Este documento apresenta um plano de ensino para o curso de Cálculo Diferencial e Integral. Ele descreve os objetivos do curso, que são fornecer ferramentas matemáticas para interpretar a natureza, desenvolver habilidades para a vida profissional e aprender conceitos matemáticos. Também descreve o sistema de avaliação e fornece uma bibliografia de referência.

1. Profa. Roseli Camargo da Silva de Paula
2012
1

2. Responsabilidade é saber que cada um de meus atos vai me construindo, vai me definindo, vai me
inventando. Ao escolher o que quero fazer vou me transformando pouco a pouco.
(Savater, 1998, p. 111).
PLANO DE ENSINO
Ementa: Funções vetoriais; Funções de várias variáveis; Funções diferenciáveis; Funções
integráveis; Aplicações.
Objetivos
Fornecer as ferramentas matemáticas necessárias para que o aluno possa interpretar
corretamente a Natureza. Criar habilidades matemáticas para utilização na vida profissional. Obter
conceitos matemáticos e raciocínio lógico para situações do dia a dia. Aprender a usar noções de
Cálculo Diferencial como forte ferramenta de trabalho.
Ao final do curso o aluno deve ser capaz de:
- Compreender e generalizar os conceitos do cálculo diferencial e integral para funções com
mais de uma variável;
- Desenvolver as propriedades de funções de várias variáveis;
- Construir gráficos de funções de várias variáveis;
- Calcular derivadas parciais utilizando as técnicas desenvolvidas;
- Resolver problemas com funções vetoriais;
- Aplicar os conceitos na resolução de problemas físicos.
Sistema de avaliação
-Serão realizadas 3 avaliações individuais (P1, P2, P3), com peso 3 cada uma, de acordo com
calendário pré-estabelecido com os alunos, cuja nota será de 0 a 10.
-A participação do aluno será avaliada através de listas de exercícios (E) e “chamada oral” durante
as aulas, e terá peso 1 na média final.
-Além disso, haverá prova substitutiva, cuja nota substituirá a menor nota entre as 3 provas, com o
conteúdo da avaliação que obteve a menor nota.
-Assim, a média final (MF) será obtida pela equação: MF =
10
.3.3.3 321 EPPP +++
Se MF for maior ou igual do que 6,0 e frequência mínima de 75%, o aluno estará aprovado.
Bibliografia
1) HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo de Várias Variáveis. São Paulo: Edgard
Blücher, 1999.
2) GUIDORIZZI, H. L.Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC.5 ª edição. v.1
----.-----. Rio de Janeiro: LTC 5ª edição. v. 2.
3) LEITHOLD, L. O Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra. 1994 v.1.
-----. -----. São Paulo: Harbra. v.2.
4) SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron Books.1994. v.1.
----.----. São Paulo: Makron Books.1994. v.2
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2

3. OS ESPAÇOS |Rn
O PLANO |R2
|R2
é o conjunto dos pares ordenados (x, y) de números reais. Da Geometria analítica, sabemos
que se fixando um sistema de coordenadas cartesianas num plano, por meio de dois eixos
perpendiculares entre si, estabelecemos uma correspondência um-a-um entre os pontos do plano
e os pares ordenados de números reais.
CONCEITOS RELATIVOS AO PLANO |R2
Distância Entre Dois Pontos
Se A =(x1, y1) e B = ( x2, y2) são dois pontos de |R2
, a distância entre A e B é dada por:
d =dist(A, B) = 2
12
2
12 )y(y)x(x −+−
Exemplo: Calcule a distância entre os pontos A = (1,2) e B = (-1,-3).
d =dist(A, B) = 22
2)-(-31)-(-1 + = 254 + = 29 .
Curvas De |R2
Representam-se as curvas planas de duas maneiras:
1) Pela equação cartesiana F(x, y) = 0.
2) Por equações paramétricas, da forma x = x(t) e y = y(t), t em |R.
A curva mais simples é a reta, sendo a sua equação geral da forma A x + B y + C=0, onde A2
+B2
≠ 0. Na forma paramétrica a reta é dada por x = x(t) = a1 +b1 t e y = y(t) =a2 + b2 t, onde t ∈|R.
A circunferência de centro C = (x0, y0) e raio r > 0 é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano tais
que a dist (P, C) = r. Logo, sua equação é:
2
0
2
0 )()( yyxx −+− =r  (x-x0)2
+ (y – y0)2
= r2
A elipse é uma curva definida como o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois
pontos fixos é constante. Se seus eixos são paralelos aos eixos x e y, sua equação é da forma
2
2
0
2
2
0 )()(
b
yy
a
xx −
+
−
=1, onde (x0 ,y0) é o centro e a e b são respectivamente os semieixos
paralelos aos eixos x e y.
A hipérbole é uma curva definida como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das
distâncias a dois pontos fixos é constante. Se seus eixos são paralelos aos eixos x e y, sua
equação é da forma:
a)
2
2
0
2
2
0 )()(
b
yy
a
xx −
−
−
=1 ou b)
2
2
0 )(
a
yy −
-
2
2
0 )(
b
xx −
=1
A parábola (em x) é uma curva cuja equação é dada por y + ax2
+ b.x + c = 0.
A parábola (em y) é uma curva cuja equação é dada por x + ay2
+ b y + c = 0.
Regiões de |R2
As regiões do plano expressam-se por inequações em x e y tais que como
F(x, y) > 0 , F(x, y) < 0, F(x, y ) ≥ 0 ou F(x, y ) ≤ 0.
As inequações lineares das formas
Ax + By + C > 0; Ax + By + C < 0; Ax + By + C ≥ 0; Ax + By + C ≤ 0,
onde A, B e C são números reais, com A2
+B2
≠ 0 definem semi-planos. Os semi-planos Ax + By
+ C > 0 e Ax + By + C < 0 são ditos abertos e os semi-planos Ax + By + C ≥ 0 e Ax + By + C ≤
0 são ditos fechados. A reta Ax + By + C= 0 chama-se fronteira do semiplano.
3

4. Exemplo: Represente geometricamente o conjunto dos (x, y) tais que x – y +2 > 0.
Denomina-se bola fechada ou círculo fechado de centro C= (x0, y0) e raio r > 0 o conjunto dos
pontos P = (x, y) do plano cuja distância ao centro é menor do que ou igual a r. A equação da bola
fechada é: (x-x0)2
+ (y – y0)2
≤ r2
A bola aberta de centro C= (x0, y0) e raio r > 0 é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano cuja
distância ao centro é estritamente menor do que o raio. A equação da bola aberta é
(x-x0)2
+ (y – y0)2
< r2
A bola aberta chama-se ainda interior da bola fechada. O conjunto dos pontos cuja distância ao
centro é estritamente maior que o raio chama-se exterior da bola fechada. A circunferência chama-
se fronteira da bola fechada ou aberta. A bola fechada contém a fronteira e a bola aberta não.
Exemplo: Reconheça e represente geometricamente as curvas ou regiões do plano definidas por:
a) x2
+ y2
= 4 c) x2
+ y2
< 4 e)x² + y < 4 g) x+y²  4
b) x2
+ y2
> 4 d) x2
- y > 4 f) x2
+ y2
≥ 4
Resolução:
a) x2
+ y2
= 4 2
circunferência de:
centro C=(0,0)
raio r = 24 = -2 2
-2
b) x2
+ y2
> 4 c) x2
+ y2
≥ 4
2
-2 2
-2
d) x2
– y > 4
Fronteira: x² - y = 4 -y = 4-x² y = - 4 +x² parábola passando por -4 + x² = 0  x² = 4 
x =± 2 e y = -4. Teste: (0,0) 0²-0 >4 Falso
a) x2
+ y2
< 4 f) x2
+ y2
≤ 4
2
4

5. -2 2
-2
g) x+y2
≤ 4
x+y² =4 x= 4-y²  parábola passando por y = ± 2 e x = 4
2 (0,0)  0+0² ≤ 4 verdadeiro
4
-2
Seja A um subconjunto não vazio de |R2
e considere um ponto (x0, y0) em A. Dizemos que (x0, y0) é
um ponto interior de A se existir uma bola aberta de centro (x0, y0) contida em A.
Exemplo: A ={(x,y) ∈|R2
| x ≥0, y ≥0}
Todo (x, y) com x>0 e y>0 é ponto interior de A.
Todo (x, y) com x = 0 ou y = 0, não é ponto interior de A.
De fato,
a) Se (x, y) está em A com x>0 e y>0 então a bola aberta de centro (x, y) e raio r = min {x,y} está
contida em A; logo (x, y) é ponto interior de A.
b) Se (x, y) está em A, com x = 0 ou y = 0, então (x, y) não é ponto interior de A, pois A não contém
nenhuma bola de centro (x, y).
O ESPAÇO |R3
Designamos por |R3
o conjunto das ternas ordenadas (x, y, z) de números reais.
A cada ponto do espaço fazemos corresponder uma terna ordenada (x, y, z) de números reais.
Para isso estabelecemos um sistema de coordenadas cartesianas no espaço. Fixamos três eixos,
perpendiculares dois a dois, passando por um ponto comum, a origem do sistema, como três retas
que se interceptam. Os eixos são eixo x ou das abscissas, eixo y ou eixo das ordenadas e eixo z
ou eixo das cotas.
CONCEITOS RELATIVOS AO ESPAÇO |R3
Planos Coordenados: O plano que contém os eixos x e y chama-se plano xy; analogamente, plano
xz é o plano que contém os eixos x e z e yz é o plano que contém os eixos y e z.
Octantes: Os planos coordenados dividem o espaço em oito regiões denominadas octantes.
Primeiro octante é a região em que os pontos têm todas as coordenadas positivas.
Distância entre dois pontos: Se A= (a1, a2, a3) e B = ( b1, b2, b3) são pontos de |R3
então a distância
entre A e b é dada por
d = dist(A, B) = 2
33
2
22
2
11 )()()( ababab −+−+−
SUPERFÍCIES E PLANOS DE |R3
A superfície mais simples do espaço é o plano. A equação do plano é da forma
A x +B y + C z + D = 0
onde A,B,C e D são números reais tais que A,B,C não se anulam simultaneamente.
5

6. Exemplo: Represente geometricamente o plano cuja equação é 2x + 3y + z = 6.
Primeiro, determinamos as interseções do plano com os planos coordenados.
Fazendo z =0 na equação 2x +3y +z = 6, obtemos 2x +3y = 6, que é a equação da reta, interseção
do plano com o plano xy.
Fazendo x = 0 na equação 2x +3y +z = 6, obtemos 3y + z = 6, que é a equação da reta, interseção
do plano com o plano yz.
Fazendo y =0 na equação 2x +3y +z = 6, obtemos 2x + z = 6, que é a equação da reta, interseção
do plano com o plano xz.
A esfera ou superfície esférica de centro C = (x0 , y0 , z0) e raio r >0 é o conjunto dos pontos P = (x,
y, z) do espaço cujas distâncias ao centro C são iguais a r.Logo sua equação é:
2
0
2
0
2
0 )()()( zzyyxx −+−+− = r, ou seja, (x-x0)2
+(y-y0)2
+(z-z0)2
= r2
As quádricas têm equação geral da forma Ax2
+By2
+Cz2
+Dxy+Eyz+Fyz+Gx+Hy+Iz=0
Tendo em vista que esta equação estabelece uma relação entre 3 variáveis com vários parâmetros
ela pode definir diferentes superfícies dependendo da relação entre seus coeficientes.
Regiões São dadas por inequações da forma F(x, y, z)>0, F(x,y,z)<0, F(x,y,z) ≥0 e F(x,y,z) ≤0.
Exemplo: Bolas
A bola fechada de centro C = (x0 , y0 , z0) e raio r >0 é o conjunto dos pontos P = (x, y, z) do espaço
cujas distâncias ao centro C são menores do que ou iguais a r. Logo sua equação é:
(x-x0)2
+(y-y0)2
+(z-z0)2
≤ r2
O interior da bola fechada chama-se bola aberta , expressa-se por:
(x-x0)2
+(y-y0)2
+(z-z0)2
< r2
A fronteira da bola fechada ou aberta é a superfície esférica
(x-x0)2
+(y-y0)2
+(z-z0)2
= r2
Graficamente, é difícil representar as diferenças entre tais bolas. Pode-se imaginar, por analogia
que a bola fechada seja uma “laranja com casca”, a bola aberta uma “laranja sem casca” e a
fronteira da bola seja a “casca da laranja sem o seu interior”.
Resumo:
Curvas são representadas por equações.
1. reta  ax + by + c = 0,
Na prática, reconhecemos uma reta na equação cujos expoentes das variáveis são iguais a 1.
2. circunferência de centro C = (x0, y0) e raio r > 0,(x-x0)2
+ (y-y0)2
= r2
.
Na prática, identificamos a circunferência quando os expoentes de x e y são iguais a 2, os
coeficientes são iguais e o raio é um número positivo.
3. Outras curvas são a elipse, a hipérbole cuja equação tem variáveis com expoente 2, mas os
coeficientes são diferentes e o termo independente é igual a 1.
4. A parábola é reconhecida quando uma das variáveis tem expoente 1 e a outra tem expoente 2.
Para esboçar uma parábola devemos encontrar:
O cruzamento com Ox: encontrando as raízes x’ e x”.
O cruzamento com Oy : y = c.
O vértice V= 




 ∆−−
aa
b
4
,
2
.
Se tivermos uma parábola em x ( y + ax2
+bx+c =0):
6

7. Quando a > 0 a parábola tem concavidade para cima ∪,
Quando a < 0 a parábola tem concavidade para baixo ∩.
Se tivermos uma parábola em y ( x + ay2
+by + c = 0):
Quando a > 0, a parábola tem concavidade para a direita ⊂,
Quando a < 0, a parábola tem concavidade para a esquerda ⊃.
Regiões são representadas por inequações.
1. semiplanos tem como base a reta ax + by + c [ <, ≤, >,≥] 0
2. bola fechada centro C = (x0 , y0) e raio r tem como base a circunferência (x-x0)2
+ (y-y0)2
≤ r2
.
3. bola aberta centro C = (x0 , y0) e raio r tem como base a circunferência  (x-x0)2
+ (y-y0)2
< r2
.
OBS.: A circunferência é a chamada fronteira das bolas.
Exercício: Reconheça e represente geometricamente as curvas ou regiões do plano definidas por:
a) x2
+ y2
= 4 7) x2
+ y2
< 4
b) x2
+ y2
> 4 8) x2
+ y2
≤ 4
c) x2
+ y2
≥ 4 9) –x2
-y2
> 9
d) 2x+3y = 6 10) 2x+3y ≤ 6
e) 2x+3y > 6 11) x-y < 4
f) x2
– y > 4 12) x+y2
≤ 4
FUNÇÕES VETORIAIS
Algumas das coisas que medimos são determinadas por sua magnitude. Para registrar a massa, o
comprimento ou o tempo, por exemplo, precisamos apenas escrever um número e especificar uma
unidade de medida apropriada. Essas medidas são quantidades escalares e os números reais
associados a elas são escalares.
Porém, para descrever uma força, um deslocamento ou uma velocidade, precisamos de mais
informações.
A força é descrita indicando a direção e o sentido onde ela atua, bem como seu tamanho. O
descolamento de um corpo é descrito pela direção e sentido que ele se moveu e pela distância
percorrida. Para descrevermos a velocidade de um corpo, temos que saber para onde o corpo está
indo e também o valor da velocidade do movimento. Essas grandezas são grandezas vetoriais.
São representados por segmentos orientados, onde a seta aponta na direção e o sentido da ação,
e seu comprimento fornece a magnitude da ação em termos de uma unidade adequada escolhida.
O segmento orientado OP tem origem (ponto inicial) O, e extremidade (ponto final) P, seu
comprimento é denotado por | OP |.
Vetores em R²
Identificando (x, y) com o vetor OP e indicando por i e j os vetores a (1,0) e (0, 1).
Temos que OP = x i +y j = (x, y).
7

