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X ENCONTRO PARAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Belém – 400 Anos: História, Educação e Cultura
Belém – Pará - Brasil, 09 a 11 de setembro de 2015
ISSN 2178-3632
ALGORÍTMOS DO PASSADO: as diferentes técnicas de multiplicação
Giancarlo Secci de Souza Pereira1
RESUMO
Este trabalho tem como principal objetivo apresentar, de forma simples, os diferentes algoritmos de
multiplicação desenvolvidos por diferentes povos ao longo da história. Ressaltar a importância da
história da Matemática como ferramenta no processo de ensino-aprendizagem desta ciência e como
esta ferramenta pode nos auxiliar no ensino de multiplicação de números naturais. Investigar quão
preparados estão os alunos do 6º ano do Ensino Fundamental para trabalhar com as operações que
envolvem a multiplicação de números naturais, quais suas experiências e conhecimentos prévios
sobre o tema. Partiremos da técnica de multiplicação usual, consagrado nas escolas brasileiras,
faremos uma análise dos principais métodos de multiplicação desenvolvidos ao longo da história,
seus precursores, suas contribuições para o ensino da Matemática e de que forma essas técnicas
podem nos auxiliar na elaboração de novas estratégias para o ensino da multiplicação neste nível de
ensino, objetivando aguçar a curiosidade de professores e alunos que buscam um ensino prazeroso
e de qualidade, para que estes possam apoderar-se desta ferramenta, com o intuito de enriquecerem
ainda mais suas metodologias de ensino da multiplicação de números naturais.
Palavras-chaves: Técnicas de multiplicação. História da Matemática. Ensino-aprendizagem.
Educação Matemática. Ensino fundamental.
INTRODUÇÃO
A história da Matemática é de fundamental importância para que possamos
entender como que axiomas, definições, proposições e teoremas foram desenvolvido e
auxiliaram na construção desta fabulosa ciência ao longo do tempo.
Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar
necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes
momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e
processos matemáticos do passado e do presente, o professor tem a
possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais favoráveis do aluno
diante do conhecimento matemático.
(BRASIL, 2001, p.45)
1
Aluno do Curso de Especialização em Matemática do Ensino Médio da Universidade do Federal do Pará –
UFPA, Campus Abaetetuba. E-mail: gufpa@hotmail.com.
2
Hoje temos o privilégio de saber que grandes pensadores fizeram parte da
construção da Matemática. Saber que essa construção deu-se através das contribuições de
Euclides de Alexandria (século III a.C.), John Napier (1550 – 1617), Isaac Newton (1643 –
1727), Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716), entre tantos matemáticos brilhantes.
Tal construção só foi possível, graças aos registros e publicações desses matemáticos nas
épocas em que viveram e ao trabalho dos historiadores pesquisadores que dedicaram, e dos
que dedicam, suas vidas as investigações acerca do desenvolvimento da Matemática.
Vejo a disciplina matemática como uma estratégia desenvolvida pela
espécie humana para explicar, para entender, para manejar e conviver
com a realidade sensível, perceptível, e com o seu imaginário,
naturalmente dentro de um contexto natural e cultural.
(D’AMBROSIO, 1996, p.7)
Segundo Zatti, Agranionih e Enricone (2010), as dificuldade em Matemática
acentuam-se no 6º ano do Ensino Fundamental, já que no 5º ano, nível anterior, os
conteúdos focam no domínio dos algoritmos básicos das operações aritméticas
fundamentais. Como disciplina especifica no currículo, as dificuldades passam a ser mais
frequentes, contribuindo para um significativo aumento no índice de reprovação.
As competências e habilidades que os alunos do 6º ano do Ensino Fundamental
trazem como conhecimentos prévios sobre aritmética básica restringem-se ao domínio dos
algoritmos básicos das operações aritméticas citadas. Neste sentido, com um olhar especial
a multiplicação, faremos uma análise dos principais métodos de multiplicação
desenvolvido ao longo da história e como esta ponte com a história da Matemática pode
nos auxiliar em sala de aula como um facilitador no processo de ensino-aprendizagem.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (2001, p.108), uma
abordagem frequente utilizada para a introdução da multiplicação é o processo operatório
de adições sucessivas com parcelas iguais, como mostra a ilustração 1.
ILUSTRAÇÃO 1 – Adições sucessivas do número 12.
Fonte: Elaborado pelo autor.
3
É importante ressaltar que a somatória acima, em particular, não poderia ser
representado por 12 x 14, mesmo sabendo que a multiplicação é uma operação comutativa,
senão teríamos o número 14 somado a ele próprio 12 vezes. Neste caso, somamos o
número 12 catorze vezes, obtendo a multiplicação 14 x 12, que pode ser resolvida
utilizando-se o algoritmo usual da multiplicação, o que otimizará o tempo da operação em
relação as sucessivas adições.
ILUSTRAÇÃO 2 – Aplicação do método usual de multiplicação.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Este processo é similar ao método que usamos com auxílio da decomposição de
um dos números a serem multiplicados. No entanto, poderíamos dizer que, é mais
organizado. A seguir temos uma das representações da resolução pelo método da
decomposição.
ILUSTRAÇÃO 3 – Multiplicação com o método da decomposição.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Estes são os métodos consagrados nas escolas brasileiras. O segundo, visualizado
com menos frequência. Mas, o que poucos sabem é que esta técnica de multiplicação é
apenas uma, entre as diversas formas utilizadas por diferentes nações no mundo.
4
“Entretanto, a História da Matemática nos mostra que, ao longo dos tempos, a
operação de multiplicação foi realizada de diferentes maneiras.” (OLIVEIRA, 2000, p.173)
A forma como algumas nações desenvolveram seus próprios métodos de
multiplicação pode nos auxiliar em sala de aula, para que possamos aprimorar, ou mesmo,
ensinar novos caminhos para a resolução de problemas que envolvam este tipo de
operação, visando melhorias no processo de ensino da multiplicação.
