodologia adotada. Justificando por exemplo as carências de conteúdo dos alunos e como
podem ser contornadas, que tipo de recursos pode ser utilizado. Se há alunos com
necessidades especiais e quais estratégias pretendem-se utilizar.
Na primeira vez que apresento o conteúdo de matriz às turmas faço associação com
significados de matriz no dicionário da língua portuguesa, em biologia e matemática.
EM PORTUGUÊS (DICIONÁRIO): matriz: fonte, substantivo feminino.
EM BIOLOGIA
1.órgão das fêmeas dos mamíferos, na cavidade pélvica, onde o embrião e posteriormente o
feto se desenvolvem o útero.
2.por extensão lugar onde algo é gerado e/ou criado.
"uma pepita vinda diretamente da mãe."
EM MATEMÁTICA
Matrizes: Trata-se de uma representação matemática que inclui em linhas (horizontais) e
colunas (verticais) Definições e Operações
Matrizes são organizações de informações numéricas em uma tabela retangular formada por
linhas e colunas. Essa organização em uma tabela facilita que se possa efetuar vários cálculos
simultâneos com as informações contidas na matriz.
Definição de matrizes
Toda matriz tem o formato m x n (leia-se: m por n, com n e m ∈ N*), onde m é o número de
linhas e n o número de colunas.
Representação de matrizes
Existem diversas maneiras de representarmos matrizes, veja quais são:
 Colchetes: [ ]
 Parênteses: ( )
 Barras Simples: | |
 Barras Duplas: || ||

3. Essas são as representações mais comuns que encontramos na literatura.
Exemplos:
Representação de matrizes
Elementos de uma matriz
Seja a matriz genérica Amxn, isto é, m representa as linas e n o número de colunas. Então,
temos:
Matriz genérica
Dessa forma, os elementos da matriz A são indicados por aij, onde o i representa o índice da
linha e j representa o índice da coluna para o elemento em questão. Assim, para localizar um
elemento na coluna, procura-se o número da linha e da coluna, esses números são os índices i
e j.
Pela imagem acima, veja que as linhas são numeradas da esquerda para a direita, enquanto
que as colunas são numeradas de cima para baixo.
Exemplos:

4.  a11 representa o elemento da linha 1 e coluna 1.
 a32 representa o elemento da linha 3 e coluna 2.
 a22 representa o elemento da linha 2 e coluna 2.
 amn representa o elemento da linha m e coluna n.
Seja a matriz
assim:
 a11 representa o elemento 1.
 a12 representa o elemento 4.
 a13 representa o elemento 0.
 a21 representa o elemento -2.
 a22 representa o elemento 4.
 a23 representa o elemento 3.
Uma matriz também pode ser representada por uma forma abreviada de forma que possamos
escrevê-la facilmente.
Exemplo:
Considere a matriz M = [aij]2×3 tal que aij = i + j. Escreva a matriz M.
Primeiramente vamos verificar as informações passadas. Observe que teremos uma matriz
retangular, com 2 linhas e 3 colunas. Os elementos da matriz é a soma dos índices (posição)
das linhas e colunas. Assim:
 Escrevendo os elementos:
o a11 = 1 + 1 = 2.
o a12 = 1 + 2 = 3.
o a13 = 1 + 3 = 4.
o a21 = 2 + 1 = 3.
o a22 = 2 + 2 = 4.
o a23 = 2 + 3 = 5.
 Então a matriz M é:
Matrizes Especiais

5. Vamos conhecer agora alguns tipos de matrizes especiais que é muito importante saber.
Matriz Linha: É uma matriz que possui somente uma linha (ordem 1xn)
Exemplo:
Matriz Linha
Matriz Coluna: É uma matriz que possui uma única coluna (ordem mx1)
Exemplo:
Matriz Coluna
Matriz Nula: É uma matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero.
Exemplo:
Matriz Nula
Matriz Quadrada: É uma matriz em que o número de colunas é igual ao número de linhas.
Sendo que uma matriz quadrada de ordem mxn podemos dizer que ela tem ordem n
Exemplo:
Matriz Quadrada

6. Essa é uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, ou simplesmente de ordem 3. Numa matriz
quadrada de ordem n, temos que os elementos aij com i = j formam a diagonal principal,
enquanto que os elementos i + j = n + 1, formam a diagonal secundária. Veja:
Diagonal principal e diagonal
secundária
Elementos da diagonal principal da matriz A.
Diagonal principal
Elementos da diagonal secundária da matriz A.
Diagonal secundária
Observação:
Quando a matriz não é quadrada chamamos de matriz retangular.
Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem a
diagonal principal são nulos.
Exemplo:

