Este documento apresenta exemplos e contraexemplos para proposições lógicas e matemáticas, analisa a significado e verdade de proposições quantificadas, e discute transformações como negação, contrapositiva e recíproca de enunciados condicionais.

1. ´
LISTA 0 - BASES MATEMATICAS
Resolu¸˜o
ca
Elementos de L´gica e Linguagem Matem´tica
o a
1 — Dˆ exemplos ou contra-exemplos, se existirem, para as seguintes afirma¸˜es:
e co
a) Para todo x ∈ , x + 1 > 2
Exemplos: qualquer n´mero real maior que 1.
u
Contra-exemplos: qualquer n´mero real menor ou igual a 1.
u
b) Todas as letras da palavra “banana” s˜o vogais.
a
Exemplos: as letra ‘a’.
Contra-exemplos: as letras ‘b’ e ‘n’.
c) Para todo x ∈ , x2 < x
Exemplos: Qualquer real pertencente a (0, 1)
Contra-exemplos: Qualquer real pertecente a (−∞, 0] ou [1, ∞)
d) Para todo m, n ∈ N pares, temos que n + m ´ par.
e
Exemplos: m = 10 e n = 20 ou m = 2 e n = 1, entre outros.
Contra-exemplos: N˜o existem.
a
2 — O que as seguintes afirma¸˜es significam? Elas s˜o universais ou particulares?
co a
Elas s˜o verdadeiras? O universo de discurso em todos os casos ´ os n´ meros naturais.
a e u
a) ∀x∃y(x < y)
Para todo natural x existe um y tal que x ´ menor que y.
e
A proposi¸˜o ´ universal e verdadeira.
ca e
b) ∃y∀x(x < y)
Existe um y para todo x tal que y ´ maior que x.
e
A proposi¸˜o ´ particular e falsa, pois se x = y + 1, por exemplo, n˜o ´ maior que y.
ca e a e
c) ∃x∀y(x < y)
Existe um x para todo y tal que x ´ menor que y.
e
A proposi¸˜o ´ particular e falsa, pois se y = x − 1, por exemplo, n˜o ´ menor que x.
ca e a e
d) ∀y∃x(x < y)
Para todo y existe um x tal que y ´ maior que x.
e
A proposi¸˜o ´ universal e verdadeira.
ca e
e) ∃x∃y(x < y)
Existe um x e existe um y tal que x ´ menor que y.
e
A proposi¸˜o ´ particular e verdadeira.
ca e
f) ∀x∀y(x < y)
Quaisquer que sejam x e y, x ´ menor que y.
e
Proposi¸˜o universal e falsa. Contra exemplo: x = 3 e y = 2.
ca
3 — O que as seguintes afirma¸˜es significam? Elas s˜o verdadeiras? Dˆ exemplos e
co a e
contra-exemplos, quando poss´
ıvel. O universo de discurso em todos os casos ´ os n´ meros
e u
1

2. naturais.
a) ∀x∃y(2x − y = 0)
Para todo x existe um y tal que y ´ igual a 2x.
e
A proposi¸˜o ´ verdadeira.
ca e
Exemplo: Para x = 2 temos y = 4.
N˜o existem contra-exemplos.
a
b) ∃y∀x(2x − y = 0)
Existe um y para todo x tal que y ´ igual a 2x.
e
A afirma¸˜o ´ falsa. Pois se x = 1, ent˜o y = 2 e se x = 2, ent˜o y = 4.
ca e a a
c) ∃y∃z(y + z = 100)
Existem y e z tal que a soma de y com z seja igual a 100.
A afirma¸˜o ´ verdadeira.
ca e
Exemplos: y = 40 e z = 60; y = 15 e z = 85.
4 — Negue as seguintes proposi¸˜es:
co
a) 3 > 4 e 2 ´ par.
e
3 ≤ 4 ou 2 ´ ´
e ımpar.
b) N˜o ´ verdade que (3 ´ par ou que 5 ´ ´
a e e e ımpar).
3 ´ par ou 5 ´ ´
e e ımpar
c) 2 ´ um n´mero par e 3k + 1 ´ um n´mero ´
e u e u ımpar
2 ´ um n´mero ´
e u ımpar ou 3k + 1 ´ um n´mero par
e u
d) 2 ´ um n´mero par e n˜o ´ verdade que 3 ´ um n´mero ´
e u a e e u ımpar.
2 ´ um n´mero ´
e u ımpar ou 3 ´ um n´mero ´
e u ımpar
e) Todo elemento do conjunto A ´ elemento do conjunto B.
e
Existem pelo menos um elemento do conjunto A que n˜o ´ elemento do conjunto B.
a e
f) N˜o ´ verdade que (5 ´ um n´mero primo e 4 ´ um n´mero ´
a e e u e u ımpar).
5 ´ um n´mero primo e 4 ´ um n´mero ´
e u e u ımpar.
g) (N˜o ´ verdade que 5 ´ um n´mero primo) ou 4 ´ um n´mero ´
a e e u e u ımpar.
5 ´ um n´mero primo e 4 ´ um n´mero par.
e u e u
5 — Nas seguintes proposi¸˜es abertas o dom´
co ınio do discurso ´ o conjunto dos reais.
e
Para essas proposi¸˜es esboce na reta real o seu conjunto verdade.
co
6 — Ache a contra-positiva, a rec´
ıproca e a inversa das seguintes frases:
a) n˜o p =⇒ q
a
Contra-positiva: p =⇒ n˜o q
a
Rec´ıproca: q =⇒ n˜o p
a
Inversa: p =⇒ n˜o q
a
b) n˜o p =⇒ n˜o q
a a
Contra-positiva: q =⇒ p
Rec´ıproca: n˜o q =⇒ n˜o p
a a
2