EXPLORANDO O MÉTODO USUAL DE MULTIPLICAÇÃO
Se retomarmos a ilustração 2, na página anterior, vamos perceber que quando
utilizamos o algoritmo usual, primeiro organizamos o multiplicando sobre o multiplicador,
particularmente para este caso, primeiro o 12, sendo o multiplicando e depois o 14 como
multiplicador; em seguida multiplicamos o 12 (1ª linha) pelo valor relativo das unidades
simples do número 14 (2ª linha), encontrando 48 (3ª linha); posteriormente, fazemos o
mesmo processo, agora com o valor relativo das dezenas simples do número 14 (2ª linha)
pelo número 12 (1ª linha), resultando em 120 (4ª linha); finalmente, somamos os resultados
das multiplicações (3ª e 4ª linha), obtendo o produto 168 (5ª linha).
Propositalmente, a figura mostra que o terceiro momento aparenta ser uma
simples multiplicação do número 12 (1ª linha) por 1 (2ª linha), que resultaria em 12 (4ª
linha), deslocado uma casa para a esquerda. Se observarmos, o zero que deveria aparecer
ao lado do algarismo 2 (4ª linha) é substituído pelo símbolo operatório da adição (+).
Como o zero é o elemento neutro da adição, este fato não influencia no resultado final.
Mas, segundo Carvalho (1994, p. 49) a notação correta para esta situação seria utilizando o
zero, e não o símbolo da adição (+), como mostra a ilustração 4.
ILUSTRAÇÃO 4 – Soma das parcelas resultantes do produto 12 x 14.
Fonte: Elaborado pelo autor.
5
O EGITO ANTIGO E SUA TÉCNICA DE MULTIPLICAÇÃO
Os egípcio apresentam um sistema de numeração composto de 7 símbolos: um
bastão, um calcanhar, um rolo de corda, uma flor de lótus, o dedo indicador, um sapo ou
girino e um homem sentado, cujos valores são, respectivamente, 1, 10, 100, 1000, 10000,
100000 e 1000000, em nosso sistema de numeração. Todos os outros números do sistema
egípcio são obtidos a partir da combinação desses símbolos.
Segundo Boyer (1974), escritas a cerca de 4000 anos, milhares de tabletas
cuneiforme sobreviveram até hoje graças as suas grandes durabilidades, no entanto, apenas
uma pequena parte destas versam sobre temas relacionados a Matemática. Outro fator
determinante para o avanço nas pesquisas sobre a Matemática nesta época foi o lento
processo de decifração das tabletas.
Um grande avanço na decifração dos hieróglifos presentes na Pedra de Rosetta,
descobertas em 1799 pela expedição de Napoleão, ocorreu na primeira metade do século
XIX, proveniente dos estudos de Jean-François Champollion na França e Thomas Young
na Inglaterra.
Há um limite para a quantidade de informação matemática que se pode
retirar de calendários e pedras tumulares [...]. A matemática é muito mais
do que contar e medir, os aspectos que são tratados em inscrições
hieroglíficas.
(BOYER, 1974, p.9)
De acordo com Luchetta (2000) as principais fontes de informações referentes a
Matemática estão nos papiros de: Golonishev (ou Moscou), de aproximadamente 1850 a.C.
e Rhind (ou Ahmes) de aproximadamente 1650 a.C. No papiro de Rhind estão
apresentadas as técnicas de multiplicação e divisão dos egípcios, além de muitas aplicações
matemáticas.
Nesta seção mostraremos, de forma simples e compreensível, a metodologia
utilizada pelos egípcios para a multiplicação de números naturais. Para exemplificarmos
esta técnica considere o seguinte problema:
Em uma de suas idas ao cinema, Henrique percebeu que as poltronas estavam
agrupadas segundo uma organização retangular composta de 12 filas com 23 cadeiras
cada uma. Assim, ele pode concluir que o número total de pessoas por sessão é?
6
Lembrando da ilustração 1, podemos usar a ideia de agrupamento de adições
sucessivas, já que cada fila contem 23 cadeira em um total de 12 filas, então temos o
produto 12 x 23. Para apresentação do método egípcio utilizaremos uma tabela com 3
colunas, como na ilustração 5.
ILUSTRAÇÃO 5: Produto 12 x 23 pelo método egípcio de multiplicação.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Os procedimentos são simples. Na primeira coluna, iniciando sempre com o
número 1, dobramos a unidade até que a soma dos elementos, desta coluna, seja maior ou
igual a 12. De fato, quando somamos os valores da 1ª coluna obtemos: 1 + 2 + 4 + 8 = 15.
Em seguida, na 2ª coluna, duplicamos o número 23 – o multiplicando – até que
cheguemos a um valor correspondente ao número 8 da 1ª coluna. Observe na ilustração 5
que cada valor da 1ª coluna deverá apresentar um número correspondente. Assim, os
valores correspondentes de 1, 2, 4 e 8 são, respectivamente, 23, 46, 92 e 184.
Finalmente, basta verificar quais elementos da 1ª coluna somam 12. Neste caso
são os números 4 e 8, pois 4 + 8 = 12. Agora basta somarmos seus elementos
correspondentes, 92 + 184 = 276, ou seja, o produto 12 x 23 = 276. Respondendo ao
problema proposto, temos que 276 é o número máximo de pessoas por sessão.
A TÉCNICA DE MULTIPLICAÇÃO ATRIBUÍDA AOS RUSSOS
Semelhante ao método utilizado pelos egípcios, temos a técnica de multiplicação
atribuída aos russos. Segundo Souza (2001) alguns matemáticos atribuem aos camponeses
7
russos um método de multiplicação, nada simples, que utiliza dobros e metades. Mas, de
acordo com Weisstein e Zobel (1999-2015, tradução nossa) o método de multiplicação
russo, também, é chamado de Multiplicação Etíope. Este fato, permite-nos supor que este
método possa ter sido desenvolvido pelos etíopes, mais precisamente, por seus
comerciantes a milhares de anos atrás.
Para percebermos com mais clareza, como o método dos egípcios e dos russos são
similares, utilizaremos o exemplo anterior, 12 x 23, como na ilustração 6.
ILUSTRAÇÃO 6: Produto 12 x 23 pela técnica russa de multiplicação.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Na primeira coluna dividimos o 12 sucessivamente por 2 até que cheguemos a
unidade. Note que quando o resultado da divisão é um valor decimal, consideramos apenas
a parte inteira. Por exemplo, quando dividimos 3 por 2, temos 1,5, mas consideramos
somente a parte inteira, o 1.