7. Matriz Diagonal
Matriz Identidade: É uma matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem a
diagonal principal são nulos e os elementos da diagonal principal são 1. É representada por In,
matriz quadrada de ordem n.
Exemplos
I2 = Matriz identidade de ondem 2
Matriz identidade
I3 = Matriz identidade de ondem 3
Matriz identidade
Matriz Oposta: É uma matriz que é obtida trocando os sinais dos elementos da matriz. Se
chamamos uma matriz de A, então a matriz oposta é -A.
Exemplo:
Considere a matriz A a seguir:
Matriz A
Então a matriz oposta -A é:

8. Matriz oposta de A
Matriz Transposta:
Exemplo: Uma matriz transposta é uma matriz resultante da troca ordenadamente de linhas
pelas colunas de outra matriz. Se temos uma matriz A, então a transposta de A tem notação
At
.
Seja a matriz A = [aij]mxn a matriz transposta de A é At
= [aij]nxm.
Matriz Transposta
Propriedade da transposta
Considere as matrizes A e B e a um número real qualquer, caso as operações a seguir sejam
possíveis, então temos que:
1. (A + B)t
= At
+ Bt
2. (a.A)t
= a.At
3. (At
)t
= A
4. (A.B)t
= Bt
.At
5. Uma matriz é simétrica, se, e somente se, ela seja igual a sua transposta: A = At
.
6. Uma matriz é antissimétrica, se, e somente se, ela seja igual a oposta da sua
transposta: A = -At
.
7. Uma matriz quadrada é ortogonal, se, e somente se, a sua transposta seja igual a sua
inversa: At
= A-1
.
Operações entre Matrizes
Aplicar as operações da aritmética para resolver problemas com matrizes é importante e
vamos ver cada um delas a seguir:

9. Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais, se, e somente se, todos os elementos
que correspondem a B e a A sejam iguais. Ou seja, A = B ⇔ aij = bij.
Exemplo:
Igualdade de Matrizes
Adição de Matrizes
Para fazer a adição de duas matrizes, devemos somar todos os elementos correspondentes de
uma matriz com a outra, ou seja, somar linha com linha e coluna com coluna. As matrizes deve
ter mesma ordem.
Exemplo:
Seja A e B duas matrizes de mesma mxn. Somamos A e B, e escrevemos A + B, obtendo uma
matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida somando os elementos
correspondentes de A e B. Veja: Adição de Matrizes
Propriedades de matrizes
Considerando A, B e C matrizes de mesma ordem e N uma matriz nula, caso as operações a
seguir sejam possíveis, então temos que:
1. Comutativa: A + B = B + A
2. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
3. Elemento neutro: A + N = N + A = A
4. Elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = N
5. (A + B)t
= At
+ Bt
Subtração de Matrizes
Para fazer a subtração de duas matrizes devemos subtrair todos os elementos
correspondentes de uma matriz com a outra, ou seja, subtrair linha com linha e coluna com
coluna. As matrizes deve ter mesma ordem.
Exemplo:
Seja A e B duas matrizes de mesma ordem mxn. Fazemos a diferença de A e B, e escrevemos A
– B, obtendo uma matriz C de mesma ordem mxn, de forma que C seja obtida subtraindo os
elementos correspondentes de A e B. Veja:

10. Subtração de Matrizes
Multiplicação de um número real por uma Matriz
Seja Amxn uma matriz e a um número real. O produto de a por A resulta em uma matriz Bmxn,
de forma que multiplicamos o número real a por cada elemento de A.
Exemplo:
Multiplicação de um número real por uma matriz

11. Propriedades
Considerando A e B matrizes de mesma ordem e a e b números reais, caso as operações a
seguir sejam possíveis, então temos que:
1. 1 . A = A
2. (-1) x A = -A
3. a . 0 = 0
4. 0 . Amxn = 0mxn
5. a . (b . Amxn) = (a . b) . Amxn
6. a . (A + B) = a . A + a . B
7. (a + b) . A = a . A + b . A
Multiplicação entre Matrizes
Considere as matrizes Amxn e Bnxp. A multiplicação das matrizes A e B, nesta ordem, resulta em
Cmxp, de forma que C seja obtida pela soma dos produtos dos elementos da linha i de A e da
coluna j de B.
Exemplo:
Considere as matrizes A e B, então A x B é:
Multiplicação de matrizes
Observações importantes:
1. A multiplicação de matriz somente é possível se o número de linhas em uma matriz for
igual ao número de colunas da outra matriz.

