O documento apresenta os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: (1) definição de matriz e exemplos de diferentes tipos; (2) operações básicas como adição, subtração e multiplicação; (3) conceito de matriz inversa.
O documento resume conceitos básicos sobre matrizes, incluindo:
1) Definição de matriz, linhas, colunas e elementos;
2) Operações como transposição, adição, subtração e multiplicação de matrizes;
3) Tipos especiais de matrizes como matrizes quadradas e booleanas.
Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.
Este documento descreve as características básicas de matrizes, incluindo suas dimensões, elementos, transposição e operações como adição, subtração e multiplicação. Matrizes podem ser quadradas ou retangulares, e vetores são considerados matrizes de dimensão especial.
1) O documento apresenta um roteiro geral de ensino fundamental que inclui tópicos de matemática elementar como números naturais, inteiros, racionais, frações, equações de 1o grau, razões e proporções.
2) É fornecido um mini dicionário de termos matemáticos que aparecem nos tópicos como ábaco, adição, algoritmo, ângulo, área, entre outros.
3) Os tópicos vão desde a origem dos números e sistema de numeração até equações do 2o gra
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, definindo-as como tabelas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes podem ser somadas e multiplicadas, seguindo regras específicas, e apresenta exemplos ilustrativos dessas operações.
O documento apresenta os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: 1) Definição de matriz e exemplos; 2) Representação genérica de matrizes; 3) Matrizes especiais como identidade, quadrada, triangular e nula; 4) Igualdade e operações com matrizes.
O documento fornece definições e explicações sobre matrizes, incluindo: 1) o que é uma matriz e sua notação; 2) os tipos básicos de matrizes como matrizes nulas, quadradas e identidade; 3) operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação.
- Quer o download desse material inteiramente grátis ? Siga os passos :
1º - Curta essa página no Facebook
2º - Envie-nos um e-mail solicitando seu download para aula de prisma através
- Quer o download desse material inteiramente grátis ? Siga os passos :
1º - Curta essa página
2º - Envie-nos um e-mail solicitando seu download para aula de prisma através do e-mail : senha.especial.prisma@centroapoio.com
O documento resume conceitos básicos sobre matrizes, incluindo:
1) Definição de matriz, linhas, colunas e elementos;
2) Operações como transposição, adição, subtração e multiplicação de matrizes;
3) Tipos especiais de matrizes como matrizes quadradas e booleanas.
Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.
Este documento descreve as características básicas de matrizes, incluindo suas dimensões, elementos, transposição e operações como adição, subtração e multiplicação. Matrizes podem ser quadradas ou retangulares, e vetores são considerados matrizes de dimensão especial.
1) O documento apresenta um roteiro geral de ensino fundamental que inclui tópicos de matemática elementar como números naturais, inteiros, racionais, frações, equações de 1o grau, razões e proporções.
2) É fornecido um mini dicionário de termos matemáticos que aparecem nos tópicos como ábaco, adição, algoritmo, ângulo, área, entre outros.
3) Os tópicos vão desde a origem dos números e sistema de numeração até equações do 2o gra
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, definindo-as como tabelas de números dispostos em linhas e colunas. Explica que as matrizes podem ser somadas e multiplicadas, seguindo regras específicas, e apresenta exemplos ilustrativos dessas operações.
O documento apresenta os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: 1) Definição de matriz e exemplos; 2) Representação genérica de matrizes; 3) Matrizes especiais como identidade, quadrada, triangular e nula; 4) Igualdade e operações com matrizes.
O documento fornece definições e explicações sobre matrizes, incluindo: 1) o que é uma matriz e sua notação; 2) os tipos básicos de matrizes como matrizes nulas, quadradas e identidade; 3) operações com matrizes como adição, subtração e multiplicação.
- Quer o download desse material inteiramente grátis ? Siga os passos :
1º - Curta essa página no Facebook
2º - Envie-nos um e-mail solicitando seu download para aula de prisma através
- Quer o download desse material inteiramente grátis ? Siga os passos :
1º - Curta essa página
2º - Envie-nos um e-mail solicitando seu download para aula de prisma através do e-mail : senha.especial.prisma@centroapoio.com
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que representa elementos ordenados.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais, nulas e transpostas.
3) Podemos realizar operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação seguindo regras de ordem das linhas e colunas.
O documento discute matrizes, definindo-as como tabelas de números organizados em linhas e colunas. Explica brevemente a história das matrizes, tipos como identidade e transposta, operações como adição e multiplicação, e aplicações práticas como organização de preços. Finaliza com uma curiosidade sobre representação de números complexos por matrizes.
O documento apresenta uma aula sobre funções polinomiais do 1o grau. Nele, são discutidos conceitos como diagrama de flechas, produto cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função. Além disso, são fornecidos exercícios interativos para ajudar os alunos a fixarem os conceitos apresentados.
O documento define matrizes e suas propriedades. Uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Existem operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes. A multiplicação só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda.
Este documento é uma apostila sobre matrizes que define matrizes e várias operações com elas, como adição, subtração, multiplicação por escalar, produto e transposta de matrizes. Também apresenta conceitos como matriz simétrica, triangular, determinantes, propriedades dos determinantes, matriz inversa e exercícios sobre o assunto.
O documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo sua origem na China antiga, definição moderna no século XIX, e aplicações em diversas áreas como computação, mecânica e eletrônica. Explica termos como matriz identidade, transposta, oposta, simétrica e anti-simétrica.
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)Pedro Povoleri
As matrizes foram inicialmente utilizadas pelo matemático inglês James Sylvester em meados do século XIX. Seu colega Arthur Cayley definiu operações básicas entre matrizes. O matemático alemão Gotthold Eisenstein contribuiu para o desenvolvimento da multiplicação matricial.
Este documento fornece um resumo de conceitos básicos de matemática como operações numéricas e algébricas, frações, potenciação, expressões algébricas, polinômios, funções e gráficos de função. Inclui exemplos e exercícios para praticar cada tópico.
