matrizes - propriedades, tipos e operações

1. MATRIZES
PROFº
MARCOS

2. MATRIZES
QUALQUER TABELA DE NÚMEROS
DISPOSTOS RETANGULARMENTE EM
LINHA E COLUNAS
PROFº
MARCOS

3. • A ideia de matriz se associa com a de
uma tabela de números
• O uso das matrizes no dia a dia é
relativamente frequente em: imagens
da internet (gif, jpeg), planilhas
eletrônicas, tabelas de dados.
• As matrizes terão importância essencial
no desenvolvimento de sistemas
lineares.

4. REPRESENTAÇÃO DE MATRIZES
1 2
3 4
𝑜𝑢
1 2
3 4
𝑜𝑢
1 2
3 4

5. PARTES DE UMA MATRIZ
𝐴 =
1
4
2
5
3
6
7 8 9
LINHAS
ELEMENTO
COLUNAS
OBS: FILEIRA: pode ser tanto uma linha ou uma coluna

6. • Amxn – matriz A (m linhas e n colunas)
• 𝑎𝑖𝑗 – Elemento qualquer que está na
linha i e na coluna j.
NOMENCLATURA
A =
𝑎13
𝑎23
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32 𝑎33
Elementoda3ª linhae2ª coluna

7. • Exemplo:
𝑎𝑖𝑗
• Escrever a matriz A = 2x3, onde 𝑎𝑖𝑗 =
𝑖 + 𝑗
LEI DE FORMAÇÃO
A = 𝑎11
𝑎21
𝑎12
𝑎22 𝑎23
𝑎13 = 2 3 4
3 4 5
𝑖 + 𝑗

8. • QUANTO ÀS FILEIRAS TEMOS:
TIPOS DE MATRIZ
𝐴 = (1 2 3) MATRIZ LINHA
𝐴 =
1
2
3
MATRIZ COLUNA
A = 1 2
3 4
MATRIZ QUADRADA

9. Ainda na matriz quadrada temos:
A =
1 2 3
2 1 2
3 1 4
DIAGONAL SECUNDÁRIA
DIAGONAL PRINCIPAL

10. A =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
MATRIZ IDENTIDADE
Todos os elementos da diagonal principal
valerem 1 e os demais zero.

11. 0 0 0
A = 0 0 0
0 0 0
MATRIZ NULA

12. • Duas matrizes são iguais se (e somente se) são
de mesma ordem. Ou seja, igual o número de
linhas e colunas e seus elementos
correspondentes são iguais
IGUALDADE DE MATRIZES
𝐴 = 1 2
3 4
𝐵 = 𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
Se A = B, então:
a = 1
b = 2
c = 3
d = 4

13. • Se duas matrizes possuem a mesma ordem,
basta somarmos os elementos
correspondentes.
ADIÇÃO DE MATRIZES
𝐴 =
1 2 3
4 5 6
+ B= 2 5 4
1 2 9
=
C = 3 7 7
5 7 15

14. • A + B = B + A comutativa
• A + (B + C) = (A + B) + C associativa
• A + O = A
• A + (-A) = O
elemento neutro
elemento oposto ou
simétrico
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
matriz oposta

15. • Se A e B são matrizes de mesma ordem.
Para se fazer A – B basta subtrair os
elementos correspondentes de A e B,
mantendo-se os seus índices.
SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
A= 5 6
7 8
- B
1 2
3 −4
=
4 4
4 12

16. • Basta multiplicar o nº por todos os elementos
da matriz.
PRODUTO DE UM Nº REAL POR UMA
MATRIZ
2 . 1
3 4
2 = 2 4
6 8

17. • Ao multiplicarmos ( - 1) por A vamos obter o
oposto de A.
OPOSTO DE UMA MATRIZ
Se A = 1 2 , 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
3 4
- A = (-1).
1 2
3 4
=
−1 −2
−3 −4

18. • Dada uma matriz A de tipo mxn, chama-se
transposta de A e indica-se 𝐴𝑡. Basta trocar
ordenadamente as linhas pelas colunas de A.
MATRIZ TRANSPOSTA
𝐴 =
2 1
−3 5
4 3
𝐴𝑡 =
2 −3 4
1 5 3

19. • DETALHES:
- O produto AB é diferente de BA.(a ordem
importa).
- O número de colunas da primeira matriz
deve ser igual ao número de linhas da
segunda matriz.
- O resultado terá o mesmo número de linhas
da primeira matriz e o mesmo número de
colunas da segunda.
PRODUTO DE MATRIZES

20. 𝑆𝑒 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛 𝑥 𝑞
LINHAS
COLUNAS
m x n e
=
PARA QUE HAJA O PRODUTO DAS MATRIZES É
NECESSÁRIO QUE: número de colunas da
primeira matriz deve ser igual ao número de
linhas da segunda matriz.
RESULTADO NESSA ORDEM
Então: A . B = (𝐶𝑖𝑗 )𝑚 𝑥 𝑞

21. Seja: 𝐴 =
1 2 3
3 1 2
𝑒 𝐵 =
2 1
3 2
4 5
Exemplo:
1. Existe produto de AB? Justifique.
2. Calcule o produto se existir.

22. 1. Existe produto de AB? Justifique
1. Sim. A ordem de A é (2 x 3) e a ordem de B é (3 x
2). Como o número de colunas de A é igual ao
número de linhas de B. O produto existe e terá
ordem 2 x 2.
𝐴 =
1 2 3
3 1 2
2 1
𝐵 = 3 2
4 5
2 x 3
3 x 2

23. 2. Calcule o produto se existir.
𝐴 =
1 2 3
3 1 2
𝐵 =
2 1
3 2
4 5
𝐴 =
1.2 + 2.3 + 3.4
3.2 + 1.3 + 2.4
1.1 + 2.2 + 3.5
3.1 + 1.2 + 2.5
= 𝐴 =
20 20
17 15
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MARCOS

24. PROFº
MARCOS