12. 2. A matriz resultante C tem o mesmo número de linha da primeira matriz e o mesmo
número de colunas da segunda matriz.
Matrizes e Determinantes
O determinante de uma matriz A é um número real indicado por det A.
Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3
Determinante de uma matriz de ordem 1 é o próprio elemento.
A = [a] ⇒ det A = a
Determinante de uma matriz de ordem 2
Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3
Determinantes de uma matriz de ordem 3
Para matrizes de ordem 3, deve-se aplicar a regra de Sarrus para calcular o determinante. Este
método só se aplica para matrizes de ordem 3.
Considere a matriz A quadrada de ordem 3:
Copiamos a 1ª e a 2ª colunas para a direita da matriz:

13. Após isso, multiplicamos os termos entre si, seguindo as setas abaixo colocando o sinal como
especificado na imagem:
Regra de Sarrus
det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – a12 . a21. a33
A ideia é multiplicar os elementos no sentido das setas e colocar os respectivos sinais de
adição e subtração como está especificado.
Determinante de matrizes de ordem superior a 3
Para matrizes de ordem superior a 3 devemos utilizar o teorema de Laplace. Antes de falarmos
sobre o teorema de Laplace é preciso entendermos o que é cofator ou complemento algébrico
(Mij).
Cofator ou complemento algébrico (Mij)
Para calcularmos o cofator ou complemento algébrico de um elemento aij em uma matriz M
de ordem n, com n > 1, devemos utilizar a seguinte fórmula:
Mij = (-1)i + j
. Dij
Onde i e j são os índices do elemento em questão e Dij representa o determinante da matriz
que fica com a eliminação das linhas e colunas para o elemento escolhido.

14. Exemplo:
Vamos calcular o cofator M23 para a matriz abaixo:
Então, escolhemos o elemento M23 e removemos a linha e coluna em relação a ele. Temos:
Agora aplicaremos a fórmula definida acima. Assim:
Aplicamos a fórmula e calculamos o determinante D23 para a matriz que sobra depois que
excluímos a linha e coluna para o elemento M23
Teoremade Laplace
O teorema de Laplace pode ser aplicado em matrizes de ordem n, com n > 1. Mas como vimos
nos tópicos anteriores existem regras mais adequadas para cálculos dos determinantes de
matrizes de ordem menores que 4.
Para facilitar o cálculo utilizando o teorema de Laplace devemos escolher uma linha ou coluna
com a maior quantidade de zeros possíveis, pois isso ajuda na hora do cálculo. Isto é, teremos
menos trabalhos para fazer a conta.
Exemplo:
Considere a matriz a seguir:

15. Resolução:
Olhando a matriz A, vamos escolher a primeira linha como referência pois temos um número
maior de zero e isso nos ajudará a fazer menos cálculos.
Assim:
det (A) = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 + a14 . A14 = 1 . (–1)1 + 1
. D11 + 0 . (–1)1 + 2
. D12 + 2 . (–1)1 + 3
. D13 + 0 . (–1)1 + 4
. D14 = D11 + 2D13
Agora temos que determinar as matrizes D11 e D13 removendo as linhas e colunas para os
elementos da posição Dij.

16. Então:
Portanto, det (A) = 19
Acima calculamos o determinante para D11 e D13 utilizando a regra de Sarrus para matrizes de
ordem 3.
Leia também…
Matriz Identidade
Matriz Transposta
Matrizes e Determinantes
Matriz Inversa
Desenvolvimento

17. Neste item deve ser descrito a metodologia a ser desenvolvida, e as propostas utilizadas
Podem ser descritas de forma sucinta a partir dos roteiros de ação ou o que o docente realizar
pesquisa para inserir.
Atividade 1
Questão proposta: (PUC–SP–Adaptada) São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas
de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = – 4i – 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C.
Solução
a11 = 3.1 + 4.1 = 7, a12 = 3.1 + 4.2 = 11
a21 = 3.2 + 4.1 = 10, a22 = 3.2 + 4.2 = 14
Logo A = 





dc
ba
= 





2221
1211
aa
aa
= 





1410
117
b11 = - 4.1 – 3.1 = - 7, b12 = - 4.1 – 3.2 = - 10
b21 = -4.2 – 3.1 = - 11, b22 = - 4.2 – 3.2 = - 14
Então B= 





dc
ba
= 





2221
1211
bb
bb
= 







1411
107
Como C = A + B, temos: 





