1) A expressão matemática do título é equivalente a 1. Isto é demonstrado através de propriedades de limites e de matrizes invertíveis. 2) A igualdade trigonométrica sen2ρ + cos2ρ = 1 é demonstrada usando o Teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo formado por pontos de uma circunferência. 3) É mostrado que a expressão cosh x(1 - tanh2x) é igual a 1, definindo funções hiperbólicas e reduzindo a uma progressão

1. 1+1=2
Rodrigo Thiago Passos Silva
rodrigo thiagops@msn.com
A express˜o matem´tica do t´
a a ıtulo ´ equivalente a
e
z ∞
T −1 −1 T 1 2 2 cosh x 1 − tanh2 x
ln lim A − A !+ + sin ρ + cos ρ = (1)
z→∞ z n=0
2n
ıvel, tal que A ∈ Mm (R) e ∀ρ, x ∈ R.
onde A ´ uma matriz invert´
e
1 Desenvolvendo a primeira parcela...
Sabemos que ln e = 1.
Demonstra¸˜o 1.1 Temos, pela defini¸˜o de logaritmo
ca ca
ln e = loge e = 1 ⇒ e1 = e ⇒ e = e.
1 z
Sabemos tamb´m que e = limz→∞ 1 +
e z
.
1 z
Demonstra¸˜o 1.2 Seja a fun¸˜o f (z) = 1 + z . Calculemos o valor de f para valores de
ca ca
z arbitrariamente grandes
f (105 ) = 2, 7181459
f (106 ) = 2, 718204
f (107 ) = 2, 7182816
f (108 ) = 2, 7182818
f (109 ) = 2, 7182818
Concluimos, portanto, que para valores suficientemente grandes de z a fun¸˜o f converge para
ca
a
o n´mero 2, 7182818, que ´ igual ao n´mero de Euler (e) at´ a 7 casa decimal. Com 15 casas
u e u e
decimais, e = 2, 718281828459045.
T −1
Mas, (A−1 ) = AT , para qualquer matriz A invert´
ıvel. Ou seja, a matriz transposta da
−1 T −1
inversa ´ igual a matriz inversa da transposta. Ent˜o (A ) − AT
e ` a = 0.
Demonstra¸˜o 1.3 Seja A uma matriz invert´vel tal que A ∈ Mm (R). Sua transposta ser´
ca ı a
invert´
ıvel, pela defini¸˜o de matriz inversa, se e somente se
ca
AT (A−1 )T = (A−1 )T AT = I (2)
onde I ´ a matriz identidade.
e
Queremos demonstrar que se AT ´ invert´vel ent˜o
e ı a
T −1
A−1 = AT (3)
1

2. Multiplicando ambos os lados de (3) por AT , temos
T −1
AT A−1 = AT AT
T
Mas, por hip´tese (eq. 2), AT (A−1 ) = I e, pela propriedade do elemento inverso da multi-
o
−1
plica¸˜o (A−1 A = I), AT AT
ca = I. Logo, o lado esquerdo ´ igual ao lado direito, como se
e
quer demonstrar.
T −1
Por defini¸ao 0! = 1, ent˜o (A−1 ) − AT
c˜ a ! = 1.
Com as igualdades apresentadas acima temos, ent˜o
a
z z
1 −1 T T −1 1
ln e = ln lim 1+ = ln lim A − A !+ =1 (4)
z→∞ z z→∞ z
2 Desenvolvendo a segunda parcela...
sin2 ρ + cos2 ρ = 1 ´ uma importante igualdade trigonom´trica.
e e
Demonstra¸˜o 2.1 O conjunto de pontos C = {(cos ρ, sin ρ), ρ ∈ R} forma, no plano carte-
ca
siano ortogonal, uma circunferˆncia de raio unit´rio. Sendo P ∈ C; Q = (cos ρ, 0) a proje¸˜o
e a ca
ortogonal de P sobre o eixo das abscissas e O a origem do plano, teremos que OP Q ´ um e
triˆngulo retˆngulo com ˆngulo reto no v´rtice Q.
a a a e
Sendo assim, pelo teorema de pit´goras, teremos,
a
2 2 2
OP = OQ + QP .
Mas, OP = 1, pois ´ o raio da circunferˆncia; OQ = cos ρ e QP = sin ρ. Logo,
e e
1 = cos2 ρ + sin2 ρ (5)
Como cos2 ρ+sin2 ρ = | cos ρ|2 +| sin ρ|2 a rela¸˜o ´ v´lida para qualquer P ∈ C pois | cos ρ|| sin ρ| >
ca e a
0.
3 Desenvolvendo o lado direito...
Primeiramente, mostraremos que cosh x 1 − tanh2 x = 1 sabendo que sinh x, cosh x e
tanh x s˜o fun¸oes hiperb´licas definidas como
a c˜ o
ex − e−x ex + e−x sinh x
sinh x = cosh x = tanh x = (6)
2 2 cosh x
Demonstra¸˜o 3.1 Pela defini¸˜o dada em (6)
ca ca
2
2 ex −e−x
2 sinh x 2
1 − tanh x = 1 − =1− ex +e−x
=
cosh x 2
2 2 2
(ex − e−x ) (ex + e−x ) − (ex − e−x )
=1− = =
(ex + e−x )2 (ex + e−x )2
e2x + 2ex e−x + e−2x − e2x + 2ex e−x − e−2x 4ex e−x 4
= 2 = 2 =
(ex + e−x ) (ex + e−x ) (ex + e−x )2
2

3. Ent˜o,
a
4 2
1 − tanh2 x = = x
(ex +e −x )2 (e + e−x )
Logo,
ex + e−x 2
cosh x 1 − tanh2 x = · x =1 (7)
2 (e + e−x )
∞
1
Para que a igualdade seja verdadeira deveremos ter = 2.
n=0
2n
Demonstra¸˜o 3.2 Reescrevendo o somat´rio
ca o
∞
1 1 1 1 1 1 1 1
n
= 0 + 1 + 2 + 3 + ··· = 1 + + + + ···
n=0
2 2 2 2 2 2 4 8
1
Os termos do somat´rio formam uma progress˜o geom´trica de raz˜o q =
o a e a 2
e termo inicial
u1 = 1. A soma dos infinitos termos de uma PG ´ dada por
e
u1
S∞ = (8)
1−q
Logo,
1 1
S∞ = 1 = 1 = 2.
1− 2 2
∞
cosh x 1 − tanh2 x
Assim, claramente, = 2.
n=0
2n
3