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantesPedro Povoleri
As matrizes foram utilizadas pela primeira vez pelo matemático e advogado inglês James Sylvester em 1848. Seu colega também inglês Arthur Cayley instituiu algumas operações básicas entre as matrizes em 1858. A multiplicação matricial deveu-se ao matemático alemão Gotthold Eisenstein.
O documento apresenta informações sobre a produção de guarda-roupas e uso de fechaduras em uma fábrica durante o mês de outubro de 2005. As tabelas 1 e 2 mostram respectivamente a produção de guarda-roupas por modelo e madeira e a quantidade de fechaduras usadas em cada tipo de armário. A questão pede a quantidade total de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte no período, que de acordo com a tabela 2 foi de 192.
O documento descreve matrizes, definindo-as como tabelas com elementos dispostos em linhas e colunas. Apresenta exemplos de matrizes de diferentes tipos (quadrada, triangular, diagonal, identidade e nula) e operações como transposição.
áLgebra linear 01 aula 02-propr determinantes-regra de chióPedro Povoleri
O documento apresenta várias propriedades dos determinantes de matrizes quadradas. Entre elas: (1) o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta; (2) se uma linha ou coluna for constituída apenas de zeros, o determinante será igual a zero; (3) se duas linhas ou colunas forem trocadas, o novo determinante terá valor simétrico do original.
O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda conceitos como matriz identidade, matriz nula, operações entre matrizes, regras para calcular determinantes, propriedades dos determinantes, sistemas lineares e os métodos para resolvê-los, como escalonamento e regra de Cramer.
O documento aborda operações com matrizes, definindo matrizes, transposição, adição, subtração e multiplicação de matrizes. Apresenta exemplos destas operações e exercícios sobre matrizes, incluindo determinação do tipo de matriz resultante de operações e cálculo de inversas.
Este documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: (1) definição de matriz e representação; (2) igualdade de matrizes; (3) tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular, oposta e identidade; (4) operações como soma, subtração e multiplicação de matrizes.
- Tabelas;
- Tipos de Matrizes;
- Soma e subtração de matrizes;
- Multiplicação de uma matriz por um número real;
- Multiplicação de duas matrizes;
- Matriz inversa;
- Dicas para o cálculo da matriz inversa de ordem 2;
- Atividades.
Este documento apresenta um resumo da disciplina de Álgebra Linear para o curso de Engenharia de Petróleo. Aborda conceitos como sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores. Inclui também o conteúdo programático organizado em quatro unidades, os objetivos da disciplina, procedimentos de ensino e avaliação.
Este documento descreve uma aula sobre funções do primeiro grau ministrada para estudantes do curso de Informática Educacional da UFF. A aula utilizou o software Winplot para a construção de gráficos e explicou conceitos como plano cartesiano, par ordenado, coeficientes angular e linear da reta. Exercícios foram realizados no papel milimetrado e no Winplot para avaliar a compreensão dos estudantes.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação e operações. É descrito como João e Maria obtiveram notas em diferentes matérias e como essas informações podem ser organizadas em matrizes. Também são explicados conceitos como produto de matrizes, matriz identidade e propriedades de operações com matrizes.
Este documento apresenta um trabalho avaliativo de Álgebra Linear composto por 4 questões. A primeira pede para resolver expressões e equações numéricas e algébricas no software wxMaxima. A segunda solicita resolver sistemas de equações lineares. A terceira instrução é introduzir matrizes no wxMaxima e realizar operações entre elas. Por fim, pede calcular a inversa de duas matrizes no programa.
El documento propone 20 ejercicios sobre matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones. Los ejercicios incluyen construir matrices con diferentes propiedades, calcular la transpuesta y suma de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y clasificarlos, e identificar valores que hacen que los sistemas sean posibles, imposibles o indeterminados.
1) Uma matriz é uma tabela com linhas e colunas que representa elementos ordenados.
2) Existem diferentes tipos de matrizes como matrizes quadradas, diagonais, nulas e transpostas.
3) Podemos realizar operações com matrizes como soma, subtração e multiplicação seguindo regras de ordem das linhas e colunas.
O documento discute matrizes, definindo-as como tabelas de números organizados em linhas e colunas. Explica brevemente a história das matrizes, tipos como identidade e transposta, operações como adição e multiplicação, e aplicações práticas como organização de preços. Finaliza com uma curiosidade sobre representação de números complexos por matrizes.
O documento apresenta uma aula sobre funções polinomiais do 1o grau. Nele, são discutidos conceitos como diagrama de flechas, produto cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função. Além disso, são fornecidos exercícios interativos para ajudar os alunos a fixarem os conceitos apresentados.
O documento define matrizes e suas propriedades. Uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Existem operações como adição, subtração e multiplicação entre matrizes. A multiplicação só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda.
Este documento é uma apostila sobre matrizes que define matrizes e várias operações com elas, como adição, subtração, multiplicação por escalar, produto e transposta de matrizes. Também apresenta conceitos como matriz simétrica, triangular, determinantes, propriedades dos determinantes, matriz inversa e exercícios sobre o assunto.
O documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo sua origem na China antiga, definição moderna no século XIX, e aplicações em diversas áreas como computação, mecânica e eletrônica. Explica termos como matriz identidade, transposta, oposta, simétrica e anti-simétrica.
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantes (2)Pedro Povoleri
As matrizes foram inicialmente utilizadas pelo matemático inglês James Sylvester em meados do século XIX. Seu colega Arthur Cayley definiu operações básicas entre matrizes. O matemático alemão Gotthold Eisenstein contribuiu para o desenvolvimento da multiplicação matricial.
Este documento fornece um resumo de conceitos básicos de matemática como operações numéricas e algébricas, frações, potenciação, expressões algébricas, polinômios, funções e gráficos de função. Inclui exemplos e exercícios para praticar cada tópico.
