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Interseção de uma reta com Cones, Cilindros e Esferas

Geometria Descritiva

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GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
Interseção de retas com Sólidos
_Cones, Cilindros e Esferas
11º Ano
E@D
Interseção de uma Reta com um Sólidos - Cones
GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
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A interseção de uma reta com o
Cone é o segmento de reta [XY].
Ou seja, os pontos designados por
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pontos de interseção da reta com
o sólido.
s
Y
Excetuando algumas situações
particulares, nos problemas de
interseção de uma retas com cone
não é aconselhável utilizar como
plano auxiliar um dos o planos
projetantes da reta.
Assim deve recorrer-se a um
plano auxiliar que produza no
cone uma secção triangular. Para
que tal possa acontecer esse
plano contém a reta e o vértice
Método geral para determinar a Interseção de uma Reta com um Cone
GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
1. Definir um plano auxiliar que contenha
a reta dada e o vértice do cone – este
plano produzirá uma secção triangular no
sólido, sendo o vértice do cone um dos
vértices do triângulo. Assim, por um ponto P de s
traçar uma reta p que contenha o vértice do cone V ou
que contenha V e seja paralela a s;
V
p
i
N
α
s
I
g’
Y
g
I’
P
X
M
2. Determinar a reta i de interseção do plano
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determina-se o ponto de intersecção da reta s com o
plano da base do cone – o ponto I, e, determina-se o
ponto de intersecção da reta p com o plano da base do
cone – o ponto I’, a reta i fica definida pelos pontos I e I’;
4. Os pontos de interseção da reta dada com
figura da secção [MVN] – pontos X e Y são
os pontos de entrada e de saída da reta
dada no sólido.
3. A reta i intersecta a circunferência que
limita a base do cone em dois pontos M e
N – estes serão os outros dois vértices do triângulo
da secção [MVN].
Método geral para determinar a Interseção de uma Reta com um - Cone
GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
Exercício_1
Determine as projeções dos pontos X
e Y, resultantes da interseção da reta
r com o cone de revolução e base
contida num plano frontal, sabendo
que:
– o ponto O (0; 2; 4) é o centro da
base que é tangente ao plano
horizontal de projeção;
– o cone tem 7 cm de altura;
– a reta r contém o ponto R (0; 5; 6)
e é paralela ao β2.4;
– a projeção horizontal da reta r faz
um ângulo de 30º, de abertura
para a direita, com o eixo x.
X
O2
O1
V1
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I’1
(hϕ)
P2
r2
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Método geral para determinar a Interseção de uma Reta com um - Cone
GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
Exercício_2
É dado um cone obliquo, situado no
1º Diedro e com a base contida no
Plano Frontal de Projeção.
– O (3; 0; 4) é o centro da
circunferência que limita a base,
que tem 3,5 cm de raio.
– V (–2; 7; 7) é o vértice do cone.
– É dada uma reta r, oblíqua, que
contém o ponto T (5; 4; 5). A reta
r é paralela ao β1.3 e a sua
projeção frontal faz um ângulo de
30º (a.e.) com o eixo X.
Determine as projeções dos pontos
de intersecção da reta com o sólido e
assinale convenientemente as
visibilidades/invisibilidades da reta.
Método geral para determinar a Interseção de uma Reta com um - Cone
GEOMETRIA
DESCRITIVA-A
Exercício_3
É dado um cone reto situado no 1º
Diedro e com a base contida no plano
XY (ν0).
– o cone tem 6 cm de altura e a sua
base tem 3 cm de raio;
– o centro da base é o ponto O (0;
4; 0).
– é dada ainda uma reta horizontal
(de nível) h que contém o ponto A
(– 4; 7; 3) e que faz um ângulo de
45º (a.d.) com o plano XZ (ϕ0).
