Demonstrações

1.549 visualizações

Publicada em

Matemática Discreta. Demonstrações

Publicada em: Educação
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Demonstrações

  1. 1. Em Lógica, estudamos como demonstrar a validade de argumentos formais na forma P → Q. Neste contexto, a validade do argumento é absoluta (depende apenas da forma ou estrutura do argumento e não do conteúdo ou significado das proposições).
  2. 2. No entanto, muitas vezes queremos provar argumentos que são verdadeiros em um determinado contexto (para uma interpretação particular). Queremos provar que P → Q é verdadeiro para um contexto específico. Podemos usar fatos que dependem do contexto como hipóteses e então provar que o argumento é verdadeiro (Teorema).
  3. 3. Não existe uma receita para demonstração de Teoremas. Muitas vezes, é muito difícil demonstrar teoremas utilizando Lógica Formal. Existem técnicas de demonstração “menos formais”: ‣ não usam elementos das lógicas proposicional e de predicados; ‣ não são escritas passo a passo, com justificativas formais a cada passo. ‣ os passos de dedução e raciocínio são explicados em linguagem natural. Entretanto, essas demonstrações podem ser descritas com Lógica Formal.
  4. 4. Conjectura • Podemos formular uma conjectura por meio de raciocínio indutivo ‣ concluir algo baseado na experiência • Podemos entender uma conjectura como um argumento que não se sabe se é verdadeiro ou não.
  5. 5. Teorema • Se provamos que uma conjectura é verdadeira, então ela se torna um Teorema. ‣ Para isso podemos usar raciocínio dedutivo (técnicas de demonstração) • Podemos provar que uma conjectura é falsa encontrando um contra-exemplo (um caso em que P é verdadeiro e Q é falso)
  6. 6. Exemplo • Prove ou encontre um contra-exemplo para a seguinte conjectura: ‣ “Para todo número inteiro positivo n, n! ≤ n2”.
  7. 7. Técnicas de Demonstração
  8. 8. Sumário • Técnicas básicas de demonstração • Primeiro Princípio da Indução • Segundo Princípio da Indução
  9. 9. Técnicas Básicas de Demonstração • Demonstração por Exaustão • Demonstração Direta • Demonstração por Contraposição • Demonstração por Absurdo
  10. 10. Demonstração Exaustiva • Se uma conjectura é uma asserção sobre uma coleção finita de elementos, sua validade pode ser provada verificando-se se ela é verdadeira para cada elemento coleção. ‣ consiste em exaurir todos os casos possíveis.
  11. 11. Exemplo • Prove a conjectura: ‣ “Se um inteiro entre 1 e 20 é divisível por 6, então ele é também divisível por 3”
  12. 12. Demonstração Direta • Consiste em supor que a hipótese P é verdadeira e então deduzir a conclusão Q
  13. 13. Exemplo • Prove a conjectura: ‣ Se x e y são números inteiros pares, então o produto xy é um número inteiro par.
  14. 14. Sabemos que se z é um número inteiro par, então existe um número inteiro k, tal que z = 2k. (definição de um número par). Sejam x = 2m e y = 2n, onde m e n são inteiros. Então xy = (2m)(2n) = 2(2mn), onde 2mn é um inteiro. Logo o produto xy tem a forma 2k, onde k = 2mn é um inteiro, e, portanto, é par, como queríamos demonstrar
  15. 15. Contraposição • Demonstração por contraposição consiste na técnica de provar P → Q através da demonstração direta de Q′ → P′. ‣ Sabemos que (Q′ → P′) → (P → Q) ‣ Q′ → P′ é a contrapositiva de (P → Q)
  16. 16. Exemplo • Prove que a seguinte conjectura: ‣ Se n2 é ímpar, então n é ímpar.
  17. 17. n2 é ímpar → n é ímpar A contrapositiva é: n é par → n2 é par Temos que n2 = nn Como n é par, n = 2k. Assim, n2 = 2k 2k = 2(k+k). Portanto, n2 é par.
  18. 18. Demonstração por Absurdo • (P ∧ Q′ → 0) → (P → Q) é uma tautologia • Assim, para provar a conjectura P → Q, basta provar que P ∧ Q′ → 0 • Ou seja, em uma demonstração por absurdo, supomos que a hipótese e a negação da conclusão são ambas verdadeiras e tentamos deduzir uma contradição.
  19. 19. Exemplo • Prove por absurdo a proposição: ‣ “Se um número somado a ele mesmo é igual a ele mesmo, então esse número é 0.” ‣ Se x+x=x, então x=0. ‣ x+x=x → x=0
  20. 20. Proposição: x+x=x → x=0 Suponhamos P ∧ Q′ → 0: (x+x=x) ∧ (x≠0) → 0 Ou seja, x+x=x e x é diferente de zero. Assim, 2x=x e x≠0. Como x≠0, podemos dividir ambos os lados da primeira equação por x. Logo, 2x/x = x/x 2 = 1 O que é uma contradição, portando x+x=x → x=0.