3. Inversa: p =⇒ q
c) p =⇒ n˜o q
a
Contra-positiva: q =⇒ n˜o p
a
Rec´ıproca: n˜o q =⇒ p
a
Inversa: n˜o q =⇒ p
a
d) Se chove ent˜o n˜o vou trabalhar.
a a
Contra-positiva: Vou trabalhar ent˜o n˜o chove.
a a
Rec´ıproca: N˜o vou trabalhar ent˜o chove.
a a
Inversa: Se n˜o chove ent˜o eu vou trabalhar.
a a
e) Se x ´ par, ent˜o 2x + 1 ´ ´
e a e ımpar.
Contra-positiva: Se 2x + 1 ´ par ent˜o x ´ ´
e a e ımpar.
Rec´ıproca: Se 2x + 1 ´ ´
e ımpar ent˜o x ´ par.
a e
Inversa: Se x ´ ´
e ımpar, ent˜o 2x + 1 ´ par.
a e
f) Se minha m˜e ´ um trator, ent˜o eu sou uma moto-serra.
a e a
Contra-positiva: Se eu n˜o sou uma moto-serra, ent˜o minha m˜e n˜o ´ um trator.
a a a a e
Rec´ıproca: Se eu sou uma moto-serra ent˜o minha m˜e ´ um trator.
a a e
Inversa: Se minha m˜e n˜o ´ um trator, ent˜o eu n˜o sou uma moto-serra.
a a e a a
g) Se 2k + 1 ´ primo, ent˜o k ´ uma potˆncia de 2.
e a e e
Contra-positiva: Se k n˜o ´ uma potˆncia de 2 ent˜o 2k + 1 n˜o ´ primo.
a e e a a e
Rec´ıproca: Se k ´ uma potˆncia de 2 ent˜o 2k + 1 ´ primo.
e e a e
Inversa: Se 2k + 1 n˜o ´ primo, ent˜o k n˜o ´ uma potˆncia de 2.
a e a a e e
h) Se x2 + y 2 = 0 ent˜o x e y s˜o iguais a 0.
a a
Contra-positiva: Se x e y s˜o diferentes de 0, ent˜o x2 + y 2 = 0
a a
Rec´ıproca: Se x e y s˜o iguais a 0 ent˜o x2 + y 2 = 0.
a a
Inversa: Se x2 + y 2 = 0 ent˜o ent˜o x e y s˜o diferentes de 0.
a a a
7 — Atribua um valor verdade `s proposi¸˜es:
a co
a) Se 2 ´ par, ent˜o 3 ´ ´
e a e ımpar.
Verdadeira.
b) Se 2 n˜o ´ par, ent˜o 3 ´ ´
a e a e ımpar.
Equivale a: Se 2 ´ ´
e ımpar, ent˜o 3 ´ ´
a e ımpar.
Verdadeira.
c) Se 3 n˜o ´ par, ent˜o 3 n˜o ´ ´
a e a a e ımpar.
Equivale a: Se 3 ´ ´
e ımpar, ent˜o 3 ´ par.
a e
Falso.
d) Se minha m˜e ´ um trator, ent˜o eu sou uma moto-serra.
a e a
Verdadeira, pois a premissa ´ falsa.
e
8 — Para os pares de proposi¸˜es p e q diga se p ´ condi¸˜o necess´ria e/ou suficiente
co e ca a
para q. Em todos os exemplos, considere x um n´ mero natural.
u
a) p = “x ´ maior que 2” q = “x ´ maior que 3”.
e e
“x ´ maior que 3” ⇒ “x ´ maior que 2”, ou seja, q ⇒ p
e e
Ent˜o, p ´ condi¸˜o necess´ria para q.
a e ca a
3

