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ÂNGULOS 
t 
r 
s 
Ângulos formados entre retas 
a 
g 
f 
e 
c 
d 
b 
h
Ângulos opostos pelo vértice 
(o.p.v.) 
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados 
de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro. 
O 
A 
D 
C B 
Os ângulos AÔC e BÔD são opostos pelo 
vértice. 
PROPRIEDADE: dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
Ângulos formados por duas retas coplanares 
cortadas por uma transversal 
1 
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5 
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6 
7 
CCoorrrreessppoonnddeenntteess:: 11 ee 55,, 22 ee 66,, 33 
ee 77,, 44 ee 88.. 
AAlltteerrnnooss iinntteerrnnooss:: 33 ee 55,, 44 ee 66.. 
AAlltteerrnnooss eexxtteerrnnooss:: 11 ee 77,, 22 ee 88.. 
CCoollaatteerraaiiss iinntteerrnnooss:: 33 ee 66,, 44 ee 55.. 
CCoollaatteerraaiiss eexxtteerrnnooss::11 ee 88,, 22 ee 77..
Ângulos formados ppoorr dduuaass rreettaass ccoomm uummaa ttrraannssvveerrssaall 
CCoorrrreessppoonnddeenntteess:: ssããoo ppaarreess ddee âânngguullooss qquuee eessttããoo ddoo 
mmeessmmoo llaaddoo ddaa ttrraannssvveerrssaall,, sseennddoo qquuee uumm eessttáá nnaa rreeggiiããoo 
eexxtteerriioorr,, ee oo oouuttrroo nnaa rreeggiiããoo iinntteerriioorr.. 
OOss âânngguullooss ccoorrrreessppoonnddeenntteess ooccuuppaamm ee mmeessmmaa ppoossiiççããoo eemm 
rreellaaççããoo àà rreettaa ttrraannssvveerrssaall.. 
CCoollaatteerraaiiss:: ssããoo ppaarreess ddee âânngguullooss qquuee eessttããoo llooccaalliizzaaddooss ddoo 
mmeessmmoo llaaddoo ddaa ttrraannssvveerrssaall ((mmeessmmaa rreeggiiããoo)).. 
AAlltteerrnnooss:: ssããoo ppaarreess ddee âânngguullooss nnããoo--aaddjjaacceenntteess,, 
aalltteerrnnaaddooss eemm rreellaaççããoo àà ttrraannssvveerrssaall,, oouu sseejjaa,, eessttããoo eemm 
llaaddooss ooppoossttooss eemm rreellaaççããoo àà ttrraannssvveerrssaall..
TEOREMA FUNDAMENTAL DO 
PARALELISMO DE RETAS 
Se duas retas concorrentes formarem ângulos correspondentes 
congruentes, então elas são paralelas. 
a 
b 
r 
s 
t 
Na figura ao lado, se a = b, 
então r//s. 
CONSEQUÊNCIAS: 
(1) Os ângulos alternos internos (ou externos) são 
congruentes. 
(2) Os ângulos colaterais internos (ou externos) são 
suplementares.
Observando a figura, em que r//s, tem-se que: 
(1) a = e, b = f, c = g, d = h, por serem ângulos 
correspondentes formados por retas paralelas. 
(2) c = e e b = h, pois são alternos internos formados por 
paralelas. 
(3) b + e = 180º, c + h = 180º, pois são colaterais internos 
formados por paralelas. 
hg 
f 
d 
c b 
e 
a 
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t
Observando a figura, em que r//s, tem-se que: 
(1) a = e, b = f, c = g, d = h, por serem ângulos 
correspondentes formados por retas paralelas. 
(2) c = e e b = h, pois são alternos internos formados por 
paralelas. 
(3) b + e = 180º, c + h = 180º, pois são colaterais internos 
formados por paralelas. 
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  • 1. ÂNGULOS t r s Ângulos formados entre retas a g f e c d b h
  • 2. Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro. O A D C B Os ângulos AÔC e BÔD são opostos pelo vértice. PROPRIEDADE: dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
  • 3. Ângulos formados por duas retas coplanares cortadas por uma transversal 1 2 3 4 5 8 6 7 CCoorrrreessppoonnddeenntteess:: 11 ee 55,, 22 ee 66,, 33 ee 77,, 44 ee 88.. AAlltteerrnnooss iinntteerrnnooss:: 33 ee 55,, 44 ee 66.. AAlltteerrnnooss eexxtteerrnnooss:: 11 ee 77,, 22 ee 88.. CCoollaatteerraaiiss iinntteerrnnooss:: 33 ee 66,, 44 ee 55.. CCoollaatteerraaiiss eexxtteerrnnooss::11 ee 88,, 22 ee 77..
  • 4. Ângulos formados ppoorr dduuaass rreettaass ccoomm uummaa ttrraannssvveerrssaall CCoorrrreessppoonnddeenntteess:: ssããoo ppaarreess ddee âânngguullooss qquuee eessttããoo ddoo mmeessmmoo llaaddoo ddaa ttrraannssvveerrssaall,, sseennddoo qquuee uumm eessttáá nnaa rreeggiiããoo eexxtteerriioorr,, ee oo oouuttrroo nnaa rreeggiiããoo iinntteerriioorr.. OOss âânngguullooss ccoorrrreessppoonnddeenntteess ooccuuppaamm ee mmeessmmaa ppoossiiççããoo eemm rreellaaççããoo àà rreettaa ttrraannssvveerrssaall.. CCoollaatteerraaiiss:: ssããoo ppaarreess ddee âânngguullooss qquuee eessttããoo llooccaalliizzaaddooss ddoo mmeessmmoo llaaddoo ddaa ttrraannssvveerrssaall ((mmeessmmaa rreeggiiããoo)).. AAlltteerrnnooss:: ssããoo ppaarreess ddee âânngguullooss nnããoo--aaddjjaacceenntteess,, aalltteerrnnaaddooss eemm rreellaaççããoo àà ttrraannssvveerrssaall,, oouu sseejjaa,, eessttããoo eemm llaaddooss ooppoossttooss eemm rreellaaççããoo àà ttrraannssvveerrssaall..
  • 5. TEOREMA FUNDAMENTAL DO PARALELISMO DE RETAS Se duas retas concorrentes formarem ângulos correspondentes congruentes, então elas são paralelas. a b r s t Na figura ao lado, se a = b, então r//s. CONSEQUÊNCIAS: (1) Os ângulos alternos internos (ou externos) são congruentes. (2) Os ângulos colaterais internos (ou externos) são suplementares.
  • 6. Observando a figura, em que r//s, tem-se que: (1) a = e, b = f, c = g, d = h, por serem ângulos correspondentes formados por retas paralelas. (2) c = e e b = h, pois são alternos internos formados por paralelas. (3) b + e = 180º, c + h = 180º, pois são colaterais internos formados por paralelas. hg f d c b e a r s t
  • 7. Observando a figura, em que r//s, tem-se que: (1) a = e, b = f, c = g, d = h, por serem ângulos correspondentes formados por retas paralelas. (2) c = e e b = h, pois são alternos internos formados por paralelas. (3) b + e = 180º, c + h = 180º, pois são colaterais internos formados por paralelas. hg f d c b e a r s t