Matriz inversa

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Cálculo de matriz inversa por meio da matriz dos cofatores.

Dúvidas/Comentários/Comunicação de Erros: rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br

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Matriz inversa

  1. 1. 1 MATRIZ INVERSADada uma matriz quadrada A, se det A ≠ 0 então existe uma matriz A-1, chamada matrizinversa de A.A-1 é dada por: A-1 × A = I, onde I é a matriz identidade (matriz que possui os númerosda diagonal principal iguais a um e os demais igual a zero).Tradicionalmente, no ensino básico, ensina-se a calcular a matriz inversa de A por meioda multiplicação dela por uma B, com todos os elementos como incógnitas, e igualandoesta multiplicação à matriz identidade. Neste caso, B é a inversa de A. É um métodocômodo para matrizes de ordem dois, entretanto, para uma matriz de ordem três, compoucos ou nenhum elemento nulo, torna-se trabalhoso, pois implicará na resolução detrês sistemas de equações, de três variáveis.Uma forma alternativa para encontrar uma matriz inversa é por meio da seguinteigualdade:onde det A é o determinante da matriz A e (cof)T é a transposta da matriz dos cofatoresde T.O cálculo torna-se mais fácil quando se pensa de forma algorítmica, passo a passo.Considerando uma matriz dada por ( )i) Calcula-se seu determinante | | Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
  2. 2. 2ii) Calcula-se a matriz dos cofatores de ACada elemento da matriz dos cofatores de A é também uma matriz. De forma geral, cadaelemento é dado da seguinte forma: | |onde, i é a linha do elemento e j a coluna. O determinante de segunda ordem que éformado pelos elementos x, y, w e z é obtido ignorando-se a linha e a coluna doelemento aij, e selecionando os quatro números que sobram.O termo (- 1)i+j determina o sinal da matriz conforma a posição. Para as posições a13 ea22, por exemplo, o sinal é positivo, e para as posições a32 e a21 é negativo. Assimsendo, podemos estabelecer uma máscara de sinais para a matriz cofatora, de tal modo: ( )De modo bastante literal, a matriz cofatora é dada por: | | | | | | | | | | | | ( | | | | | |)Seu desenvolvimento em termos de aij é trivial, portanto não será feito.iii) Cálculo da transposta da matrizTendo-se obtido a matriz cofatora de A, é trivial o cálculo da transposta, tambémchamada de matriz adjunta de A. No matriz transposta, as linhas tornam-se colunas e ascolunas tornam-se linhas. | | | | | | | | | | | | ( | | | | | |)iv) Finalmente, volta-se para a equação de cálculo da inversaObtem-se: Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC
  3. 3. 3 | | | | | | | | | | | | ( | | | | | |)Exemplo: Calcule a matriz inversa de ( ).i) Cálculo do determinante: | |ii) Montagem da matriz dos cofatores: | | | | | | | | | | | | ( ) ( | | | | | |)iii) Montagem da matriz adjunta: ( )iv) Calculo da inversa: ( ) ( ⁄ ⁄ ) ⁄ ⁄ Rodrigo Thiago Passos Silva Bacharelando em Ciência e Tecnologia Universidade Federal do ABC

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