áLgebra linear 01 aula 01-matrizes e cálculo determinantesPedro Povoleri
As matrizes foram utilizadas pela primeira vez pelo matemático e advogado inglês James Sylvester em 1848. Seu colega também inglês Arthur Cayley instituiu algumas operações básicas entre as matrizes em 1858. A multiplicação matricial deveu-se ao matemático alemão Gotthold Eisenstein.
O documento apresenta informações sobre a produção de guarda-roupas e uso de fechaduras em uma fábrica durante o mês de outubro de 2005. As tabelas 1 e 2 mostram respectivamente a produção de guarda-roupas por modelo e madeira e a quantidade de fechaduras usadas em cada tipo de armário. A questão pede a quantidade total de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte no período, que de acordo com a tabela 2 foi de 192.
O documento descreve matrizes, definindo-as como tabelas com elementos dispostos em linhas e colunas. Apresenta exemplos de matrizes de diferentes tipos (quadrada, triangular, diagonal, identidade e nula) e operações como transposição.
áLgebra linear 01 aula 02-propr determinantes-regra de chióPedro Povoleri
O documento apresenta várias propriedades dos determinantes de matrizes quadradas. Entre elas: (1) o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta; (2) se uma linha ou coluna for constituída apenas de zeros, o determinante será igual a zero; (3) se duas linhas ou colunas forem trocadas, o novo determinante terá valor simétrico do original.
O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda conceitos como matriz identidade, matriz nula, operações entre matrizes, regras para calcular determinantes, propriedades dos determinantes, sistemas lineares e os métodos para resolvê-los, como escalonamento e regra de Cramer.
O documento aborda operações com matrizes, definindo matrizes, transposição, adição, subtração e multiplicação de matrizes. Apresenta exemplos destas operações e exercícios sobre matrizes, incluindo determinação do tipo de matriz resultante de operações e cálculo de inversas.
Este documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: (1) definição de matriz e representação; (2) igualdade de matrizes; (3) tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular, oposta e identidade; (4) operações como soma, subtração e multiplicação de matrizes.
- Tabelas;
- Tipos de Matrizes;
- Soma e subtração de matrizes;
- Multiplicação de uma matriz por um número real;
- Multiplicação de duas matrizes;
- Matriz inversa;
- Dicas para o cálculo da matriz inversa de ordem 2;
- Atividades.
Este documento apresenta um resumo da disciplina de Álgebra Linear para o curso de Engenharia de Petróleo. Aborda conceitos como sistemas lineares, espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores e autovetores. Inclui também o conteúdo programático organizado em quatro unidades, os objetivos da disciplina, procedimentos de ensino e avaliação.
Este documento descreve uma aula sobre funções do primeiro grau ministrada para estudantes do curso de Informática Educacional da UFF. A aula utilizou o software Winplot para a construção de gráficos e explicou conceitos como plano cartesiano, par ordenado, coeficientes angular e linear da reta. Exercícios foram realizados no papel milimetrado e no Winplot para avaliar a compreensão dos estudantes.
O documento apresenta informações sobre matrizes, incluindo sua definição, classificação, notação e operações. É descrito como João e Maria obtiveram notas em diferentes matérias e como essas informações podem ser organizadas em matrizes. Também são explicados conceitos como produto de matrizes, matriz identidade e propriedades de operações com matrizes.
Este documento apresenta um trabalho avaliativo de Álgebra Linear composto por 4 questões. A primeira pede para resolver expressões e equações numéricas e algébricas no software wxMaxima. A segunda solicita resolver sistemas de equações lineares. A terceira instrução é introduzir matrizes no wxMaxima e realizar operações entre elas. Por fim, pede calcular a inversa de duas matrizes no programa.
El documento propone 20 ejercicios sobre matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones. Los ejercicios incluyen construir matrices con diferentes propiedades, calcular la transpuesta y suma de matrices, resolver sistemas de ecuaciones lineales y clasificarlos, e identificar valores que hacen que los sistemas sean posibles, imposibles o indeterminados.
O documento contém 11 questões de múltipla escolha sobre assuntos diversos como matemática financeira, porcentagem,
geometria e interpretação de texto. As questões abordam cálculos envolvendo taxa de juros, consumo de energia, número de
notas falsas apreendidas, descontos em preços de mercadorias, conversão de unidades de medida e interpretação de gráficos e
tabelas.
1) Uma matriz é uma tabela m x n utilizada para resolver sistemas de equações lineares e transformações lineares.
2) As operações básicas com matrizes incluem soma, subtração, multiplicação escalar e multiplicação matriz por matriz.
3) O determinante de uma matriz quadrada é calculado usando regras específicas e indica se o sistema linear associado tem solução única.
This document provides instructions for making a paper snowflake using template 5. The instructions say to cut out the square template, fold it diagonally in half to form a triangle, then fold it in half again to make a smaller triangle. Then fold the left and right sections towards the back, cut away the gray areas, and unfold to reveal the finished snowflake. More templates and illustrated instructions can be found on the listed web page.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre matrices. Incluye la definición de diferentes matrices según reglas dadas y operaciones entre ellas, como suma, resta, multiplicación y transposición. También incluye cálculos de trazos y determinación de elementos individuales de las matrices.
O documento discute resolução de sistemas lineares por diferentes métodos como substituição, adição e comparação. Explica como representar problemas com duas variáveis por sistemas de equações e resolver graficamente. Classifica sistemas em determinados, impossíveis e indeterminados.
O documento fornece instruções sobre como instalar e usar o software wxMaxima, um programa de álgebra computacional. Ele explica como realizar operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão, resolver equações e sistemas de equações, trabalhar com matrizes e operações matriciais.
- Quer o download desse material inteiramente grátis ? Siga os passos :
1º - Curta essa página no Facebook
2º - Envie-nos um e-mail solicitando seu download para aula de prisma através
www.centroapoio.acom
Este documento fornece exemplos de operações com matrizes, como soma, multiplicação, transposta e produto entre matrizes. Inclui também a definição de matriz identidade e suas propriedades algébricas importantes.
