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Gerando triângulos pitagóricos

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Gerando triângulos pitagóricos
Os triângulos pitagóricos, em Geometria, são triângulos retângulos que satisfazem o
teorema de Pitágoras (𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
), com a, b e c números inteiros. Iremos mostrar a
seguir um procedimento para, dado um número natural par qualquer, podemos gerar um
triângulo desta natureza. O teorema de Pitágoras trabalha no sistema R², ou seja, em
duas dimensões. Veremos também que este procedimento a ser mostrado pode se
estender para o 𝑅 𝑛
. Primeiro, vamos construir o modelo matemático para triângulos
pitagóricos no R². Para compreender este processo, vamos recordar um resultado
importante da sequencia (A) dos números quadrados perfeitos. Trata-se da seguinte
sequencia:
A = (1,4,9,16,25,36,49, ...)
Observe que a diferença entre um termo e seu anterior é sempre um número ímpar. Para
provar porque, considere um número 𝑎 𝑛 qualquer desta sequencia. O seu termo geral é
𝑎 𝑛 = 𝑛2
. Assim, seu termo seguinte será: 𝑎 𝑛+1 = (𝑛 + 1)2
= 𝑛2
+ 2𝑛 + 1.
Calculando a diferença entre estes dois termos, obtemos: 𝑎 𝑛+1 − 𝑎 𝑛 = 𝑛2
+ 2𝑛 + 1 −
𝑛2
= 2𝑛 + 1. Sabemos que qualquer número natural ímpar pode ser escrito na forma
2𝑛 + 1, o que comprova a veracidade dessa diferença ser sempre um número ímpar.
Vamos agora construir uma nova sequencia B formada por essas diferenças:
𝐵 = (2𝑛 + 1, 2𝑛 + 3, 2𝑛 + 5,… , 𝑏 𝑘)
Tal sequencia é uma PA de razão r igual a 2. Então, aplicando a fórmula do termo geral,
vamos concluir que:
𝑏 𝑘 = 2𝑛 + 1 + ( 𝑘 − 1). 2 = 2𝑛 + 1 + 2𝑘 − 2 = 2𝑛 + 2𝑘 − 1 = 𝟐( 𝒏 + 𝒌) − 𝟏
Assim, dado 2 números inteiros quadrados perfeitos da sequencia A, a diferença entre
eles pode ser um número ímpar ou uma soma deles caso os mesmos não forem
consecutivos. Então, calculando a soma destes termos da sequencia, obtemos:
𝑆 𝑘 =
[2𝑛 + 1 + 2( 𝑛 + 𝑘) − 1] 𝑘
2
= 𝒌(𝟐𝒏 + 𝒌)
Chamando 𝑆 𝑘 de r , podemos dizer que n é igual a:
𝑛 =
𝑟
2𝑘
−
𝑘
2
Como n é um número inteiro, devemos ter:
2k|r e 2|k
Ou seja, k deve ser um número par e divisor de
𝑟
2
.
Vamos considerar, agora, as soluções inteiras da equação 𝑛2
+ 𝑟 = 𝑚2
, onde são 𝑛2
e
𝑚2
são temos da sequencia A. Então o número de soluções inteiras desta equação será
exatamente o número de divisores pares de
𝑟
2
.
Exemplo 1: Seja r = 48 . Então devemos resolver a seguinte equação:
Solução:
𝑛2
+ 48 = 𝑚2
Temos que os divisores positivos de 24 são:
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
As soluções inteiras serão da forma:
Para k = 2: n =
24
2
−
2
2
= 12 − 1 = 11
Verificação: 112
+ 48 = 169 = 132
=> 𝑚 = 13 𝑒 𝑛 = 11
Para k = 4: n =
24
4
−
4
2
= 6 − 2 = 4
Verificação: 42
+ 48 = 64 = 82
=> 𝑚 = 8 𝑒 𝑛 = 4
Para k = 6: n =
24
6
−
6
2
= 4 − 3 = 1
Verificação: 12
+ 48 = 49 = 72
=> 𝑚 = 7 𝑒 𝑛 = 1
Para k = 8: n =
24
8
−
8
2
= 3 − 4 = −1
Verificação: (−1)2
+ 48 = 49 = 72
=> 𝑚 = 7 𝑒 𝑛 = −1
Para k = 12: n =
24
12
−
12
2
= 2 − 6 = −4
Verificação: (−4)2
+ 48 = 64 = 82
=> 𝑚 = 8 𝑒 𝑛 = −4
Para k = 24: n =
24
24
−
24
2
= 1 − 12 = −11
Verificação: (−11)2
+ 48 = 169 = 132
=> 𝑚 = 13 𝑒 𝑛 = −11
OBERVAÇÃO 1: Caso r seja um número ímpar é possível mostrar que a equação só
admite uma solução, dada por: 𝑛 =
𝑟−1
2
e 𝑚 =
𝑟+1
2
.