8. P
O
Sejam u = (x,y) e v = (s,t) elementos de R² e α um escalar, isto é, um número real. Definimos:
A soma: u +v = (x,y) + (s,t)= (x+s, y +t). O produto por escalar: α(x,y) = (αx, αy).
Com essas duas operações, podemos considerar R² um conjunto com estrutura de espaço vetorial
e seus elementos (x, y) são chamados de vetores. O comprimento ou norma de um vetor AB é
dado por |
→
AB | =dist(A, B) = 2
12
2
12 )y(y)x(x −+− .
Dois vetores são iguais se tem o mesmo comprimento, mesmo sentido e mesma direção.
Exemplo: A =(0,0), B = (3,4), C = (-4,2) e D=(-1,6). Mostre que u = AB e v= CD são iguais.
Precisamos mostrar que u e v tem mesmo comprimento, direção e sentido.
|u| = 22
0)-(40)-(3 + =5 e |v| = 22
2)-(6(-4))-(-1 + = 5.
Para calcular o sentido e a direção calculamos o coeficiente angular:
mAB =
3
4
03
04
=
−
−
e mCD =
3
4
)4(1
26
=
−−−
−
.
Como os coeficientes são iguais, temos que os vetores são paralelos, ou seja, tem a mesma
direção. E o sentido é para cima. Logo, os vetores são iguais. u = v.
O vetor nulo é dado por u = (0,0). É o único vetor sem direção e sentido específicos. Quando o
vetor v tem comprimento 1, é chamado de vetor unitário, ou versor, que é dado por v/ |v|.
Se v = (x, y) fizer um ângulo θ com o eixo x positivo, então x = |v|. cos θ e y = |v|. sen θ.
Todo vetor tem seu representante padrão que tem ponto inicial na origem (0,0).
Assim, se u = (x,y) seu comprimento ou norma é dado por |u| = 22
yx + . E para determinar a
direção do vetor temos que calcular o seu versor.
Exemplo: Calcule direção e a velocidade do movimento, de um objeto, representado pelo vetor v =
(3, -4).
8

9. |v|= 54(-3) 22
=+ é o comprimento. E
|| v
v
= 




 −
=
−
5
4
,
5
3
5
)4,3(
é o versor que caracteriza a
direção do vetor v.
Operação entre dois vetores:
O produto escalar: u.v = (x,y) . (s,t)= x.s+ y.t
Exemplo: Calcule o produto escalar entre u = (2,3) e v = (5,4) .
u.v = 2.5+3.4 = 22
O ângulo entre dois vetores não nulos u e v é dado por θ = arccos 





||.||
.
vu
vu
.
Assim, temos que se u.v = 0 então u e v são vetores perpendiculares ou ortogonais.
Função de uma variável real a valores em |R2
Uma função de uma variável real a valores em |R2
é uma função F: A→|R2
, onde A é um
subconjunto de |R. Uma tal função associa a cada real t∈A, um único vetor F(t) ∈|R2
. O conjunto A
é o domínio de F, DF, constituído de um intervalo ou reunião de intervalos.
O conjunto Im F ={F(t) ∈ |R2
| t∈DF} é a imagem ou trajetória de F. A imagem é o lugar geométrico,
em |R2
, descrito por F(t) quando t varia em DF.
Exemplo 1. Seja F a função dada por F(t) =(t, 2t).
(a) Calcule F(0) e F(1)
F(0) =(0,2.0)=(0,0) F(1) = (1, 2.1)=(1,2)
(b) Desenhe a imagem de F.
Equações paramétricas: xy
ty
tx
.2
2
===>



=
=
equação cartesiana de uma reta. x=1 y=2 e x= 2y=4
Exemplo 2. Desenhe a imagem da função dada por F(t) = (t, t2
).
2
2
xy
ty
tx
===>



=
=
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Exemplo 3. Desenhe a imagem de F(t)=(cos t, sen t), t∈[0, 2π].
9
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0

10. −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
1²²
1)(cos)(
)(
)cos(
22
=+
=+



=
=
yx
ttsen
tseny
tx
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−4.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
Exemplo 4: Desenhe a imagem da função vetorial F(t) = ( t²-1, t)
x = t²-1
y = t  x = y²-1  parábola, pois tem expoentes 1 e 2.
Fazendo x = 0 temos y² -1 = 0  y = ±1
Fazendo y = 0 temos x = 0²-1 = -1
Não precisa calcular vértice, pois b = 0.
Função de uma variável real a valores em |R3
Uma função de uma variável real a valores em |R3
é uma função F: A→|R3
, onde A é um
subconjunto de |R. Uma tal função associa, a cada t∈A, um único vetor F(t)∈|R3
.
Exemplo 1. Desenhe a imagem de F(t) = (t,t, t), t ≥ 0.
Exemplo 2. Desenhe a imagem da função F(t) = (cos t, sen t, 1).
Operações
Seja F: A→|Rn
uma função de uma variável real a valores em |Rn
, então existem, e são únicas as
funções a valores reais Fi: A→|R (i=1, 2,3, ..., n), tais que, qualquer que seja t∈A, F(t) =(F1(t),
F2(t), ..., Fn (t)).Tais funções são as funções componentes de F. Escrevemos F = (F1, F2,..., Fn ).
Sejam F,G: A→|Rn
duas funções de uma variável real a valores em |Rn
, f: A→|R uma função a
valores reais e k uma constante. Definimos:
* a função soma de F e G; F+G: A→|Rn
dada por (F+G) (t) = F(t) +G(t).
* a função produto de F pela constante k; k.F: A→|Rn
dada por (k.F)(t) = k.F(t).
10
Circunferência de centro
(0,0) e raio 1

11. * a função produto de F pela função f; f.F: A→|Rn
dada por (f.F)(t) = f(t).F(t).
* a função produto escalar de F e G; F.G: A→|R dada por (F. G) (t) = F(t). G(t),
F(t) .G(t) = F1(t).G1(t) + F2(t). G2(t) + …+Fn(t).Gn(t)
* se n =3, a função produto vetorial de F e G;
F∧G: A →|R3
dada por (F∧G)(t)=F(t)∧G(t)=
)()()(
)()()(
321
321
tGtGtG
tFtFtF
kji
→→→
.
Limite, derivada e integral.
Seja F = (F1, F2,...,F n) uma função de uma variável real com valores em |Rn
e L = (L1, L2,..., L n) ∈|
Rn
. Então
0
lim
tt→
F(t) =L ⇔
0
lim
tt→
Fi(t) = Li, (i= 1,2, ..., n).
Exemplos:
1) Seja F(t) = (
2
42
−
−
t
t
, t2
,
t
t 1−
), calcule 2
lim
→t
F(t).
2
lim
→t
F(t) = 




 −
−
−
→→→ t
t
t
t
t
ttt
1
lim,lim,
2
4
lim
2
2
2
2
2
= =




 −
−
+−
→→→ t
t
t
t
tt
ttt
1
lim,lim,
2
)2)(2(
lim
2
2
22






=




 −
+=




 −
+
→→→ 2
1
,4,4
2
12
,2,22
1
lim,lim,2lim 2
2
2
22 t
t
tt
ttt
2) Calcule:
a) )(lim
1
tF
t→
onde F(t) = 






 −
−
−
t
t
t
t
t 1
,,
1
1 2
1
lim
→t
1
1
−
−
t
t
=
0
0
11
11
=
−
−

L’Hopital: 1
lim
→t
1
1
−
−
t
t
= 1
lim
→t
1
12/1
−
−
t
t
= 1
lim
→t
1
2
1 2/1−
t
= 1
lim
→t
t2
1
=
2
1
12
1
=
1
lim
→t
t²=1²=1
1
lim
→t
t
t 1−
= 0
1
0
1
11
==
−
Logo, )(lim
1
tF
t→
=( ½ , 1, 0)
b) )(lim
0
tF
t→
onde F(t) = 




 − 3
2
,
1
,
)3(
t
t
e
t
ttg t
0
lim
→t
t
ttg )3(
=
0
0
0
)0.3(
=
tg
11

12. Por L’Hopital 0
lim
→t
t
ttg )3(
= 0
lim
→t
1
3).3²(sec t
= 0
lim
→t
1
3).3²(sec t
= 0
lim
→t )3²(cos
3
t
=
3
²1
3
)0.3²(cos
3
==
0
lim
→t
t
e t
12
−
= ?
0
0
0
11
0
10.2
=
−
=
−e
Por L’Hopital 0
lim
→t
t
e t
12
−
= 0
lim
→t
21.22.
1
2. 0.2
2
=== e
e t
0
lim
→t
t³ = 0³ =0. Logo )(lim
0
tF
t→
=(3,2,0)
c) )(lim
2
tF
t→
onde F(t) = 





−−
−
2
)/cos(
,
4
8
,2 2
3
t
t
t
t
t
π
t
t
2lim
2→
=2.2=4
?
0
0
4²2
8³2
4²
8³
lim
2
=
−
−
=
−
−
→ t
t
t
Por L’Hopital, 3
2.2
²2.3
2
²3
lim
4²
8³
lim
22
===
−
−
→→ t
t
t
t
tt
?
0
0
22
)2/cos(
2
)/cos(
lim
2
=
−
=
−→
ππ
t
t
t
Por L’Hopital
4
1.
42²2²
lim
1
²)/).(/(
lim
2
)/cos(
lim
222
πππππππππ
==





=





=
−−
=
− →→→
sen
t
sen
t
ttsen
t
t
ttt
Logo
)(lim
2
tF
t→ =(4,3,π/4)
Definição: Sejam F:A→ |Rn
e t0∈A. Definimos a derivada de F em t0 por
F’(t0) =
0
0 )()(
lim
0 tt
tFtF
tt −
−
→
, desde que o limite exista.
Teorema: Sejam F = (F1, F2,..., F n) e t0∈DF. Então, F será derivável em t0 se e somente se cada
componente de F o for, além disso, se F for derivável em t0
F’(t0)=(F1’(t0), F2’(t0),…, F n’(t0)).
Exemplo: Seja F(t) = (sen 3t, et
, t), calcule F’(t) e F’(0).
F’(t) = (3cos3t, et
, 1) e F’(0) = (3.cos0,e0
, 1) =(3.1, 1,1) = (3, 1, 1).
Seja F: A→|R2
e seja t0∈A. Geometricamente, vemos F’(t0) como um “vetor tangente” à trajetória de
F, no ponto F(t0).
F’(t0)
F(t0)
F(t)
12

13. Seja F:A→|Rn
derivável em t0, com F’(t0) não nulo. Dizemos que F’(t0) é um vetor tangente à
trajetória de F, em F(t0). A reta X= F(t0) + λF’(t0); λ∈|R, denomina-se reta tangente à trajetória de F
no ponto F(t0).
Seja F = (F1, F2,...,F n) definida em [a, b]. F é integrável em [a, b] se e somente se cada
componente de F o for, e, além disso, se F for integrável então:
∫
b
a
dttF )( = ( ∫
b
a
dttF )(1 , ∫
b
a
dttF )(2 , ..., ∫
b
a
n dttF )( ).
Exemplo:






=





−−−=





=







= ∫∫∫∫ 3
1
,4,
2
1
3
0
3
1
,0.41.4,
2
0
2
1
3
,4,
2
,4,),4,(
3322
1
0
321
0
2
1
0
1
0
1
0
2
|
t
t
t
dttdttddttt
.
Comprimento de curva
Seja I um intervalo em |R. Uma curva γ em |Rn
, definida em I, é uma função γ:I→|Rn
.
Definição: Seja γ: [a, b] →|Rn
uma curva com derivada contínua em [a, b]. Definimos o
comprimento de curva L(γ) da curva por L(γ) = dtt
b
a
∫ )('γ .
Exemplo: Calcule o comprimento da curva γ(t) = (cos t, sen t, t), t∈[0, 2π].
γ’(t) = (-sen t, cos t, 1) ; ||γ’(t)|| = 222
1tcos(-sen t) ++ = 2 .
Logo L(γ)= dt∫
π2
0
2 =
π2
0
.2 t = 2 .2π - 2 .0 = 2π 2 .
Lista de Exercícios: 1) Desenhe a imagem das seguintes funções vetoriais:
a) F(t) = (t2
,t4
) e) F(t) = (sen t, sen2
t) i) F (t) = (3sent , 3cos t )
b) F(t) = (t2
,t) f) F(t) = (3t, 3t-3) j) F (t) = ( 3sent, 2 cost )
c) F(t) = (2t-1,t+2) g) F(t) = (sen t,sen t) k) F(t) = (t+1, 2t-1)
d) F(t) = (t+1,t-1) h) F(t) =(t, t ) l) F(t) = ( -t², t4
)
2) Determine o domínio das seguintes funções:
a) F(t) = 





+−
−
−
)5ln(,1,
4
2 4 2
2
tt
t
t
b) F(t) = ( )9,2,3 −+− ttt
c) F(t) = (sen t, cos t, tg t) d) F(t) = 




 −
+
− 3
4
,6,
7
1 t
t
t
e) F(t) = ( 92
−t ,
2
1
−t
, ln ( 6 -2t ) ) f) F(t) = ( 1−t ,
4²
1
−t
, ln(t ²-25) )
13

