1. Universidade Estadual Paulista - ”J´ lio de Mesquita Filho”
u
Departamento de Matem´tica - FEIS - UNESP
a
Trabalho de Fundamentos de Matem´tica
a
1) Utilizando o Principio de Indu¸˜o estabelecer as identidades seguintes:
ca
n(n + 1)(2n + 1)
(a) 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =
6
n(n + 1)(n + 2)
(b) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) =
3
(c) 1 + 2 + 3 + · · · + n = [n(n + 1)]
3 3 3 3 2
1 1 1 1 n
(d) + + ··· + =
1·2 2·3 3·4 n(n + 1) n+1
n(6n2 − 3n − 1)
(e) 12 + 42 + 72 + · · · + (3n − 2)2 =
2
(f ) 1 + 2 + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − 1
1 1 1 1
(g) (1 + )(1 + )(1 + ) · · · (1 + ) = n + 1
1 2 3 n
(h) 3 + 3 + 3 + · · · + 3
3 5 2n−1
= 8 (9 − 1)
3 n
2) Defina-se a1 = a e ak+1 = aak , para k ̸= 1, k ∈ N e a ∈ N. Mostrar, usando o Princ´
ıpio
de Indu¸˜o, que:
ca
(a) 1n = 1
(b) am an = am+n , para todo m, n ∈ N.
(c) (am )n = amn , para todo m, n ∈ N.
Sugest˜o: Em (b) e (c), fixar m e aplicar indu¸˜o sobre n ou vice-versa.
a ca