1410
117
, então C = 





 01
10
Atividade 2
Questão proposta: (PUCC–SP–Adaptada) Seja a matriz A = ( aij ) 2 x 2, em que aij = i + j, se i = j e i
– j, se i ≠ j. Determine a matriz respeitando essas condições e calcule A + A + A.
a11 = 1 + 1 = 2, a12 = 1 - 2 = - 1
a21 = 2 - 1 = 1, a22 = 2 + 2 = 4
Logo A = 





dc
ba
= 





2221
1211
aa
aa
= 




 
41
12
,
Logo A + A + A = 




 
41
12
+ 




 
41
12





 
41
12
= 




 
123
36
,
Atividade 3
Questão proposta: Para nossa incursão nas mensagens criptografadas usando matrizes,
precisamos inicialmente fazer uma associação entre números e as letras do alfabeto da
seguinte forma:

18. Os espaços entre as palavras serão representados por um traço e para esse símbolo será
atribuído o número “0”. Vamos ver como podemos transmitir a mensagem JOSE, sabendo que
a “chave” da mensagem é a matriz 2x2, A = 





53
14
,
O primeiro passo é converter a mensagem, usando a tabela de associação de números e letras,
J O S E
10 15 19 5
Podemos organizar estes dados em forma de uma matriz 2x2






ES
OJ
ou ainda escrever
M = 





ES
OJ
Em seguida, multiplicamos a matriz M pela “matriz-chave” (pela esquerda)
C = A. M = 





53
14
. 





519
1510
C = 





70125
6559
Os elementos da matriz A.M corresponderão à mensagem codificada.
59 65 125 70
Agora a mensagem poderá ser enviada. Como foi combinada antecipadamente com o
destinatário, qual a “chave” para a decodificação, este reorganiza novamente os dados em
forma de uma matriz e procede a decodificação, multiplicando a matriz C pela inversa da
matriz A (à esquerda), pois, A-1.
C = A-1
.A.M = M.

19. Vamos primeiro calcular a matriz A-1.
Sendo A = 





53
14
, A-1.
= 





dc
ba
e I = 





10
01 ,.
A x A-1
= 





53
14
x 





dc
ba
= 





10
01
Temos: 













10
01
5353
44
dbca
dbca
=
153,053
04,14


dbca
dbca
1) 4a + c =1 (I)
2) 4b + d = 0 (II), d = - 4b, d = -4(-1/17), d = 4/17
3) 3a + 5c = 0 (III), 3a = -5c, a = -5c/3, substituindo a em (I) encontramos o valor de c
4a + c =1, 4(-5c/3) +c = 1, (-20c/3) + c = 1, - 20c +3c = 3, -17c = 3 , c = -3/17
EM (III) a 3a = -5c, a = -5c/3, substituindo o valor de c, temos a = - 5(-3/17)/3 , a = 5/17
4) 3b + 5d = 1 (IV), 3b + 5(-4b) = 1, 3b -20b = 1, -17b = 1, b = -1/17
Substituindo b em (II), temos: d = - 4b, d = -4(-1/17), d = 4/17
Logo a matriz inversa de A é, isto é, A-1
= 







17/417/3
17/117/5
Verificando se está correto A x A-1
= I






53
14
x 





dc
ba
= 





53
14
x 







17/417/3
17/117/5
=








)17/4.(5)17/1.(3)17/3.(5)17/5.(3
)17/4.(1)17/1.(4)17/3(1)17/5.(4
=








17/2017/317/1517/15
17/417/417/317/20
= 





17/170
017/17
= 





10
01
(VERDADEIRO)
Em seguida, multiplicamos a matriz M pela “matriz-chave” (pela esquerda)






519
1510
. 





53
14
= 





70125
6559
Os elementos da matriz A.M corresponderão à mensagem codificada.
59 65 125 70

20. Multiplicamos a matriz inversa de A, isto é, A-1
.C pela esquerda corresponderão à mensagem
original








17/417/3
17//117/5
. 





519
1510
= 







5.515.319.510.3
5.115.419.110.4
,








25459530
5601940
.








17/417/3
17/117/5
. 





