1) O documento discute o paralelismo entre retas no espaço, definindo-as como retas coplanares que não se interceptam ou como retas coincidentes. 2) Existem várias situações de paralelismo estrito entre retas, que podem ser verificadas analisando as projeções horizontais e frontais das retas. 3) Para retas de perfil, é necessário utilizar retas auxiliares para confirmar o paralelismo caso as projeções não sejam conclusivas.

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Paralelismo entre Rectas

2. No espaço, duas rectas são paralelas se são
complanares (estritamente paralelas) e não têm
nenhum ponto em comum, ou se são rectas
coincidentes.
O presente estudo debruça-se sobre todas as
situações de paralelismo estrito entre rectas.

3. As rectas a e b são
paralelas entre si no
espaço.
As suas projecções
horizontais a1 e b1 são
paralelas entre si.
As suas projecções
frontais a2 e b2 são
paralelas entre si.
Em geral é assim.

4. Com as rectas de perfil, não basta verificar se as projecções frontais e horizontais são
paralelas, é necessário confirmar, por exemplo, com rectas auxiliares. Em baixo, duas
rectas de perfil que não são paralelas, apesar das suas projecções frontais e
horizontais serem paralelas.

5. Neste exemplo, duas
rectas auxiliares r e s
são paralelas, pelo que
são complanares.
Assim sendo, as rectas
p e p’ são
complanares, e como
não são concorrentes,
são paralelas.

6. Neste exemplo, duas rectas
auxiliares r e s não são paralelas,
mas são complanares com as
rectas p e p’. Assim sendo, as
rectas p e p’ são complanares, e
como não são concorrentes, são
paralelas.

7. A recta de perfil p está definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). A recta de
perfil p’ está definida pelos pontos C (-3; 4; 3) e D (1; 4). Averigúa a posição
relativa das duas rectas. y≡ z
p 1 ≡ p2
p’1 ≡p’2
r2
A2
D2
C2
B2
s2
x
r1
A1 D1
s1
B1 C1

8. Sobre a posição relativa das
duas rectas, sabe-se
imediatamente que não são y≡ z
concorrentes – podem ser
p 1 ≡ p2 p’1 ≡ p’2
paralelas ou enviesadas.
Se forem paralelas, então r2
são complanares, pelo que
quaisquer duas rectas A2
concorrentes com p e p’ D2
serão, também elas,
complanares.
C2
B2
Recorreu-se a duas rectas
s2
auxiliares, as rectas r e s. A
recta r é concorrente com
p em A e com p' em D (está
x
definida por dois pontos). A r1
recta s é concorrente com A1 D1
p em B e com p' em C (está
definida por dois pontos).
As rectas r e s não são s1
complanares (não são C1
B1
paralelas nem
concorrentes), pelo que p e
p' não são complanares –
logo, não são paralelas.

9. A mesma recta de perfil p definida pelos pontos A (1; 1; 5) e B (4; 2). Desenha as
projecções de uma recta de perfil p’, paralela à recta p e passando pelo ponto M
(-2; 3; 4). y≡ z
p 1 ≡ p2 p’1 ≡ p’2
r2
A2
M2
s2
r1
B2
N2
x
s1
A1
A recta auxiliar s paralela à M1
recta r (derivada dos pontos A
B1
e M conhecidos e concorrentes
com p e p’) localiza o ponto
N, definindo a recta de perfil
N1
p’ paralela à recta de perfil p.

10. Averigúa se as rectas de perfil p e p’ são ou não paralelas. Ambas as rectas estão
contidas no plano de perfil π. A recta p está definida pelos pontos E (3; 1) e F (1;
2). A recta p’ está definida pelos pontos M (6; 2) e N (4; 3).
p1 ≡ p2 ≡ p’1 ≡ ≡ fπ ≡ hπ ≡ e2 ≡
p’2 fπr
p’r
pr
N2 Nr
F2 ≡ M2 Fr Mr
Er
E2
(e1)
x ≡ hπr
F1
Utilizou-se o rebatimento para
E1
o Plano Frontal de Projecção,
N1 obtendo-se a recta pr e p’r,
que são paralelas, e por tanto
as rectas p e p’ são também
M1 necessariamente paralelas.