FUNÇÕES GERADORAS                                        (continuação – aula de 04.10.2011)Preste muita atenção para a seg...
Exemplo 1:Sendo xi ≥1 (i = 1 e 2), quantas soluções existem na equação                          2x1 + x2 ?resolução:Note q...
1 = 1 + x4 + x8 + x12 + …                                4                            1−xEm assim por diante, de maneira q...
Passamos o número 1 para o outro lado para chegarmos na seguinte expressão:                     (x2 + x4 + x6 + …) =      ...
coeficiente 5. Portanto, são 5 soluções possíveis, que podemos enumerá-las daseguinte maneira: 2 + 9, 4+ 7, 6 + 5, 8 + 3, ...
2                           x4 . x      . (1+x 2 ) = =             x6.(1+x2)                                              ...
seguinte expressão:                            x6       . (1+x+ x 2 +x 3) =                          4       2            ...
x6       . (1+x ) =       x6     =                   4       2                 4               (1−x ).(1− x )            (...
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FUNÇÕES GERADORAS

  1. 1. FUNÇÕES GERADORAS (continuação – aula de 04.10.2011)Preste muita atenção para a seguinte demonstração e, sobretudo, no resultado final. Para começarmos, vamoslembrar que: ( N ) r ! .( N −r )! r = N !Desenvolvendo, temos: N .( N −1) .( N − 2)...( N −r +1) (N ) r = r!Para chegar no resultado que nos interessa, vamos substituir N =−n para termos o seguinte: −n = (−n−1) . (−n−2) ...(−n+r −1) ( ) r r!Colocando (-1) em evidência, obtemos: ( n+1) . ( n+ 2) ... (n−r+1) (−1)r . r!que é igual à seguinte expressão em fatoriais: ( n+1) ! (−1)r . r ! . (n−1) !E assim chegamos no importante resultado para o estudo das funções geradoras: ( n+r −1) r =(−1) . r (−n ) rAgora, vejamos alguns exemplos:
  2. 2. Exemplo 1:Sendo xi ≥1 (i = 1 e 2), quantas soluções existem na equação 2x1 + x2 ?resolução:Note que para 2x1 = {2, 4, 6,...} teriamos as seguintes potências (x2 + x4 + x6 + …)Por sua vez, para x2 = {1, 2, 3,...} teriamos as seguintes potências (x1 + x2 + x3 + …)Também, devemos lembrar que 1 = 1 + x + x2 + x3 + ... 1−xPois nos permite estender como podemos verificar nos seguintes exemplos: 1 = 1 + x 2 + x4 + x6 + … 2 1−x 1 = 1 + x3 + x6 + x 9+ ... 3 1−x
  3. 3. 1 = 1 + x4 + x8 + x12 + … 4 1−xEm assim por diante, de maneira que podemos chegar na seguinte expressão geral: 1 p n (1−x ) = Σ ( n+r−1) x r r . rpPor exemplo: ¿ 1 (1−x )2 = Σ r =0 ( ) −2 . (−1)r . x n rE usando o importante resultado obtido inicialmente, temos: ¿ 1 a b (1− x ) = Σ r =0 ( ) r ( −b .(−1)r . x a.n = b+r−1 r )Agora, voltando no exercício 2x1 + x2, temos: (x2 + x4 + x6 + …).(x1 + x2 + x3 + …)E para resolver, usamos os resultados que já sabemos: 1 = 1 + x 2 + x4 + x6 + … 2 1−x
  4. 4. Passamos o número 1 para o outro lado para chegarmos na seguinte expressão: (x2 + x4 + x6 + …) = 1 -1= x2 2 1−x 2 1−xDa mesma maneira, fazemos: ( x+ x + x +. ) = 23 x 3. (1+ x) = x 3. (1+x) = 2 2 2 2 (1−x ).(1− x ) (1−x ) ¿ = ( x 3+x 4 ) . )Σ r=0 ( −2+r−1 . x 2.r = r = 3 (0 ) ( 1) ( 2) ( 3 ) ( x +x ) [ 1 + 2 . x + 3 . x + 4 . x ...] 4 . 2 4 6 = = ( x 3+x 4 ) . (1+2x 2 +3x 4 +4x 6 +5x 8+...)Agora, note bem na relação dos expoentes de x com os coeficientes do polinômioobtido:Expoentes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...Coeficientes 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 ...A partir desse momento, podemos obter a solução para diversos resultados daequação dada. Vejamos alguns exemplos:Para 2x1 + x2 = 11, basta verificar que na tabela ao expoente 11 corresponde o