14. g) F(t) = ( ; ) h)F(t) = ( ; 5t ; )
3) Dada
→→→
++−= kjti
tdt
tdF
9).12(.
4)(
2
, determine F(t) onde F(1) = (4,2,0).
4) Sejam F(t) = (t,sent,2) e G(t) = (3,t,t²), calcule:
a) F(t).G(t) b) F(t)-2G(t) c) F(t)^G(t)
5) Sejam F(t) = (t,2,t²) e G(t) = (t,-1,1), calcule:
a) F(t).G(t) b) F(t)+G(t) c) F(t)^G(t)
6) Dadas as funções vetoriais F(t) = (
1
22 3
−
−
t
t
,
2
5t
, 4+t ) e G(t) =
→→→
++ kjti 32 , calcule:
a) o domínio de F(t). b) 1
lim
→t
F(t) c) F’(2) e G’(t) d) ∫
3
0
)( dttG
e) o comprimento da curva G(t) no intervalo [0, 2], dado por L(G(t)) = ∫
2
0
||)('|| dttG .
7) Calcule dtett t
),2,cos( 8
2/
0
2 −
∫
π
.
8)a) Determine
2
lim
→t
(
2
325
−
−
t
t
, 3t, sen t )
8b) Seja F(t) = ( )
2
,
t2
,
1
12
3
4
+−
+−
t
t
t
sen
t
tt
. Calcule
1
lim
→t
F(t)
9) Determine →
r = →
r (t) sabendo que
dt
rd
→
= 6t →
i + 3
→
j e →
r (0) = 4→
i -
→
j
10)Dadas
)4²,3/,2()(),4,2²,
5
32
()();21,
9
62
,82()( 2
6 2
−=−+
+
=−
−
−
−= ttttHttt
t
tGt
t
t
ttF
a) Determine o domínio de F, G e H.
b) Calcule H(t)-5G(t), 1/t.H(t), G(t)^H(t).
c) Calcule
³
)(³
,
²
)(
,
)( 2
dt
tHd
dt
tGd
dt
tdF
.
d) Calcule )(lim
3
tF
t→
.
14

15. 11) Se
→→→
+−= k
t
jsentit
dt
tdF
7
5
.5.3cos3
)(
2
5
, determine F(t) sabendo que F(0) = (-1,0,3).
12) Calcule ∫ 





++
→→→1
0
24
.cos dtksenttjei t
.
13) Calcule o comprimento da curva
a) F(t)=(6-4t, 3+3t) em [0, π/2]. c) F(t) = (2t3
;2t ; 6t2
) ; 0≤ t ≤3
b) F (t) = ( 2 cos t , 2 sen t ,√5 t ) , 0 ≤ t ≤ π d) G(t) = ( cost ; ) ; 0 ≤t ≤1
14) Desenhe a trajetória das curvas F(t) = (3t²-27,t); G(t)=(5cost, 5sent); H(t) = (t-5, 4t+6).
15) Represente os seguintes subconjuntos do |R2
:
a) S = { (x, y) ∈ |R2
| 3x+5y = 15}
b) S = { (x, y) ∈ |R2
| 3x+5y < 15}
c) S = { (x, y) ∈ |R2
| 3x+5y ≠ 15}
d) S = { (x, y) ∈ |R2
| x²+y ≥ 9}
e) S = { (x, y) ∈ |R2
| x 2
+y 2
≠ 16}
f) S = { (x, y) ∈ |R2
| x 2
+y2
< 25}
g) S = { (x, y) ∈ |R2
| x2
- y >-10+7x}
h) S = { (x, y) ∈ |R2
| 2x²+5y² ≤ 10}
i) S = { (x, y) ∈ |R2
| 1
169
22
≤+
yx
}
j) S = { (x, y) ∈ |R2
| 2
28
22
≤+
yx
}
16) Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
a) F(t) = (t ; t2
+ 1)
b) G(t) = (2cost; 2sent; 3)
c) H(t) = (t ; 2t – 4)
d) F(t) =(
e) G(t) = (
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
A maioria das relações que ocorrem na física, economia e, de modo geral, na natureza, é traduzida
por funções de duas, três e mais variável real.
A quantidade de alimentos produzidos depende da quantidade de chuva e da quantidade de
fertilizante usada. A taxa de reação química depende da temperatura e da pressão do ambiente em
15

16. que se processa. A taxa de atração gravitacional entre dois corpos depende de suas massas e da
distância que os separa. A taxa de matéria ejetada numa explosão vulcânica que cai num lugar
depende da distancia do vulcão e do tempo decorrido desde a explosão.
Exemplos:
1. O volume de um cilindro circular depende de seu raio r e de sua altura h. A fórmula que
descreve essa dependência é dada pela função V(r,h) = πr2
h.
2. A temperatura T num ponto da superfície da Terra em qualquer instante do tempo depende da
longitude x e da latitude y do ponto. Podemos pensar em T como uma função de duas variáveis x e
y: T (x, y).
3. A equação de estado de um gás ideal é dada por p(n,V,T) = nRT/V, onde p = pressão, n= massa
gasosa em moles, V = volume, R= constante molar do gás e T= temperatura.
4) A lei de um gás ideal confinado (lei de Gay - Lussac) é P V = k T, onde P é a pressão em N/u3
(N=Newton, u=unidades de medida), V é o volume em u3, T é a temperatura em graus e k > 0 uma
constante que depende do gás. Podemos expressar o volume do gás em função da pressão e da
temperatura; a pressão do gás em função do volume e da temperatura ou a temperatura do gás em
função da pressão e do volume:
V (P, T) =kT/P P(V, T) =kT/V T(P, V ) =P V/k
5. O circuito abaixo tem 5 resistores Ri, e a corrente I é dada por I = E/(R1+R2+R3+R4+R5) onde E é
a tensão da fonte.
5. Em regiões com inverno severo, o índice vento frio que mede o efeito do frio provocado pelo
vento é freqüentemente utilizado para descrever a severidade aparente do frio. Esse índice I mede
a temperatura subjetiva que depende da temperatura real T e da rapidez do vento v. Assim, I é
uma função de T e v, e podemos escrever I = f(T,v).
T v 6 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
20 20 18 16 14 13 13 12 12 12 12 12
16 16 14 11 9 7 7 6 6 5 5 5
12 9 5 3 1 0 0 -1 -1 -1 -1 -1
8 8 5 0 -3 -5 -6 -7 -7 -8 -8 -8
4 40 -5 -8 -11 -12 -13 -14 -14 -14 -14 -14
0 0 -4 -10 -14 -17 -18 -19 -20 -21 -21 -21
-4 -4 -8 -15 -20 -23 -25 -26 -27 -27 -27 -27
-8 -8 -13 -21 -25 -29 -31 -32 -33 -34 -34 -34
-12 -12 +17 -26 -31 -35 -37 -39 -40 -40 -40 -40
-16 -16 +22 +31 -37 -41 -43 -45 -46 -47 -47 -47
-20 -26 -36 -43 -47 -49 -51 -52 -53 -53 -53 -53
FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Uma função de duas variáveis reais é uma função f: A→|R, onde A é um subconjunto de |R2
. Tal
função associa a cada par (x, y) em A, um único número real f(x, y). O conjunto A é chamado de
domínio de f, Df. O conjunto Im f = {f(x, y) ∈|R| (x, y)∈Df} é a imagem de f.
Exemplos
16

17. 1. A função f(x, y) =
yx
yx
+
2
.
tem como domínio o conjunto Df ={(x, y)∈|R2
| x ≠ - y}.
2. A função f(x, y) = 5x-3y tem domínio Df = R² . Podemos calcular f(1,0) = 5.1-3.0=5 e f(2,6)=5.2-
3.6=-8
3. Representando graficamente o domínio da função f (x, y) = 2
xy − temos:
y-x² ≥ 0 (Restrição matemática da raiz de índice par). Graficamente, temos uma região, que para
ser esboçada devemos primeiro obter a fronteira (curva) que limita essa região.
y-x² =0 y = x² . Sabemos que essa equação representa uma parábola.
Agora, para saber se devemos considerar a região de dentro ou de fora da
parábola, fazemos um teste com um ponto conhecido, que não pode estar
sobre a curva (linha). Por exemplo, escolhemos o ponto (1,0) que sabemos
estar “fora” da parábola e testamos em y-x² ≥0 0-1² ≥ 0 é uma sentença
falsa. Concluímos, que a região que representa o domínio é a de dentro
da parábola:
Função linear
Para duas variáveis temos que a função linear é dada por f(x, y) = ax + by, com a , b números reais
dados.
Exemplos:
1. f(x, y) = 7x+9y
2. Qual equação da função linear f(x, y) de duas variáveis, tal que f(1,0) = 3 e f(0,1) = 4?
f(x,y) = ax+by
f(1,0) = a.1+b.0 = 3 a =3
f(0,1) = a.0+b.1 = 4 b = 4.
f(x,y) = 3x+4y.
3. Qual equação da função linear f(x, y) de duas variáveis, tal que f(1,2) = 5 e f(3,1) = 5?
f(x,y) = ax+by
f(1,0) = a.1+b.2 = 5 a +2b =5  a = 5-2b
f(0,1) = a.3+b.1 = 5 3a+ b = 5 substituindo a temos 3(5-2b)+b = 5 15-6b+b=5
-5b= -10  b = 2
Logo, a=5-2.2 = 1. Assim, a função é f(x, y) = x+2y.
Exemplo: Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
a) z = 2443 −− yx
17
10 0 10
50
100
x
2
x

18. 3x-4y-24≥0
8
Fronteira: 3x-4y =24 (reta)
Teste (0,0) 3.0-4.0-24 ≥ 0 F -6
b) z = ln (-3x²-4y²+108)
-3x²-4y²+108 >0
Fronteira: -3x²-4y²+108 = 0 (elipse)
-3x²-4y²=-108
y=0x² = 36 x= ± 6
x=0y² = 27 y = ± 5,2
teste (0,0) -3.0²-4.0²+108>0 V
c) z =
502
4
2
−+ yx
xy
.
x+2y² -50 ≠ 0
Fronteira: x +2y²-50 = 0 (Parábola)
x = 50-2y² a= -2, b = 0, c = 50
x=0  -2y²+50 = 0
∆ = 0² - 4.(-2).50 = 400
y =
4
200
)2.(2
4000
−
±
=
−
±
 y1 = 5 e y2 = -5
y= 0 x = 50-2.0² = 50
Função homogênea
Para duas variáveis, uma função f é homogênea de grau m se existir t > 0 tal que f(t.x, t.y) = t m
f(x, y).
Ex:. A produção P (valor monetário dos bens produzido no ano) de uma fábrica é determinada pela
quantidade de trabalho (expressa em operários/horas trabalhadas no ano) e pelo capital investido
(dinheiro, compra de maquinarias, matéria prima, etc.). A função que modela a produção é
chamada de Cobb-Douglas e é dada por: P(L,K) = k. Ta
.C1-a
, onde T é a quantidade de
trabalho, C o capital investido, k e a são constantes positivas (0 < a < 1).
18
X Y
0 -6
8 0

19. Por exemplo, se o capital investido é de R$ 600.000, são empregados 1000 operários/hora, e a
produção é dada pela seguinte função de Cobb-Douglas:P(L,K) = 1,01.T3/4
.C1/4
então, P(1000,
600.000) = 4998.72.
Exemplo: Verifique se f(x,y) = 3x5
+2y5
-x²y3
é homogênea, em caso afirmativo, diga qual é o grau
de homogeneidade.
f(tx,ty) = 3(tx)5
+2(ty)5
-(tx)²(ty)³ = 3t5
x5
+2t5
y5
-t²x²t³y³ =3t5
x5
+2t5
y5
-t5
x²y³ = t5
(3x5
+2y5
-x²y³) = t5
.f(x,y)
homogênea grau 5
Exercícios
1. Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
a) f(x, y) = 22
64 yx −− h) f(x,y) = log (4x + 3y-12) o) z = 963 −+ yx
b) f(x, y) =
yx
xy
−−42 i) f(x, y) =
yx −2
1
p) z =
4²²
4
−+ yx
xy
.
c) f(x, y) =
x
yx +
j) z = 2
36 yx
xy
−+
. q) z = ln (-x²+y+9)
d) f(x, y) = ln (y - x) k) z = 16222 22
−+ yx r) z = ln(x)+ln(y)
e) z = ln (x –y-8) l) z = 3 22
9−+ yx s) z = ln (3x +2 y-6).
f) z = 22
100 yx −− m) z = 22 −++−+− yxyx
g) z =
yx
xy
+− 252 n) z =
1
916
22
22
−+
+
yx
yx
2. Verifique se as seguintes funções são homogêneas:
a) f(x, y) = x.y f) f(x, y) = x2
+ y 2
–1 l)f(x,y) = 3 x0,3
. y 0,7
b) f(x, y) = 2. x0,6
y0,4
g) f(x, y) =4x2
+5y2
m) f(x, y) = x3
+ xy
c) f(x, y) =
yx
xy
+
2
3
h) f(x,y) = 3
88
xy
yx +
n)f(x,y) = 44
yx
xy
+
−
d) f(x,y) = xy +x2
+y2
i)f(x,y) =2xy+y³+x² o)f(x, y) = -5x+4y2
.
e) f(x,y) = 3xy³ +x²y² - 2y4
j) f(x,y) = 2 x0,5
. y 0,5
p) f(x, y) = 3xy3
+4y2
x2
3. Qual a equação da função linear f(x, y) de duas variáveis tal que f(1,3) = 3 e f(2,5) = 4?
4. Qual a equação da função linear f(x, y) de duas variáveis tal que f(-1,2) = 7 e f(0,-3) = 1?
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Para uma função de uma variável y = f(x), o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x,
y) no plano, tais que y = f(x). O gráfico de uma função de duas variáveis f é o conjunto de todos
pontos (x, y, z) tais que z = f(x, y). Em geral, o gráfico de uma função de duas variáveis é uma
superfície no espaço.
Exemplos:
f(x, y) = x2
+y2
f(x, y) = x2
–y2
19

20. f(x, y) = 1-x+y f(x, y) = x2
f(x,y)= (9-x2
-y2
)
22
yx
e + f(x, y) = cos(x)sen(y)
f(x, y) = 22
yx + f(x, y) = -y2
20

21. CURVAS DE NÍVEL
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as curvas com equação f(x, y) = c, onde
c é uma constante no domínio de f. A curva de nível mostra onde o gráfico tem altura c.
Um exemplo comum de curvas de nível ocorre em mapas topográficos de regiões montanhosas.
As curvas de nível são curvas em que a elevação em relação ao nível do mar é constante. Se você
andar sobre um desses contornos, nem descerá nem subirá.
Outro exemplo, de curvas de nível são as curvas isotérmicas, que são as curvas de nível da
função temperatura. Essas curvas ligam localidades que tem a mesma temperatura.
Se V(x, y) é o ponto elétrico de um ponto (x, y) do plano xy, as curvas de níveis são chamadas
curvas equipotenciais, pois nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico.
Se f(x, y) fornece a pressão barométrica no ponto (x, y) então as curvas de nível da função são
chamadas curvas isobáricas, pois nelas todos os pontos têm a mesma pressão barométrica.
Exemplos:
1) Suponha que T(x, y) = 4x2
+9y represente uma distribuição de temperatura no plano xy.
21