Determine os pontos E e S,
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Interseção de uma reta com Cones, Cilindros e Esferas

  • 1. GEOMETRIA DESCRITIVA-A Interseção de retas com Sólidos _Cones, Cilindros e Esferas 11º Ano E@D
  • 2. Interseção de uma Reta com um Sólidos - Cones GEOMETRIA DESCRITIVA-A V X A interseção de uma reta com o Cone é o segmento de reta [XY]. Ou seja, os pontos designados por X e Y, que correspondem aos pontos de interseção da reta com o sólido. s Y Excetuando algumas situações particulares, nos problemas de interseção de uma retas com cone não é aconselhável utilizar como plano auxiliar um dos o planos projetantes da reta. Assim deve recorrer-se a um plano auxiliar que produza no cone uma secção triangular. Para que tal possa acontecer esse plano contém a reta e o vértice
  • 3. Método geral para determinar a Interseção de uma Reta com um Cone GEOMETRIA DESCRITIVA-A 1. Definir um plano auxiliar que contenha a reta dada e o vértice do cone – este plano produzirá uma secção triangular no sólido, sendo o vértice do cone um dos vértices do triângulo. Assim, por um ponto P de s traçar uma reta p que contenha o vértice do cone V ou que contenha V e seja paralela a s; V p i N α s I g’ Y g I’ P X M 2. Determinar a reta i de interseção do plano auxiliar com o plano da base do cone. Para tal determina-se o ponto de intersecção da reta s com o plano da base do cone – o ponto I, e, determina-se o ponto de intersecção da reta p com o plano da base do cone – o ponto I’, a reta i fica definida pelos pontos I e I’; 4. Os pontos de interseção da reta dada com figura da secção [MVN] – pontos X e Y são os pontos de entrada e de saída da reta dada no sólido. 3. A reta i intersecta a circunferência que limita a base do cone em dois pontos M e N – estes serão os outros dois vértices do triângulo da secção [MVN].
  • 4. Método geral para determinar a Interseção de uma Reta com um - Cone GEOMETRIA DESCRITIVA-A Exercício_1 Determine as projeções dos pontos X e Y, resultantes da interseção da reta r com o cone de revolução e base contida num plano frontal, sabendo que: – o ponto O (0; 2; 4) é o centro da base que é tangente ao plano horizontal de projeção; – o cone tem 7 cm de altura; – a reta r contém o ponto R (0; 5; 6) e é paralela ao β2.4; – a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o eixo x. X O2 O1 V1 ≡V2 I’1 (hϕ) P2 r2 P1 s2 s1 r1 I’2 R2 N2 M2 i2 I2 I1 X1 Y1 M1 N1 R1 Y2 X2 ≡i1 P + V = s I + I’= i ꓵ de r com [VM]= X ꓵ de r com [VN]= Y
  • 5. Método geral para determinar a Interseção de uma Reta com um - Cone GEOMETRIA DESCRITIVA-A Exercício_2 É dado um cone obliquo, situado no 1º Diedro e com a base contida no Plano Frontal de Projeção. – O (3; 0; 4) é o centro da circunferência que limita a base, que tem 3,5 cm de raio. – V (–2; 7; 7) é o vértice do cone. – É dada uma reta r, oblíqua, que contém o ponto T (5; 4; 5). A reta r é paralela ao β1.3 e a sua projeção frontal faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo X. Determine as projeções dos pontos de intersecção da reta com o sólido e assinale convenientemente as visibilidades/invisibilidades da reta.
  • 6. Método geral para determinar a Interseção de uma Reta com um - Cone GEOMETRIA DESCRITIVA-A Exercício_3 É dado um cone reto situado no 1º Diedro e com a base contida no plano XY (ν0). – o cone tem 6 cm de altura e a sua base tem 3 cm de raio; – o centro da base é o ponto O (0; 4; 0). – é dada ainda uma reta horizontal (de nível) h que contém o ponto A (– 4; 7; 3) e que faz um ângulo de 45º (a.d.) com o plano XZ (ϕ0). Determine os pontos E e S, respetivamente, pontos de entrada e de saída da reta h, no sólido e assinale convenientemente as visibilidades/invisibilidades da reta.
