Questões - Bases Matemáticas

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Questões de Bases Matemáticas.

Esboço de gráficos, sequências, teorema do confronto, limite de sequencias e de funções reais a variáveis reais.

Em caso de dúvidas/sugestões e relato de erros, enviar e-mail para rodrigo.silva92@aluno.ufabc.edu.br


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Questões - Bases Matemáticas

  1. 1. BASES MATEMÁTICAS Funções, Sequências e Limites1. Esboce o gráfico de ( ) ( ) e indique as intersecções com o eixo xe eixo y, pontos de máximo e mínimo locais, se houver e em quais regiões a função écrescente, decrescente, positiva e negativa.i) Esboço do gráficoTomando como “função base” ( ) , temos seu gráfico (em azul) mostradoabaixo. Figura 1 – Gráfico deRealizando uma translação horizontal para a esquerda de 1 unidade obtemos ( ) ( ) (em azul). Com uma translação vertical em 4 unidades para baixoobtemos ( ) ( ) (em verde). Figura 2 – Gráfico de ( ) , em azul e ( ) , em verdeRefletindo, em relação ao eixo x, todos os pontos do gráfico em que a coordenada y sejamenor que zero obtemos ( ) ( ) (em azul). Finalmente,refletindo, em relação ao eixo x, todo o conjunto dos pontos do gráfico, obtemos ( ) ( ) (em verde).
  2. 2. Figura 3 – Gráfico de ( ) , em azul e ( ) ( ) , em verdeii) Intersecções com os eixosO gráfico intercepta o eixo y se, e somente se, . ( ) ( )Então ( ).O gráfico intercepta o eixo x se, e somente se, . ( ) ( ) ( ) ( ) √ √Então (√ )e ( √ ).iii) Máximos e mínimos locaisOs pontos de máximo locais são e .O ponto de mínimo local possui como abscissa a média entre as abscissas dos pontos deintersecção com o eixo x. Então: √ ( √ )A ordenada é igual a ( ) ( ) ( ) .Então: ( ).iv) Crescimento e DecrescimentoA função é crescente quando ( √ ) ( √ ).A função é decrescente quando ( √ ) (√ ).v) Positiva e negativaA função é negativa .
  3. 3. 2. Esboce o gráfico de ( ) e dê a equação da assíntota. Figura 4 – Gráfico de ⁄ , em azul; ⁄( ), em verde e , em violáceoPrimeiramente desenha-se o gráfico azul ( ) . Por meio de uma transformação –translação horizontal de 3 unidades à esquerda – obtém-se ( ) ( ) (emverde).A função f possui uma assíntota vertical de equação (ponto de descontinuidade)e uma assíntota horizontal de equação (eixo x).3. Mostre que a sequência é crescente.A sequência é crescente se, e somente se, para todo . ( ) ( )Como , claramente, a proposição é verdadeira.4. Prove que a sequência é limitada.A sequência é limitada se existir um M tal que , para todo .Supondo que , devemos provar que | | para todo . | |Como necessariamente , pela definição do domínio de sequência, conclui-se quepara todo n natural a seqüencia é menor que 2. Ou seja, existe um M tal que , quod erat demonstrandum.
  4. 4. 5. Prove, utilizando o teorema do confronto, que ( )Para qualquer sabemos que ( ) [ ].Então ( )Multiplicando todos os termos da desigualdade por (pois, certamente é um valorpositivo), temos ( )Considerando que , concluímos pelo teorema doconfronto que ( )6. Mostre, utilizando o teorema do confronto, quePara qualquer sabemos que ( ) [ ].EntãoMultiplicando todos os termos da desigualdade por (pois, por ser funçãoexponencial não assume valores negativos)A sequência , ou, equivalentemente, , tende a zero para valores muitograndes de n. Simbolicamente .Pelo teorema do Confronto, conclui-se então que ( ) .7. Calcule os limites abaixo:a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
  5. 5. b) (√ )(√ ) (√ ) (√ ) (√ ) (√ ) (√ ( ) ) (√ √( ) ) √( ) ( √( ) ) (√( ) ) √ √c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d) ( )( ) ( )Nota: Polinômios, ou seja, expressões do tipo ( ) podem ser reescritas como ( ) ( )( ) ( )( ), onde são zeros do polinômio.8. Sabendo que uma função f é contínua no ponto p quando ( ) ( ).Determine se a função ( ) é contínua em .Devemos testar a condição ( )Calculando o limite ( )Portanto, a função f é contínua no ponto ( ).

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