Em seguida, na 2ª coluna, duplicamos o número 23 até que cheguemos a um valor
correspondente ao número 1 da 1ª coluna. Assim como no método egípcio, cada valor da 1ª
coluna deverá apresentar um valor correspondente. Logo, os valores correspondentes de
12, 6, 3 e 1 são, respectivamente, 23, 46, 92 e 184.
Agora, basta verificar quais elementos da 2ª coluna têm correspondentes ímpares.
Neste caso, 92 e 184. Então, efetuamos a soma 92 + 184 = 276. Portanto, o resultado do
produto 12 x 23 = 276.
8
A MULTIPLICAÇÃO COM O DISPOSITIVO DE NAPIER
Uma metodologia que facilita o processo de multiplicação de números naturais e
que foi aplicado com êxito até o início do século XX, as Barras de Napier foram criadas
pelo matemático escocês John Napier (1550 – 1617) e tornadas públicas com a divulgação
de sua obra Rabdologia – do grego “conjunto de réguas – após sua morte em 1617. A
seguir temos uma ilustração das Barras de Napier.
ILUSTRAÇÃO 7: Representação das Barras de Napier.
Fonte: Elaborado pelo autor.
As Barras de Napier são compostas de 10 fichas, distribuídas entre os algarismo
de 0 a 9. Cada ficha é divididas em duas partes. Na parte superior, linha destacada em
cinza, temos os algarismos indo-arábicos, nas linhas inferiores temos os respectivos
múltiplos de cada algarismos, como mostra na ilustração 7.
Vamos entender, na prática, como o método de multiplicação com as Barras de
Napier funciona resolvendo o produto 23 x 57.
9
ILUSTRAÇÃO 8: Produto 23 x 57 com a utilização das Barras de Napier.
Fonte: Elaborado pelo autor.
O primeiro passo é destacar as fichas dos algarismos 2 e 3 e, em seguida, observar
as linhas 5 e 7, como mostra a ilustração 8.
Na etapa seguinte, destacamos os quadros da linha 5, somamos suas diagonais e
obtemos 115, todavia, adicionamos o algarismo zero a direita do 115, resultando em 1 150.
Isso acontece porque, na verdade, multiplicamos 23 por 50 e não por 5. Na linha 7, sim,
temos o produto 23 x 7. Quando somamos as diagonais dos quadros da linha 7, obtemos
161. Agora, basta somarmos os resultados obtidos nas somas das diagonais. Logo, teremos
que 23 x 57 = 23 x (50 + 7) = 23 x 50 + 23 x 7 = 1 150 + 161 = 1 311.
O MÉTODO DA GELOSIA
De acordo com o dicionário eletrônico Priberam, a palavra italiana gelosia
significa: “1. Grade de fasquias de madeira que se coloca no vão de janelas ou portas, para
proteger da luz e do calor, e através da qual se pode ver sem ser visto”. A etimologia da
palavra nos dá uma pista sobre o porquê da sua escolha para representação do algoritmo de
multiplicação atribuído aos hindus e popularizado pelos chineses, persas e, principalmente,
pelos árabes.
O método de multiplicação, que apresenta considerável semelhança com as Barras
de Napier, desenvolve-se sobre uma malha, ou grade, disposta em linhas, colunas e
10
diagonais. Para demonstrarmos sua funcionalidade, utilizaremos o produto 213 x 32, como
mostra a ilustração 9.
ILUSTRAÇÃO 9: 1ª e 2ª etapa do algoritmo de multiplicação da Gelosia.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Na 1ª etapa escrevemos o fator 213 na aba superior da grade e o fator 32 na aba
lateral direita, ambos sombreados de cinza, como mostra a ilustração 9.
A 2ª etapa consiste no processo de multiplicação que resultará nos valores que
ocuparão a grade interna. Multiplicamos cada elemento da aba superior pelos elementos da
aba lateral direita, registrando os resultados nos espaços correspondentes. Assim, quando
fazemos o produto de cada algarismo do número 213, da aba superior, por 3, da aba lateral
direita, temos: 2 x 3 = 06, 1 x 3 = 03 e 3 x 3 = 09. Imediatamente, registramos os valores
06, 03 e 09 na 1ª linha da grade, como mostra na 2ª etapa da ilustração 9.
De modo análogo fazemos para o produto dos elementos da aba superior pelo
algarismo 2, da aba lateral direita, encontrando como resultado 04, 02 e 06, que
registramos na 2ª linha da grade.
Com a grade completamente preenchida efetuaremos a soma dos elementos de
cada uma das diagonais, da direita para a esquerda. Para facilitar o entendimento,
destacamos cada diagonal com diferentes tonalidades. É importante ressaltar que, quando a
soma de uma das diagonais é superior a 9, procedemos de forma semelhante ao nosso
algoritmo de adição, armazenando o valor absoluto das unidades na diagonal em questão e
enviando o valor absoluto das dezenas para compor a soma dos elementos da diagonal
seguinte, como mostra a ilustração 10.
11
ILUSTRAÇÃO 10: 3ª e 4ª etapa do algoritmo de multiplicação da Gelosia.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Na primeira diagonal temos apenas o algarismo 6, o qual corresponderá a primeira
aba inferior, da direita para a esquerda. Na segunda diagonal temos: 9 + 0 + 2 = 11. Assim
como em nosso algoritmo da adição, armazenaremos 1 na segunda aba inferior e enviamos
1 para a próxima diagonal. Na terceira diagonal temos: 0 + 3 + 0 + 4 + (1) = 8, que
registramos na terceira aba inferior. Observe que o (1) em destaque é proveniente da
diagonal anterior. Na quarta diagonal temos: 0 + 6 + 0 = 6, que registramos na primeira aba
lateral esquerda, de baixo para cima. Por fim, na quinta diagonal há apenas o algarismo
zero, que ocupará a aba lateral esquerda restante. O número registrado nas abas inferior e
lateral esquerda, 06816, representa o produto desejado. Como o zero a esquerda não possui
valor relativo, então, 213 x 32 = 6 816.
OS CHINESES E O ALGORITMO DOS BAMBUS
“Os chineses foram umas das primeiras civilizações a entender que os cálculos
num sistema decimal são mais simples e eficazes. Em 1500 anos a.C. tinham sistema com
5000 caracteres posicionais, mais tarde inventaram os cilindros de contagem.” (GASPAR,
2013).