22. a) Desenhe a isotérmica correspondente à temperatura 36°.
b) Determine o ponto de mais baixa temperatura da reta x + y =1.
2) Desenhe as curvas de nível da função f(x, y) = x2
+ y2
.
3) Desenhe as curvas de nível da função f(x,y) = x + y –1.
LIMITE E CONTINUIDADE
Seja f(x, y) uma função definida em todos os pontos de uma vizinhança de (x0, y0) exceto
possivelmente neste ponto. O que significa ),(),( 00
lim
yxyx →
f(x,y) =L?
A idéia é que a distância entre f(x, y) e L fique arbitrariamente pequena, quando tomamos pontos(x,
y) suficientemente próximos de (x0,y0).
Lembremos as noções de distância:
Em |R: d =dist (x,y) = |x – y|.
Em |R2
: d = dist(A, B) = 2
12
2
12 )()( yyxx −+− , com A = (x1, y1) e B = (x2, y2).
Em |R3
: d = dist(A, B) = 2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxx −+−+− A = (x1,y1, z1) e B = (x2, y2, z2).
Em |Rn
: d = dist(A, B) = 22
22
2
11 )(...)()( nn ababab −++−+− A=(a1, a2, ..., an ), B=(b1, b2, ...,b n).
Sejam f: A⊂|R2
→|R uma função, (x0,y0) um ponto de acumulação de A e L um número real.
Definimos
)(),( 00
lim
yxyx →
f(x, y) = L ⇔ Para todo ε>0, existe δ>0 tal que para todo (x,y)∈Df,
0<||(x,y) –(x0,y0)||<δ implica | f(x,y) – L |<ε.
Sempre que escrevermos )(),( 00
lim
yxyx →
f(x, y) = L , (x0,y0) será um ponto de acumulação de A.
Exemplos:
1 Se f(x,y) = x para todo, (x0,y0) em |R2
, então temos que )(),( 00
lim
yxyx →
f(x, y) = )(),( 00
lim
yxyx →
x = x0.
De fato:
|x-x0| = 2
0 )( xx − < 2
0
2
0 )()( yyxx −+− =||(x,y) – (x0,y0)||. Então, dado ε>0 e tomando δ= ε
temos que 0<||(x,y) – (x0,y0)||< δimplica que |x-x0|< δ= ε, ou seja, 0<||(x,y) – (x0,y0)||< δ implica que |
f(x,y) –x0|< ε. Portanto, )(),( 00
lim
yxyx →
x = x0.
2. Se f(x,y) = 3x+2y então )2,1(),(
lim
→yx
f(x, y) = 7.
De fato:Temos que provar que ||(x,y)-(1,2) ||< δimplica que | f(x, y) -7|< ε , ou seja, |3x+2y –7| < ε.
|3x+2y –7|=|3x+2y –(3.1+2.2)| = |3x – 3.1 +2y-2.2|=|3(x-1)+2(y-2)|≤|3(x-1)|+|2(y-2)|=3|x-1| +2|y-2|=3
2
)1( −x +2 2
)2( −y < 3 22
)2()1( −+− yx +2 22
)2()1( −+− yx =
3||(x,y)-(1,2)|| +2||(x,y) - (1,2)||=5||(x,y) - (1,2)||.
Logo se ||(x,y) - (1,2)||< δ então |f(x, y) – 7 | = |3x+2y –7| < 5 δ. Assim, dado ε>0 tomando
δ=
5
ε
temos ||(x,y) - (1, 2)||< δ implica que|f(x, y) – 7 | = |3x+2y –7| < 5 δ=
5
5ε
=5.
3. Se f(x, y) = k então ),(),( 00
lim
yxyx →
f(x, y) = k.
22

23. De fato: Para todo ε>0 e δ>0 qualquer. Temos | f(x, y) - k|=|k-k| = 0 < ε. Portanto ||(x,y) – (x0 ,y0)||< δ
implica | f(x, y) - k | < ε.
Seja f(x,y) uma função de duas variáveis reais e seja (x0, y0) ponto de acumulação de Df. Temos
que f é contínua em (x0,y0) se e somente se )(),( 00
lim
yxyx →
f(x, y) = f(x0,y0). Se f for contínua em
todos os pontos de um subconjunto A do domínio de f, diremos f é contínua em A. f é dita contínua
se f for contínua em todos os pontos do domínio de f.
Exemplos:
1. f(x, y) = k é contínua, pois )(),( 00
lim
yxyx →
f(x, y) = k = f(x0, y0).
2. f(x, y) = x é contínua, pois )(),( 00
lim
yxyx →
f(x, y) = x0 = f(x0, y0).
Teorema: Sejam f:A⊂|R2
→|R e g: B⊂|R→|R duas funções tais que Im f ⊂ Dg. Se f for contínua em
(x0,y0) e g contínua em f(x0,y0), então a composta h(x, y) = g(f(x,y)) será contínua em (x0,y0). Assim
se g(x) for contínua, então h(x, y) = g(x) será contínua.
PROPRIEDADES
1) Se f(x, y) ≤ g(x,y)≤ h(x, y) para ||(x,y) – (x0 ,y0)||< δ e se ),(),( 00
lim
yxyx →
f(x, y) = L = ),(),( 00
lim
yxyx →
h(x, y) então ),(),( 00
lim
yxyx →
g(x, y) =L.
2) Se ),(),( 00
lim
yxyx →
f(x,y) = 0 e |g(x,y)| ≤ m para ||(x,y) – (x0 ,y0)||< δ onde δ>0 e m>0 são reais
fixos então ),(),( 00
lim
yxyx →
f(x, y).g(x,y) = 0.
3) ),(),( 00
lim
yxyx →
f(x, y) = L se e somente se ),(),( 00
lim
yxyx →
[f(x, y) –L ] = 0.
4) Se ),(),( 00
lim
yxyx →
f(x,y) = L1 e ),(),( 00
lim
yxyx →
g(x,y) = L2 então
a) ),(),( 00
lim
yxyx →
[f(x,y)+g(x,y)] = L1 + L2. b) ),(),( 00
lim
yxyx →
[f(x,y).g(x,y)] = L1 . L2.
c) ),(),( 00
lim
yxyx →
k.f(x,y) = k.L1. d) ),(),( 00
lim
yxyx → ),(
),(
yxg
yxf
=
2
1
L
L
, com L2 ≠ 0.
Exercícios: Calcule:
a)
yx
yx
yx −
−
→
22
)2,2(),(
lim b) )1ln(lim
)1,2(),(
−
→
xy
yx
k)
232lim 2
)2,1(),(
−−
→
xyx
yx
c)
yx
xyx
yx +
+
−→
2
)1,1(),(
lim d) )sen(lim
)1,1(),(
yx
yx
+
−→
l) 9lim
)1,1(),(
+−
→
yx
yx
e) 22
44
)3,3(),(
lim
yx
yx
yx −
−
→
f) )3cos(lim
)0,0(),(
yx
yx
−
→
m)
ytgx
tgxyxtg
yx sen
.sen
lim
2
)45,45(),( +
+
→
23

24. g)
yx
yxx
yx cossen
cos.sensen
lim 2
3
)2/,0(),( +
+
→ π
h)
yx
yx
yx
−
−
→ )1,1(),(
lim n)
yx
yx
yx 42
164
lim
22
)1,2(),( +
−
−→
i) 1633lim
)1,1(),(
+−
→
yx
yx
j)
yx
yx
yx 35
925
lim
22
)1,1(),( +
−
−→
o)
yx
yx
yx −
−
→
22
)1,1(),(
22
lim
DERIVADAS PARCIAIS
Para uma função de uma variável y = f(x) a derivada de f, no ponto a,
dx
dy
= f ’(a) é calculada por
f ’(a) =
x
afxaf
x ∆
−∆+
→∆
)()(
lim
0
=
ax
afxf
ax −
−
→
)()(
lim .
Para uma função de duas variáveis, vamos considerar a função z = f(x, y) e (x0, y0)∈Df. Fixando-se
y0, podemos considerar a função de uma variável g(x) = f(x, y0). A derivada desta função no ponto
x = x0, caso exista, denomina-se derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0,y0) e indica-
se por
x
f
∂
∂
(x0,y0) ou fx (x0,y0). Assim
g’(x0) = fx(x0, y0) =
0
0 )()(
lim
0 xx
xgxg
xx −
−
→
=
0
000 ),(),(
lim
0 xx
yxfyxf
xx −
−
→
, ou ainda,
fx(x0,y0) =
x
yxfyxxf
x ∆
−∆+
→∆
),(),(
lim 0000
0
Assim, a função fx(x,y) =
x
yxfyxxf
x ∆
−∆+
→∆
),(),(
lim
0
é chamada função derivada parcial de
1ª ordem de f em relação a x.
Analogamente, fixando-se x0, podemos considerar a função de uma variável h(x) = f(x0, y). A
derivada desta função no ponto y = y0, caso exista, denomina-se derivada parcial de f em
relação a y no ponto (x0,y0) e indica-se por
y
f
∂
∂
(x0,y0) ou fy (x0,y0). Assim
h’(y0) = fy(x0, y0) =
0
0 )()(
lim
0 yy
yhyh
yy −
−
→
=
0
000 ),(),(
lim
0 yy
yxfyxf
yy −
−
→
, ou ainda,
fy(x0,y0) =
y
yxfyyxf
y ∆
−∆+
→∆
),(),(
lim 0000
0
.Assim, a função fy(x,y) =
y
yxfyyxf
y ∆
−∆+
→∆
),(),(
lim
0
é chamada função derivada parcial de 1ª ordem de f em
relação a y.
Para calcular a derivada parcial fx (x0, y0) fixa-se y em f(x,y) e calcula-se a derivada g’(x) = fx (x, y).
Para calcular fy (x0, y0) fixa-se x em f(x, y) e calcula-se h’(y) = fy (x, y).
Exemplo: Seja f(x, y) = 2x²-5y calcule as derivadas parciais pela definição:
24

25. xxhx
h
hxh
h
hxh
h
xhxhx
h
yxyhxhx
h
yxyhx
h
yxfyhxf
hhh
h
h
hh
40.2424lim
)24(
lim
24
lim
2242
lim
525)2(2
lim
)52()5)(2(
lim
),(),(
lim
00
2
0
222
0
222
0
22
00
=+=+=
+
=
+
=
−++
=
+−−++
=
−−−+
=
−+
→→→
→
→
→→
55lim
5
lim
52552
lim
)52())(52(
lim
),(),(
lim
00
22
0
22
0
0
−=−=
−
=
+−−−
=
−−+−
=
−+
→→
→
→
→
kk
k
k
k
k
k
k
yxkyx
k
yxkyx
k
yxfkyxf
Exercício: Seja f(x, y) = 5x2
-3y2
calcule as derivadas parciais de pela definição.
Exemplos pelas regras: Calcule as derivadas parciais de:
1) f (x, y) = x2
+ y2
.  fx = 2x; fy = 2y
2) f(x, y) = 3x+y3
.  fx = 3; fy = 3y²
3) f(x, y) = x.y.  fx = y; fy = x
4) f(x,y) = 5x4
y – 6y + 4x.  fx = 20x3
y +4 ; fy = 5x4
–6
5) f(x, y) = 6xy –2x2
y3
.  fx = 6y-4xy³ fy = 6y-6x²y²
Exemplo: Dada f(x,y) = 3x5
+2y5
-x²y³
verifique que x.fx(x,y) +y.fy(x,y) = 5f(x,y).
fx = 15x4
-2xy3
x.fx(x,y) +y.fy(x,y)
fy =10y4
-3x²y² = x(15x4
-2xy3
)+y(10y4
-3x²y²)
= 15x5
-2x²y3
+10y5
-3x²y³
=15x5
-5x²y3
+10y5
=5(3x5
+2y5
-x²y3
) =5.f(x,y)
Exercícios Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
a) f(x,y) = -sen (x2
y-2x8
+3y6
) p) f(x,y) = 2xy4
- 3x3
y – 4x - 5y +9
b) f(x,y) = yx 32 + q) f (x, y) = cos x. y
c) f (x, y) = 2x3
y4
+x2
+y2
-2x+4yr) f(x, y) = 3x2
+xy+2
d) f(x, y) = x3
y-3xy2
+x s) f(x, y) = ln( x + y)
e) f(x, y) = x + y t) f(x, y) = 4x2
.cos(2y)+3y.sen(3x)
f) f(x, y) = x / y2
u)f(x, y) =sen(xy)
g) f(x, y) = x2
+3y2
, v) f(x, y) = ln (1+x2
+y2
),
h) f(x, y) =sen2
x+ 3 cos2
x x) f(x, y) = (x+y)2
i) f(x, y) = ln(x2
+y2
) y) f(x, y) = -x2
.
2
y
e−
25

26. j) f(x,y) = x4
.y6
+ 4 (x-y)3
z) f(x, y) = cos ( 3 2xy )
k) f(x, y) =
yx
11
+ aa) f(x, y) = y
e
x
l) f(x, y) = 3x+y3
. bb)f(x, y) = 6xy –2x2
y3
m) f(x, y) =
³
4
y
x
cc) f(x, y) =
x
y
5
²
n) f(x,y) = (4x-5y)3
dd) f(x,y) = yx +
o) f(x, y) = e4x+5y
ee) f(x, y) = ln(5x²y³)
2) Calcule as derivadas parciais: (+difícil)
a) f(x,y) =(cos(3x+8y))5
e) f(x,y) =
xy
yx
29
610
+
+−
b) f(x,y) = 4 24
9 yx f) f(x,y) =
)6cos(
)2( 3
x
ysen
c) f(x,y) = (-3x+5y)9
g) f(x,y) = ln(sen(x²-4y³))
d) f(x,y) = 5 6 2
xy
e
3) A função de produção de Cobb-Douglas dada por P(T, C) = 10.T0,4
.C0,6
. Calcule a produtividade
marginal do trabalho (taxa de variação da produção em relação à quantidade de trabalho) e
produtividade marginal do capital (taxa de variação da produção em relação ao capital).
Uso de unidades para interpretar as derivadas parciais
Exemplo: Suponha que seu peso w em quilos é uma função f(c, n) do número c de calorias que
você consome diariamente e do número n de minutos de exercício diário. O que significa wc(2000,
15) = 0,02 e wn = (2000, 15) = -0,025?
wc representa o peso de acordo com a taxa de calorias extras que você consome e wn representa o
peso de acordo com a taxa de minutos extras de exercício físico.
Assim, wc(2000, 15) = 0,02 significa que se você está agora consumindo 2000 calorias por dia e
praticando 15 minutos por dia de exercícios físicos, você pesará 0,02 quilos a mais para cada
caloria extra que consumir diariamente, ou cerca de 2 quilos para cada 100 calorias extras por dia.
Assim, wn(2000, 15) = -0,025 significa que se você está agora consumindo 2000 calorias por dia e
praticando 15 minutos por dia de exercícios físicos, você pesará 0,025 quilos a menos para cada
minuto extra de exercícios físicos praticados diariamente, ou cerca de 1 quilo para cada 40 minutos
extras por dia. Assim, se você comer 100 calorias a mais deverá se exercitar por 80 minutos para
manter o peso.
DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES
As derivadas parciais de ordens superiores são importantes em diversos contextos, como por
exemplo, na avaliação de um candidato a máximo ou a mínimo de uma função de várias variáveis,
ou em problemas de otimização de produção e de custos.
Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior computando-se as derivadas parciais das
funções derivadas parciais de uma ordem a menos, sucessivamente.
Se considerarmos a função de duas variáveis, z = f(x, y), temos quatro derivadas parciais de (2ª)
segunda ordem:
fxx(x, y) =
x
z
xx
z
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
fyy (x,y) =
y
z
yy
z
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
26