70125
6559
=
.
70).17/4(65).17/3(125)17/4(59)17/3(
70).17/1(.65).17/5(125).17/1(59).17/5(








 
  







)17/280()17/195(17/50017/177
)17/70()17/325(17/125)17/295(






17/8517/323
17/25517/170
= 





519
1510






ES
OJ
Atividade 4
Questão proposta: Dado o quadro de valor numérico abaixo, seja a matriz inversa de A =








4/14/1
2/11
e M = 





5810136
38684
, a mensagem codificada, multiplicando a matriz
inversa de A pela matriz codificada M, encontramos:
Solução:








4/14/1
2/11
x 





5810136
38684
=








58).4/1(38).4/1(10).4/1(6).4/1(136).4/1(84).4/1(
58).2/1(38.110).2/1(6.1136).2/1(84.1








4/58)4/38(4/10)4/6(3421
2938566884
= 





15113
9116
=

21. 





EAM
IAP
Atividade 5
Questão proposta: (PUC) Um batalhão do exército, resolveu codificar suas mensagens através
da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos números,
segundo a correspondência abaixo considerada:
Desta forma supondo que o batalhão, em questão, deseja enviar a mensagem “PAZ”, pode=se
tomar uma matriz 2 x 2, da forma:






Z
AP
, a qual, usando-se da tabela acima, será dada por:
M = 





025
115
Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é:
C = 





21
32
Transmite-se a mensagem “PAZ” através da multiplicação das matrizes M e C., ou seja?
M . C = 





025
115
. 





21
32
= 





7550
4731
Ou através da cadeia de números 31 47 50 75. Desta forma, utilizando=se a mesma
matriz=chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será compreendida pelo batalhão
como a transmissão da palavra:
A) LUTE B) FOGO C) AMOR D) VIDA E) FUGA
Solução:

22. 





dc
ba
. 





21
32
= 





149
8151
. Multiplicando a matriz A = 





dc
ba
pela matriz-chave C =






21
32
, temos








2.3.1.2.
2.3.1.2.
dcdc
baba
= 





149
8151
, fazendo a igualdade de matrizes, deparamos com o
sistema; 




142392
8123512
dcdc
baba
a = 21, b = 9, c = 4 e d= 1, logo A = 





dc
ba
=






14
921
, substituindo os valores encontrados pelas letras do alfabeto temos: 





AD
IV
,
Resp: letra D
Avaliação
Neste item esperamos que vocês descrevam os tipos de avaliação para o conteúdo. Para
maiores informações e compartilhamentos de práticas de avaliação utilizem a barra do curso
moodle.
A avaliação será feita durante o processo feito pelo professor em relação à participação dos
alunos, de suas anotações e dadas as provas, testes e trabalhos por eles executados
Referências Bibliográficas
Souza, Joamir Roberto de, Novo olhar matemática: volume 2 Joamir Roberto de Souza – 2ª
edição – São Paulo: FTD, 2013 Matrizes e determinantes, Unidade 3 – Capítulo 5 páginas 121 a
156
Atividade Educacional disponível em
>https://www.facebook.com/AtividadeEducacional/photos/pcb.2186431454800764/218643
0421467534/?type=3&av=380193905424537&eav=AfbfoAeW2bv5PmPO3K8sdWc3HgQjLDcX
U_XBRpJBqJ4qAzv_NlPePofX0hdO1z181Vk&theater > acessado em 01 de agosto de 2019
Matrizes: Definições e de Operações, disponível em <
https://matematicabasica.net/matrizes/ > acessado em 30 agosto de 2019
Exercícios sobre: Adição e Subtração de Matrizes, disponível em
<https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-adicao-
subtracao-matrizes.htm > acessado em 30 de agosto de 2019
Matrizes - Só Matemática, disponível em
<https://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.php > acessado em 30
agosto de 2019

23. Matrizes _ InfoEscola, disponível em < https://www.infoescola.com/matematica/matrizes/ >
acessado em 30 agosto de 2019
___________. Criptografia – Multiplicação de Matrizes. Disponível em <
https://youtu.be/7y7glsd-7tM > acessado em 30 agosto de 2019
Percursos Educativos, disponível em >
http://hotsite.tvescola.org.br/percursos/matematica/algebra-e-funcoes/matriz/ > acessado
em 06 set 19
https://portaldosaber.obmep.org.br/index.php/modulo/ver?modulo=75 > acessado em 06
set 19
Matrizes, Definições e Operações, disponível em < https://matematicabasica.net/matrizes/ >
acessado em 07 set 19
Matemática Básica, disponível em < https://matematicabasica.net/matrizes/ > acessado em
07 set 19