1+1=2

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1+1=2

  1. 1. 1+1=2 Rodrigo Thiago Passos Silva rodrigo thiagops@msn.com A express˜o matem´tica do t´ a a ıtulo ´ equivalente a e z ∞ T −1 −1 T 1 2 2 cosh x 1 − tanh2 x ln lim A − A !+ + sin ρ + cos ρ = (1) z→∞ z n=0 2n ıvel, tal que A ∈ Mm (R) e ∀ρ, x ∈ R.onde A ´ uma matriz invert´ e1 Desenvolvendo a primeira parcela... Sabemos que ln e = 1.Demonstra¸˜o 1.1 Temos, pela defini¸˜o de logaritmo ca ca ln e = loge e = 1 ⇒ e1 = e ⇒ e = e. 1 z Sabemos tamb´m que e = limz→∞ 1 + e z . 1 zDemonstra¸˜o 1.2 Seja a fun¸˜o f (z) = 1 + z . Calculemos o valor de f para valores de ca caz arbitrariamente grandes f (105 ) = 2, 7181459 f (106 ) = 2, 718204 f (107 ) = 2, 7182816 f (108 ) = 2, 7182818 f (109 ) = 2, 7182818Concluimos, portanto, que para valores suficientemente grandes de z a fun¸˜o f converge para ca ao n´mero 2, 7182818, que ´ igual ao n´mero de Euler (e) at´ a 7 casa decimal. Com 15 casas u e u edecimais, e = 2, 718281828459045. T −1 Mas, (A−1 ) = AT , para qualquer matriz A invert´ ıvel. Ou seja, a matriz transposta da −1 T −1inversa ´ igual a matriz inversa da transposta. Ent˜o (A ) − AT e ` a = 0.Demonstra¸˜o 1.3 Seja A uma matriz invert´vel tal que A ∈ Mm (R). Sua transposta ser´ ca ı ainvert´ ıvel, pela defini¸˜o de matriz inversa, se e somente se ca AT (A−1 )T = (A−1 )T AT = I (2)onde I ´ a matriz identidade. eQueremos demonstrar que se AT ´ invert´vel ent˜o e ı a T −1 A−1 = AT (3) 1
  2. 2. Multiplicando ambos os lados de (3) por AT , temos T −1 AT A−1 = AT AT TMas, por hip´tese (eq. 2), AT (A−1 ) = I e, pela propriedade do elemento inverso da multi- o −1plica¸˜o (A−1 A = I), AT AT ca = I. Logo, o lado esquerdo ´ igual ao lado direito, como se equer demonstrar. T −1 Por defini¸ao 0! = 1, ent˜o (A−1 ) − AT c˜ a ! = 1. Com as igualdades apresentadas acima temos, ent˜o a z z 1 −1 T T −1 1 ln e = ln lim 1+ = ln lim A − A !+ =1 (4) z→∞ z z→∞ z2 Desenvolvendo a segunda parcela... sin2 ρ + cos2 ρ = 1 ´ uma importante igualdade trigonom´trica. e eDemonstra¸˜o 2.1 O conjunto de pontos C = {(cos ρ, sin ρ), ρ ∈ R} forma, no plano carte- casiano ortogonal, uma circunferˆncia de raio unit´rio. Sendo P ∈ C; Q = (cos ρ, 0) a proje¸˜o e a caortogonal de P sobre o eixo das abscissas e O a origem do plano, teremos que OP Q ´ um etriˆngulo retˆngulo com ˆngulo reto no v´rtice Q. a a a eSendo assim, pelo teorema de pit´goras, teremos, a 2 2 2 OP = OQ + QP .Mas, OP = 1, pois ´ o raio da circunferˆncia; OQ = cos ρ e QP = sin ρ. Logo, e e 1 = cos2 ρ + sin2 ρ (5)Como cos2 ρ+sin2 ρ = | cos ρ|2 +| sin ρ|2 a rela¸˜o ´ v´lida para qualquer P ∈ C pois | cos ρ|| sin ρ| > ca e a0.3 Desenvolvendo o lado direito... Primeiramente, mostraremos que cosh x 1 − tanh2 x = 1 sabendo que sinh x, cosh x etanh x s˜o fun¸oes hiperb´licas definidas como a c˜ o ex − e−x ex + e−x sinh x sinh x = cosh x = tanh x = (6) 2 2 cosh xDemonstra¸˜o 3.1 Pela defini¸˜o dada em (6) ca ca 2 2 ex −e−x 2 sinh x 2 1 − tanh x = 1 − =1− ex +e−x = cosh x 2 2 2 2 (ex − e−x ) (ex + e−x ) − (ex − e−x ) =1− = = (ex + e−x )2 (ex + e−x )2 e2x + 2ex e−x + e−2x − e2x + 2ex e−x − e−2x 4ex e−x 4 = 2 = 2 = (ex + e−x ) (ex + e−x ) (ex + e−x )2 2
  3. 3. Ent˜o, a 4 2 1 − tanh2 x = = x (ex +e −x )2 (e + e−x )Logo, ex + e−x 2 cosh x 1 − tanh2 x = · x =1 (7) 2 (e + e−x ) ∞ 1Para que a igualdade seja verdadeira deveremos ter = 2. n=0 2nDemonstra¸˜o 3.2 Reescrevendo o somat´rio ca o ∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 n = 0 + 1 + 2 + 3 + ··· = 1 + + + + ··· n=0 2 2 2 2 2 2 4 8 1Os termos do somat´rio formam uma progress˜o geom´trica de raz˜o q = o a e a 2 e termo inicialu1 = 1. A soma dos infinitos termos de uma PG ´ dada por e u1 S∞ = (8) 1−qLogo, 1 1 S∞ = 1 = 1 = 2. 1− 2 2 ∞ cosh x 1 − tanh2 x Assim, claramente, = 2. n=0 2n 3

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