27. fxy (x,y) =
x
z
yxy
z
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂2
fyx (x,y) =
y
z
xyx
z
∂
∂
∂
∂
=
∂∂
∂2
Obs: As derivadas fxy e fyx são chamadas derivadas mistas.
Exemplo: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem:
1. f(x, y) = 3x2
y + 5x – 7y.
fx (x, y) = 6xy + 5 fxx (x, y) = 6
fy (x, y) =3x2
–7 fyy (x,y) = 0
fxy (x,y) = 6x
fyx (x,y) = 6x
2. f(x, y) = x2
. y2
fx (x, y) = 2xy2
fxx (x, y) = 2y2
fy (x, y) =2x2
y fyy (x,y) = 2x2
fxy (x,y) = 4xy
fyx (x,y) = 4xy
Exercícios:
1) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
a) f (x, y) = x2
+ y2
. f) f(x, y) = 3x+y3
.
b) f(x, y) = x.y. g) f(x,y) = 5x4
y – 6y + 4x.
c) f(x, y) = 6xy –2x2
y3
. h) f(x, y) = 2x2
+3xy
d) f(x,y) = 3x-5y+1 i) f(x, y) = ex+y
e) f(x, y) = xy3 j) f(x, y) = 2
y
x
k) f(x, y) =
y
x
2) Calcule as derivadas parciais indicadas:
a) 9787),( 32
−−+= xyxyyxf ; fyy
b) )9(),( 2
xysenyxf = ; fx e fy.
c) );34ln(),( 2
yxyxf += fx e fy
d) 6
),(
y
x
yxf = ; fxyy
e) 5
)612(),( yxyxf += ; fyy
f) 2
3
),(
y
e
yxf
x
= ; fxyx
g) )35cos(),( 22
yxyxf += ; fyx
h)
yx
yx
yxf
35
79
),(
+
+
= ; fx e fy
i)
yx
yxf
54
),( += ; fxx e fyy
j) yx
eyxf 94
),( +
= ; fxxy
Equações diferenciais parciais são equações que envolvem derivadas parciais.
Um exemplo de equação diferencial parcial (EDP) é a equação de Laplace 2
2
2
2
y
f
x
f
∂
∂
+
∂
∂
=0, cujas
soluções são chamadas funções harmônicas que são importantes no estudo de condução de calor,
escoamento de fluídos e potencial elétrico. Mostre que a função f(x, y) = ex
.seny é solução da
equação de Laplace.
Outro exemplo de EDP é a equação da onda 2
2
2
2
2
x
f
a
t
f
∂
∂
=
∂
∂
que descreve o movimento de uma
onda que pode ser uma onda do mar, uma onda de som, uma onda luminosa ou uma onda se
movendo numa corda vibrante. Por exemplo, se f(x,t) descreve o deslocamento da corda de um
27

28. violino no instante t e a distância x de um dos términos da corda vibrante então f(x, t) satisfaz a
equação da onda. A constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada na corda.
Verifique que a função f(x, t) = sen(x-at) satisfaz a equação da onda.
Exercícios
1) A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é K = ½ mv2
. Mostre que
2
2
.
v
K
m
K
∂
∂
∂
∂
= K.
2) A lei dos gases para uma massa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e
volume V é PV =mRT onde R é a constante do gás. Mostre que Pv .VT. TP = -1, ou seja,
P
T
T
V
V
P
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=-1.
3)A resistência total R produzida por três condutores com resistência R1, R2, R3 conectados em
paralelo num circuito elétrico é dada pela fórmula
321
1111
RRRR
++= . Determine
1R
R
∂
∂
.
4) Determine se as seguintes funções são harmônicas.
a) F(x,y) = x²-y² b) F(x,y) = x³+3xy² c)F(x,y) = ln(x²+y²)1/2
5) Verifique se as seguintes fnções representam o movimento da onda.
a) F(x,y) = ln(x+ay)
b) F(x,y) = (x+ay)6
+(x-ay)6
c) F(x,y) = y/(a²y²-x²)
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Seja f uma função de duas variáveis reais. Dizemos que um ponto (x0, y0) do domínio da f é um
ponto de máximo local (ou relativo) de f, se existir uma bola aberta de centro (x0, y0) e raio r, tal
que para todo ponto (x, y) do domínio no interior dessa bola aberta, temos f(x,y) ≤ f(x0, y0). Ao
número f(x0, y0) damos o nome de valor máximo de f.
Dizemos que um ponto (x0, y0) do domínio da f é um ponto de mínimo local (ou relativo) de f, se
existir uma bola aberta de centro (x0, y0) e raio r, tal que para todo ponto (x, y) do domínio no
interior dessa bola aberta, temos f(x,y)≥f(x0, y0). Ao número f(x0, y0) damos o nome de valor
mínimo de f.
Dizemos que um ponto (x0, y0) do domínio da f é um ponto de máximo global (ou absoluto) de f,
se para todo ponto (x, y) do domínio f(x,y)≤ f(x0, y0).
Dizemos que um ponto (x0, y0) do domínio da f é um ponto de mínimo global (ou absoluto) de f,
se para todo ponto (x, y) do domínio f(x,y) ≥ f(x0, y0).
TEOREMA: Seja z =f(x, y) uma função de duas variáveis reais e seja (x0, y0) um ponto interior ao
domínio de f. Se (x0, y0) for ponto de máximo ou de mínimo e se existirem as derivadas parciais
então fx (x0, y0) = fy (x0, y0) = 0.
OBSERVAÇÕES:
Esse teorema não garante que (x0, y0) seja ponto de máximo ou de mínimo, apenas mostra os
possíveis candidatos a máximo ou mínimo. Pode ocorrer fx (x0, y0) = fy (x0, y0) = 0 e (x0, y0) não ser
nem máximo e nem mínimo.O teorema só se aplica a pontos interiores ao domínio de f e não se
aplica a pontos de fronteira.
28

29. Os pontos de máximo e de mínimo são chamados extremantes de f. Os pontos interiores ao
domínio de f, tais que fx (x0, y0) = fy (x0, y0) = 0 são ditos pontos críticos de f. Portanto, os pontos
críticos de f são os únicos candidatos a extremantes locais.
EXEMPLO Determine os pontos críticos de f:
1. f(x,y) = x2
+y2
-2x-2y+xy 2. f(x,y) = 2x+3y –5
TEOREMA: Seja f(x,y) função contínua com derivadas parciais até 2ª ordem contínuas. Seja (x0, y0)
um ponto crítico de f. Chamamos H(x0, y0) =fxx.fyy – fxy
2
de hessiano de f no ponto (x0, y0).
Se H(x0, y0) >0 e fxx (x0, y0)<0, então (x0, y0) será ponto de máximo local de f.
Se H(x0, y0) >0 e fxx (x0, y0)>0, então (x0, y0) será ponto de mínimo local de f.
Se H(x0, y0)< 0, então (x0, y0) não será extremante, será ponto de sela.
Se H (x0, y0) =0 nada se pode afirmar.
EXEMPLOS: 1) Determine os extremantes f(x, y) = x³ – y² – 48x + 4y + 7.
fx =3x² -48 =03x² = 48 x² = 48/3 x² = 16 x = ± 4
fy =-2y +4 =0-2y=-4  2y = 4  y = 4/2  y = 2
Pontos críticos: (4,2) e (-4, 2).
fxx = 6x fxy = 0 fyy = -2
H(x,y) = fxx.fyy - fxy =6x.(-2) = -12x
H(4,2) = -12.4=-48 (4,2) é ponto de sela.
H(-4,2)=-12.(-4)=48 >0 e fxx(-4,2) = -24<0 (-4,2) é ponto máximo.
F(-4,2) = (-4)³ – 2² – 48(-4) + 4.2 + 7 = 139 é o valor máximo
2) Calcule pontos e valores de máximo, mínimo de f(x, y) = 4x3
+9y3
–108x -27y +100.
fx(x,y) =12x² -108 =0 12x² = 108 x² = 108/12 x² = 9 x = ± 3
fy(x,y) = 27y² -27 =027y² = 27 y² = 27/27 y² = 1  y = ±1
Pontos críticos: (3,1), (3,-1),(-3,1) e (-3,-1). Teste da segunda derivada.
fxx(x,y)= 24x; fxy (x,y)= 0; fyy(x,y)= 54y
H(x,y) = fxx. fyy - fxy²
H(3,1) = 72.54-0² =3888>0 e fxx(3,1) =72>0 (3,1)é ponto mínimo
H(3,-1) = 72.(-54)-0² = -3888<0(3,-1) é ponto de sela
H(-3,1) = -72.54-0² = -3888<0(-3,1) é ponto de sela
H(-3,-1) = (-72)(-54)-0² =3888>0 e fxx(-3,-1) =-72<0(-3,-1) é ponto máximo.
Exercício: Estude as funções abaixo com relação a máximos e mínimos.
a) f ( x,y) = x2
+y2
-2x
b) f(x,y) = x2
+y2
c) f(x,y) =3x4
+2y4
d) f(x,y) = - ¼ x4
– ¼ y4
+x +y
e) f(x,y) = 1/5 x5
+ 1/5 y5
–x –16y
f) f (x, y) = x7
+ y5
– 7x – 5y
g) f (x, y) = x5
+ y5
– 80x – 5y
h) f(x,y) = x² + y³ +6x – 27y + 500
29

30. DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO
Consideremos a função dada por f(x, y) = 2x2
+3y2
e calculemos a variação ∆f sofrida pela função
quando x e y sofrem variações ∆x e ∆y a partir do ponto (x0, y0). Temos que ∆f = f(x0+∆x, y0+∆y) -
f(x0, y0). Então ∆f = 2 (x0+∆x)2
+3(y0+∆y)2
- (2x0
2
+3y0
2
)
= 2(x0
2
+2x0∆x+(∆x)2
)+3(y0
2
+2y0∆y+(∆y)2
) – 2x0
2
- 3y0
2
= 4x0∆x + 6y0∆y + 2(∆x)2
+3(∆y)2
.
Por exemplo, se x0 = 5 e y0 = 6 e ∆x = ∆y = 0,01 teremos:
∆f = 4.5.0,01+ 6.6.0,01+2. (0,01)2
+ 3 (0,01)2
= 0,2 + 0,36 + 0,0002 + 0,0003.
Como as parcelas 0,0002 e 0,0003 são desprezíveis comparadas com 0,2 e 0,36 podemos dizer
que ∆f ≅ 0,2 + 0,36 = 0,56
Voltando a expressão ∆f = 4x0∆x + 6y0∆y + 2(∆x)2
+3(∆y)2
notamos que:
(1) 4x0 =
x
f
∂
∂
(x0, y0) e 6y0 =
y
f
∂
∂
(x0, y0).
(2) Os termos 2(∆x)2
e 3(∆y)2
são desprezíveis quando comparados a 4x0∆x e 6y0∆y, se ∆x e
∆y estão próximos de zero.
(3) ∆f ≅
x
f
∂
∂
(x0, y0) .∆x+
y
f
∂
∂
(x0, y0). ∆y ou ∆f ≅ fx (x0, y0) .∆x+ fy (x0, y0). ∆y.
Assim a variação sofrida por f(x, y) quando variamos simultaneamente x e y de valores pequenos
∆x e ∆y é aproximadamente fx (x0, y0) .∆x+ fy (x0, y0). ∆y.
Seja f:A ⊂|R2
→|R aberto e (x0, y0)em A. Seja ∆f a variação sofrida por f(x, y) ao passarmos do
ponto (x0, y0) para o ponto (x0+∆x, y0+∆y). Dizemos que f é diferenciável no ponto (x0, y0) se ∆f
puder ser escrita sob a forma
∆f =
x
f
∂
∂
(x0, y0) .∆x+
y
f
∂
∂
(x0, y0). ∆y + h1(∆x, ∆y)∆x + h2(∆x, ∆y).∆y
onde h1e h2 são funções com limite zero quando (∆x, ∆y) tende a (0, 0).
Se f é diferenciável temos que df = fx (x0, y0) .∆x + fy (x0, y0). ∆y é chamada a diferencial de f.
Observem que df ≅ ∆f.
TEOREMA: Seja f uma função de duas variáveis. Se as derivadas parciais fx (x, y) e
fy (x, y) são contínuas num aberto A , então f é diferenciável em todos os pontos de A.
Exemplos
1. A função f(x, y) = 2x2
+4y3
é diferenciável em todos os pontos de |R2
, pois as derivadas
parciais fx (x, y) = 4x e fy (x, y) = 12y2
são contínuas em |R2
. A diferencial de f no ponto (x,
y) será df = 4x.∆x + 12y2
.∆y.
2. A função f(x, y) =
yx
x
−
2
, cujo domínio é A = {(x, y) ∈|R2
|x ≠ y}, é diferenciável
em A, pois as derivadas parciais fx(x, y) = 2
)(
1.2)(2
yx
xyx
−
−−
= 2
)(
2
yx
y
−
−
e fy(x, y) =
2
)(
)1.(2).(0
yx
xyx
−
−−−
= 2
)(
2
yx
x
−
são contínuas no domínio A. A diferencial no ponto (x,
y) será df = 2
)(
2
yx
y
−
−
.∆x + 2
)(
2
yx
x
−
∆y.
Exemplo. Seja f(x, y) = x2
y.
30

