Por que "menos com menos dá mais"?

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Por que "menos com menos dá mais"? Por que a multiplicação de um número negativo por outro número negativo resulta em um positivo? Este artigo pretende responder essa pergunta utilizando-se da álgebra dos axiomas de corpo dos números reais.

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Por que "menos com menos dá mais"?

  1. 1. Por que “menos com menos d´ mais”? a Rodrigo Thiago Passos Silva rodrigotpsilva@gmail.com Quando efetuamos o c´lculo (−1) × (−1) obtemos a resposta 1 porque “menos com menos d´ mais”. Mas, por a a que isso acontece? O que justifica essa propriedade? Primeiramente, cumpre esclarecer que estamos tratando de n´meros reais. O conjunto dos n´meros reais (R) u u ´ um corpo, ou seja, ´ um conjunto dotado de duas opera¸˜es bin´rias + e · (soma e multiplica¸˜o, respectivae e co a ca mente), que obedecem certos axiomas. Estes s˜o proposi¸˜es que n˜o necessitam de demonstra¸˜o, s˜o hip´teses a co a ca a o iniciais criadas. Os mais importantes para esta demonstra¸˜o ser˜o enumerados a seguir. Observe que muitos ca a deles parecem bastante ´bvios. o Sejam x, y, z n´meros reais quaisquer, ´ valido: u e 1. (x + y) + z = x + (y + z) (propriedade associativa da soma); 2. x + y = y + x (propriedade comutativa da soma); 3. existe 0 real tal que x + 0 = x (existˆncia de elemento neutro da soma); e 4. existe −x real tal que x + (−x) = 0 (existˆncia de elemento oposto); e 5. x · y = y · x (propriedade comutativa da multiplica¸˜o); ca 6. existe 1 real tal que x · 1 = x (existˆncia de elemento neutro da multiplica¸˜o); e ca 7. x(y + z) = xy + xz (propriedade distribuitiva da multiplica¸˜o em rela¸˜o ` soma). ca ca a Vamos a demonstra¸˜o... ca Propriedade 1 Inicialmente, mostremos que para qualquer a real ´ verdade que a · 0 = 0. Ou seja, que e qualquer n´mero real multiplicado por zero resulta em zero. u Partamos da express˜o a a+a·0 que pelo axioma 6 ´ o mesmo que e a · 1 + a · 0. Utilizando, agora, o axioma 7 obtemos a(1 + 0) que, pelo axioma 3 ´ o mesmo que e a·1 equivalente, pelo axioma 6, a a. Finalmente, pelo axioma 3 ´ o mesmo que e a + 0. Em resumo, a + a · 0 = a · 1 + a · 0 = a(1 + 0) = a · 1 = a = a + 0 donde conclui-se que se a + a · 0 = a + 0, ent˜o a · 0 = 0, como quer´ a ıamos demonstrar. 1
  2. 2. Propriedade 2 Agora, mostremos que (−1)a = −a, para qualquer n´mero real. Ou seja, que a multiplica¸˜o u ca de um n´mero qualquer por (−1) resulta em seu sim´trico. u e Da express˜o a a + (−1)a obtemos, usando o axioma 6, que 1 · a + (−1)a. Utilizando o axioma 7, a propriedade distribuitiva, temos a [1 + (−1)] . Pelo axioma 4 sabemos que 1 + (−1) = 0, ent˜o, a a [1 + (−1)] = a · 0 que pela propriedade demonstrada anteriormente em 1 sabemos que ´ igual a 0. e Em resumo, a + (−1)a = 1 · a + (−1)a = a [1 + (−1)] = a · 0 = 0. Como a + (−1)a = 0, ent˜o a e (−1)a s˜o elementos sim´tricos, conforme axioma 4, portanto, (−1)a = −a. a a e Propriedade 3 Finalmente, vamos demonstrar que (−1) · (−1) = 1. Do axioma 4 sabemos que 1 + (−1) = 0. Multiplicando-se (−1) em ambos os lados da equa¸˜o obtemos ca (−1) [1 + (−1)] = 0(−1). Utilizando, do lado esquerdo, o axioma 7 e do lado direito a Propriedade 1, obtemos (−1) · 1 + (−1)(−1) = 0. Da Propriedade 2 sabemos que (−1) · 1 = −1, ent˜o a −1 + (−1)(−1) = 0. Somando-se 1 em ambos os lados da equa¸˜o temos ca [−1 + (−1)(−1)] + 1 = 0 + 1. Obtemos, com os axiomas 1 e 2 do lado esquerdo e com o axioma 3 do lado direito, (−1 + 1) + (−1)(−1) = 1. Com o axioma 4 temos que 0 + (−1)(−1) = 1. Finalmente, com o axioma 3, conclu´ ımos que (−1)(−1) = 1. Propriedade 4 A fim de generalizar o resultado obtido na Propriedade 3, vamos demonstrar que, para quaisquer a e b reais positivos ´ verdade que (−a)(−b) = ab. Ou seja, que a multiplica¸˜o de dois n´meros e ca u negativos quaisquer resulta em um n´mero positivo. u Pela Propriedade 2 sabemos que −a = (−1)a e −b = (−1)b, ent˜o a (−a)(−b) = (−1)a · (−1)b 2
  3. 3. que pode ser reescrito, utilizando o axioma 5, como (−1)(−1)a · b. Pela Propriedade 3 sabemos que (−1)(−1) = 1 ent˜o a (−1)(−1)a · b = 1a · b que, pelo axioma 6, equivale a a · b. Em resumo (−a)(−b) = (−1)a · (−1)b = (−1)(−1)a · b = 1a · b = a · b = ab. 3

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