É atribuído aos chineses o desenvolvimento do algoritmo de multiplicação
intuitivo, que pode nos auxiliar, de forma lúdica, no ensino da Matemática utilizando
varetas de bambu. Esta técnica consiste na contagem das interseções entre as varetas que
representam certo produto. Vamos resolver o produto 12 x 14 para visualizarmos, na
prática, como esta técnica funciona.
12
ILUSTRAÇÃO 11: Processo do algoritmo de multiplicação chinês.
Fonte: Elaborado pelo autor.
A metodologia de multiplicação chinesa consiste na representação dos números
através de varetas de bambu. Na 1ª etapa da ilustração 11 temos a representação do número
12, na 2ª etapa, o número 14 e na 3ª etapa a representação do produto 12 x 14.
Para resolvermos esta multiplicação, procederemos da seguinte forma: primeiro
marcamos todos os pontos de interseção entre as varetas; depois dividimos o processo em
três seções, como mostra a 3ª etapa da ilustração 11; o último passo é somar os pontos de
cada seção, da direita para a esquerda, neste caso, começamos na terceira seção, na qual
temos 8, na segunda 4 + 2 = 6 e na primeira 1. Logo o resultado de 12 x 14 = 168. Se por
acaso uma das seções, exceto a última a esquerda, for maior que 9, faremos como em
nosso algoritmo da adição, armazenamos o valor absoluto das unidades e enviamos o valor
absoluto das dezenas para a próxima seção.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A educação Matemática no Brasil apresenta um quadro pouco animador, mas,
sobre tudo desafiador.
No Brasil, os resultados obtidos em testes, aplicados aos alunos de
todas as faixas etárias, expressam a CRISE do ensino de
Matemática, não só na escola pública, mas também na escola
13
privada, pois a prova de Matemática dos vestibulares está entre
aquelas que apresentam os mais baixos escores.
(CARNEIRO, 2000, p.13).
Sim, só quem realmente gosta do que faz e busca a cada dia preparar-se para
transportar seus alunos para um mundo diferente a cada aula, aceitará embarcar nesta
missão. Matematicamente falando, é necessário e suficiente que, por maior que sejam as
dificuldades, o professor de Matemática, em particular, tem o dever de orientar de forma
prazerosa, harmoniosa, eficiente e eficaz o desenvolvimento de seus alunos. Entretanto,
não podemos atribuir a carga de toda essa responsabilidade apenas ao professor, pois
segundo Carneiro (2000) o sucesso da aprendizagem depende, também, dos alunos e do
contexto social e institucional.
Devemos ter a convicção de que, a Matemática está em toda parte, e que essa
concepção é a base, o alicerce, sobre o qual devemos construir juntamente com nossos
alunos o saber matemático. Saber este, que não é apenas saber contar ou medir, é o
paradigma que será aplicado as suas vidas, tendo valor intrínseco e social.
Portanto, é essencial que saibamos como e quando usar a História da Matemática
como ferramenta didática para facilitar e agregar valor as aulas de Matemática, tornando o
processo de ensino desta fabulosa disciplina algo que atraia os olhares, hora
desacreditados, de nossos alunos, fazendo com que estes conheçam a evolução da
Matemática na sociedade e desenvolvam as habilidades e competências necessárias para o
pleno desenvolvimento acadêmico e social.
REFERÊNCIAS
BRASIL, Secretaria de Ensino Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
Matemática. Ed. 3 - Brasília: MEC/SEF, 2001.
BULMER-THOMAS, I. Euclid. Complete Dictionary of Scientific Biography.
2008.Disponível em: <http://www.encyclopedia.com>. Acesso em: 19.Jul.2015.
CARNEIRO, V. C. G. Educação Matemática no Brasil: uma meta-investigação.
Quadrante-Revista Teórica e de Investigação, Lisboa, v. 9, n. 1, p. 117-140, 2000.)
CARVALHO, D. L. Metodologia do ensino da matemática. Ed. 2. rev. – São Paulo:
Cortez, 1994.
14
ETHIOPIAN multiplication explained. Bitesize. Disponível em:
<http://www.bbc.co.uk/education/clips/zrxb4wx>. Acesso em 22.jul.2015.
GASPAR, J., Matemática na China. Coimbra, 2013. Disponível em:
<http://www.mat.uc.pt/~mat0703/PEZ/China2.htm>. Acesso em 28.jul.2015
GELOSIA. Em Dicionário Priberam da Língua Portuguesa. Disponível em:
<http://www.priberam.pt/dlpo/gelosia>. Acesso em: 26.jul.2015.
GIBSON, C. A história da Pedra de Rosetta. Disponível em:
<http://pessoas.hsw.uol.com.br/pedra-de-roseta1.htm>. Acesso em: 18.jul.2015.
LUCHETTA, V. O. J. História da matemática no Egito. Disponível em: <História da
matemática no Egito>. Acesso em 17.jul.2015.
NETTO, I. S. Champollion. O Fascínio do antigo Egito Disponível em:
<http://www.fascinioegito.sh06.com/champoll.htm>. Acesso em 17.jul.2015.
O'CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F. An overview of Egyptian mathematics.
MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews, Scotland. Disponível
em: <http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/index.html>. Acesso em: 19.jul.2015.
OLIVEIRA, G. S. História da Matemática: algoritmos da multiplicação. Ensino em Re-
Vista. Uberlândia, v. 8, n. 1, p. 173-183, jul.1999./jun.2000. Disponível em:
<http://www.seer.ufu.br/index.php/emrevista/article/view/7870/4975>. Acesso em:
15.jul.2015.
SOARES, F. B.; NUNES, M. P. S. Diferentes Formas de Multiplicar. In: ENCONTRO
DE INVESTIGAÇÃO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 15, 2005, Caminha. Disponível
em: <http://spiem.pt/DOCS/ATAS_ENCONTROS/2005/2005_16_FBSoares.pdf>. Acesso
em 17.jul.2015.
SOUZA, J. C. M. Matemática divertida e curiosa. Ed. 15 - Rio de Janeiro: Record, 2001.
WEISSTEIN, E. W., ZOBEL, D. Russian Multiplication. Wolfram MathWorld.
