O documento descreve os diferentes tipos de intervalos reais e suas representações. Ele também apresenta nove questões sobre operações com intervalos reais.

1. Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 1
INTERVALOS REAIS
Alguns subconjuntos de IR podem ser
representados de uma maneira bastante
simplificada. São os chamados intervalos
reais.
1. Intervalo aberto nas duas extremidades.
Que será ] [b,a ou ainda ( )b,a ou atra-
vés de conjuntos { }bxa/IRx <<∈ .
2. Intervalo fechado nas duas extremidades.
Que será [ ]b,a ou através de conjuntos
{ }bxa/IRx ≤≤∈
3. Intervalo fechado em a e aberto em b.
Que será [ [b,a ou ainda [ )b,a ou atra-
vés de conjuntos { }bxa/IRx <≤∈
4. Intervalo aberto em a e fechado em b.
Que será ] ]b,a ou ainda ( ]b,a ou atra-
vés de conjuntos { }bxa/IRx ≤<∈
5. Intervalo fechado em a.
Que será [ [∞+,a ou ainda [ )∞+,a ou
através de conjuntos { }ax/IRx ≥∈
6. Intervalo aberto em a.
Que será ] [∞+,a ou ainda ( )∞+,a ou
através de conjuntos { }ax/IRx >∈
7. Intervalo fechado em b.
Que será ] ]b,∞− ou ainda ( ]b,∞− ou
através de conjuntos { }bx/IRx ≤∈
8. Intervalo aberto em b.
Que será ] [b,∞− ou ainda ( )b,∞− ou
através de conjuntos { }bx/IRx <∈
QUESTÕES
Questão 01
Sendo [ ]3,0A = e [ )5,1B = , determine:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A − B
d) B − A
Questão 02 (UFV)
Sejam os conjuntos { }5x1/IRxA <<∈= e
{ }6x2/IRxB ≤≤∈= . Então A ∩ B é:
a) { }4,3,2
b) { }5x2/IRx ≤≤∈
c) { }5x2/IRx <<∈
d) { }5x2/IRx ≤<∈
e) { }5x2/IRx <≤∈
a b
a b
a b
a b
a
a
b
b

2. Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 2
Questão 03 (FGV – SP)
Sejam os intervalos ] ]1,A ∞−= , ] ]2,0B =
e [ ]1,1− . O intervalo C ∪ (A ∩ B) é:
a) ] ]1,1−
b) [ ]1,1−
c) [ ]1,0
d) ] ]1,0
Questão 04 (PUC – MG)
Sendo IR o conjunto dos números reais e
sendo os conjuntos { }4x5/IRxA ≤<−∈= e
{ }7x3/IRxB <<−∈= , o conjunto A − B é:
a) { }3x5/IRx −≤<−∈
b) { }4x3/IRx ≤≤−∈
c) { }3x5/IRx −<<−∈
d) { }7x4/IRx ≤<∈
Questão 05 (Mack – SP)
Sejam os conjuntos { }3x0/IRxA ≤≤∈= ,
{ }3x/IRxB ≤∈= e { }3x2/IRxC ≤≤−∈=
O conjunto (B − A) ∩ C é igual a:
a) ∅
b) { }0x/IRx <∈
c) { }2x/IRx −>∈
d) { }0x2/IRx <≤−∈
e) { }3x2/IRx ≤<−∈
Questão 06 (PUC – RS)
( )3,M ∞−= , [ )∞+−= ,1N e [ )10,2P −=
são intervalos. Então P − (M ∩ N) é igual a:
a) [ )1,2−
b) [ )3,2−
c) [ )10,2−
d) ( ] ( )∞+∪−∞− ,31,
e) [ ) [ )10,31,2 ∪−−
Questão 07 (FASA / 2003)
Dados ] ]4,2A −= , [ ]4,1B = e ] ]2,0C = , é
correto afirmar que CCA
B ∪ é:
a) ] ]2,2−
b) [ ]2,2−
c) ] [ ] ]2,00,2 ∪−
d) ] ]4,2−
Questão 08 (Fatec – SP)
Sejam os conjuntos { }2x0/IRxA <<∈= e
{ }1x3/IRxB ≤≤−∈= . Nessas condições
)BA()BA( ∩−∪ é:
a) [ ] ] [2,10,3 ∪−
b) [ [ [ [2,10,3 ∪−
c) ] [ [ [∞+∪−∞− ,23,
d) ] ]1,0
e) [ [2,3−
Questão 09 (UFMG)
Considere os conjuntos:






>∈=
8
5
x/IRxA ,






<∈=
3
2
x/IRxB e






≤≤∈=
4
3
x
8
5
/IRxC . Podemos afirmar
que (A ∪ C) ∩ B é igual a:
a)






≤∈
4
3
x/IRx
b)






<≤∈
3
2
x
8
5
/IRx
c)






≥∈
8
5
x/IRx
d)






<≤∈
4
3
x
8
5
/IRx
Questão 10 (UEBA)
Sejam os conjuntos { }2x1/IRxA <<−∈=
e { }3x0/IRxB <≤∈= .. A ∩ B é igual a:
a) [ [2,0
b) ] [2,0
c) [ ]3,1−
d) [ [3,1−
e) ] ]3,1−
Questão 11 (PUC – MG)
Sejam os conjuntos { }3x4/IRxA ≤≤−∈=
e { }5x2/IRxB <≤−∈= . A − B é igual a:
a) { }2x4/IRx −<≤−∈
b) { }2x4/IRx −≤≤−∈
c) { }5x3/IRx <<∈
d) { }5x3/IRx ≤≤∈
e) { }5x2/IRx <≤−∈

3. Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 3
Questão 12 (FAFEOD / 1999)
Sendo Z o conjunto dos números inteiros,
considere os conjuntos A e B tais que:
• [ ]4,3ZBA −∩=∪
• [ ]3,1ZBA ∩=∩
A soma dos números que constituem o con-
junto dado por (A − B) ∪ (B − A) é igual a:
a) −4 b) −2 c) 4 d) 0
Questão 13 (PUC – MG / 1998)
Considere os conjuntos:
{ }4xou0x/IRxA ><∈=
{ }12x0/INxB <<∈=
O número de elementos de A ∩ B é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 11
e) 13
Questão 14 (UFSC – Aberta)
Considere os conjuntos:
{ }17x1/ZxA ≤<∈= ,
{ }ímparéx/INxB ∈= e
{ }18x9/IRxC ≤≤∈= .
Calcule a soma dos elementos de
(A ∩ B) − C.
Questão 15 (Fuvest – SP)
O número x não pertence ao intervalo aberto
de extremos −1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou
x > 3. Pode-se concluir que:
a) 3xou1x >−≤
b) 0xou2x <≥
c) 1xou2x −≤≥
d) 3x >
e) n.d.a
Questão 16 (PAES – UNIMONTES / 2004)
Dados os conjuntos:
{ }INn,n3x/INxA ∈=∈= e






