Demonstração da equação de Bhaskara

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Demonstração da Equação de Bhaskara de forma algebrica e geométrica

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Demonstração da equação de Bhaskara

  1. 1. Equa¸c˜ao de Bhaskara Rodrigo Thiago Passos Silva rodrigotpsilva@gmail.com Este artigo objetiva demonstrar algebrica e geometricamente a Equa¸c˜ao de Bhaskara, utilizada para resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes do segundo grau. Defini¸c˜ao de equa¸c˜ao do segundo grau: Sejam a, b, c ∈ R, com a = 0, chamamos de equa¸c˜ao do segundo grau uma equa¸c˜ao da forma ax2 + bx + c = 0. (1) Demonstra¸c˜ao alg´ebrica A demonstra¸c˜ao utilizar´a o m´etodo de “completar quadrados”, que consiste em reescrever uma equa¸c˜ao do segundo grau, apresentada na forma da equa¸c˜ao (1), no formato (x + r)2 = q, onde r, q ∈ R. Para isso, relembremos uma importante identidade alg´ebrica, um produto not´avel: (x + r)2 = x2 + 2xr + r2 . (2) Em outras palavras, sendo x o primeiro termo e r o segundo, dizemos que (x + r)2 ´e igual ao quadrado do primeiro termo, somado ao dobro do produto do primeiro e do segundo termo, somado ao quadrado do segundo termo. Assim, partindo da equa¸c˜ao ax2 + bx + c = 0, dividamos ambos os lados da igualdade por a x2 + b a x + c a = 0. (3) Agora, isolemos o termo c a do lado direito da equa¸c˜ao x2 + b a x = − c a . (4) Queremos escrever o lado esquerdo da equa¸c˜ao na forma (x + r)2 . Para isso, precisamos determinar o valor de r. Sabemos que em x2 + b a x o termo que tem x como fator ´e dado pelo dobro do produto do primeiro e do segundo termo. O primeiro termo, sabemos que ´e x. Assim, sendo r o segundo termo temos 2 · x · r = b a x ⇒ r = b 2a . (5) Assim, temos o seguinte produto not´avel (e sua correspondˆencia, utilizando a identidade da equa¸c˜ao (2)) x + b 2a 2 = x2 + 2 · x · b 2a + b 2a 2 = x2 + b a x + b2 4a2 . (6) Retornando a equa¸c˜ao (4) podemos somar e subtrair do lado esquerdo o n´umero b2 4a2 (observe que essa opera¸c˜ao n˜ao modifica a equa¸c˜ao) x2 + b a x + b2 4a2 (x+ b 2a ) 2 − b2 4a2 = − c a . (7) Portanto, a partir de manipula¸c˜oes alg´ebricas na equa¸c˜ao (1) obtemos a equa¸c˜ao (4), a qual, ap´os se “completar quadrado” torna-se x + b 2a 2 − b2 4a2 = − c a x + b 2a 2 = b2 4a2 − c a x + b 2a 2 = b2 − 4ac 4a2 . (8) 1
  2. 2. Agora, basta manipular a equa¸c˜ao (8) para isolar a inc´ognita x e, finalmente, obter a equa¸c˜ao de Bhaskara. Calculemos a raiz quadrado em ambos os lados da igualdade. Dai, x + b 2a 2 = b2 − 4ac 4a2 x + b 2a = ± √ b2 − 4ac 2a x = − b 2a ± √ b2 − 4ac 2a Finalmente, obt´em-se a equa¸c˜ao de Bhaskara x = −b ± √ ∆ 2a , onde ∆ = b2 − 4ac. (9) Demonstra¸c˜ao geom´etrica Olhando para o lado esquerdo da equa¸c˜ao (4) podemos observar que a primeira parcela ´e o c´alculo da ´area de um quadrado de lado x (figura 1). Figura 1: Quadrado de lado x e ´area x2 A segunda parcela corresponde ao c´alculo da ´area de um retˆangulo de lados x e b a , ou ent˜ao, quatro retˆangulos de lados x e b 4a (figura 2). Figura 2: Retˆangulo de lados x e b a e ´area x b a e retˆangulos de lado x e b 4a com a mesma ´area total Assim, a ´area da figura 3, formada pelo quadrado da figura 1 e os quatro retˆangulos da figura 2 ´e x2 + b a x, somada a ´area dos quadrados laterais (4Aq). Figura 3: Quadrado e retˆangulos das figuras 1 e 2 2