Generalizando, podemos tomar r como sendo um número quadrado perfeito, ou seja, r =
t² desde que t seja um número par. Assim, a equação seria: 𝑛2
+ 𝑡² = 𝑚2
. Como m, n
e t são números inteiros, as soluções desta equação nos fornecem triângulos pitagóricos
da forma 𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
. O valor de n pode ser encontrado usando a fórmula:
𝑛 =
𝑡²
2𝑘
−
𝑘
2
Sendo k um número inteiro divisor par de
𝑡²
2
.
OBERVAÇÃO 2: Caso r seja um número ímpar é possível mostrar que a equação só
admite uma solução, dada por: 𝑛 =
𝑡²−1
2
e 𝑚 =
𝑡²+1
2
.
EXEMPLO 2: Obter triângulos pitagóricos para t = 18 e t = 31.
Solução:
Calculando o valor de
𝑡²
2
, encontramos:
18²
2
= 162
D(162) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162}
Para k = 2: n =
162
2
−
2
2
= 81 − 1 = 80
Verificação: 802
+ 18² = 6724 = 822
=> 𝟖𝟎 𝟐
+ 𝟏𝟖² = 𝟖𝟐 𝟐
Para k = 6: n =
162
6
−
6
2
= 27 − 3 = 24
Verificação: 242
+ 18² = 900 = 302
=> 𝟐𝟒 𝟐
+ 𝟏𝟖² = 𝟑𝟎 𝟐
Para k = 18: n =
162
18
−
18
2
= 9 − 9 = 0
Neste caso, não formamos um triangulo, pois um de seus lados é nulo. Os demais
valores de k oferecem soluções negativas para n, o que não convém para nós neste caso.
Considerando t = 31, sendo um número ímpar, só teremos um triângulo pitagórico
possível. O valor de n e m serão:
𝑛 =
31² − 1
2
= 480
𝑚 =
31² + 1
2
= 481
Logo, o triângulo pitagórico será: 𝟒𝟖𝟎 𝟐
+ 𝟑𝟏² = 𝟒𝟖𝟏 𝟐

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Gerando triângulos pitagóricos

  • 1. Gerando triângulos pitagóricos Os triângulos pitagóricos, em Geometria, são triângulos retângulos que satisfazem o teorema de Pitágoras (𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 ), com a, b e c números inteiros. Iremos mostrar a seguir um procedimento para, dado um número natural par qualquer, podemos gerar um triângulo desta natureza. O teorema de Pitágoras trabalha no sistema R², ou seja, em duas dimensões. Veremos também que este procedimento a ser mostrado pode se estender para o 𝑅 𝑛 . Primeiro, vamos construir o modelo matemático para triângulos pitagóricos no R². Para compreender este processo, vamos recordar um resultado importante da sequencia (A) dos números quadrados perfeitos. Trata-se da seguinte sequencia: A = (1,4,9,16,25,36,49, ...) Observe que a diferença entre um termo e seu anterior é sempre um número ímpar. Para provar porque, considere um número 𝑎 𝑛 qualquer desta sequencia. O seu termo geral é 𝑎 𝑛 = 𝑛2 . Assim, seu termo seguinte será: 𝑎 𝑛+1 = (𝑛 + 1)2 = 𝑛2 + 2𝑛 + 1. Calculando a diferença entre estes dois termos, obtemos: 𝑎 𝑛+1 − 𝑎 𝑛 = 𝑛2 + 2𝑛 + 1 − 𝑛2 = 2𝑛 + 1. Sabemos que qualquer número natural ímpar pode ser escrito na forma 2𝑛 + 1, o que comprova a veracidade dessa diferença ser sempre um número ímpar. Vamos agora construir uma nova sequencia B formada por essas diferenças: 𝐵 = (2𝑛 + 1, 2𝑛 + 3, 2𝑛 + 5,… , 𝑏 𝑘) Tal sequencia é uma PA de razão r igual a 2. Então, aplicando a fórmula do termo geral, vamos concluir que: 𝑏 𝑘 = 2𝑛 + 1 + ( 𝑘 − 1). 2 = 2𝑛 + 1 + 2𝑘 − 2 = 2𝑛 + 2𝑘 − 1 = 𝟐( 𝒏 + 𝒌) − 𝟏 Assim, dado 2 números inteiros quadrados perfeitos da sequencia A, a diferença entre eles pode ser um número ímpar ou uma soma deles caso os mesmos não forem consecutivos. Então, calculando a soma destes termos da sequencia, obtemos: 𝑆 𝑘 = [2𝑛 + 1 + 2( 𝑛 + 𝑘) − 1] 𝑘 2 = 𝒌(𝟐𝒏 + 𝒌) Chamando 𝑆 𝑘 de r , podemos dizer que n é igual a: 𝑛 = 𝑟 2𝑘 − 𝑘 2 Como n é um número inteiro, devemos ter: 2k|r e 2|k Ou seja, k deve ser um número par e divisor de 𝑟 2 .