Disponível em: <http://mathworld.wolfram.com/RussianMultiplication.html>. Acesso em:
22.jul.2015.

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ALGORITMOS DO PASSADO: as diferentes tecnicas de multiplicação

  • 1. X ENCONTRO PARAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Belém – 400 Anos: História, Educação e Cultura Belém – Pará - Brasil, 09 a 11 de setembro de 2015 ISSN 2178-3632 ALGORÍTMOS DO PASSADO: as diferentes técnicas de multiplicação Giancarlo Secci de Souza Pereira1 RESUMO Este trabalho tem como principal objetivo apresentar, de forma simples, os diferentes algoritmos de multiplicação desenvolvidos por diferentes povos ao longo da história. Ressaltar a importância da história da Matemática como ferramenta no processo de ensino-aprendizagem desta ciência e como esta ferramenta pode nos auxiliar no ensino de multiplicação de números naturais. Investigar quão preparados estão os alunos do 6º ano do Ensino Fundamental para trabalhar com as operações que envolvem a multiplicação de números naturais, quais suas experiências e conhecimentos prévios sobre o tema. Partiremos da técnica de multiplicação usual, consagrado nas escolas brasileiras, faremos uma análise dos principais métodos de multiplicação desenvolvidos ao longo da história, seus precursores, suas contribuições para o ensino da Matemática e de que forma essas técnicas podem nos auxiliar na elaboração de novas estratégias para o ensino da multiplicação neste nível de ensino, objetivando aguçar a curiosidade de professores e alunos que buscam um ensino prazeroso e de qualidade, para que estes possam apoderar-se desta ferramenta, com o intuito de enriquecerem ainda mais suas metodologias de ensino da multiplicação de números naturais. Palavras-chaves: Técnicas de multiplicação. História da Matemática. Ensino-aprendizagem. Educação Matemática. Ensino fundamental. INTRODUÇÃO A história da Matemática é de fundamental importância para que possamos entender como que axiomas, definições, proposições e teoremas foram desenvolvido e auxiliaram na construção desta fabulosa ciência ao longo do tempo. Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor tem a possibilidade de desenvolver atitudes e valores mais favoráveis do aluno diante do conhecimento matemático. (BRASIL, 2001, p.45) 1 Aluno do Curso de Especialização em Matemática do Ensino Médio da Universidade do Federal do Pará – UFPA, Campus Abaetetuba. E-mail: gufpa@hotmail.com.
  • 2. 2 Hoje temos o privilégio de saber que grandes pensadores fizeram parte da construção da Matemática. Saber que essa construção deu-se através das contribuições de Euclides de Alexandria (século III a.C.), John Napier (1550 – 1617), Isaac Newton (1643 – 1727), Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716), entre tantos matemáticos brilhantes. Tal construção só foi possível, graças aos registros e publicações desses matemáticos nas épocas em que viveram e ao trabalho dos historiadores pesquisadores que dedicaram, e dos que dedicam, suas vidas as investigações acerca do desenvolvimento da Matemática. Vejo a disciplina matemática como uma estratégia desenvolvida pela espécie humana para explicar, para entender, para manejar e conviver com a realidade sensível, perceptível, e com o seu imaginário, naturalmente dentro de um contexto natural e cultural. (D’AMBROSIO, 1996, p.7) Segundo Zatti, Agranionih e Enricone (2010), as dificuldade em Matemática acentuam-se no 6º ano do Ensino Fundamental, já que no 5º ano, nível anterior, os conteúdos focam no domínio dos algoritmos básicos das operações aritméticas fundamentais. Como disciplina especifica no currículo, as dificuldades passam a ser mais frequentes, contribuindo para um significativo aumento no índice de reprovação. As competências e habilidades que os alunos do 6º ano do Ensino Fundamental trazem como conhecimentos prévios sobre aritmética básica restringem-se ao domínio dos algoritmos básicos das operações aritméticas citadas. Neste sentido, com um olhar especial a multiplicação, faremos uma análise dos principais métodos de multiplicação desenvolvido ao longo da história e como esta ponte com a história da Matemática pode nos auxiliar em sala de aula como um facilitador no processo de ensino-aprendizagem. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (2001, p.108), uma abordagem frequente utilizada para a introdução da multiplicação é o processo operatório de adições sucessivas com parcelas iguais, como mostra a ilustração 1. ILUSTRAÇÃO 1 – Adições sucessivas do número 12. Fonte: Elaborado pelo autor.
  • 3. 3 É importante ressaltar que a somatória acima, em particular, não poderia ser representado por 12 x 14, mesmo sabendo que a multiplicação é uma operação comutativa, senão teríamos o número 14 somado a ele próprio 12 vezes. Neste caso, somamos o número 12 catorze vezes, obtendo a multiplicação 14 x 12, que pode ser resolvida utilizando-se o algoritmo usual da multiplicação, o que otimizará o tempo da operação em relação as sucessivas adições. ILUSTRAÇÃO 2 – Aplicação do método usual de multiplicação. Fonte: Elaborado pelo autor. Este processo é similar ao método que usamos com auxílio da decomposição de um dos números a serem multiplicados. No entanto, poderíamos dizer que, é mais organizado. A seguir temos uma das representações da resolução pelo método da decomposição. ILUSTRAÇÃO 3 – Multiplicação com o método da decomposição. Fonte: Elaborado pelo autor. Estes são os métodos consagrados nas escolas brasileiras. O segundo, visualizado com menos frequência. Mas, o que poucos sabem é que esta técnica de multiplicação é apenas uma, entre as diversas formas utilizadas por diferentes nações no mundo.
