Identidade de Euler - Demonstração

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Demonstração da Identidade de Euler, "a identidade mais bela de toda a Matemática" (Richard P. Feynman).

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Identidade de Euler - Demonstração

  1. 1. eiπ + 1 = 0 Rodrigo Thiago Passos Silva rodrigotpsilva@gmail.com A equa¸c˜ao do t´ıtulo ´e a chamada “Identidade de Euler”, um caso particular da “F´ormula de Euler”. Essa equa¸c˜ao ´e, certamente, uma das mais belas da matem´atica (sen˜ao a mais bela) por relacionar cinco constantes matem´aticas essenciais: (a) e, irracional, base do logaritmo natural; (b) i, unidade imagin´aria, igual a raiz quadrada de −1; (c) π, irracional, raz˜ao entre diˆametro e raio de uma circunferˆencia; (d) 1, elemento neutro da multiplica¸c˜ao; (e) 0, elemento neutro da soma. A “Identidade de Euler” ´e misteriosa por conseguir relacionar n´umeros irracionais e a unidade imagin´aria com n´umeros inteiros. Por mais intang´ıvel que seja a compreens˜ao pr´atica da igualdade, ela pode ser demonstrada utilizando-se a expans˜ao de determinadas fun¸c˜oes por meio da S´erie de Taylor. S´erie de Taylor ´E uma s´erie de fun¸c˜oes dada por f(x) = ∞ n=0 an(x − a)n onde an = f(n) (a) n! . Todas as expans˜oes ser˜ao feitas em torno do ponto a = 0. Neste caso, a s´erie ´e tamb´em chamada de S´erie de Maclaurin. Assim, teremos f(x) = ∞ n=0 anxn onde an = f(n) (0) n! . Expans˜ao da fun¸c˜ao cos x Pela S´erie de Maclaurin, sabemos que cos x = ∞ n=0 anxn onde an = (cos x)(n) (0) n! . Devemos, ent˜ao, calcular os coeficientes an. a0 = (cos x)(0) 0! = cos 0 0! = 1 a1 = (cos x) (0) 1! = (− sin x)(0) 1! = − sin 0 1! = 0 a2 = (cos x) (0) 2! = (− cos x)(0) 2! = − cos 0 2! = − 1 2! a3 = (cos x) (0) 3! = (sin x)(0) 3! = sin 0 3! = 0 a4 = (cos x)(4) (0) 4! = (cos x)(0) 4! = cos 0 4! = 1 4! a5 = (cos x)(5) (0) 5! = (− sin x)(0) 5! = − sin 0 5! = 0 Dai, obtemos a s´erie cos x = 1 + 0x − 1 2! x2 + 0x3 + 1 4! x4 + 0x5 − 1 6! x6 + 0x7 + 1 8! x8 + · · · 1
  2. 2. cos x = 1 − x2 2! + x4 4! − x6 6! + x8 8! + · · · ou, alternativamente, cos x = ∞ n=0 (−1)n (2n)! x2n ∀x ∈ R Expans˜ao da fun¸c˜ao sin x Pela S´erie de Maclaurin, sabemos que sin x = ∞ n=0 anxn onde an = (sin x)(n) (0) n! . Analogamente a fun¸c˜ao anterior, devemos calcular os coeficientes an. a0 = (sin x)(0) 0! = sin 0 0! = 0 0! = 0 a1 = (sin x) (0) 1! = (cos x)(0) 1! = cos 0 1! = 1 1! a2 = (sin x) (0) 2! = (− sin x)(0) 2! = − sin 0 2! = 0 a3 = (sin x) (0) 3! = (− cos x)(0) 3! = − cos 0 3! = −1 3! a4 = (sin x)(4) (0) 4! = (sin x)(0) 4! = sin 0 4! = 0 a5 = (sin x)(5) (0) 5! = (cos x)(0) 5! = cos 0 5! = 1 5! Dai, temos a s´erie sin x = 0 + 1 1! x + 0x2 − 1 3! x3 + 0x4 + 1 5! x5 + 0x6 − 1 7! x7 + 0x8 + 1 9! x9 + · · · sin x = x 1! − x3 3! + x5 5! − x7 7! + x9 9! + · · · ou, alternativamente, sin x = ∞ n=0 (−1)n (2n + 1)! x2n+1 ∀x ∈ R Expans˜ao da fun¸c˜ao ex Pela S´erie de Maclaurin, sabemos que ex = ∞ n=0 anxn onde an = (ex )(n) (0) n! . Como (ex )(n) = ex para qualquer n ∈ N ∪ {0} ent˜ao (ex )(0) = e0 = 1. Portanto, an = 1 n! . Logo, ex = ∞ n=0 xn n! = 1 + x 1! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + · · · . F´ormula de Euler Nesta se¸c˜ao, vamos demonstrar a f´ormula de Euler eix = cos x + i sin x. Da expans˜ao da fun¸c˜ao ex temos que eix = ∞ n=0 (ix)n n! = 1 + ix 1! + (ix)2 2! + (ix)3 3! + (ix)4 4! + (ix)5 5! + (ix)6 6! + + (ix)7 7! + + (ix)8 8! + · · · 2
  3. 3. Sabendo que, para n, k ∈ N ∪ {0}, in =    1 se n = 4k i se n = 4k + 1 −1 se n = 4k + 2 −i se n = 4k + 3 obtemos eix = ∞ n=0 (ix)n n! = 1 + i x 1! − x2 2! − i x3 3! + x4 4! + i x5 5! − x6 6! − i x7 7! + x8 8! + · · · eix = ∞ n=0 (ix)n n! = 1 − x2 2! + x4 4! − x6 6! + x8 8! + · · · + i x 1! − x3 3! + x5 5! − x7 7! + · · · que pode ser reescrito como eix = ∞ n=0 (ix)n n! = ∞ n=0 (−1)n (2n)! x2n cos x +i ∞ n=0 (−1)n (2n + 1)! x2n+1 sin x ou, conforme expans˜oes mostradas anteriormente, eix = cos x + i sin x . Identidade de Euler Finalmente, para demonstrar a Identidade de Euler, basta tomar um caso particular da f´ormula demonstrada acima. Para x = π temos eiπ = cos π + i sin π eiπ = −1 + i · 0 eiπ + 1 = 0 quod erat demonstrandum. 3

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