O documento apresenta conceitos básicos sobre matrizes, incluindo:
1) Matrizes podem ser classificadas de acordo com sua forma (retangular, quadrada, linha, coluna) ou natureza dos elementos (real, complexa, nula, triangular superior/inferior, diagonal, escalar, simétrica, densa, dispersa);
2) Uma matriz identidade I é uma matriz quadrada com uns na diagonal principal e zeros nos demais elementos;
3) A soma de duas matrizes do mesmo tipo resulta em uma matriz do mesmo tipo obtida somando elementos da mesma posição.
1) As matrizes surgiram na China antiga e o termo "matriz" foi introduzido por Sylvester em 1850.
2) Matrizes são usadas em imagens digitais e planilhas.
3) Uma matriz pode ser representada de três formas: colchetes, parênteses ou barra dupla.
O documento apresenta 15 exercícios resolvidos de matemática, com problemas envolvendo proporções, porcentagens e operações com frações. Os exercícios abordam tópicos como torneiras enchendo tanques, divisão de heranças, gastos com compras e idades.
1) O documento apresenta um curso de matemática financeira ministrado pelo professor Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães em 2014 para o concurso do Banco do Brasil. 2) O curso aborda tópicos como razão e proporção, divisão proporcional e regra de sociedade simples. 3) São apresentados diversos exercícios resolvidos sobre esses tópicos para preparar os alunos para o concurso.
Este documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares. Apresenta conceitos básicos de matrizes como definição, tipos, operações e inversa. Também aborda determinantes e como representar sistemas de equações lineares na forma matricial.
Este documento discute três tópicos principais:
1) A importância da educação para transformar a sociedade de acordo com Paulo Freire.
2) O significado e uso de matrizes para organizar dados.
3) Diferentes tipos de operações e propriedades relacionadas a matrizes.
Este documento discute três tópicos principais:
1) A importância da educação para transformar a sociedade de acordo com Paulo Freire.
2) O significado e uso de matrizes para organizar dados.
3) Diferentes tipos de operações e propriedades de matrizes.
1) O documento apresenta um plano de trabalho para o ensino de matrizes e determinantes para uma turma de 38 alunos sem recursos tecnológicos. 2) Serão ministradas 6 aulas de conteúdo e 2 de avaliação. 3) O conteúdo inclui definição e tipos de matrizes, operações entre matrizes, e cálculo de determinantes para matrizes de ordem 1 a 3.
O documento discute conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda operações entre matrizes, cálculo de determinantes usando regras como a de Sarrus e Laplace, resolução de sistemas lineares pelos métodos de escalonamento e Cramer, e classificação de sistemas lineares homogêneos.
O documento apresenta os conceitos básicos de matrizes, incluindo sua definição, tipos de matrizes e suas propriedades. É introduzido o conceito de matriz como uma tabela de números e são descritos os tipos especiais de matrizes como matriz quadrada, triangular, diagonal e identidade.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
O documento discute conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares. Aborda: 1) definição e tipos de matrizes; 2) cálculo de determinantes usando regras de Sarrus e Laplace; 3) resolução de sistemas lineares por escalonamento e método de Cramer. Também apresenta aplicações dos determinantes no cálculo de áreas de polígonos.
1) O documento discute matrizes, determinantes e sistemas lineares, apresentando conceitos e exemplos destes tópicos da álgebra linear.
2) É apresentada uma citação de Paulo Freire sobre a importância da educação para a transformação da sociedade.
3) São mostrados exemplos de cálculo de determinantes utilizando a regra de Sarrus e propriedades dos determinantes.
A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...Evonaldo Gonçalves Vanny
A regra de Cramer é um método para resolver sistemas lineares com o mesmo número de equações e incógnitas. Calcula-se o determinante da matriz do sistema e os determinantes de cada coluna substituída pelos termos independentes. As incógnitas são os valores dos determinantes divididos pelo determinante geral.
Implementação do Currículo- Módulo 4 - Encontro 1inechidias
1) O documento apresenta conceitos sobre matrizes, determinantes e números complexos.
2) Inclui exemplos de operações com matrizes e cálculo de determinantes.
3) Fornece definições matemáticas dessas estruturas algébricas.
Este documento resume os principais conceitos sobre matrizes, incluindo: (1) definição de matriz e representação; (2) igualdade e tipos de matrizes como nula, linha, coluna, quadrada, diagonal, triangular, oposta e identidade; (3) operações como soma, subtração e multiplicação.
Compreender o significado das matrizes e das operações entre elas na represen...engcivilcrisalves
Este material, será o apoio para executar os
exercícios propostos sobre matrizes.
Leia com atenção os enunciados dos
exercícios, e as resoluções dos exemplos,
para que você possa executá-los com êxito.
Álgebra Linear e Suas Aplicações - André Gustavo de A. SantosAndré Gustavo Santos
O documento apresenta uma introdução às matrizes, definindo o que é uma matriz e seus principais tipos. Apresenta exemplos de operações com matrizes, como igualdade, adição e tipos especiais de matrizes.
O documento apresenta um sumário sobre matrizes, determinantes e sistemas lineares, incluindo definições de tipos de matrizes, operações com matrizes e cálculo de determinantes.
1. O documento discute conceitos básicos de matrizes, incluindo definição, representação algébrica, tipos especiais de matrizes como quadrada e identidade, e operações como adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes.
2. São apresentados exemplos ilustrativos de como representar e calcular matrizes.
3. As principais operações com matrizes discutidas são adição, subtração, multiplicação por escalar e entre matrizes, além de conceitos como matriz inversa e transposta.
O documento apresenta um capítulo sobre matrizes no contexto de álgebra linear. Introduz conceitos básicos como definição de matriz, notação matricial e exemplos. Apresenta também classificações de matrizes como retangular, quadrada, nula, diagonal e identidade.
This document is a lesson plan on radicals (radiciação in Portuguese) from a teacher named Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães. It includes definitions of radicals, properties of radicals, examples of simplifying radicals using factoring, and exercises for students to practice evaluating radicals. The lesson emphasizes understanding the concepts through examples and practice problems.