∈=−∈= INn,n
x
18
/}0{INxB
Tem-se que A ∩ B é igual ao conjunto:
a) [ ]18,3
b) vazio
c) { }18x3/INx ≤≤∈
d) {3, 6, 9, 18}
Questão 17 (FATEC – SP)
Sejam os conjuntos { }2x0/IRxA <<∈= e
{ }1x3/IRxB ≤≤−∈= . Nestas condições, o
conjunto (A ∪ B) − (A ∩ B) é:
a) [ ] ] [2,10,3 ∪− (X)
b) [ [ [ [2,10,3 ∪−
c) ] [ [ [∞+∪−∞− ,23,
d) ] ]1,0
Questão 18 (Osec – SP)
Sejam A e B os seguintes subconjuntos:
{ }5x2/IRxA ≤≤∈= e { }4x/IRxB >∈= .
Então, podemos afirmar que:
a) BBA ⊂−
b) ABA ⊂−
c) AAB ⊂−
d) { }4x2/IRxBA <<∈=−
e) { }5x/IRxAB ≥∈=−
Questão 19 (PUC – RS)
Sejam a, b e c números reais, com a < b < c.
O conjunto ] [ ] [c,bc,a − é igual a:
a) { }bxa/IRx <<∈
b) { }bxa/IRx ≤<∈
c) { }cxa/IRx ≤<∈
d) { }cxb/IRx <≤∈
e) { }cxb/IRx ≤<∈
Questão 20 (UFMG)
O conjunto X é constituído dos elementos 0
e 2 e o conjunto Y é o intervalo fechado
[ ] { }2y1/IRy2,1 ≤≤∈= . O conjunto X + Y,
definido por { }YyeXx/)yx(YX ∈∈+=+ ,
é igual a:
a) [ ]2,1
b) [ ] }0{2,1 ∪
c) [ ]4,1
d) [ ] [ ]4,32,1 ∪

4. Matemática Prof.: Joaquim Rodrigues 4
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Traçando dois eixos, OX ao qual
chamaremos eixo das abscissas e OY que
chamaremos eixo das ordenadas, de forma
que ambos se interceptem perpendicular-
mente em O, o plano sobre o qual construí-
mos esses eixos fica dividido em quatro
quadrantes:
Todos os pontos do plano poderão
ser identificados por dois valores ordenados
que chamaremos de par ordenado e repre-
sentaremos por (x, y). Assim, para todo pon-
to do plano temos um par ordenado, e para
todo par ordenado temos um ponto corres-
pondente no plano. Em outras palavras, par
ordenado é o conjunto de dois elementos
considerados numa certa ordem.
A igualdade entre dois pares ordena-
dos será definida por (a, b) = (c, d), se, e
somente se, a = c e b = d. Observe que de
acordo com essa definição, temos por
exemplo que (−2, 3) ≠ (3, −2).
EXERCÍCIOS
Questão 01
Determinar o quadrante ao qual pertence
cada um dos pontos:
a) A(−3, 1)
b) B(2, −5)
c) C(2, 2)
d) D(−4, −5)
e) E(5, −2)
f) F(−6, −1)
g) G(−2, 5)
h) H(2, 5)
i) I (−3, −3)
j) J(2, 4)
Questão 02
a) )4,12(A π−−
b) )25,23(B −−
c) )22,2(C −π−
d) )3,13(D π−−
Questão 03
Marque V (verdadeiro) ou F (falso):
a) (2, 5) = {2, 5}
b) {2, 3} = {3, 2}
c) (0, 1) = (1, 0)
d) (−1, 4) ∈ 3º quadrante
e) (2, 0) ∈ ao eixo y
f) (−3, −2) ∈ 4º quadrante
Questão 04
Determine x e y para que os pares ordena-
dos sejam iguais:
a) (x, 3) = (−2, y)
b) (x + 1, 3) = (2, y − 1)
c) (3, 5x − 3y) = (2x + y, 2)
Questão 05
Considere o ponto P(5x − 8, x + 2). Para que
valores reais de x o ponto P pertence ao 2º
quadrante?
Questão 06
Considere o ponto )5,9x(P 2
− . Para que
valores reais de x, o ponto P pertence ao ei-
xo das ordenadas?
Questão 07
Determine os valores reais de x para que o
ponto )4x5x,3(P 2
+− pertença ao eixo das
abscissas?
Questão 08
Determine os números reais a e b de modo
que )11,10()ba,b2a3( =+− .
Questão 09
Seja )7b2a,4b2()1a2,1a5( +−+=+− . A
que quadrante pertence o ponto P(a, b)?
y
xO
1º quadrante
(+, +)
2º quadrante
(−, +)
3º quadrante
(−, −)
4º quadrante
(+, −)