  • 4. 4 “Entretanto, a História da Matemática nos mostra que, ao longo dos tempos, a operação de multiplicação foi realizada de diferentes maneiras.” (OLIVEIRA, 2000, p.173) A forma como algumas nações desenvolveram seus próprios métodos de multiplicação pode nos auxiliar em sala de aula, para que possamos aprimorar, ou mesmo, ensinar novos caminhos para a resolução de problemas que envolvam este tipo de operação, visando melhorias no processo de ensino da multiplicação. EXPLORANDO O MÉTODO USUAL DE MULTIPLICAÇÃO Se retomarmos a ilustração 2, na página anterior, vamos perceber que quando utilizamos o algoritmo usual, primeiro organizamos o multiplicando sobre o multiplicador, particularmente para este caso, primeiro o 12, sendo o multiplicando e depois o 14 como multiplicador; em seguida multiplicamos o 12 (1ª linha) pelo valor relativo das unidades simples do número 14 (2ª linha), encontrando 48 (3ª linha); posteriormente, fazemos o mesmo processo, agora com o valor relativo das dezenas simples do número 14 (2ª linha) pelo número 12 (1ª linha), resultando em 120 (4ª linha); finalmente, somamos os resultados das multiplicações (3ª e 4ª linha), obtendo o produto 168 (5ª linha). Propositalmente, a figura mostra que o terceiro momento aparenta ser uma simples multiplicação do número 12 (1ª linha) por 1 (2ª linha), que resultaria em 12 (4ª linha), deslocado uma casa para a esquerda. Se observarmos, o zero que deveria aparecer ao lado do algarismo 2 (4ª linha) é substituído pelo símbolo operatório da adição (+). Como o zero é o elemento neutro da adição, este fato não influencia no resultado final. Mas, segundo Carvalho (1994, p. 49) a notação correta para esta situação seria utilizando o zero, e não o símbolo da adição (+), como mostra a ilustração 4. ILUSTRAÇÃO 4 – Soma das parcelas resultantes do produto 12 x 14. Fonte: Elaborado pelo autor.
  • 5. 5 O EGITO ANTIGO E SUA TÉCNICA DE MULTIPLICAÇÃO Os egípcio apresentam um sistema de numeração composto de 7 símbolos: um bastão, um calcanhar, um rolo de corda, uma flor de lótus, o dedo indicador, um sapo ou girino e um homem sentado, cujos valores são, respectivamente, 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 e 1000000, em nosso sistema de numeração. Todos os outros números do sistema egípcio são obtidos a partir da combinação desses símbolos. Segundo Boyer (1974), escritas a cerca de 4000 anos, milhares de tabletas cuneiforme sobreviveram até hoje graças as suas grandes durabilidades, no entanto, apenas uma pequena parte destas versam sobre temas relacionados a Matemática. Outro fator determinante para o avanço nas pesquisas sobre a Matemática nesta época foi o lento processo de decifração das tabletas. Um grande avanço na decifração dos hieróglifos presentes na Pedra de Rosetta, descobertas em 1799 pela expedição de Napoleão, ocorreu na primeira metade do século XIX, proveniente dos estudos de Jean-François Champollion na França e Thomas Young na Inglaterra. Há um limite para a quantidade de informação matemática que se pode retirar de calendários e pedras tumulares [...]. A matemática é muito mais do que contar e medir, os aspectos que são tratados em inscrições hieroglíficas. (BOYER, 1974, p.9) De acordo com Luchetta (2000) as principais fontes de informações referentes a Matemática estão nos papiros de: Golonishev (ou Moscou), de aproximadamente 1850 a.C. e Rhind (ou Ahmes) de aproximadamente 1650 a.C. No papiro de Rhind estão apresentadas as técnicas de multiplicação e divisão dos egípcios, além de muitas aplicações matemáticas. Nesta seção mostraremos, de forma simples e compreensível, a metodologia utilizada pelos egípcios para a multiplicação de números naturais. Para exemplificarmos esta técnica considere o seguinte problema: Em uma de suas idas ao cinema, Henrique percebeu que as poltronas estavam agrupadas segundo uma organização retangular composta de 12 filas com 23 cadeiras cada uma. Assim, ele pode concluir que o número total de pessoas por sessão é?
  • 6. 6 Lembrando da ilustração 1, podemos usar a ideia de agrupamento de adições sucessivas, já que cada fila contem 23 cadeira em um total de 12 filas, então temos o produto 12 x 23. Para apresentação do método egípcio utilizaremos uma tabela com 3 colunas, como na ilustração 5. ILUSTRAÇÃO 5: Produto 12 x 23 pelo método egípcio de multiplicação. Fonte: Elaborado pelo autor. Os procedimentos são simples. Na primeira coluna, iniciando sempre com o número 1, dobramos a unidade até que a soma dos elementos, desta coluna, seja maior ou igual a 12. De fato, quando somamos os valores da 1ª coluna obtemos: 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Em seguida, na 2ª coluna, duplicamos o número 23 – o multiplicando – até que cheguemos a um valor correspondente ao número 8 da 1ª coluna. Observe na ilustração 5 que cada valor da 1ª coluna deverá apresentar um número correspondente. Assim, os valores correspondentes de 1, 2, 4 e 8 são, respectivamente, 23, 46, 92 e 184. Finalmente, basta verificar quais elementos da 1ª coluna somam 12. Neste caso são os números 4 e 8, pois 4 + 8 = 12. Agora basta somarmos seus elementos correspondentes, 92 + 184 = 276, ou seja, o produto 12 x 23 = 276. Respondendo ao problema proposto, temos que 276 é o número máximo de pessoas por sessão. A TÉCNICA DE MULTIPLICAÇÃO ATRIBUÍDA AOS RUSSOS Semelhante ao método utilizado pelos egípcios, temos a técnica de multiplicação atribuída aos russos. Segundo Souza (2001) alguns matemáticos atribuem aos camponeses
  • 7. 7 russos um método de multiplicação, nada simples, que utiliza dobros e metades. Mas, de acordo com Weisstein e Zobel (1999-2015, tradução nossa) o método de multiplicação russo, também, é chamado de Multiplicação Etíope. Este fato, permite-nos supor que este método possa ter sido desenvolvido pelos etíopes, mais precisamente, por seus comerciantes a milhares de anos atrás. Para percebermos com mais clareza, como o método dos egípcios e dos russos são similares, utilizaremos o exemplo anterior, 12 x 23, como na ilustração 6. ILUSTRAÇÃO 6: Produto 12 x 23 pela técnica russa de multiplicação. Fonte: Elaborado pelo autor. Na primeira coluna dividimos o 12 sucessivamente por 2 até que cheguemos a unidade. Note que quando o resultado da divisão é um valor decimal, consideramos apenas a parte inteira. Por exemplo, quando dividimos 3 por 2, temos 1,5, mas consideramos somente a parte inteira, o 1. Em seguida, na 2ª coluna, duplicamos o número 23 até que cheguemos a um valor correspondente ao número 1 da 1ª coluna. Assim como no método egípcio, cada valor da 1ª coluna deverá apresentar um valor correspondente. Logo, os valores correspondentes de 12, 6, 3 e 1 são, respectivamente, 23, 46, 92 e 184. Agora, basta verificar quais elementos da 2ª coluna têm correspondentes ímpares. Neste caso, 92 e 184. Então, efetuamos a soma 92 + 184 = 276. Portanto, o resultado do produto 12 x 23 = 276.