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - REVISÃO DAS AULAS 1, 2, 3Otávio Sales
O documento apresenta 6 questões de concursos públicos sobre estatística descritiva e amostragem. As questões abordam tópicos como distribuição de frequências, função de distribuição empírica, amostragem sistemática, amostragem por conglomerados e uso de amostragem pelo IBGE.
MATEMÁTICA FINANCEIRA - AULA DE REVISÃO 1, 2, 3Otávio Sales
O documento apresenta 14 questões de matemática financeira sobre juros simples e compostos, descontos, taxas de retorno e antecipação de recebíveis. As questões abordam cálculos envolvendo aplicações financeiras, empréstimos, reajustes de preços, compra a prazo e antecipação de cheques. O documento também fornece informações sobre o PODEMOS, um programa de desenvolvimento da matemática olímpica e seriada.
1) O documento apresenta conceitos sobre taxas de juros, incluindo taxas nominais, efetivas e equivalentes, além de exemplos de conversão entre elas.
2) É explicado que taxas nominais podem dar a falsa impressão de serem menores do que realmente são, enganando o cliente.
3) São fornecidos exercícios sobre conversão e cálculo de taxas e seus montantes ao longo do tempo.
O documento apresenta um curso sobre juros compostos, definindo o conceito, explicando o cálculo do montante e apresentando vários exercícios resolvidos sobre aplicações financeiras com juros compostos.
Este documento fornece uma introdução abrangente sobre o que é estatística, discutindo suas várias definições, funções e aplicações. Ele explica que a estatística envolve a coleta, organização e análise de dados para descrever situações e prever resultados com base em probabilidade. O documento também distingue entre estatística descritiva e indutiva.
O documento apresenta um curso sobre juros simples, definindo os principais conceitos como capital inicial, taxa de juros, tempo e montante. Explica a diferença entre juros simples, em que a taxa incide sobre o capital inicial, e juros compostos, em que incide sobre o valor atual. Fornece exemplos de cálculos de juros simples com diferentes períodos de tempo e taxas.
The document is a lesson plan on descriptive statistics for a quarantine course provided by Podemos. It begins with an introduction to the course and provides definitions of statistics, including its two main functions - descriptive statistics and inductive statistics. It discusses key topics in descriptive statistics such as data collection methods, tables and graphs, measures of central tendency and dispersion. The document emphasizes that statistics is not just about collecting and analyzing data, but also making predictions based on the analysis. It provides several examples and exercises for students to define statistics and understand the differences between descriptive and inductive statistics.
This document provides an overview of sampling techniques used in statistics. It discusses different types of sampling, including random sampling methods like simple random sampling, stratified random sampling, and cluster sampling. It also discusses non-random sampling techniques. The key points are:
- Random sampling methods like stratified random sampling provide more precise results but are more expensive than other methods like cluster sampling.
- Non-random sampling techniques are less precise than random methods but can still have value in some cases.
- The document provides examples and definitions of different sampling methods and explains how and when each might be used.
This document provides an introduction to Japanese puzzles (puzzles japonêses). It discusses that while named for Japan, many were not actually created in Japan and can be solved independently of culture. It presents some well-known Japanese puzzles like Sudoku and introduces others less known in Brazil. It provides tips for learning strategies to solve puzzles and recommends websites for practice. Examples of puzzles are provided from math competitions to illustrate types of problems encountered in puzzle solving competitions.
O documento apresenta o quebra-cabeça japonês Masyu, explicando suas regras básicas, estratégias de resolução e fornecendo exemplos resolvidos passo a passo. O objetivo é criar um único loop que atravessa todos os círculos sem ramificações ou cruzamentos, obedecendo às regras de movimentação em torno dos círculos pretos e brancos. Além disso, fornece links para puzzles online e aplicativos para quem deseja aprender e praticar este quebra-cabeça.
Apostila do módulo b5 textual - corrigido e ampliado - 22032020 (1)Otávio Sales
This document is a lesson plan on radicals (square roots, cube roots, etc.) presented by Professor Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães. It begins with an introduction to radicals and an outline of topics to be covered. It then provides examples and exercises on evaluating radicals of natural numbers, using factoring to simplify radicals, and the properties of radicals of integers. The document contains instructional text blocks, examples, and over 15 multi-part exercises for students to practice evaluating and simplifying radicals.
181 questoes omu 2009 a 2018 - ENSINO FUNDAMENTALOtávio Sales
(1) O documento apresenta uma lista de questões de matemática de olimpíadas anteriores organizadas por assuntos como divisibilidade, equacionamento, média aritmética e equação do segundo grau.
(2) As questões são extraídas de provas e simulados aplicados entre 2009-2017, com foco em conteúdos elementares de matemática.
(3) A lista não foi organizada de forma cuidadosa e pode conter equívocos, sendo fornecida apenas para revisão inicial de conteúdos.
Apostila do Curso de Verão: VB, realizado em 2018, em Passos.
VB.1(a) – Radiciação, Propriedades da Radiciação, Simplificação de Radicais, Introdução do Fator Externo no Radicando, Racionalização de Denominadores, Potência de Expoente Fracionário
VB.2(a) – Equações Fracionárias do 1º Grau, Equações Literais, Lei dos Produtos Nulos, Resolução de Equações utilizando-se da Fatoração, Resolução da Equações binômias, Equações do 2º Grau incompletas, Métodos de resolução da Equação do 2º Grau (fatoração, completando quadrados e pela fórmula resolutiva)
VB.3(a) – Teorema de Pitágoras, Relações Métricas no Triângulo Retângulo, Relações Métricas no Triângulo Qualquer, Natureza dos Triângulos, Cevianas e Relação de Stewart, Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo, Razões Trigonométricas de ângulos notáveis, Aplicações na Área do Triângulo, Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.