31. a) Calcule a diferencial.
fx(x,y) = 2xy e fy(x,y) = x².
df= fx(x,y).∆x e fy(x,y). ∆y = 2xy∆x+x²∆y
b) Calcule ∆f quando x passa de 1 para 1,02 e y passa de 2 para 2,01.
∆f = f(xo+∆x,yo+∆y)-f(xo,yo) = (xo+∆x)²(yo+∆y)-xo²yo= (1+0,02)².(2+0,01)-1².2=
=1,02².2,01-1.2 = 1,0404.2,01-2 = 2,091204 – 2 = 0,091204.
c) Calcule a mesma variação usando a diferencial.
df = 2xy. ∆x+x². ∆y = 2.1.2.0,02+1².0,01 = 0,08+0,01 = 0,09
Observe que o erro de aproximação é bem pequeno: 0,091204- 0,09 = 0,001204
2) Calcule o valor aproximado de 3
9,701,1 + .
f(x,y) = 3
1
2
1
3 yxyx +=+
f(x0+∆x, y0+∆y) = f(x0, y0) + df.
3
9,701,1 + = 3
1,0801,01 −++ = 3
81 + +df = 1+2+df = 3+df
(x0=1 e ∆x=0,01; y0=8 e ∆y = -0,1)
fx(x,y) = ½ x- ½
=
x2
1
=
12
1
=
2
1
=0,5 e fy(x,y) = 1/3 y- 2/3
= 3 2
3
1
y
= 3 2
83
1
=
12
1
=0,083
df = fx(x,y).∆x + fy(x,y).∆y = 0,5.0,01+0,083.(-0,1) =0,005 -0,0083=-0,0033
Logo, 3
9,701,1 + = 3+df = 3-0,0033 = 2,9967.
Exercícios
1. Calcule o valor aproximado, usando diferencial,.de
a) 3
02,896,3 + b) 22
)02,5()98,2( +− c) (1,01)2,03
d)
4 03,16
05,25
2. Mostre que a função f(x, y) = 3x2
+4y2
é diferenciável no ponto (1,1) e calcule a diferencial da
função nesse ponto para ∆x = ∆y = 0,01.
3. Dada a função f(x, y) = x 2
+ y, calcule ∆f quando x passa de 1 para 1,01 e y passa de 2 para
2,01. Calcule a df.
4. Seja f(x, y) = 3 yx + .
a) Calcule a diferencial de f no ponto (1,8).
b) Calcule um valor aproximado de ∆f quando x passa de 1 para 0,9 e y passa de
8 para 8,01.
5. Calcule o valor aproximado para 3
1021.27
31

32. 6. Calcule o valor aproximado para 22
)02,4()01,3( +
FUNÇÕES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE
Consideremos a equação x+y –3 = 0. Resolvendo-a em relação à y, temos y = -x+3. Obtemos
então uma função de x, f(x) = -x+3, derivável para todo x. Dizemos então que a equação x+y-3 = 0
define implicitamente uma função y = f(x) derivável em relação à x.
A equação x2
+y2
= 0 só é satisfeita pelo par (0, 0) e portanto não define implicitamente uma função
y = f(x) derivável em x.
Se considerarmos a equação x3
y+xy3
+x2
y2
+xy –4 = 0, não é fácil isolar y e obter y = f(x) e saber se
a equação define implicitamente uma função.
Uma função y = g(x) é definida implicitamente pela equação f(x, y)=0 se para todo x no domínio
da função g temos f(x, g(x)) = 0. Da mesma forma, x = h(y) é definida implicitamente pela
equação f(x, y) = 0 se para todo y no domínio da função h, temos f(h(y), y) =0.
No primeiro caso, temos g’(x) =
),(
),(
yxf
yxf
dx
dy
y
x−
= , se fy (x, g(x)) ≠ 0.
No segundo caso, temos h’(y) =
),(
),(
yxf
yxf
dy
dx
x
y−
= , se fx (h(y), y) ≠ 0.
Exemplos
1. A equação f(x, y) = 2x2
+ y –1 = 0 define implicitamente a função y = 1- 2x2
. Assim usando a
fórmula temos que y’ =
dx
dy
=
y
x
f
f−
=
1
4x−
= -4x. Fazendo o cálculo direto temos y’ = - 4x.
2. A função y = g(x) é definida implicitamente pela equação f(x, y) = 0 , onde f(x, y) = +xy3
+x2
y2
+x y
– 4. Expresse
dx
dy
em termos de x e y.
TEOREMA DAS FUNÇÕES IMPLÍCITAS: Sejam f(x, y) e fy (x, y) funções contínuas num domínio
D e (x0, y0) em D. Se f(x0, y0) = 0 e fy (x0, y0) ≠ 0 então existe um intervalo I, com centro em x0, em
que a equação f(x0, y0) = 0 define implicitamente uma única função derivável y = g(x) tal que
y0=g(x0) e f(x, g(x)) = 0, para todo x em I.
Exemplos:
1. A equação y3
+x y+x3
= 4 define implicitamente uma função y = g(x)?
Temos que f(x, y) = y3
+x y+x3
– 4 e fy (x, y)= 3y2
+x são contínuas em |R2
, e f(0, 3
4 ) = 0 e fy(0,
3
4 ) = 3( 3
4 )2
≠0, assim pelo Teorema das funções implícitas, a equação define uma função y =
g(x) diferenciável num intervalo aberto de centro 0. E dx
dy
= xy
xy
+
+
− 2
2
3
3
.
2. Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função
diferenciável y = g(x) e expresse
dx
dy
em função de x e y.
a) x2
y+sen y = x
b) y4
+x2
y2
+x4
= 3
c) x2
+ y2
=1
32

33. PLANO TANGENTE E RETA NORMAL
Seja f(x, y) uma função diferenciável no (x0, y0). O plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0,
f(x0, y0)) é definido por
z – f (x0, y0) = fx (x0, y0).(x - x0) + fy (x0, y0). (y - y0).
Observe que o plano tangente pode ser definido pelo produto escalar:
(fx (x0, y0), fy (x0, y0), -1).((x, y, z) – (x0, y0, f(x0, y0))) = 0
(fx (x0, y0), fy (x0, y0),-1). (x-x0, y – y0, z-f(x0, y0)) = 0
fx (x0, y0). (x- x0) + fy (x0, y0).(y – y0) –1.(z-f(x0, y0)) = 0
z – f (x0, y0) = fx (x0, y0).(x - x0) + fy (x0, y0). (y - y0).
A reta normal ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) é a reta que passa pelo ponto (x0, y0, f(x0,
y0)) e é paralela ao vetor (fx (x0, y0), fy (x0, y0), -1). A reta normal tem equação (x, y , z) = (x0, y0, f(x0,
y0)) + λ.(fx (x0, y0), fy (x0, y0), -1) ou





−=
+=
+=
λ
λ
λ
),(
),(
),(
00
000
000
yxfz
yxfyy
yxfxx
y
x
.
Exemplo: Seja f(x, y) = 3x2
y – x. determine as equações do plano tangente e da reta normal no
ponto (1, 2,f(1,2)).
VETOR GRADIENTE
Seja z = f(x, y) uma função que admite derivadas parciais em (x0, y0). O vetor
∇ f(x0, y0) = (fx (x0, y0), fy (x0, y0))
denomina-se vetor gradiente de f em (x0, y0).
Geometricamente, o vetor gradiente é um vetor aplicado no ponto (x0, y0).
Exemplo:
1) Determine o gradiente da função f(x, y) = 2
2
3
x
y
y
x
− +4xy no ponto (1,2).
f(x,y) = 3x²y-1
-yx-2
+4xy
fx =6xy-1
–y(-2)x-3
+4y = y
x
y
y
x
4
26
3
++  fx (1,2) = 2.4
1
2.2
2
1.6
3
++ = 3+4+8=15
fy =3x²(-1)y-2
–1x-2
+4x = x
xy
x
4
13
22
2
+−− fy (1,2) = 1.4
1
1
2
1.3
22
2
+−− = -0,75-1+4=2,25.
Logo ∇f(1,2) = (15; 2,25)
2) Seja f(x, y) = x2
+ y2
. Calcule ∇f(1,1).
fx =2x= fx (1,1) = 2.1=2
fy =2y = fy (1,1) =2.1=2
∇f(1,1)=(2,2)
Para uma variável temos que se f(x) é diferenciável no ponto x0 então
f (x) = f(x0) +f ’(x0).(x-x0) +E(x), com
0
lim
xx→ ||
)(
0xx
xE
−
= 0. (1)
Para duas variáveis, temos que se f(x,y) é diferenciável em (x0, y0) então
f(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0, y0)(y-y0)+E (x, y), com
||),(),(||
),(
lim
00
)(),( 00 yxyx
yxE
yxyx −→
=0. f(x,y)=
f(x0, y0)+ ∇f(x0, y0)[(x, y) –(x0, y0)] + E (x, y),com
||),(),(||
),(
lim
00
)(),( 00 yxyx
yxE
yxyx −→
= 0.
33

34. Fazendo X = (x, y) e X0 = (x0, y0) temos que
f(X) = f(X0) + ∇f(X0). (X –X0) +E(X), com
0
lim
XX → ||
)(
0XX
XE
−
= 0. (2)
Comparando (1) e (2) podemos considerar o gradiente como a derivada de f em (x0, y0), ou seja, f
’(x, y) = ∇f(x, y).
Geometricamente, temos que o vetor ∇f(x0, y0) gradiente é normal a curva f(x, y) = c (curva de
nível) em (x0, y0).
Exemplo: Seja y =g(x) uma função de uma variável. Considerando F(x,y) =g(x) –y temos uma
função de duas variáveis. O gráfico de g será igual a curva de nível F(x,y) = 0 . Assim ∇f(x0, y0)
é normal ao gráfico de g em (x0, y0). E ∇f(x0, y0)=(g’(x0), -1).
Exercício. Calcule o vetor gradiente:
a) f(x,y) =(ln(7x+4y))8,
no ponto (1,0)
b) f(x,y) =
xy
e yx
72
79
+
−
no ponto (1,1)
c) f(x,y) = 7 27
)38cos( yx + no ponto (0,π/2)
d) f(x,y) = sen(4x+y).cos(x7y8) no ponto (0,0)
e) f(x,y) = (8xy8+5yx4)7, no ponto (0,3)
f) f(x, y) = 3x2y - 3 2
x y2 no ponto(1,3).
g) f(x,y) = cos(ln(x7y³)), no ponto (0,π).
DERIVADA DIRECIONAL
Definimos um vetor unitário como aquele que tem norma um , ou seja,
é
→
u =(a,b) é unitário se ||
→
u || = 22
ba + = 1.
Seja z = f(x, y) uma função, (x0, y0) um ponto do domínio de f e
→
u =(a,b) um vetor unitário.
Suponhamos que exista r>0 tal que para |t|<r os pontos da reta (x, y) = (x0+at, y0+bt)∈Df. Como
estamos supondo
→
u =(a,b) um unitário, a distância de (x0+at, y0 + b t ) a (x0, y0) é |t|.
Assim, ),(),( 00
lim
yxyx →
t
yxfbtyatxf ),(),( 0000 −++
= →
∂
∂
u
f
(x0,y0) quando existe e é finito,
denomina-se derivada direcional de f no ponto (x0, y0) e na direção do vetor unitário
→
u =(a,b). A
derivada direcional →
∂
∂
u
f
(x, y) pode ser interpretada como sendo a inclinação da superfície z =
f(x,y) no ponto (x, y, z) na direção de
→
u .
Exemplo: Seja f(x, y) = x2
+ y2
e
→
u um vetor unitário.
→
∂
∂
u
f
(1,1) = 0
lim
→t
t
fbtatf )1,1()1,1( −++
→
∂
∂
u
f
(1,1) = 0
lim
→t t
btat 2)1()1( 22
−+++
→
∂
∂
u
f
(1,1) = 0
lim
→t
t
tbbttaat 22121 2222
−+++++
34

35. →
∂
∂
u
f
(1,1) = 0
lim
→t
t
bttbaat 2)(2 222
+++
→
∂
∂
u
f
(1,1) = 0
lim
→t
t
tbabat ))(22( 22
+++
→
∂
∂
u
f
(1,1) = 2a + 2b.
Se
→
u = (1, 0) temos →
∂
∂
u
f
(1,1) = 2.1+2.0 = 2 e se
→
u = (0,1) temos →
∂
∂
u
f
(1,1) = 2.0+2.1 = 2.
Observe que as derivadas parciais de f , em (x0, y0), são particulares derivadas direcionais:
fx (x0, y0) = →
∂
∂
u
f
(x0, y0) onde
→
u =
→
i = (1,0).
fy (x0, y0) = →
∂
∂
u
f
(x0, y0) onde
→
u =
→
j = (0,1).
Podemos obter vetores unitários
→
u a partir de qualquer vetor
→
v = (a0, b0) basta tomar o seu
versor:
→
u = →
→
|||| v
v
=
2
0
2
0 ba
v
+
→
.
Exemplos:
1. Se
→
v = (-1,1) então ||
→
v || = 22
)1()1( +− = 2 ≠ 1. Logo
→
v não é unitário, mas
→
u = →
→
|||| v
v
=
||)1,1(||
)1,1(
−
−
= 




 −
2
1
,
2
1
é unitário.
2. Se
→
v = (3,4) então ||
→
v || = 22
)4()3( + = 25 =5 ≠ 1. Logo
→
v não é unitário, mas
→
u =
→
→
|||| v
v
=
||)4,3(||
)4,3(
= 





5
4
,
5
3
é unitário.
TEOREMA: Sejam f: A ⊂|R2
→|R, A aberto, (x0, y0) em A e
→
u =(a,b) vetor unitário. Se f(x,y) for
diferenciável em (x0, y0) então f admitirá derivada direcional em (x0, y0), na direção de
→
u e
→
∂
∂
u
f
(x0, y0) =∇f (x0, y0).
→
u
.
35

36. TEOREMA: Sejam f: A ⊂|R2
→|R, A aberto, f diferenciável em (x0, y0) e tal que ∇f (x0, y0) ≠ (0,0).
Então o valor máximo de →
∂
∂
u
f
(x0, y0) ocorre quando
→
u for o versor do vetor gradiente ∇f (x0, y0),
isto é ,
→
u = ||),(||
),(
00
00
yxf
yxf
∇
∇
e esse valor máximo é ||∇f (x0, y0)||.
Assim, estando em (x0 , y0) a direção e sentido que se deve tomar para que f cresça mais
rapidamente é a direção do vetor gradiente em (x0, y0).
Exemplo: Considerando f(x, y) = 5xy-4x²+y, calcule a derivada direcional de f, na direção de u =
(8,6), a partir de (x0, y0) = (3,2).
Solução: fx =5y -8x fx (3,2) =5.2-8.3= -14, fy =5x+1 fy (3,2) = 5.3+1=16, ∇f(3,2) = (-14, 16), ||
u||= 1010068 22
==+  v = (8/10, 6/10) = (0,8, 0,6)
u
f
∂
∂ )2,3(
= ∇f(3,2).u = (-14,16). (0,8; 0,6) = -14.0,8+16.0,6 = -1,6
Exercícios
1. Seja f(x, y) = x2
+ x.y e calcule →
∂
∂
u
f
(1,2) onde
→
u é o versor de :
a)
→
v = (1,1) b)
→
v = (3,4).
2. Seja f(x, y) = x2
y. Calcule
→
u de modo que →
∂
∂
u
f
(1,1) seja máximo? Qual é o valor
máximo?
Integrais Duplas
Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral
definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no
processo, chegar à definição de integral dupla. Consideremos uma função f de duas variáveis
definida em um retângulo fechado R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) ∈IR2
| a < x < b, c < y < d }
e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y).
36
y
ba x
d
c
RR
z

37. Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja,
S = {(x,y,z) ∈IR3
| (x,y) ∈ R, 0 < z < f(x,y)}
Nosso objetivo é determinar o volume de S. O primeiro passo consiste em dividir o
retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi],
de mesmo comprimento ∆x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de
mesmo comprimento ∆y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando
pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos.
Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j }
cada um dos quais com área ∆A = ∆x∆y.
Se escolhermos um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de S
que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij ,
yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base:
Vij = f(xij , yij)∆A.
Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes
das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S:
37
xi
∆x
x
y
ba x
d
c
RR
x1 x2 xi-1
y1
y2
yj-1
yj
∆y •
•• •
•
•
•••••••••
•
•
•••
•
•
•
•••••
• • • • • • •
• •
• • • • • •
•
• ••
•
• • •• ••
RRijij
(x(xijij , y, yijij))

38. V ≈ ∑∑
==
∆
m
1j
ijij
n
1i
A)y,x(f
Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto
amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os
resultados.
Nossa intuição diz que a aproximação V ≈ ∑∑
==
∆
m
1j
ijij
n
1i
A)y,x(f melhora quando aumentamos
os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que:
V = ∑∑
==
∞→
∆
m
1j
ijij
n
1i
n,m
A)y,x(flim .
Usamos essa expressão para definir o volume do sólido S que corresponde à região que está
acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f. Mesmo f não sendo uma função positiva, podemos
dar a seguinte definição:
A integral dupla de f sobre o retângulo R é
=∫∫
R
dA)y,x(f ∑∑
==
∞→
∆
m
1j
ijij
n
1i
n,m
A)y,x(flim
se esse limite existir.
Pode ser provado que o limite existe sempre que f for uma função contínua. Além disso, se f(x,y) >
0, então o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z = f(x.y) é
∫∫=
R
dA)y,x(fV .
A soma ∑∑
==
∆
m
1j
ijij
n
1i
A)y,x(f é chamada soma dupla de Riemann e é usada como
aproximação do valor da integral dupla.
38
x
RR
y
z
S
•
f (xij , yij )
(xij , yij )
Vij

39. Exemplo: O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do
parabolóide elíptico z = 16 – x2
– 2y2
pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro
quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada quadrado Rij.
Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale 1. O parabolóide
é o gráfico de f(x,y) = 16 – x2
– 2y2
. Aproximando o volume pela soma de Riemann com m = n = 2,
temos:
∑∑
==
∆≈
2
1j
ijij
2
1i
A)y,x(fV = f(1,1)∆A + f(1,2) ∆A + f(2,1) ∆A + f(2,2) ∆A
= 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34
Esse é o volume das caixas “aproximadoras”, como mostra a figura abaixo:
Obtemos melhor aproximação do volume quando aumentamos o número de quadrados. A figura
abaixo mostra como as figuras começam a parecer mais com o sólido verdadeiro e as
39
2
2
1
10 x
y
(1,1)
(2,2)
(2,1)
(1,2)
R11
R22
R21
R12

40. aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando usamos 16, 64 e 256
quadrados.
INTEGRAIS ITERADAS
Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla
de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo:
∫ ∫∫ ∫∫∫ 







=








=
d
c
b
a
b
a
d
cR
dydx)y,x(fdxdy)y,x(fdA)y,x(f
Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for limitada em R,
podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R.Exemplo: Calcule o valor da integral
∫∫
R
2
ydAx , onde R = [0,3] x [1,2]
Solução: ∫∫
R
2
ydAx = ∫ ∫ 






3
0
2
1
2
dxydyx = ∫ 




3
0
2
1
2
2
dx
2
y
x = ∫ 





−
3
0
22
dx
2
1
x
2
4
x =
∫ 





3
0
2
dxx
2
3
=
3
0
3
3
x
2
3



= 5,13
2
27
2
x
3
0
3
==


OU
∫∫
R
2
ydAx = ∫ ∫ 






2
1
3
0
2
dyydxx = ∫ 




2
1
3
0
3
dyy
3
x
= ∫ 





−
2
1
dy0y
3
27
( )∫=
2
1
dyy9 =
2
1
2
2
y9



40
y
3
2
2
x
1
0

41. 5,13
2
27
2
9
2
36
==−=
O valor obtido é o volume do
sólido acima de R e abaixo do
gráfico da função f(x,y) = x2
y
(Veja figura ao lado)
Exemplo: Calcule
∫∫
R
dA)xysen(y , onde R = [1,2] x
[0,π].
Solução:
[ ]
00sen0sen
2
1
sensen
2
1
yseny2sen
2
1
dy)ycosy2cos(
dyxycosdydx)xysen(ydA)xysen(y
00
0
2
1
0
2
1R
=−+π+π−
=


+−=+−
=−==
ππ
ππ
∫
∫∫∫∫∫
Obs.: 1) Se mudarmos a ordem de integração, invertendo as integrais iteradas, a resolução das
mesmas irá requerer a aplicação de técnicas de integração, tornando o trabalho mais
demorado. Portanto é importante observar o tipo de função que iremos integrar e fazer uma boa
escolha da ordem de integração.
2) O valor obtido nesta integral representa a diferença do volume da parte do sólido que
está acima do retângulo R e do volume da parte do sólido que está abaixo de R. Como o
resultado foi zero, estes volumes são iguais.
Exemplo: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2
+ 2y2
+ z =
16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
41

42. Solução: Observamos, primeiro, que S é o sólido que está abaixo da superfície z = 16 – x2
– 2y2
e
acima do retângulo R = [0,2] x [0,2], como mostra a figura.
Vamos calcular o volume deste sólido usando integral dupla:
( )
( )
48
3
8.42.88
3
y
4y
3
88
dyy4
3
88
dyy4
3
8
32
dyxy2
3
x
x16
dydxy2x16
dAy2x16V
2
0
3
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
2
3
2
0
2
0
22
R
22
=
−
=





−=






−=






−−=






−−=
−−=
−−=
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
INTEGRAIS DUPLAS EM REGIÕES GENÉRICAS
Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas,
para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função f, não somente sobre retângulos,
mas também sobre um região D de forma mais geral, como mostra a figura abaixo. Vamos supor
que D seja uma região limitada, o que significa que D pode ser cercada por uma região retangular
R. Definimos, então, uma nova função F com domínio R por
( )



=
DemestánãomasRemestá)y,x(se,0
Demestáy,xse),y,x(f
)y,x(F
Se a integral dupla de F sobre R existe, então definimos a integral dupla de f sobre D por
∫∫∫∫ =
RD
dA)y,x(FdA)y,x(f
Cálculo da Derivada Dupla sobre Regiões Planas Genéricas
42
R
DD DD
x
x
yy
0 0

43. 1) Regiões planas inscritas em faixas verticais:
Consideremos uma região D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o gráfico de duas funções
contínuas de x, ou seja: D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }
onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo:
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:
∫ ∫∫∫ =
b
a
)x(g
)x(gD
dxdy)y,x(fdA)y,x(f
2
1
sempre que f for contínua em D.
2) Regiões planas inscritas em faixas horizontais:
Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o gráfico de duas funções
contínuas de y, ou seja: D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } onde h1 e h2 são contínuas em
[c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo:
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:
∫ ∫∫∫ =
d
c
)x(h
)x(hD
dydx)y,x(fdA)y,x(f
2
1
sempre que f for contínua em D.
43
DD
x
y
0
DD
x
y
0
DD
x
y
0
bbb aaa
y = g1(x)y = g1(x) y = g1(x)
y = g2(x)
y = g2(x)y = g2(x)
DD
x
y
0
DD
x
y
0
DD
x
y
0
dd
d
c
c
c
x = h1(y)
x = h1(y)
x = h1(y)
x = h2(y)
x = h2(y)x = h2(y)

44. Exemplo: Calcule ∫∫ +
D
dA)y2x( onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2
e y = 1 +
x2
.
Solução:
A região D está inscrita na faixa vertical –1 < x < 1,
pois essas são as abscissas dos pontos de
intersecção das duas parábolas e podemos
escrever:
D = { (x,y) | –1 < x < 1, 2x2
< y < 1 + x2
}
Assim, calculamos a integral dupla através
das seguintes integrais iteradas:
[ ]
[ ] [ ]
( )
( )
15
32
x
2
x
3
x
2
4
x
5
x
3
dx1xx2xx3
dxx4x2xx21xx
dxx4x2)x1()x1(x
dxyxydxdy)y2x(dA)y2x(
1
1
2345
1
1
234
1
1
43423
1
1
43222
1
1
x1
x2
2
1
1
x1
x2D
2
2
2
=





+++−−=
+++−−=
−−++++=
+−+++=
+=








+=+
−
−
−
−
−
+
−
+
∫
∫
∫
∫∫ ∫∫∫
Exemplo: Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2
+ y2
e acima da
região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2
.
Solução: D é uma região inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto:
D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2
< y < 2x }
Assim, o volume é:
( ) ( )
35
216
21
128
5
32
12
16.14
21
x
5
x
12
x14
dx
3
x
x
3
x14
dx
3
x
x
3
x8
x2dx
3
y
yx
dxdyyxdAyxV
2
0
7542
0
6
4
3
2
0
6
4
3
3
2
0
x2
x
3
2
2
0
x2
x
22
D
22
2
2
=−−=






−−=







−−=






−−+=





+=








+=+=
∫
∫∫
∫ ∫∫∫
Mas também podemos inscrever a região D na faixa horizontal 0 < y < 4, com:
D = { (x,y) | 0 < y < 4, yx
2
y
≤≤ }
44
x
y
–1 1
y = 2x2
y = 1 + x2
y = 2x
y = x2

45. Portanto, o volume pode ser calculado como:
( ) ( )
35
216
256.
96
13
128.
7
2
32.
5
2
y
96
13
y
7
2
y
15
2
dyy
24
13
yy
3
1
dy
2
y
24
y
y
3
y
xy
3
x
dydxyxdAyx(V
4
0
42
7
2
5
4
0
32
5
2
3
4
0
33
2
52
34
0
y
2
y
2
34
0
y
2
y
22
D
22
=−+=





−+=





−+=








−−+=





+=










+=+=
∫
∫∫∫ ∫∫∫
Exemplo: Calcule ∫∫
D
xydA , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2
= 2x
+ 6.
Solução:
A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira:
[y2
= 2x + 6] ∩ [y = x – 1] ⇒
2
6y
x
2
−
= e x = y + 1 ⇒ 1y
2
6y2
+=
−
⇒ y2
– 2y – 8 = 0
⇒ y = –2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 )
Portanto, os pontos de intersecção das curvas são (-1,-2) e (5,4).
Novamente, a região D pode ser considerada inscrita tanto em uma faixa vertical como em uma
faixa horizontal. Mas a descrição de D considerada inscrita na faixa vertical -3 < x < 5 é mais
complicada, pois sua fronteira inferior é constituída por mais de uma curva.
Assim, preferimos expressar D como: D = { (x,y) | -2 < y < 4,
2
6y2
−
< x < y + 1 }
Logo:
45
y2
= 2x + 6
y = x – 1

46. 3664
3
64
64
3
32
256
3
512
1024
3
2048
8
1
y16
3
y
8y4
6
y
8
1
dy
4
y32y8y16y
2
1
dy)
8
y36y12y
2
yy2y
(
dyy
2
x
dyxydxxydA
4
2
2
3
4
6
4
2
235
4
2
3523
4
2
1y
2
6y
24
2
1y
2
6yD
2
2
=





++−+−++−=






−++−=
−++−
=
+−
−
++
=






=












=
−
−
−
−
+
−
−
+
−
∫
∫
∫∫ ∫∫∫
Exemplo: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x=2y, x=0 e z = 0.
Solução: Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido
tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está.
Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que contém as
arestas do tetraedro:
A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x =
0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2.
Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos
que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x =
0.
O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D como:
D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 }.
Portanto o volume de T é:
46
(1, ½, 0)
(0, 1, 0)
(0, 0, 2)
x + 2y + z = 2
x = 2y
x
y
z
x
y
1
1
½
x + 2y = 2
x = 2y
D
T

47. ( ) ( ) [ ]
( ) 3
1
3
x
xxdxxx21
dx
4
x
2
x
x
4
x
x1
2
x
xx2
dx
4
x
2
x
x
2
x
1
2
x
1x
2
x
12
dxyxyy2dxdyy2x2dAy2x2V
1
0
3
2
1
0
2
1
0
2222
1
0
222
1
0
2
x1
2
x
2
1
0
2
x1
2/xD
=





+−=+−=








++−−+−+−−=








++−





−−





−−





−=
−−=−−=−−=
∫
∫
∫
∫∫ ∫∫∫
−
−
PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS:
1) ∫∫∫∫∫∫ +=+
DDD
dA)y,x(gdA)y,x(fdA)]y,x(g)y,x(f[
2) ∫∫∫∫ =
DD
dA)y,x(fcdA)y,x(cf , onde c é uma constante
3) ∫∫∫∫∫∫ +=
21 DDD
dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f
,
APLICAÇÕES: MASSA E CENTRO DE MASSA DE UMA LÂMINA
Suponha uma lâmina colocada em uma região D do plano xy e cuja densidade (em unidades de
massa por unidade de área) no ponto (x,y) em D é dada por ρ(x,y), onde ρ é uma função contínua
sobre D. Então a massa total m da lâmina é dada por:
∫∫ρ=
D
dA)y,x(m
Além disso, o centro de massa dessa lâmina é o ponto (X,Y), onde
m
M
X
y
= e
m
M
Y x
= , sendo
∫∫ ρ=
D
x dA)y,x(yM e ∫∫ ρ=
D
y dA)y,x(xM os momentos em relação aos eixos x e y,
respectivamente.
Exemplo: Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0),
(1,0) e (0,2), se a função densidade é ρ(x,y) = 1 + 3x + y.
Solução:
O triângulo D está limitado pelas retas x =
0, y = 0 e y = 2 – 2x.. Podemos expressar D
por:
D = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 – 2x }
A massa da lâmina é:
( )∫∫∫∫ ++=ρ=
DD
dAyx31dA)y,x(m
Portanto:
47
se D = D1 ∪ D2, onde D1 e D2 não se
sobrepõem exceto, possivelmente, nas
fronteiras.
(0,2)
(0,0) (1,0)
y = 2 – 2x
D