4. b) p = “x ´ maior igual a 2” q = “x ´ maior que 2”.
e e
“x ´ maior igual a 2” “x ´ maior que 2”, ou seja, p ⇒ q
e e
Ent˜o, p ´ condi¸˜o suficiente para q.
a e ca
c) p = “x ´ maior que 0 e x ´ menor que 2” q = “x ´ menor que 2”.
e e e
x ´ maior que 0 e x ´ menor que 2” ⇒ “x ´ menor que 2”, ou seja, p ⇒ q
e e e
Entao, p ´ condi¸˜o suficiente para q.
e ca
d) p = “x ´ maior que 0 e x ´ menor que 2” q = “x = 1”.
e e
“x = 1” ⇒ “x ´ maior que 0 e x ´ menor que 2”, i.e., q ⇒ p
e e
Ent˜o, p ´ condi¸˜o necess´ria para q.
a e ca a
e) p = “∆ ´ um triˆngulo is´sceles” q = “∆ ´ um triˆngulo equil´tero”.
e a o e a a
“∆ ´ um triˆngulo equil´tero” ⇒ “∆ ´ um triˆngulo is´sceles”, i.e., q ⇒ p
e a a e a o
Ent˜o, p ´ condi¸˜o necess´ria para q.
a e ca a
f) p = “M ´ uma matriz com determinante diferente de 0” q = “M ´ uma matriz invert´
e e ıvel”.
“M ´ uma matriz com determinante diferente de 0” ⇒ “M ´ uma matriz invert´
e e ıvel”, i.e., q ⇒ p
“M ´ uma matriz invert´
e ıvel” ⇒ “M ´ uma matriz com determinante diferente de 0”, i.e., p ⇒ q
e
Ent˜o, p ´ condi¸˜o necess´ria e suficiente para q.
a e ca a
9 — Transcreva as seguintes proposi¸˜es para a forma simb´lica.
co o
a) Existe um n´mero real n tal que n2 = 2.
u
∃n ∈ R|n 2 =2
b) N˜o existe n´mero racional x tal que x2 = 2
a u
∃x ∈ Q|x2 = 2
c) Existe x tal que x2 ´ par e divis´ por 3.
e ıvel
∃x|x2 e par e divis´ por 3 ou ∃x|x2 = 2k1 ∧ x2 = 3k2 ; k1 , k2 ∈ Z
´ ıvel
d) N˜o existe n´mero inteiro x tal que x2 ´ primo ou x2 ´ negativo.
a u e e
2 e primo ou x2 < 0
∃x ∈ Z|x ´
e) Existe um n´mero inteiro x tal que x2 ´ par ou x2 ´ ´
u e e ımpar.
2 e par ou x2 e ´
∃x ∈ Z|x ´ ´ ımpar ou ∃x ∈ Z|x 2 = 2k ∨ x2 = 2k + 1
1 2
f) Para cada n´mero real x existe um n´mero real y tal que x + y = 0.
u u
∀x ∈ R, ∃y ∈ R|x + y = 0
g) Todo elemento do conjunto A ´ elemento do conjunto B.
e
∀a ∈ A, a ∈ B
h) Para todo , existe δ( ) tal que se 0 < |x − a| < δ ent˜o |f (x) − f (l)| < .
a
∀ , ∃δ( )|0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (l)| <
10 — Para cada uma das proposi¸˜es anteriores, escreva a nega¸˜o simb´lica e “em
co ca o
portuguˆs”.
e
a) Qualquer que seja n real n˜o ´ verdade n2 = 2.
a e
∀n ∈ R|n2 = 2
b) Existe n´mero racional x tal que x2 = 2
u
∃x ∈ Q|x 2 =2
4