VB.1(b) – Cálculo com Radicais: operações com radicais com índices não necessariamente iguais, Comparação de Radicais, Radical Duplo, Casos Complicados de Radiciação
VB.2(b) – Resolução de Equações do 2º Grau de diversos tipos, Equações literais do 2º Grau, Fatoração do Polinômio do 2º Grau, Equações Biquadradas, Equaçóes Irracionais, Problemas com Equações do 2º Grau (problemas diretos, média geométrica, diagonais, problemas geométricos). Problemas envolvendo equações do 2º Grau - Equações fracionárias - equacionamento.
VB.3(b) – Conceitos sobre circunferência (raio, diâmetro, arco, corda, flecha). Posições relativas entre circunferência e ponto, circunferência e reta, circunferência e circunferência. Média Geométrica na circunferência. Relação entre cordas. Relação entre secantes. Relação entre secante e tangente. Potência de um ponto. Polígonos Regulares Inscritos e Circunscritos. Apótema. Relações Métricas nos Polígonos Regulares e demonstração das fórmulas por Teorema de Pitágoras e por trigonometria. Pequeno Teorema de Tales. Triângulo Circunscrito: propriedades, Lei dos Senos e Área. Área do Triângulo Inscrito. Quadriláteros Inscritos e suas relações angulares. Teorema de Pitot e Quadriláteros Circunscritos. Teorema de Ptolomeu. Relação de Hiparco. Polígonos Regulares Circunscritos.
1) O documento apresenta 18 questões sobre funções do 2o grau, incluindo identificação de coeficientes, determinação de vértices, zeros e máximos/mínimos de funções quadráticas.
2) As questões abordam também a concavidade de parábolas, construção de gráficos e relação entre o discriminante e os zeros da função.
3) Há também problemas envolvendo aplicações como área de figuras geométricas e trajetória de objetos.
14 qa introducao aos poliedros - aula 2Otávio Sales
O documento apresenta os poliedros arquimedianos, incluindo:
(1) Existem 13 poliedros arquimedianos além dos poliedros regulares e prismas/antiprismas.
(2) 11 desses poliedros podem ser gerados através de truncaturas dos poliedros platônicos.
(3) Os outros dois são gerados por um processo chamado "snubificação".
14 qa introducao aos poliedros - aula 1Otávio Sales
Este documento apresenta os conceitos básicos de prismas, pirâmides e antiprismas, incluindo suas definições, tipos e propriedades topológicas. O leitor é orientado a classificar e analisar vários exemplos destes poliedros usando suas características e a relação de Euler. Diagramas de Schlegel e outros tópicos geométricos avançados também são brevemente introduzidos.
13 qa teoria matematica das eleicoes - aula 2 - versao 17052020Otávio Sales
Teoria Matemática das Eleições: único texto em língua portuguesa no Brasil que apresenta o tópico de ELEIÇÕES MAJORITÁRIAS para o Ensino Médio. Em breve ELEIÇÕES PROPORCIONAIS. Esse assunto é matéria básica em muitos países do mundo. Votação Plural. Votação Antiplural. Votação Maioritária em Duas Voltas. Método RunOff. Método de Condorcet. Contagem de Borda. Vetores Eleitorais
13 qa teoria matematica das eleicoes - aula 1Otávio Sales
[1] O documento apresenta um curso introdutório sobre Teoria Matemática das Eleições, abordando conceitos de eleições majoritárias e proporcionais. [2] Inclui exemplos de como diferentes métodos de votação podem levar a vencedores diferentes e paradoxos em eleições. [3] O curso visa mostrar como a matemática pode ser usada de forma justa ou injusta em processos eleitorais.
Telepsiquismo Utilize seu poder extrassensorial para atrair prosperidade (Jos...fran0410
Joseph Murphy ensina como re-apropriar do pode da mente.
Cada ser humano é fruto dos pensamentos e sentimentos que cria, cultiva e coloca em pratica todos os dias.
Ótima leitura!
A influência do comércio eletrônico no processo de gestão das livrarias e edi...AntonioLobosco3
Artigo extraído da Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Administração de Empresas, Área de Concentração: Estratégia e Inovação, da Universidade Cidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Administração de Empresas, sob orientação do Prof. Dr. Denis Donaire.
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Revista ano 11, nº 1, Revista Estudo Bíblico Jovens E Adultos, Central Gospel, 2º Trimestre de 2024, Professor, Tema, Os Grandes Temas Do Fim, Comentarista, Pr. Joá Caitano, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique, https://ebdnatv.blogspot.com/
A festa junina é uma tradicional festividade popular que acontece durante o m...ANDRÉA FERREIRA
Os historiadores apontam que as origens da Festa Junina estão diretamente relacionadas a festividades pagãs realizadas na Europa no solstício de verão, momento em que ocorre a passagem da primavera para o verão.
1. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 1
FACULDADE DA FUNDAÇÃO DE ENSINO DE MOCOCA
MOCOCA – SP
ÁLGEBRA LINEAR – 3º PERÍODO – CIÊNCIA DA
COMPUTAÇÃO
Prof. Mestre Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
professor.otavio@yahoo.com.br
CAPÍTULO 2 – MATRIZES
1. CONCEITOS
Matriz
Matriz é um conjunto de números disposto em tabelas com m linhas e n colunas. É
um modelo abstrato que serve para resolução de sistemas lineares.
Exemplos:
A=(
√
) B=[ ] C=[ ] D=( )
E=[ ] F=(
√
) G=( ) H=[ ]
As matrizes possuem m linhas e n colunas, ou seja, as matrizes são 2x3 (A), 3x3 (B), 3x3 (C), 4x4
(D), 3x5 (E), 4x2 (F), 1x3 (G) e 3x1 (H).
Fonte: Wikipédia
Tanto faz usar parênteses, colchetes, parênteses duplos, etc.... Apenas não use barras horizontais
similares ao de módulo, pois elas são utilizadas para determinantes, que veremos no próximo capítulo.
Para referir a um elemento da linha i e coluna j, temos o elemento que chamamos de aij. Não
podemos usar m e n, pois esses valores são usados para o número de linhas e colunas.
