Lista 3 - Geometria Analítica

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Resolução da lista 3 de Geometria Analítica, da Professora Cecília Chirenti, da UFABC.

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Lista 3 - Geometria Analítica

  1. 1. Geometria Analítica – Profa. Cecília Chirenti Lista 3 – Produto Escalar Resolução1 – Calcule o cosseno do ângulo formado entre os vetores e .‖ ‖ √ √‖ ‖ √ √ ‖ ‖‖ ‖ onde é o ângulo entre os vetores. √ √ √ √ √2 – Determine m para que os vetores e fiquem ortogonais.São ortogonais se .3 – Sejam dados ⃗ e .a) Se ⃗⃗ ⃗ , determine para que ⃗ e ⃗⃗ sejam ortogonais.⃗⃗ ⃗ ⃗⃗b) Determine o cosseno do ângulo que ⃗ forma com .⃗‖⃗ ‖ √ √‖ ‖ √ √ ⃗ ‖ ⃗ ‖‖ ‖ √ √ √ √ √ √ 1
  2. 2. 4 – Sejam ⃗ e . Pede-se um vetor sabendo-se que ⃗ éortogonal a ⃗ , é ortogonal a , | | √ e e ⃗ formam um ângulo agudo.Considerando . ⃗i) ⃗ ⃗ii)iii) | | √ √ √Devemos resolver o sistema formado pelas equações (I), (II) e (III). Substituindo (I) e(II) em (III), temos:Para , temos . Logo, .Para , temos . Logo, ( ).iv) ⃗ ⃗ ⃗ ( )Portanto, ou ( ).5 – Decomponha o vetor ⃗ em uma soma de vetores e ⃗ sabendo que éparalelo ao vetor e ⃗ é ortogonal ao vetor .⃗ ⃗ tal que,i)ii) ⃗ ⃗Sendo ⃗ , temos que 2
  3. 3. e ⃗ ⃗De onde obtemos o sistema: (I) (II) (III)Substituindo (III) em (I) e (II), encontramos e .Portanto, ⃗ ⃗ ⃗ .6 – Dados os vetores ⃗ e ⃗⃗ , calcule o comprimento da projeçãodo vetor ⃗ ⃗⃗ sobre o eixo cuja direção é dada pelo vetor ⃗⃗ ⃗. ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ‖ ⃗ ‖ ‖⃗ ‖ √ √7 – Dados ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ ,(a) Mostre que ABC é um triângulo;ABC é um retângulo se A, B e C forem não-colineares, i.e., ⃗⃗⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗⃗⃗ são linearmenteindependentes.Devemos mostrar que |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ .Facilmente observa-se que inexiste tal que as coordenadas x igualem-se. Logo, ABC éum triângulo.(b) Determine a projeção de ⃗⃗⃗⃗⃗ sobre ⃗⃗⃗⃗⃗ ;⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗(c) Ache o comprimento da altura relativa à hipotenusa. 3
  4. 4. ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √Portanto, ⃗⃗⃗⃗⃗ é a hipotenusa.Sendo ⃗⃗⃗⃗⃗ a base e ⃗⃗⃗⃗⃗ a altura, temos ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ √ √Escolhendo, agora, ⃗⃗⃗⃗⃗ como base e sendo h sua altura relativa, temos ‖⃗⃗⃗⃗⃗ ‖8 – Ache a projeção ortogonal de na direção de um eixo que formaângulos iguais com os vetores da base ortonormal ⃗ .Seja ⃗ o vetor que dirige o eixo que forma ângulos iguais com os vetores dabase ortonormal ⃗ , temos: , e ; onde é o ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ângulo entre ⃗ e , é o ângulo entre ⃗ e e é o ângulo entre ⃗ e ⃗ .Para * + ; então ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖Logo, podemos assumir ⃗ . ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( )9 – Determine o ângulo formado pelos vetores não nulos ⃗ e , sabendo que | ⃗ || | |⃗ |. ⃗ ‖ ⃗ ‖‖ ‖Mas, ‖⃗ ‖ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ‖⃗ ‖ ⃗ ‖ ‖ ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ⃗ ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ⃗ 4
  5. 5. Então, ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ‖ ⃗ ‖‖ ‖Se, | ⃗ | | | |⃗ | , então | ⃗ | | | |⃗ | . Logo,10 – Supondo e ⃗ não nulos, demonstre algebricamente que: | ⃗| | | | ⃗ | se, esomente se, e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido.i) | ⃗| | | |⃗ | e ⃗ são paralelos e de mesmo sentidoComo demonstrado no exercício 9, ‖ ⃗‖ √‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖Então,√‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ (‖ ‖ ‖ ⃗ ‖) ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ⃗ ‖ ‖‖ ⃗ ‖Mas, ⃗ ‖ ‖‖ ⃗ ‖ , então ‖ ‖‖ ⃗ ‖ ‖ ‖‖ ⃗ ‖Logo, e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido.ii) e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido | ⃗| | | |⃗ |Se e ⃗ são paralelos e de mesmo sentido, então ⃗ ‖ ‖‖ ⃗ ‖.Sabemos que ‖ ⃗‖ √‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖Então, por hipótese, ‖ ⃗‖ ‖ ‖ ‖ ‖‖ ⃗ ‖ ‖⃗ ‖ ‖ ⃗‖ (‖ ‖ ‖ ⃗ ‖) ‖ ⃗‖ ‖ ‖ ‖⃗ ‖11 – Lembrando que ⃗ ⃗ | ⃗ | , demonstre:(a) | ⃗| | ⃗ | se, e somente se ⃗ . 5
  6. 6. i) | ⃗| | ⃗| ⃗Pelos exercícios acima, sabemos que ‖ ⃗‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖Analogamente, ‖ ⃗‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖A igualdade ‖ ⃗‖ ‖ ⃗ ‖ equivale à ‖ ⃗‖ ‖ ⃗ ‖ , então: ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ( ⃗) ( ⃗) ( ⃗) ( ⃗)i) ⃗ | ⃗| | ⃗| ‖ ⃗‖ ‖ ⃗‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ‖ ‖ ( ⃗) ‖⃗ ‖ ( ⃗) ( ⃗)Mas, ⃗ , por hipótese, entãoLogo, a igualdade ‖ ⃗‖ ‖ ⃗ ‖ é verificada.(b) Interprete geometricamente o resultado acima.Se ⃗ então e ⃗ são perpendiculares. ⃗ ⃗ Observa-se, facilmente, que os vetores ⃗ e ⃗ tem o mesmo tamanho (norma). 6

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