  3. 3. Observando a figura 3 podemos escrever a ´area do maior quadrado de duas maneiras: (i) elevando ao quadrado o valor do lado, que ´e dado por x + b 4a + b 4a = x + b 2a A = x + b 2a 2 (10) (ii) somando-se os valores das ´areas dos quadril´ateros que o comp˜oe (o quadrado central, os quatro retˆangulos e os quadrados das pontas). Assim, A = x2 + 4 · b 4a x + 4Aq A = x2 + b a x + 4 b 4a 2 A = x2 + b a x − c a + b2 4a2 Mas, da equa¸c˜ao (4) obtemos (ou seja, sabemos que a ´area do quadrado central e dos quatro retˆangulos tem que ser igual a − c a ) A = − c a + b2 4a2 = b2 − 4ac 4a2 (11) Igualando-se as equa¸c˜oes (10) e (11) obtemos x + b 2a 2 = b2 − 4ac 4a2 (12) donde o desenvolvimento alg´ebrico segue idˆentico ao efetuado a partir da equa¸c˜ao (8), resultando em x = −b ± √ ∆ 2a , onde ∆ = b2 − 4ac. (13) 3
  4. 4. Apˆendice: sinal de mais ou menos na equa¸c˜ao de Bhaskara Calcular a raiz quadrada em ambos os lados de uma equa¸c˜ao ´e uma opera¸c˜ao v´alida, pois equivale a elevar ambos os lados da igualdade a 1 2 e esta opera¸c˜ao ´e permitida pois a implica¸c˜ao v = w ⇐⇒ v 1 2 = w 1 2 ´e verdadeira para v > 0 e w > 0 pois f(x) = x 1 2 ´e uma fun¸c˜ao bijetora definida em f : R+ → R+. Temos a seguinte equa¸c˜ao x + b 2a 2 v = b2 − 4ac 4a2 w . Podemos elevar ambos os lados a 1 2 se v e w forem maiores ou iguais a zero. Obviamente v ´e maior ou igual a zero, pois ´e o quadrado de um n´umero. Por outro lado, w ´e positivo pois sabemos que 4a2 > 0 e que b2 −4ac ≥ 0, pois sen˜ao a equa¸c˜ao n˜ao teria solu¸c˜oes reais. Sabemos tamb´em uma importante propriedade de m´odulo √ u2 = |u| para u ∈ R. Assim, a equa¸c˜ao acima pode ser reescrita como x + b 2a 2 = b2 − 4ac 4a2 que implica em x + b 2a = b2 − 4ac 4a2 . Da defini¸c˜ao de m´odulo, temos que x + b 2a = x + b 2a se x + b 2a ≥ 0 ⇒ x ≥ − b 2a − x + b 2a se x + b 2a < 0 ⇒ x < − b 2a Assim, para x ≥ − b 2a temos x + b 2a = b2 − 4ac 4a2 ⇒ x = − b 2a + b2 − 4ac 4a2 . Observe, que, neste caso, x ´e sempre maior ou igual a − b 2a , satisfazendo integralmente a condi¸c˜ao dada pelo m´odulo. E, para x < − b 2a temos − x + b 2a = b2 − 4ac 4a2 ⇒ x = − b 2a − b2 − 4ac 4a2 . Novamente, a condi¸c˜ao dada pelo m´odulo ´e integralmente satisfeita pela equa¸c˜ao. Portanto, para qualquer valor real de x as solu¸c˜oes s˜ao dadas por x = − b 2a + b2 − 4ac 4a2 e x = − b 2a − b2 − 4ac 4a2 . Ou, ainda, escrevendo de forma compacta x = − b 2a ± b2 − 4ac 4a2 que equivale a x = −b ± √ b2 − 4ac 2a . 4

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