OBSERVAÇÃO
Ainda que incomum, é correto o uso do símbolo barras duplas para representar uma matriz:
‖ ‖
2. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 2
As matrizes B, C e D possuem o mesmo número de linhas e colunas então são chamadas de
matrizes quadradas, no caso, de ordem 2, 3 e 4:
B=[ ] C=[ ] D=( )
As matrizes G e H são chamadas de matriz linha e matriz coluna, por ter 1 linha e 1 coluna
respectivamente.
G=( ) H=[ ]
Uma matriz é um vetor com disposições peculiares. Uma matriz m x n é uma ‘espécie’ de vetor no
IRm x n
. Não entraremos em detalhes específicos.
Matrizes Quadradas
Vimos anteriormente que sistemas com ‘n’ variáveis precisam de ‘n’ equações. Também falamos
que as matrizes são modelos abstratos para resolução de sistemas. Ora, não é complicado dizer que uma
matriz quadrada de ordem n é uma modelação de sistemas lineares, e, por isso, são interessantes.
Um conceito utilizado em matrizes quadradas é o de diagonal. Os desenhos do site Brasil Escolar
deixam claro, sem maiores definições o que é uma diagonal de uma matriz.
Quando falarmos em diagonal simplesmente, estamos nos referindo à diagonal principal.
Note que os elementos da diagonal principal são os aij com i=j, i.e., a11, a22, a33, ..., ann.
Uma matriz que todos os elementos que não estão na diagonal principal são zeros é chamada de
matriz diagonal. Exemplos:
[ ] [ ]
Chamamos de matriz identidade ou matriz unidade, as matrizes diagonais cujos elementos da
diagonal são todos 1. É um tipo muito especial e importante de matriz.
3. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 3
I2=[ ] I3=[ ] I4[ ]
Vamos utilizar apenas I2, I3, I4, I5, ..., In para as matrizes identidades de ordem 2, 3, 4, 5, etc.
Observação
É possível se falar em matriz quadrada de ordem 1, ou seja, a matriz 1x1. Ex: [3]. É estranho, mas
é válido!
Matriz Oposta
Um conceito útil é a matriz oposta, onde todo aij é substituído -aij
A=(
√
) -A=(
√
)
Matriz Transposta
Seja a matriz m x n, a transposta At
é a matriz n x m, onde se invertem as linhas e as diagonais.
Por exemplo:
A=(
√
) At
=
(
√
)
D=( ) Dt
=( )
Na matriz transporta trocamos todos os aij por aji, evidentemente, manter-se-ão os elementos da
diagonal principal, onde i=j.
2. OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição e Subtração
A+B=(aij+bij)mxn em que 1<i<m e 1<j<n
Exemplo
( ) ( ) (
( )
)=( )
Só é possível efetuar a adição de matrizes se ambas possuem a mesma quantidade de linhas e
colunas. Ou seja, só dá pra somar uma matriz n x m com outra n x m.
4. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 4
A subtração é a soma da matriz com a oposta da outra. A-B=A+(-B). Basta efetuar as subtrações
membro a membro
( ) ( )=(
( )
( )) ( )
Multiplicação por escalar
Se k é um número real, A matriz, kA=(kaij)mxn em que 1<i<m e 1<j<n.
Exemplo
5x[ ⁄ ]=[ ]
A multiplicação por escalar pode ser feita em qualquer direção. Veja
( )x2=( )
Multiplicação de Matrizes
Para multiplicar matrizes faz-se a multiplicação de cada linha da matriz do 1º fator por cada coluna
da matriz do 2º fator, colocando o resultado da multiplicação da i-ézima linha da primeira matriz pela j-
ézima coluna da segunda matriz no elemento aij. Esse produto é o que estudamos no ano passado (Prof.
Kiihl) em Geometria Analítica e se chamada de produto interno entre vetores.
Falando é bem complicado. Pior ainda é falar das restrições: o número de colunas da primeira
matriz precisa ser igual ao número de linhas da segunda coluna. Ou seja, se a primeira matriz é m x n e a
segunda m’
x n’
, é obrigatório que n=m’
. Afirmação complexa, que é intuitiva na prática (ou seja, você não
precisa pensar nisso para fazer o produto, que automaticamente será inviável se não cumprir esse
quesito).
Veja alguns exemplos ilustrados retirados de inúmeros sites:
Exemplo 1
Fonte: http://www.essaseoutras.com.br/wp-content/uploads/2012/04/multiplicacao-matrizes.jpg
7. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 7
Exemplo 7
Fonte: http://diegodonah.files.wordpress.com/2009/11/fig3.gif?w=660
Exemplo 8
Fonte: http://seusaber.com.br/wp-content/uploads/2013/01/exemplo-multiplicacao-matrizes.png
APLICAÇÕES DO PRODUTO DE MATRIZES
Veja uma aplicação da Multiplicação de Matrizes no cotidiano no link:
http://educacao.uol.com.br/matematica/multiplicacao-de-matrizes-problema-resolvido.jhtm
8. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 8
VÍDEOS NO YOUTUBE QUE ENSINAM A MULTIPLICAR MATRIZES
Veja vídeos no Youtube sobre Multiplicação de Matrizes
http://www.youtube.com/watch?v=4cgHNvfMICg
http://www.youtube.com/watch?v=rk-yocwSq60
http://www.youtube.com/watch?v=V2LRnz54-dQ
http://www.youtube.com/watch?v=qqqUx4UWXtM
http://www.youtube.com/watch?v=UlL1Xl_prO8
http://www.youtube.com/watch?v=RsFn3FFgHq0
http://www.youtube.com/watch?v=WRZcwm6h4Mc
http://www.youtube.com/watch?v=jBJTRCTvOI8
http://www.youtube.com/watch?v=BEQjaqaBxTg
Assistam aos vídeos para aprender como se efetua o produto de matrizes
Vejam vários vídeos e escolham a melhor explicação
Não esqueçam de falar para seus filhos, irmãos e conhecidos jovens que a Internet é uma gigante
biblioteca de aprendizado e conhecimento. Ainda que ela sirva para jogos, fazer amigos, vender e comprar
coisas, ela também serve para aprender!