5. c) Para todo x, x2 ´ ´
e ımpar ou n˜o ´ divis´ por 3.
a e ıvel
∀x, x2 = 2k ∨ x2 = 3k ; k , k ∈ Z
1 2 1 2
d) Existe n´mero inteiro x tal que x2 ´ primo ou x2 ´ negativo.
u e e
∃x ∈ Z|x2 e primo ∨ x2 < 0
´
e) Para todo x inteiro, x2 ´ ´
e ımpar e x2 ´ par.
e
∀x ∈ Z, x2 = 2k + 1 ∧ x2 = 2k ; k , k ∈ Z
1 2 1 2
f) Existe ao menos um x real e existe um n´mero real y tal que x + y = 0
u
∃x ∈ R, ∃y ∈ R|x + y = 0
g) Existe ao menos um elemento do conjunto A que n˜o ´ elemento do conjunto B.
a e
∃a ∈ A|a ∈ B
/
h) Existe ao menos um e existe δ( ) tal que 0 < |x − a| < δ e |f (x) − f (l)| ≥
∃ , ∃δ( )|0 < |x − a| < δ ∧ |f (x) − f (l)| ≥
11 — Para todas as afirma¸˜es a seguir n denota um numero natural. Determine o
co
conjunto verdade das seguintes proposi¸˜es abertas.
co
a) n2 < 12
V = {1, 2, 3}
b) 3n + 1 < 25
V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
c) 3n + 1 < 25 e n + 1 > 4
V = {5, 6, 7}
d) n < 5 ou n > 3
V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} = N
e) n ´ primo e n˜o ´ verdade que n > 17
e a e
V = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
f) (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) = 0
V = {1, 2, 3, 4}
12 — Demonstre as seguintes afirma¸˜es:
co
a) Se a divide b e a divide c ent˜o a divide b + c.
a
b
Hip´tese: a divide b, i.e., a = k1 ⇒ b = ak1 e a divide c, i.e., c = ak2 ; k1 , k2 ∈ Z
o
Tese: a divide b + c, i.e., b+c = k ⇒ b + c = ak; k ∈ Z
a
Assumindo como verdadeira a hip´tese, temos
o
b + c = ak1 + ak2 = a(k1 + k2 )
Dizemos que k1 + k2 = k e conclu´
ımos que b + c = ak, como se quer demonstrar.
b) Se p e q s˜o n´meros racionais, ent˜o p + q ´ um n´mero racional.
a u a e u
k1 k3
Hip´tese: p e q s˜o n´mero racionais, i.e., p =
o a u k2 eq= k4 ; k1 , k2 , k3 , k4 ∈ Z
5

6. m
Tese: p + q ´ racional, i.e., p + q =
e n; m, n ∈ Z
Assumindo a hip´tese como verdadeira, temos
o
k1 k3 k1 k4 +k3 k2
p+q = k2 + k4 = k2 k4
m
Dizemos que k1 k4 + k3 k2 = m ∈ Z e k2 k4 = n ∈ Z e obtemos p + q = n, como se quer demonstrar.
13 — Use o m´todo da redu¸˜o ao absurdo para mostrar cada uma das seguintes
e ca
proposi¸˜es.
co
a) A raiz de c´bida de 2 ´ irracional.
u e
b) N˜o h´ solu¸˜o racional para a equa¸˜o x5 + x4 + x3 + x2 + 1 = 0.
a a ca ca
Devemos tentar mostrar que a equa¸˜o x5 + x4 + x3 + x2 + 1 = 0 possui solu¸˜o racional e chegar em
ca ca
uma contradi¸˜o.
ca
c) Dados a, b, c inteiros. Mostre que se a n˜o divide bc, ent˜o a n˜o divide b.
a a a
14 — Prove cada uma das proposi¸˜es pelo m´todo contra-positivo.
co e
a) Se x e y s˜o dois n´meros inteiros cujo produto ´ ´
a u e ımpar, ent˜o ambos tem de ser ´
a ımpar.
Contra-positiva: Se x e y s˜o pares ent˜o o produto xy ´ par.
a a e
Se x ´ par, ent˜o x = 2k1 e se y ´ par, ent˜o y = 2k2 , onde k1 , k2 ∈ Z, temos:
e a e a
xy = 2k1 (2k2 ) = 2(2k1 k2 )
Admitindo 2k1 k2 = k ∈ Z, concluimos que xy = 2k, e, portanto, par.
b) Se a e b s˜o n´meros reais tais que o produto ab ´ um n´mero irracional, ent˜o, ou a ou b deve ser
a u e u a
um n´mero irracional.
u
Contra-positiva: Se a e b s˜o n´meros racionais ent˜o o produto ab ´ racional.
a u a e
Se a e b s˜o racionais, ent˜o, a = p1 e b = p2 , onde pq , q1 , p2 , q2 ∈ Z temos ab = p1 · p2 = p1 q2
a a q
1
q
2
q
1
q
2
q
1 p2
p
Assumindo p1 p2 = p ∈ Z e q1 q2 = q ∈ Z obtemos ab = q , de onde pode-se concluir que ab ´ racional.
e
15 — Mostre que o produto de um n´ mero racional n˜o nulo com um n´ mero irraci-
u a u
onal ´ irracional.
e
16 — Dados a, b, c n´ meros inteiros com c = 0. Mostre que a divide b se, e somente se,
u
ac divide bc.
1a Parte: Deve-se demonstrar que b = ak ⇒ bc = ack; k ∈ Z
bc = ak · c = ack
Logo, ac divide bc.
2a Parte: Deve-se demonstrar que bc = acu ⇒ b = au; u ∈ Z
6

7. bc = acu ÷ (c), pois c = 0
Dai, obtemos
b = au
como se quer demonstrar.
7