  5. 5. coeficiente 5. Portanto, são 5 soluções possíveis, que podemos enumerá-las daseguinte maneira: 2 + 9, 4+ 7, 6 + 5, 8 + 3, e, por último, 10 + 1, totalizando as 5soluções indicadas pela tabela.Por sua vez, para 2x1 + x2 = 10, basta verificar que na tabela ao expoente 10corresponde o coeficiente 4. Portanto, são 4 soluções possíveis, que podemosenumerá-las da seguinte maneira: 2 + 8, 4 + 6, 6 + 4 e, finalmente, 8 + 2, totalizandoas 4 soluções indicadas pela tabela.Agora, vamos resolver outro problema usando o mesmo método das funçõesgeradoras.Exemplo 2:Sendo x1,2 ≥1 e y3 = {0, 2}, quantas soluções existemna equação 4x1 + 2x2 + y3 ?resolução:Note que para 4x1 = {4, 8, 12,...} teriamos as seguintes potências (x4 + x8 + x12 + …) = x4 4 1− xEnquanto para 2x2 = {2, 4, 6,...} teriamos as seguintes potências (x2 + x4 + x6 + …) = 1 - 1 = x2 2 2 1−x 1−xPor fim, para y3 = {0,2} teriamos (1+x 2 ) .Agora, multiplicando essas três partes, teriamos:
  6. 6. 2 x4 . x . (1+x 2 ) = = x6.(1+x2) (1−x4).(1−x2) 4 2 1− x 1−x = x 6. (1+x 2 ) = x6 = 2 2 2 2 2 (1−x ).(1+ x ).(1−x ) (1−x ) = x 6 . 1 2 2 (1−x ) = x 6. Σ ( 2+n−1) x r r . 2r = ( 0) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) = x 6 . [ 1 + 2 . x 2 + 3 . x 4 + 4 . x 6 ...] = = x 6 . (1+2x 2+3x 4 +4x 6+5x 8+...)E chegariamos na tabela que relaciona expoente com coeficiente seguinte:Expoentes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ...Coeficientes 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 ...Assim, para 4x1 + 2x2 + y3 = 10, basta verificarmos a tabela para verificar que para oexpoente 10 o número de soluções são 3, que poderiamos confirmar pela seguinteenumeração (1,3,0), (1,2,1) e (2,1,0).E assim resolvemos esse exercício através do método das funções geradoras.Mais exemplos:Podemos explorar o mesmo exercício que acabamos de resolver, por exemplo,fazendo com que y3 ={0,1,2,3}, ao qual corresponderia o polinômio (1+x+ x 2 +x 3) . Aproveitando a resolução já feita, chegaríamos na
  7. 7. seguinte expressão: x6 . (1+x+ x 2 +x 3) = 4 2 (1−x ).(1− x ) = x6 . [(1+ x 2 )+x.(1+x 2 )] = 4 2 (1−x ).(1− x ) = x6 . (1+x 2 ).(1+x) = 4 2 (1−x ).(1− x ) = x 6. (1+ x 2 ).(1+x) = 2 2 2 (1+x ).(1− x ).(1−x ) = (1+ x ). x6 , 2 2 (1−x )Usando alguns resultados do exercício anterior, obtemos a seguinte tabela expoente-coeficiente:Expoentes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ...Coeficientes 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 ...Que nos proporciona diversas soluções, conforme já explicado pela correspondênciaentre os expoentes e os coeficientes.Porém, vamos para mais um exemplo usando o mesmo exercício sendo que agora y3= {0,1}, que corresponde ao polinônio (1+x ) . Aproveitando os resultadoanteriores, chegaríamos à seguinte expressão:
  8. 8. x6 . (1+x ) = x6 = 4 2 4 (1−x ).(1− x ) (1−x ).(1−x) = x 6 . (1+ x 4 +x 8+x 12 +...). (1+x+ x 2 +x 3+...)E, mais uma vez, montariamos a tabela de expoentes-coeficientes seguinte:Expoentes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... . . . . . . . . 1 1 1 1 1 ... . . . . . . . . . . . . 1 ...Coeficientes 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 ...Assim poderiamos ter diversas soluções, por exemplo, para 4x 1+2x2+y3 = 10 teriamos2 soluções, que seriam (1,2,0) e (2,1,). Já para 4x 1+2x2+y3 = 12, teriamos também 2soluções, que seriam (1,4,0) e (2,2,0). Por fim, para 4x1+2x2+y3 = 14, teriamos 3soluções, que seriam (1,5,0), (2,3,0) e (3,1,0) ● Prof. Dr. Stefano De Leo Aula de 4 de outubro de 2011 Matemática Discreta – MA 200-Z -IMECC – Unicamp

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