Não Validade da Propriedade Comutativa da Multiplicação de Matrizes
Vamos mostrar isso com exemplo, sem preocupar com rigor matemático (o objetivo agora é o
aprendizado)
Exemplo:
A= e B=
AxB= x =
BxA= x =
Note que as respostas são diferentes, logo A e B não são comutativas.
Observação
1) Toda matriz quadrada de ordem n ao ser multiplicada pela matriz identidade de mesma ordem, dá
o mesmo resultado que a operação invertendo os fatores. Ou seja A.In=In.A para qualquer matriz
quadrada A de ordem n.
2) Existem matrizes A e B onde vale A.B=B.A,são chamdas de matrizes comutáveis.
9. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 9
Faça outros testes na calculadora online do Prof Cardy:
http://www.profcardy.com/calculadoras/aplicativos.php?calc=20
Aplicação do Produto de Matrizes (Retirado de [2])
Pesquise em um supermercado, em um sacolão e em uma mercearia os preços dos seguintes
produtos: uma dúzia de ovos, um quilo de laranjas e um quilo de batatas. Suponde que você queira formar
duas cestas básicas, a primeira contendo 2 dz. de ovos, 5 kg de laranja e 3 kg de batatas, e a segunda
contendo 6 dz. de ovos, 2 kg de laranjas e 4 kg de batatas, estime quanto você vai gastar em cada
estabelecimento para fazer cada uma das cestas básicas. Traduza seus cálculos para a forma de
matrizes.
Vamos supor que encontramos os seguintes valores:
A composição de cada uma das cestas básicas é dada pela seguinte tabela:
Para determinar o custo de cada cesta em cada estabelecimento, devemos construir uma outra
tabela, a saber, de estabelecimentos por cestas (esta tabela conterá 6 elementos). Para calcular o custo
da cesta A no supermercado, basta multiplicar os elementos da primeira linha da Tabela I (preços dos
produtos no supermercado) pelos elementos correspondentes da primeira coluna da Tabela II (quantidade
necessária de cada produto), e então somar os 3 últimos números encontrados.
1,50.2+0,50.5+0,80.3=7,90
Da mesma forma, para calcularmos o custo da cesta B na mercadoria, devemos somar os três
números obtidos pela multiplicação dos elementos da terceira linha da Tabela I com os elementos
correspondentes da segunda coluna da Tabela II:
2,00.6+1,00.2+1,50.4=20,00
Seguindo esse raciocínio, obtemos a Tabela abaixo contendo o custo de cada cesta em cada
estabelecimento:
Traduzindo para o vocabulário de matrizes, se P é a matriz de preços
e C é a matriz de cestas básicas
então a matriz PC, que representa a matriz de custos, é dada por:
ou seja, a matriz PC é o produto da matriz P pela matriz C.
10. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 10
3. MATRIZ INVERSA
É um tipo muito importante de matriz, que nos será útil no decorrer do curso.
Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível quando existe uma outra matriz A-1
, tal que
A.A-1
=In,
sendo In a matriz identidade.
Nem toda matriz é invertível.
Cálculo da Matriz Inversa.
Ache a inversa de A= ( )
Resolução: ( ) ( ) ( )
( )=( )
Temos dois sistemas:
{ {
Resolvendo o sistema { por adição, o transformamos em { , logo 11b=1, b= , e,
como a=4b, então a= .
Idem para{ , transformamos em { e temos 11d=2, d= , e, como 3d=-2c, temos
que -2c= , logo c= .
Logo A-1
= ( )
4. DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE MATRIZ
Definição:
Matriz é um conjunto de números reais (ou complexos) dispostos em forma de tabela, isto é,
distribuídos em m linhas e n colunas, sendo m e n números naturais não nulos.
A=[ ]
Notação: A=(aij)mxn com i=1,2,..., m e j=1,2,..., n.
aij – elemento genérico da matriz A
i – índice que representa a linha do elemento aij
j – índice que representa a linha do elemento aij
m x n – ordem da matriz. Lê-se “m por n”.
Se eu digo que uma matriz A=(aij)2x3 é definida por aij=i+j2
, temos que a matriz é:
( )
11. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 11
5. OUTROS CONCEITOS
Matriz Nula – é a matriz que todos elementos são zero. A notação é Omxn ou On para matrizes quadradas.
Exemplo:
O3=[ ]
Matriz Triangular Superior – é a matriz quadrada onde todos elementos abaixo da diagonal principal são
zero.
Exemplo:
[ ]
Matriz Triangular Inferior – é a matriz quadrada onde todos elementos acima da diagonal principal são
zero.
Exemplo:
[ ]
Matriz Simétrica – é a matriz quadrada onde A=At
Exemplo:
[ ]
Matriz Anti-Simétrica – é a matriz quadrada onde A=-At
[ ]
Traço – é a soma dos elementos da diagonal principal.
A= [ ], então trA=3+(-2)+4+5=10
Matriz Idempotente – é a matriz onde A2
=A.
Exemplo:
[ ] (Verifique!)
Matriz Normal – é aquela onde A.At
=At
.A
Exemplo:
( ) (Verifique!)
Matriz Ortogonal – é aquela onde A-1
=At
Exemplo:
( ) (Verifique!)
12. OTÁVIO LUCIANO CAMARGO SALES DE MAGALHÃES 12
SITES PARA VOCÊS APRENDEREM MATRIZES
[1] http://www.mct.uminho.pt/disciplinas/alb_com_mec/alb_cap1_i.pdf
[2] http://www.cadtec.dees.ufmg.br/NucleoEAD/Forum/Arquivos/matrizedeterminantes%5B1%5D.pdf
[3] http://www.ime.uerj.br/ensinoepesquisa/livros/Apostila_AlgLinI_2012.pdf