  21. 21. Técnica Abordagem para provar P → Q Observações Exaustão Demonstrar P → Q para todos os casos. É viável apenas para um número finito de casos. Direta Suponha P, deduza Q. Contraposição Suponha Q′, deduza P′. Absurdo Suponha P ∧ Q′, chegue a uma contradição. Indicada para os casos em que Q diz que algo não é verdade.
  22. 22. Exercício • Prove as seguintes conjecturas: ‣ “Para todo inteiro positivo n, n2+n+1 é primo”; ‣ “Se n=25, 100 ou 169, então n é um quadrado perfeito e também é uma soma de dois quadrados perfeitos”; ‣ “a soma de dois inteiros ímpares é par”.
  23. 23. Exercício • Demonstre que, dados dois números inteiros positivos x e y, ‣ x < y se, e somente se, x2 < y2
  24. 24. Resumo • O raciocínio indutivo é usado para formular uma conjectura baseada na experiência. • O raciocínio dedutivo é usado para provar uma conjectura ou refutá-la através de um contra-exemplo. • Ao provar uma conjectura sobre algum assunto, pode-se usar fatos sobre o assunto.
  25. 25. Problema? • Demonstre que: ‣ 1+2+3+...+n = [n(n+1)]/2 • Podemos usar demonstração exaustiva ou direta?
  26. 26. Sumário • Técnicas básicas de demonstração • Primeiro Princípio da Indução • Segundo Princípio da Indução
  27. 27. Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!
  28. 28. Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!
  29. 29. Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada! a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
  30. 30. Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada! b) Estando no primeiro degrau, eu consigo subir até o segundo. a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
  31. 31. Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada! b) Estando no primeiro degrau, eu consigo subir até o segundo. a) Eu consigo subir até o primeiro degrau. c) Estando no segundo degrau, eu consigo subir até o terceiro.
  32. 32. Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada! b) Estando no primeiro degrau, eu consigo subir até o segundo. a) Eu consigo subir até o primeiro degrau. c) Estando no segundo degrau, eu consigo subir até o terceiro. ...
  33. 33. Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada!
  34. 34. Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada! a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
  35. 35. Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada! b) Se eu estou em algum degrau, eu consigo subir até o próximo. a) Eu consigo subir até o primeiro degrau.
  36. 36. Demonstre que você consegue subir até o n-ésimo degrau de uma escada! b) Se eu estou em algum degrau, eu consigo subir até o próximo. a) Eu consigo subir até o primeiro degrau. Portanto, eu consigo subir n degraus.
  37. 37. Primeiro Princípio de Indução Matemática P(1) ∧ (∀k)[P(k)→P(k+1)] →(∀n)P(n), k, n são inteiros positivos P(1) é a base da indução; (∀k)[P(k)→P(k+1)] é o passo indutivo, onde P(k) é a hipótese de indução.
  38. 38. Passos para demonstração usando o primeiro princípio indução 1. Prove a base da indução 2. Suponha P(k) 3. Prove P(k+1)
  39. 39. Exemplo • Demonstre que: ‣ 1+2+3+...+n = [n(n+1)]/2
  40. 40. Exercício • Usando o primeiro princípio de indução, demonstre que: ‣ A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n2. ‣ Para qualquer inteiro positivo n, o número 22n-1 é divisível por 3.
  41. 41. Sumário • Técnicas básicas de demonstração • Primeiro Princípio da Indução • Segundo Princípio da Indução
  42. 42. Segundo Princípio de Indução Se P(1) é verdade e (∀k)[P(r) → P(k+1), 1≤ r ≤ k, então (∀n)P(n)
  43. 43. • Em geral, as propriedades podem ser demonstradas por ambas as formas de indução. Mas, para a maioria dos problemas, existe uma forma mais apropriada. ‣ A diferença entre as formas está apenas na hipótese de indução • Usamos a segunda forma quando: ‣ o problema se divide no meio ao invés de crescer em um dos lados. ‣ o caso k+1 depende de resultados anteriores a k
  44. 44. Exemplo • Demonstre que para n ≥ 2, n é um número primo ou é um produto de números primos.
  45. 45. Exemplo 2 • Prove que qualquer franquia postal, maior ou igual a 8 centavos, pode ser obtida usando-se selos de 3 e 5 centavos. ‣ P(n): para se obter n centavos em selos precisa- se apenas de selos de 3 e 5 centavos (n ≥ 8)
  46. 46. Resumo • A Indução Matemática é uma técnica para provar propriedades de números inteiros positivos • Uma demonstração por indução não precisa começar com 1. • As propriedades podem ser demonstradas por qualquer um dos princípios de indução, mas uma das formas pode ser mais apropriada em cada caso.

×