  • 2. Vamos considerar, agora, as soluções inteiras da equação 𝑛2 + 𝑟 = 𝑚2 , onde são 𝑛2 e 𝑚2 são temos da sequencia A. Então o número de soluções inteiras desta equação será exatamente o número de divisores pares de 𝑟 2 . Exemplo 1: Seja r = 48 . Então devemos resolver a seguinte equação: Solução: 𝑛2 + 48 = 𝑚2 Temos que os divisores positivos de 24 são: D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} As soluções inteiras serão da forma: Para k = 2: n = 24 2 − 2 2 = 12 − 1 = 11 Verificação: 112 + 48 = 169 = 132 => 𝑚 = 13 𝑒 𝑛 = 11 Para k = 4: n = 24 4 − 4 2 = 6 − 2 = 4 Verificação: 42 + 48 = 64 = 82 => 𝑚 = 8 𝑒 𝑛 = 4 Para k = 6: n = 24 6 − 6 2 = 4 − 3 = 1 Verificação: 12 + 48 = 49 = 72 => 𝑚 = 7 𝑒 𝑛 = 1 Para k = 8: n = 24 8 − 8 2 = 3 − 4 = −1 Verificação: (−1)2 + 48 = 49 = 72 => 𝑚 = 7 𝑒 𝑛 = −1 Para k = 12: n = 24 12 − 12 2 = 2 − 6 = −4 Verificação: (−4)2 + 48 = 64 = 82 => 𝑚 = 8 𝑒 𝑛 = −4 Para k = 24: n = 24 24 − 24 2 = 1 − 12 = −11 Verificação: (−11)2 + 48 = 169 = 132 => 𝑚 = 13 𝑒 𝑛 = −11 OBERVAÇÃO 1: Caso r seja um número ímpar é possível mostrar que a equação só admite uma solução, dada por: 𝑛 = 𝑟−1 2 e 𝑚 = 𝑟+1 2 . Generalizando, podemos tomar r como sendo um número quadrado perfeito, ou seja, r = t² desde que t seja um número par. Assim, a equação seria: 𝑛2 + 𝑡² = 𝑚2 . Como m, n
  • 3. e t são números inteiros, as soluções desta equação nos fornecem triângulos pitagóricos da forma 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 . O valor de n pode ser encontrado usando a fórmula: 𝑛 = 𝑡² 2𝑘 − 𝑘 2 Sendo k um número inteiro divisor par de 𝑡² 2 . OBERVAÇÃO 2: Caso r seja um número ímpar é possível mostrar que a equação só admite uma solução, dada por: 𝑛 = 𝑡²−1 2 e 𝑚 = 𝑡²+1 2 . EXEMPLO 2: Obter triângulos pitagóricos para t = 18 e t = 31. Solução: Calculando o valor de 𝑡² 2 , encontramos: 18² 2 = 162 D(162) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162} Para k = 2: n = 162 2 − 2 2 = 81 − 1 = 80 Verificação: 802 + 18² = 6724 = 822 => 𝟖𝟎 𝟐 + 𝟏𝟖² = 𝟖𝟐 𝟐 Para k = 6: n = 162 6 − 6 2 = 27 − 3 = 24 Verificação: 242 + 18² = 900 = 302 => 𝟐𝟒 𝟐 + 𝟏𝟖² = 𝟑𝟎 𝟐 Para k = 18: n = 162 18 − 18 2 = 9 − 9 = 0 Neste caso, não formamos um triangulo, pois um de seus lados é nulo. Os demais valores de k oferecem soluções negativas para n, o que não convém para nós neste caso. Considerando t = 31, sendo um número ímpar, só teremos um triângulo pitagórico possível. O valor de n e m serão: 𝑛 = 31² − 1 2 = 480 𝑚 = 31² + 1 2 = 481 Logo, o triângulo pitagórico será: 𝟒𝟖𝟎 𝟐 + 𝟑𝟏² = 𝟒𝟖𝟏 𝟐