  • 8. 8 A MULTIPLICAÇÃO COM O DISPOSITIVO DE NAPIER Uma metodologia que facilita o processo de multiplicação de números naturais e que foi aplicado com êxito até o início do século XX, as Barras de Napier foram criadas pelo matemático escocês John Napier (1550 – 1617) e tornadas públicas com a divulgação de sua obra Rabdologia – do grego “conjunto de réguas – após sua morte em 1617. A seguir temos uma ilustração das Barras de Napier. ILUSTRAÇÃO 7: Representação das Barras de Napier. Fonte: Elaborado pelo autor. As Barras de Napier são compostas de 10 fichas, distribuídas entre os algarismo de 0 a 9. Cada ficha é divididas em duas partes. Na parte superior, linha destacada em cinza, temos os algarismos indo-arábicos, nas linhas inferiores temos os respectivos múltiplos de cada algarismos, como mostra na ilustração 7. Vamos entender, na prática, como o método de multiplicação com as Barras de Napier funciona resolvendo o produto 23 x 57.
  • 9. 9 ILUSTRAÇÃO 8: Produto 23 x 57 com a utilização das Barras de Napier. Fonte: Elaborado pelo autor. O primeiro passo é destacar as fichas dos algarismos 2 e 3 e, em seguida, observar as linhas 5 e 7, como mostra a ilustração 8. Na etapa seguinte, destacamos os quadros da linha 5, somamos suas diagonais e obtemos 115, todavia, adicionamos o algarismo zero a direita do 115, resultando em 1 150. Isso acontece porque, na verdade, multiplicamos 23 por 50 e não por 5. Na linha 7, sim, temos o produto 23 x 7. Quando somamos as diagonais dos quadros da linha 7, obtemos 161. Agora, basta somarmos os resultados obtidos nas somas das diagonais. Logo, teremos que 23 x 57 = 23 x (50 + 7) = 23 x 50 + 23 x 7 = 1 150 + 161 = 1 311. O MÉTODO DA GELOSIA De acordo com o dicionário eletrônico Priberam, a palavra italiana gelosia significa: “1. Grade de fasquias de madeira que se coloca no vão de janelas ou portas, para proteger da luz e do calor, e através da qual se pode ver sem ser visto”. A etimologia da palavra nos dá uma pista sobre o porquê da sua escolha para representação do algoritmo de multiplicação atribuído aos hindus e popularizado pelos chineses, persas e, principalmente, pelos árabes. O método de multiplicação, que apresenta considerável semelhança com as Barras de Napier, desenvolve-se sobre uma malha, ou grade, disposta em linhas, colunas e
  • 10. 10 diagonais. Para demonstrarmos sua funcionalidade, utilizaremos o produto 213 x 32, como mostra a ilustração 9. ILUSTRAÇÃO 9: 1ª e 2ª etapa do algoritmo de multiplicação da Gelosia. Fonte: Elaborado pelo autor. Na 1ª etapa escrevemos o fator 213 na aba superior da grade e o fator 32 na aba lateral direita, ambos sombreados de cinza, como mostra a ilustração 9. A 2ª etapa consiste no processo de multiplicação que resultará nos valores que ocuparão a grade interna. Multiplicamos cada elemento da aba superior pelos elementos da aba lateral direita, registrando os resultados nos espaços correspondentes. Assim, quando fazemos o produto de cada algarismo do número 213, da aba superior, por 3, da aba lateral direita, temos: 2 x 3 = 06, 1 x 3 = 03 e 3 x 3 = 09. Imediatamente, registramos os valores 06, 03 e 09 na 1ª linha da grade, como mostra na 2ª etapa da ilustração 9. De modo análogo fazemos para o produto dos elementos da aba superior pelo algarismo 2, da aba lateral direita, encontrando como resultado 04, 02 e 06, que registramos na 2ª linha da grade. Com a grade completamente preenchida efetuaremos a soma dos elementos de cada uma das diagonais, da direita para a esquerda. Para facilitar o entendimento, destacamos cada diagonal com diferentes tonalidades. É importante ressaltar que, quando a soma de uma das diagonais é superior a 9, procedemos de forma semelhante ao nosso algoritmo de adição, armazenando o valor absoluto das unidades na diagonal em questão e enviando o valor absoluto das dezenas para compor a soma dos elementos da diagonal seguinte, como mostra a ilustração 10.
  • 11. 11 ILUSTRAÇÃO 10: 3ª e 4ª etapa do algoritmo de multiplicação da Gelosia. Fonte: Elaborado pelo autor. Na primeira diagonal temos apenas o algarismo 6, o qual corresponderá a primeira aba inferior, da direita para a esquerda. Na segunda diagonal temos: 9 + 0 + 2 = 11. Assim como em nosso algoritmo da adição, armazenaremos 1 na segunda aba inferior e enviamos 1 para a próxima diagonal. Na terceira diagonal temos: 0 + 3 + 0 + 4 + (1) = 8, que registramos na terceira aba inferior. Observe que o (1) em destaque é proveniente da diagonal anterior. Na quarta diagonal temos: 0 + 6 + 0 = 6, que registramos na primeira aba lateral esquerda, de baixo para cima. Por fim, na quinta diagonal há apenas o algarismo zero, que ocupará a aba lateral esquerda restante. O número registrado nas abas inferior e lateral esquerda, 06816, representa o produto desejado. Como o zero a esquerda não possui valor relativo, então, 213 x 32 = 6 816. OS CHINESES E O ALGORITMO DOS BAMBUS “Os chineses foram umas das primeiras civilizações a entender que os cálculos num sistema decimal são mais simples e eficazes. Em 1500 anos a.C. tinham sistema com 5000 caracteres posicionais, mais tarde inventaram os cilindros de contagem.” (GASPAR, 2013). É atribuído aos chineses o desenvolvimento do algoritmo de multiplicação intuitivo, que pode nos auxiliar, de forma lúdica, no ensino da Matemática utilizando varetas de bambu. Esta técnica consiste na contagem das interseções entre as varetas que representam certo produto. Vamos resolver o produto 12 x 14 para visualizarmos, na prática, como esta técnica funciona.