  • 7. A interseção de uma reta com um Cilindro é o segmento de reta [XY]. Ou seja, os pontos designados por X e Y, que correspondem aos pontos de interseção da reta com o sólido. À semelhança dos cones também no caso dos cilindros é fundamental que escolha do um plano auxiliar que produza uma secção de construção rigorosa. Interseção de uma Reta com um Cilindro GEOMETRIA DESCRITIVA-A Assim o plano auxiliar deve produzir no cilindro uma circunferência ou paralelogramo. N M M’ N’ e g X Y g’ r
  • 8. GEOMETRIA DESCRITIVA-A i N I I’ M M’ N’ p e g Y r 1. Definir um plano auxiliar que contenha a reta dada e a direção do eixo do cilindro (direção das geratrizes) – a secção que este plano produzirá no sólido será um paralelogramo. Assim, por um ponto P de r traçar uma reta p paralela ao eixo e; 2. Determinar a reta i de interseção do plano auxiliar com o plano de uma das bases do cilindro. Para tal determina-se o ponto de intersecção da reta r com o plano da base – o ponto I, e, determina- se o ponto de intersecção da reta p com o plano da base do cilindro – o ponto I’. A reta i fica definida pelos pontos I e I’; 4. Os pontos de interseção da reta dada com figura da secção [MM´NN’] – pontos X e Y são os pontos de entrada e de saída da reta dada no cilindro. 3. A reta i intersecta a circunferência que limita a base do cilindro em dois pontos M e N – estes serão dois vértices do paralelogramo (figura da secção) e pelas geratrizes correspondestes [MM’NN’]. P α g’ X Método geral para determinar a Interseção de uma Reta com um - Cilindro
  • 9. X GEOMETRIA DESCRITIVA-A Exercício_1 Determine as projeções dos pontos X e Y, resultantes da interseção da reta r com o cilindro de revolução, sabendo que: – as bases do cilindro têm 4 cm de raio e estão contidas em planos horizontais; – o ponto O (–1; 6; 2) é o centro da base de menor cota; – o centro da outra base pertence ao bissetor dos diedros impares; – a reta r contém o ponto A (1; 5; 4) e B do eixo x, com 7 cm de abcissa. (fν) (f’ν) O1 r2 M1 N1≡N’1 ≡M’1 M’2 N’2 N2 M2 A1 A2 X2 Y2 P1 X1≡ Y1 O2 O’2 ≡O’1 B2≡B1 (p1)≡ p2 I’1≡ I’2 P2 I2 I1 r1≡i1 ≡i2 P + // [OO’] = p ꓵ de r c/. (fν) = I ꓵ de r2 c/. [M’2N’2] = Y2 ꓵ de r2 c/. [M’2M2] = X2 ꓵ de p c/. (fν) = I’ Interseção de uma Reta com um Cilindro I + I’ = i
  • 10. GEOMETRIA DESCRITIVA-A Exercício_2 É dado um cilindro oblíquo, situado no 1º Diedro e com 8 cm de altura. Uma das bases está contida no Plano Horizontal de Projeção, é tangente ao Plano Frontal de Projeção e o seu centro é o ponto O (2; 3; 0). As projeções do eixo do cilindro fazem, com o eixo X, ângulos de 70º (a.d.) e 30º (a.d.), respetivamente a projeção frontal e a horizontal. Determine as projeções dos pontos E e S de entrada e de saída de uma reta f, frontal, no sólido, sabendo que f contém o ponto A (–3; 5; 2) e faz, com o plano XY (ν0), um ângulo de 30º (a.e.). Assinale as invisibilidades da reta. Interseção de uma Reta com um Cilindro
  • 11. A interseção de uma reta com uma Esfera é o segmento de reta [XY]. Ou seja, os pontos designados por X e Y, que correspondem aos pontos de interseção da reta com o sólido. Contudo, é bastante mais simples do que nas situações anteriores. Interseção de uma Reta com uma Esfera GEOMETRIA DESCRITIVA-A Assim, na resolução de problemas de intersecção de retas com esferas é basta ter sempre presente que qualquer plano secante à esfera secciona o sólido segundo uma circunferência. r X Y O
  • 12. X GEOMETRIA DESCRITIVA-A Exercício_1 Determine as projeções dos pontos X e Y, resultantes da interseção da reta de topo t com uma esfera, sabendo que: – os pontos C (3; 4; 5) e D (–1,5; 2; 5) pertencem à circunferência máxima horizontal da esfera; – a esfera tem 4 cm de raio; – a reta t tem 1 cm de abcissa e 7,5 cm de cota. (fν) N2 N1 Y1 Q2 O2 O1 X2 (t2)≡ t1 Interseção de uma Reta com um Cilindro D1 C1 C2 X1 ≡Y2 D2 ≡Q1
  • 13. X GEOMETRIA DESCRITIVA-A Exercício_2 Determine as projeções dos pontos X e Y, de interseção da reta r com uma esfera, sabendo que: – a esfera tem 4 cm de raio e é tangente aos planos horizontal e frontal e projeção; – o centro da esfera tem 2 cm de abcissa; – a reta r pertence ao bissetor dos diedros impares e interseta o eixo x num ponto com –3 cm de abcissa; – a projeção horizontal da reta r define um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo x. Interseção de uma Reta com um Cilindro O2 O1 r2 A2 X2 Q2 Y2 R2 Q1 Y1 X1 R1 A1 r1≡hδ r4 X4 R4 Q4 Y4 1 2 fδ A4
  • 14. GEOMETRIA DESCRITIVA-A Exercício_3 Determine as projeções dos pontos X e Y, de interseção da reta de perfil p com uma esfera, sabendo que: – o ponto O (2; 4; 5) é o centro da esfera; – a esfera é tangente a ao plano frontal de projeção; – a reta p é definida pelo ponto R (0; 5; 3,5) e pelo seu traço horizontal com 9 cm de afastamento. Interseção de uma Reta com um Cilindro