1. Módulo 7 – Função Exponencial
IESB – Instituto de Educação Superior de Brasília
Engenharia e Ciência da Computação
Cálculo 1
Módulo 7 – Função Exponencial
Como o função x = ln y é crescente, sua inversa existe e é também crescente.
Def: A função exponencial natural, denotada por exp, é a inversa da função logarítmica
natural.
x = ln y ⇔ y = exp( x)
OBS: Como exp é a inversa de ln,
(1) Dom(ln) = (0, ∞) Dom(exp) = ( −∞ , ∞)
Im (ln) = (−∞ , ∞) Im (exp) = (0 , ∞)
(2) ln (exp x) = x e exp (ln x) = x
Como ln e =1 ⇔ exp (1) = e
ln e n = n ln e = n ⇔ exp(n) = e n
Logo indicamos a função exp (x) com o símbolo e x ∀x ∈R e chamamos de
função exponencial de base e.
OBS: Como exp é a inversa de ln,
(1) ln ( e x ) = x e e ln x = x
(2) O gráfico de y = e x é obtido a partir do gráfico de y = ln x por reflexão na
reta
y = x.
y = ex
Vemos que ,
y= x
lim e x = 0
x→ −∞
lim e x = ∞
y = ln (x) x→ ∞
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2. Módulo 7 – Função Exponencial
Propriedades da função exponencial
a) Se a = e x e b = e y temos
x = ln a e y = ln b
x + y = ln a + ln b = ln( ab) ⇔ e x+ y = ab = e x e y
⇒ e x+ y = e x e y
1
b) Se y = − x , então e x− x = e x e − x = 1 ⇒ e− x =
ex
1 ex
c) e x− y = e x e − y = e x ⇒ ex−y =
ey ey
d) (e )
p q
= e pq
Funções Exponenciais e Logarítmicas Gerais
Def: A função exponencial a x, é
a x = e x ln a
para todo a > 0 e todo número real x.
Def: A função logarítmica de base a, é
y = log a x ⇔ x = a y
Consideremos y = log a x ou x = a y . Tomando o logaritmo natural de ambos os
lados os membros da última equação, obtemos
ln x ln x
ln x = y ln a ⇔ y = ⇔ log a x =
ln a ln a
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3. Módulo 7 – Função Exponencial
OBS: Propriedades: Sejam a > 0 e b > 0. Se x e y são números reais, então,
(1) a 0 = 1 (2) a x + y = a x a y
(3) (ab ) x = a x b x (4) (a x ) y = a xy
1 ax
(5) a −x = (6) a x − y =
ax ay
(7) Se 0 < a <1 então ln a < 0
x > y ⇒ x ln a < y ln a ⇒ e x ln a < e y ln a ⇒ a x < a y ⇒ a x é decrescente
y = a x ,0 < a < 1
(8) Se a > 1 então ln a > 0
x > y ⇒ x ln a > y ln a ⇒ e x ln a > e y ln a ⇒ a x > a y ⇒ a x é crescente
Se a > b > 1
y = a x,a >1
y = bx , b >1
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