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  1. 1. Vestibular 2012 — 2a fase Gabarito — MatemáticaQuestão 01 (Valor: 15 pontos)Como S é ponto da parábola, então o par de coordenadas cartesianas de S é da forma (x, 2x2). 2O coeficiente angular da reta SP é igual a 2 − 2x e o coeficiente angular da reta SQ é igual a − 1− x 2 − 2x 2 . 1− xComo as retas SP e SQ são perpendiculares, então o produto dos coeficientes angulares dessasretas é igual a – 1, ou seja, 2 − 2x 2  2 − 2x 2  = −1 − 1 − x  1 − x   Como x ≠ −1 e x ≠ 1, tem-se que4(1 − x 2 )2 = 1 − x 24(1 − x 2 ) = 1 3x 2 = 1 − 1 = 3 , logo x = ± . 4 4 2 3  3 3  3  3 3 Assim, para x = − , tem-se S −     2 , 2  e para x = + 2 , tem-se S 2 , 2  2    Questão 02 (Valor: 15 pontos)Fazendo 2x−1 = t, tem-sex = t + 1 , portanto 2 t +1f(t) = 2 = t +1 = t +1 . 3 t + 1 − 6 3t + 3 − 12 3t − 9 2Logo,f(x) = x + 1 , ou seja, y = x + 1 . 3x − 9 3x − 9Assim,3xy – 9y = x + 1x(3y – 1) = 9y + 1 9y + 1x= , sendo x a imagem de y pela função f −1, tem-se 3y − 1 9y + 1f −1(y) = ou 3y − 1f −1(x) = 9x + 1. 3x − 1
  2. 2. Questão 03 (Valor: 20 pontos) 1. b = 6 + 2 + 2 + 2 + ... , soma dos termos da progressão geométrica  6, 2,  2 , 2 , ...   3 9  3 9  em que 6.q = 2, portanto a razão da P.G. é q = 1. 3 Como a1 b= , tem-se 1− q b= 6 = 6 =9 1− 1 2 3 3 logo, b = 9. 2. Como a 5 , a 9 , a 1 0 e a 1 4 são as abscissas dos pontos de interseção das curvas de equações x2 + y2 = 82 e y = 9 , então deve-se resolver o sistema x x 2 + y 2 = 82 x 2 + 81 = 82 x 4 + 81 − 82x 2 = 0   x 2   9 ⇔ ⇔ 9 9 y = x  y = y = x   x Fazendo x2 = u, tem-se u 2 − 82u + 81 = 0 em que u = 81 ou u = 1, portanto x2 = 81 com x = ±9 ou x2 = 1 com x = ±1, assim a5 = 9, a9 = 1, a10 = −1 e a14 = −9. Calculando-se a razão r da P.A., tem-se r = a10 − a9 = −1−(1) = −2, logo r = −2, como an = am + (n − m)r, tem-se a 50 = a 5 + (50 − 5)r = 9 + 45.( −2) = −81 logo, d = −81. 3. Sabe-se que p(x) = h(x)(x + 1) + 40 e que p(x) = 9x4 + cx3 – 81x, portanto p(−1) = 0 + 40 e p(−1) = 9 − c + 81, logo 9 − c + 81 = 40 c = 50 logo p(x) = 9x4 + 50x3 − 81x.Questão 04 (Valor: 15 pontos)Sabe-se que det(AB) = detA.detB sen3x cos3xdetA = x = x (sen 2 3x + cos 2 3x) = x 3 − x − cos3x sen3x 3 − x 3−x 3xdetB = ( −1) 2 4 x ( ) ( = − 2 6 x − 36 = 2 6 2 − 6 x ) 9 2detA .detB = ( 2 . x . 6 2 − 6 x ≤ 0. 3−x )Para determinar o conjunto solução da inequação, deve-se analisar o sinal da expressão ( ) 2 x 6 2 − 6 x , isto é o sinal de x, 3 – x e de 62 – 6x. 3−x
  3. 3. Assim, tem-se 0 2 3 x – • + + + 3−x + + + o – 26 −6 x + + • – –det(AB) – • + • – o +O conjunto solução da inequação é]−∞, 0]∪[2, 3[ ou {x∈R; x ≤ 0 ou 2 ≤ x < 3}.Questão 05 (Valor: 20 pontos)Cálculo das coordenadas do centro da circunferênciax2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0(x2 + 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) = 4 + 1 + 4(x + 1)2 + (y – 2)2 = 9Centro da circunferência: (–1, 2).Aplicando a rotação de π rd ao ponto (–1, 2), obtém-se P’(–2, –1). 2Cálculo do ângulo αComotg 2α + π  = 0, tem-se    3 2α + π = kπ , k ∈ Z , 3α = − π +k π . 6 2Considerando que α ∈  π , π , então 2    π ≤ − π + k π < π, 2 6 2 π + π ≤k π <π+ π 2 6 2 6 2π ≤ k π < 7 π 3 2 6 4 ≤ k < 7 , k∈Ζ. 3 3Logo, k = 2 e α = − π + π = 5 π . 6 6 3O coeficiente angular de r é igual a tgα = tg 5π = − . 6 3 3Uma equação da reta que passa pelo ponto P(–2, –1) e tem coeficiente angular − é 3
  4. 4. 3y + 1= − (x + 2), 3ou seja, 3 2 3y=− x− − 1. 3 3Questão 06 (Valor: 15 pontos) Sejam V o vértice da pirâmide, A, B, C, D, E e F os vértices da base, P o centro da base e Q o centro da esfera. Para calcular o volume da pirâmide precisa-se encontrar a medida do lado l da base e a da altura h da pirâmide. A base da pirâmide é um hexágono regular, então l = PA e a altura h = VP . Considerando que a pirâmide é reta, o segmento VP é perpendicular ao segmento PA. Por outro lado, como a reta VA é tangente à superfície esférica em A, tem-se que o ângulo VAQ é reto. Logo, ∆AQV ~ ∆PQA e, consequentemente, AQ = QV ( I ). PQ QASabe-se que AQ = 5cm , pois A é um ponto da superfície esférica, e que a distância do vértice dapirâmide ao centro da esfera é VQ = 25 cm. 4 25De (I) tem-se 5 = 4 ⇒ PQ = 4cm. PQ 5No triângulo retângulo APQ, a hipotenusa AQ mede 5cm e o cateto PQ mede 4cm.Logo, l = PA = 3cm.A altura h da pirâmide é dadapor h = VP = VQ − PQ = 25 − 4 ⇒ h = 9 cm. 4 4Cálculo do volume da pirâmide V = 1S h 3 B l2 3 27 3 S B = 6. = 3 .9 3 = 4 2 2 27 3 SB = cm 2 2 27 3 9 81 3 V= 1. . = 3 2 4 8 81 3 V= cm3 8Obs.: Outras abordagens poderão ser aceitas, desde que sejam pertinentes. Salvador, 18 de dezembro de 2011 Antonia Elisa Caló Oliveira Lopes Diretora do SSOA/UFBA

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