  • 12. 12 ILUSTRAÇÃO 11: Processo do algoritmo de multiplicação chinês. Fonte: Elaborado pelo autor. A metodologia de multiplicação chinesa consiste na representação dos números através de varetas de bambu. Na 1ª etapa da ilustração 11 temos a representação do número 12, na 2ª etapa, o número 14 e na 3ª etapa a representação do produto 12 x 14. Para resolvermos esta multiplicação, procederemos da seguinte forma: primeiro marcamos todos os pontos de interseção entre as varetas; depois dividimos o processo em três seções, como mostra a 3ª etapa da ilustração 11; o último passo é somar os pontos de cada seção, da direita para a esquerda, neste caso, começamos na terceira seção, na qual temos 8, na segunda 4 + 2 = 6 e na primeira 1. Logo o resultado de 12 x 14 = 168. Se por acaso uma das seções, exceto a última a esquerda, for maior que 9, faremos como em nosso algoritmo da adição, armazenamos o valor absoluto das unidades e enviamos o valor absoluto das dezenas para a próxima seção. CONSIDERAÇÕES FINAIS A educação Matemática no Brasil apresenta um quadro pouco animador, mas, sobre tudo desafiador. No Brasil, os resultados obtidos em testes, aplicados aos alunos de todas as faixas etárias, expressam a CRISE do ensino de Matemática, não só na escola pública, mas também na escola
  • 13. 13 privada, pois a prova de Matemática dos vestibulares está entre aquelas que apresentam os mais baixos escores. (CARNEIRO, 2000, p.13). Sim, só quem realmente gosta do que faz e busca a cada dia preparar-se para transportar seus alunos para um mundo diferente a cada aula, aceitará embarcar nesta missão. Matematicamente falando, é necessário e suficiente que, por maior que sejam as dificuldades, o professor de Matemática, em particular, tem o dever de orientar de forma prazerosa, harmoniosa, eficiente e eficaz o desenvolvimento de seus alunos. Entretanto, não podemos atribuir a carga de toda essa responsabilidade apenas ao professor, pois segundo Carneiro (2000) o sucesso da aprendizagem depende, também, dos alunos e do contexto social e institucional. Devemos ter a convicção de que, a Matemática está em toda parte, e que essa concepção é a base, o alicerce, sobre o qual devemos construir juntamente com nossos alunos o saber matemático. Saber este, que não é apenas saber contar ou medir, é o paradigma que será aplicado as suas vidas, tendo valor intrínseco e social. Portanto, é essencial que saibamos como e quando usar a História da Matemática como ferramenta didática para facilitar e agregar valor as aulas de Matemática, tornando o processo de ensino desta fabulosa disciplina algo que atraia os olhares, hora desacreditados, de nossos alunos, fazendo com que estes conheçam a evolução da Matemática na sociedade e desenvolvam as habilidades e competências necessárias para o pleno desenvolvimento acadêmico e social. REFERÊNCIAS BRASIL, Secretaria de Ensino Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Ed. 3 - Brasília: MEC/SEF, 2001. BULMER-THOMAS, I. Euclid. Complete Dictionary of Scientific Biography. 2008.Disponível em: <http://www.encyclopedia.com>. Acesso em: 19.Jul.2015. CARNEIRO, V. C. G. Educação Matemática no Brasil: uma meta-investigação. Quadrante-Revista Teórica e de Investigação, Lisboa, v. 9, n. 1, p. 117-140, 2000.) CARVALHO, D. L. Metodologia do ensino da matemática. Ed. 2. rev. – São Paulo: Cortez, 1994.
  • 14. 14 ETHIOPIAN multiplication explained. Bitesize. Disponível em: <http://www.bbc.co.uk/education/clips/zrxb4wx>. Acesso em 22.jul.2015. GASPAR, J., Matemática na China. Coimbra, 2013. Disponível em: <http://www.mat.uc.pt/~mat0703/PEZ/China2.htm>. Acesso em 28.jul.2015 GELOSIA. Em Dicionário Priberam da Língua Portuguesa. Disponível em: <http://www.priberam.pt/dlpo/gelosia>. Acesso em: 26.jul.2015. GIBSON, C. A história da Pedra de Rosetta. Disponível em: <http://pessoas.hsw.uol.com.br/pedra-de-roseta1.htm>. Acesso em: 18.jul.2015. LUCHETTA, V. O. J. História da matemática no Egito. Disponível em: <História da matemática no Egito>. Acesso em 17.jul.2015. NETTO, I. S. Champollion. O Fascínio do antigo Egito Disponível em: <http://www.fascinioegito.sh06.com/champoll.htm>. Acesso em 17.jul.2015. O'CONNOR, J. J.; ROBERTSON, E. F. An overview of Egyptian mathematics. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews, Scotland. Disponível em: <http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/index.html>. Acesso em: 19.jul.2015. OLIVEIRA, G. S. História da Matemática: algoritmos da multiplicação. Ensino em Re- Vista. Uberlândia, v. 8, n. 1, p. 173-183, jul.1999./jun.2000. Disponível em: <http://www.seer.ufu.br/index.php/emrevista/article/view/7870/4975>. Acesso em: 15.jul.2015. SOARES, F. B.; NUNES, M. P. S. Diferentes Formas de Multiplicar. In: ENCONTRO DE INVESTIGAÇÃO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 15, 2005, Caminha. Disponível em: <http://spiem.pt/DOCS/ATAS_ENCONTROS/2005/2005_16_FBSoares.pdf>. Acesso em 17.jul.2015. SOUZA, J. C. M. Matemática divertida e curiosa. Ed. 15 - Rio de Janeiro: Record, 2001. WEISSTEIN, E. W., ZOBEL, D. Russian Multiplication. Wolfram MathWorld. Disponível em: <http://mathworld.wolfram.com/RussianMultiplication.html>. Acesso em: 22.jul.2015.