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FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA A
11.º Ano
Miguel Fernandes
1. Considera a circunferência definida pela equação (𝑥 − 1)2
+ (𝑦 − 2)2
= 4.
1.1. Identifica as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência.
1.2. Justifica que o ponto de coordenadas (2, 2 + √3) pertence à circunferência.
1.3. Define, através de uma equação, a reta que é tangente (isto é, interseta num único ponto) à circunferência
no ponto de coordenadas (2, 2 + √3).
1.4. Existe alguma reta paralela à da alínea anterior e que também seja tangente à circunferência? Se sim,
identifica o ponto de tangência.
1.5. Determina as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência dada com a circunferência definida
por (𝑥 − 2)2
+ (𝑦 − 4)2
= 4.
2. Considera as retas definidas por 𝑦 = 𝑥 + 1 e 𝑦 = 𝑥 + 3.
2.1. Justifica que as retas são paralelas.
2.2. Define, através de uma condição, uma circunferência que seja tangente às duas retas.
3. Considera, no espaço, os pontos de coordenadas 𝐴(0, 2, −1) e 𝐵(1, −3, 1).
3.1. Define, através de uma equação cartesiana, o plano mediador do segmento [𝐴𝐵].
3.2. Determina a equação que define a esfera de diâmetro [𝐴𝐵].
3.3. Qual a figura que resulta da interseção dos lugares geométricos das alíneas anteriores? Determina a área
dessa figura.
3.4. Considera um plano paralelo ao plano mediador da alínea 3.1. e cuja distância que os separa é 1 unidade.
Determina a área da interseção desse plano com a esfera.
4. Considera a circunferência definida por 𝑥2
+ 𝑦2
+ 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0.
4.1. Identifica as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência.
4.2. Indica as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência com a reta de equação 𝑦 = −𝑥 + 1.
4.3. Determina o comprimento da linha {𝑥2
+ 𝑦2
+ 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 ∧ 𝑦 ≤ −𝑥 + 1}.
5. Seja 𝑘 um número positivo.
Considera a superfície esférica definida por 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
− 2𝑥 + 𝑘𝑦 + 1 = 0.
Sabendo que a distância do centro da circunferência à origem é igual a 8 unidades, determina as coordenadas
do centro e a medida do raio da superfície esférica.
6. Considera um cubo centrado na origem de um referencial 𝑂𝑥𝑦𝑧 e medida da aresta 5.
Define, através de uma condição, a esfera circunscrita a esse cubo.
7. Determine o volume do seguinte lugar geométrico de pontos no espaço { 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
≤ 4 ∧ 𝑦2
≤ 𝑥2}.
Na resolução de determinados itens, poderá ser útil relembrar que:
Volume da esfera:
4𝜋𝑟3
3
Fórmulas da trigonometria no triângulo retângulo:
cos 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
sen 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
tan 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
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Ficha de trabalho 11ano- lugares geométricos

  • 1. FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA A 11.º Ano Miguel Fernandes 1. Considera a circunferência definida pela equação (𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 4. 1.1. Identifica as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência. 1.2. Justifica que o ponto de coordenadas (2, 2 + √3) pertence à circunferência. 1.3. Define, através de uma equação, a reta que é tangente (isto é, interseta num único ponto) à circunferência no ponto de coordenadas (2, 2 + √3). 1.4. Existe alguma reta paralela à da alínea anterior e que também seja tangente à circunferência? Se sim, identifica o ponto de tangência. 1.5. Determina as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência dada com a circunferência definida por (𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 4)2 = 4. 2. Considera as retas definidas por 𝑦 = 𝑥 + 1 e 𝑦 = 𝑥 + 3. 2.1. Justifica que as retas são paralelas. 2.2. Define, através de uma condição, uma circunferência que seja tangente às duas retas. 3. Considera, no espaço, os pontos de coordenadas 𝐴(0, 2, −1) e 𝐵(1, −3, 1). 3.1. Define, através de uma equação cartesiana, o plano mediador do segmento [𝐴𝐵]. 3.2. Determina a equação que define a esfera de diâmetro [𝐴𝐵]. 3.3. Qual a figura que resulta da interseção dos lugares geométricos das alíneas anteriores? Determina a área dessa figura. 3.4. Considera um plano paralelo ao plano mediador da alínea 3.1. e cuja distância que os separa é 1 unidade. Determina a área da interseção desse plano com a esfera. 4. Considera a circunferência definida por 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0. 4.1. Identifica as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência. 4.2. Indica as coordenadas dos pontos de interseção da circunferência com a reta de equação 𝑦 = −𝑥 + 1. 4.3. Determina o comprimento da linha {𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 ∧ 𝑦 ≤ −𝑥 + 1}. 5. Seja 𝑘 um número positivo. Considera a superfície esférica definida por 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥 + 𝑘𝑦 + 1 = 0. Sabendo que a distância do centro da circunferência à origem é igual a 8 unidades, determina as coordenadas do centro e a medida do raio da superfície esférica. 6. Considera um cubo centrado na origem de um referencial 𝑂𝑥𝑦𝑧 e medida da aresta 5. Define, através de uma condição, a esfera circunscrita a esse cubo. 7. Determine o volume do seguinte lugar geométrico de pontos no espaço { 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4 ∧ 𝑦2 ≤ 𝑥2}. Na resolução de determinados itens, poderá ser útil relembrar que: Volume da esfera: 4𝜋𝑟3 3 Fórmulas da trigonometria no triângulo retângulo: cos 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 sen 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 tan 𝛼 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