48. ( )
( ) ( )
( ) 3
8
3
4
4
3
x
4x4dxx44
dxx2x42x6x42dx
2
x22
x6x6x22
dx
2
y
xy3ydxdyyx31m
1
0
31
0
2
1
0
22
1
0
2
2
1
0
x22
0
21
0
x22
0
=−=





−=−=
+−+−+=







 −
+−+−=






++=++=
∫
∫∫
∫∫ ∫
−−
Os momentos são:
( )
( )
( ) ( ) ( )
6
11
6
5
1
6
5
3
2
3
3
14
x
6
5
x
3
2
x3x
3
14
dxx
3
10
x2x6
3
14
dx
3
x8
x8x8
3
8
x6x12x6x2x42
dx
3
x22
2
x22
x3
2
x22
dx
3
y
2
y
x3
2
y
dxdyyxy3y
dAyxy3ydA)y,x(yM
1
0
432
1
0
32
1
0
3
2322
1
0
322
1
0
x22
0
3221
0
x22
0
2
D
2
D
x
=+=+−−=






+−−=





+−−=








−+−++−++−=







 −
+
−
+
−
=






++=++=
++=ρ=
∫
∫
∫
∫∫ ∫
∫∫∫∫
−−
( )
( )
( )
( )
( ) [ ] 112xx2dxx4x4
dxx2x4x2x6x4x2
dx
2
x22
xx6x6x2x2
dx
2
y
xyx3xydxdyxyx3x
dAxyx3xdA)y,x(xM
1
0
42
1
0
3
1
0
3232
1
0
2
322
1
0
x22
0
2
2
1
0
x22
0
2
D
2
D
y
=−=−=−=
+−+−+=







 −
+−+−=






++=++=
++=ρ=
∫
∫
∫
∫∫ ∫
∫∫∫∫
−−
Assim:
8
3
3
8
1
m
M
X
y
=== ,
16
11
8
3
6
11
3
8
6
11
m
M
Y x
====
Logo, o centro de massa da lâmina é o ponto (3/8,11/16), indicado na figura:
48
(0,2)

49. Exemplos Resolvidos:
1. Descreva a área da região abaixo, por meio de integrais duplas, inverta a ordem de integração e
dê o resultado da área nas duas formas:
a)
onde y = -3x+9
Verticalmente:
( )
5427
2
27
27
2
27
))3.(9
2
)3.(3
()3.9
2
3.3
()9
2
3
(
931
22
3
3
2
3
3
93
0
3
3
3
3
93
0
=+++−=
−+
−−
−+
−
=+
−
=
+−===
−
−
+−
−−
+−
∫∫∫ ∫
x
x
dxxdxydydxA
xx
.
Horizontalmente:
Invertendo: y = -3x+9 3x= -y+9 x = (-y+9)/3 = -y/3+3
( )
54108541086/324)18.6
6
18
()6
6
(
6
3
)3(3
3
1
2
18
0
2
18
0
18
0
3
3
3
18
0
18
0
3
3
3
=+−=+−=+
−
=+
−
=
+−=−−+−=== ∫∫∫∫ ∫
+−
−
+−
−
x
y
dy
y
dy
y
dyxdxdyA
yy
b)
49
(0,0) (1,0)
y = 2 – 2x
D
• (3/8,11/16)

50. Verticalmente:
( )
3
4
3
8
40
3
³2
²2
3
³
²
3
³
2
2
²21
2
0
2
0
22
0
2
²
2
0
2
0
2
²
=−=−−=
=−=−=−=== ∫∫∫ ∫
x
x
xx
dxxxdxydydxA
x
x
x
x
Horizontalmente: invertendo: y=2x x=y/2
y = x²  x = y
( )
3
4
4
3
16
4
²4
4
3
2
4
²
3
2
2.2
²
2/322
1
3
4
0
3
4
0
2/34
0
2/1
4
02/
4
0
4
0 2/
1
=−=−=
=−=−=−=−=== ∫∫∫∫ ∫
y
y
yy
dy
y
ydy
y
ydyxdxdyA
y
y
y
y
c)
verticalmente
( )
6
7
6
263
3
³1
1
2
1
3
³
2
²11
2
1
0
21
0
1
²
1
0
1
0
1
²
=
−+
=−+=
−+=−+=== ∫∫∫ ∫
++
x
x
x
dxxxdxydydxA
x
x
x
x
Horizontalmente:
Invertendo: y= x+1 x=y-1 , y=x²x = y
50

51. ( )
( )
6
7
2
1
3
2
21
2
1
2
1
224
2
²1
1.2
2
²2
2.2
2
22)1(11
3
2
3
2
2/3
1
2
1
22
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
0
3
1
0
2/31
0
2/1
1
00
1
0
1
0 0
1
=+=+=
=+−−=





−−





−
=−=−=−−===
=======
∫∫∫∫ ∫
∫∫∫∫ ∫
−−
AAA
y
ydyydyydyxdxdyA
y
y
dyydyydyxdxdyA
yy
yy
d)
verticalmente
( )
3
2
6
4
6
26
3
³1
1
3
³
²11
1
0
1
0
1
²
1
0
1
0
1
²
==
−
=−=
−=−=== ∫∫∫∫
x
xdxxdxydydxA
xx
Horizontalmente:
Invertendo: y = x²  x = y
( )
3
2
)01(
3
2
3
2
2/3
1
33
1
0
3
1
0
2/31
0
2/1
1
00
1
0
1
0 0
=−==
===== ∫∫∫∫∫
y
y
dxydxydxxdxdyA
yy
2. Resolva as seguintes integrais duplas:
a)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∫∫
∫∫∫∫∫
− −−
−−
=
−=
−
=
−=− −
=




 −
−





=





==+
=−−==





=
1
1
771
1
7
6
1
1
66
1
1
1
1
3
1
1
31
1
3
23
32
7
)1.(112
7
1.112
7
112
1124108
)³³(4)³3³(4³³4
3
³³12
12
x
dxxdxxx
dxxxxxdxyxdx
yx
dydxyx
xy
xy
xy
xy
x
x
51

52. b)
2
1292/9691.151.
2
9
1.5415
2
9
54
15
2
9
3
162
)159162()3.533.2(
)52()5
2
2
4
8
()528(
23
1
0
2
3
1
0
231
0
2
1
0
224
1
0
3
0
224
1
0
3
0
2241
0
3
0
23
=−=+−=





+−=
=





+−=+−=+−=
=+−=+−=+−
∫∫
∫∫∫∫
y
y
y
y
yy
dyyydyyy
dyxyxyxdyx
yxyx
dxdyxyyx
c)
102/20
2
5.1
2
5
2
1
22
1
.
2
1
1.
2
)(
2
5
0
25
0
5
0
21
0
5
0
25
0
1
0
==





−
=





−=





−=





−=





−=− ∫∫∫∫∫
xx
dxxdxxdx
y
xydydxyx
d)
( ) ( ) ( )
3/1043/641243/64124
3
)³2(8
2
)²2(6
)2(2
3
³2.8
2
²2.6
2.2
3
³8
2
²6
2².862²6².262
.6².21.6²1.26²26
2
4
)64(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
122
2
1
−=−−+−+=




 −
−
−
+−−





−+
=





−+=−+=−−+=
=+−+=+=





+=+
−−−
−−−−
∫∫
∫∫∫∫ ∫
yy
ydyyydyyyy
dyyyyydyyxxdyyx
x
dxdyyx y
yy
e)
( )
( ) ( )
7
6
42
6
1626
3
³1.8
6
1.26
3
³8
6
26
²826
1227²43.4)³3²(.4³²
4³²4
3
³²3
)43(
61
0
61
0
5
1
0
255
1
0
1
0
3
1
0 3
1
0 3
22
−=
−
=
−−
=−
−
=





−
−
=−−
=−−+=+−+
=+=





+=+
∫
∫∫
∫∫∫ ∫
xx
dxxx
dxxxxxdxxxxxxxxx
dxxyyxdxxy
yx
dydxxyx
x
x
x
x
x
x
f)
( ) ( )
( ) ( ) 2)1(20.25/1010
55)³(5³5³55
550
1
5
0
1
4
0
1
44
0
1
0
1
0
1
3
=−−==
+=−−==
−
−
−−−
−
− −
∫
∫∫∫∫ ∫
ydyy
dyyydyyyyydyxydxdyy
y
y
y
y
g)
31.30.3)
2
(3)(3)(3
)cos(.3)cos(.)cos(
2
2/2/
3
0
2/
3
0
−=−=−=
=== ∫∫∫ ∫
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
sensenxsen
dxxdxxydydxx
Exercícios:
1) Calcule as seguintes integrais duplas:
52

53. a) ∫∫ +
4
2
1
0
)45( dydxyx b) ∫∫
4
2
2
dydxxy
x
x
k) ∫∫
2
0
2 y
y
dxdyxy
c) ∫∫ −
1
0
1
0
98 dxdyy d) ∫∫−
2
0
32
x
x
dydxyx l)
dydxxxy
x
∫∫ +−
3
1 0
3
2624
e) ∫∫
1
0 0
2
)cos(
y
dxdyy f) ∫ ∫ +
2
0
2
2
2
)23(
x
x
dydxyx m) ∫∫
2
1
2
0
3
x
dydxxy
g) ∫∫
1
0
2
10
x
x
dydxxy h) dxdyyyx
y
∫∫ +−
3
1 0
3
)234( n) dydx
xy
x
e
∫∫−
1
1 1
1
i) ∫∫ +
1
0
1
0
8 xdxdy j) ∫∫ −
5
0
1
0
)6( dydxyx o) dxdy
x
y
y
y
∫∫
1
0 2
2) Calcule a área das figuras abaixo através de uma integral dupla, inverta a ordem e
verifique que o resultado é o mesmo:
a) b)
0 5
5
9
0
9 x−
90 x
2 0 2
8
16
16
0
x
4
− 16+
22− x
APÊNDICE. REVISÃO
Operações básicas que devem ser lembradas: fração, potenciação, radiciação.
n
n
xk
x
k −
= . n
m
n m
xx =
Exercícios:
1) Observe os exemplos e coloque na forma de potência k.xn
:
a)
4
4
3
3 −
= x
x
i) 5
1
x
p) 3 7
x
b)
22
2
.1
1 −−
== xx
x
j) 6
7
x
q) 5 6
x
c)
55
1
5
1 8
8
8
−
−
==
x
x
x
k) 3
7
2
x
r)
x
8
d) 3
2
3 2
xx = l) 4
4
1
x
s) 7 4
1
x
53

54. e) 2
1
xx = m) 3
2
9
x
t) 5 4
.2
3
x
f)
2
5
2
55
.7
77 −
== x
xx
n) 3
1
x
u) 3
.5
1
x
g)
4
1
4
1
4
14
.1
11 −−
=== xx
xx
o) 10
9
x
v) 5
x
2) Observe os exemplos e elimine os expoentes negativos e/ou fracionários:
a) 4
4 1
x
x =−
b) 5 65
6
xx = c)
4 3
4
3
4
3 88
.8
xx
x ==
−
d) 55
1
22 xx =
Faça esses: e) 7
5 −
x f) 1
6 −
x g) 2
3−
x h) 4x-7
i) 2
3
5x
j) 7x-4/5
3) Observe os exemplos e resolva as operações com frações:
b)
2
3
2
21
1
2
1
=
+
=+ d) 1
6
7
+ g) 1
6
1
+
c)
5
2
5
53
1
5
3 −
=
−
=− e) 1
4
5
− h) 1
2
1
−
d)
3
7
3
61
2
3
1
=
+
=+ f) 3
7
9
+ i)
4
3
5
2
+
4) Observe os exemplos e elimine os produtos e quocientes:
g) x4
.x5
= x4+5
= x9
a)
x
xxxx
x
x 1
. 15454
5
4
==== −−−
h) 72
7
2
32
2
3
232
.. xxxxxxx ====
+
i) xxxxx
x
x
x
x
=====
−−
2
1
2
32
2
3
2
2
3
2
3
2
.
j)
3 23
2
3
2
3
51
3
5
3
53 5
11
.
xx
xxxx
x
x
x
x
======
−−−
k)
xxx
xxxx
x
x
x
x
4
3
4
31
.
4
3
4
3
4
3
.
4
3
4
3
.4
3
2
1
2
1
2
1
2
52
2
5
2
2
5
2
5
2
=======
−−−
l)
4 9
7
x
x
h) x3
.x7
j)
x
x
l) xx. n) 7 5
.3 x
x
m) 5
.2 xx i) 3
. xx k) 5
7
x
x
m) 65
. xx o)
6
7
2
5
x
x
54

55. DERIVAÇÃO
0.1 Regras de derivação
1) f(x) = k à f ’(x) = 0 função constante
2) f(x) = xn
à f ’(x) = n.xn-1
função potência
3) f(x) = k. g(x) à f ’(x) = k.g’(x) (k nº fixo) produto por constante
4) f(x) = u(x) + v(x) à f ’(x) = u’(x) + v’(x) derivada da soma
5) f(x) = u(x) – v(x) à f ’(x) = u’(x) – v’(x) derivada da diferença
6) f(x) = u(x).v(x)à f ’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x) derivada do produto
7) f(x) =
)(
)(
xv
xu
à f ’(x) = 2
))((
)(').()().('
xv
xvxuxvxu −
derivada do
quociente
8) f(x)= un
à f ’(x) = u’.n.un-1
regra da cadeia para potência
9) f(x) = ln(u) à f ’(x)=
u
u'
derivada do log base e
10) f(x) = loga(u) à f ’(x) =
au
u
ln.
'
derivada do log em outra base
11) f(x) = eu
à f ’(x) = u’.eu
derivada da exponencial base e
12) f(x) = au
à f ’(x) = u’. au
.ln(a) derivada da exponencial outra base
13) f(x) = sen (u)à f ’(x) = u’.cos (u) derivada do seno
14) f(x) = cos (u) à f ’(x) = - u’.sen (u) derivada do cosseno
Exemplos:
Função Derivada
1) f(x) = 9 f ’(x) = 0
2) f(x) = x5
f ’(x) = 5x4
3) f(x) = 3.x5
f ’(x) = 3.5.x4
= 15x4
4) f(x) = 3x2
+2x+4 f ’(x) = 3.2x+2+0= 6x+2
5) f(x) = 7x-x3
f ’(x) = 7 – 3x2
6) f(x) = x. x f’(x)=1. x +x.½x – ½
= x + ½ x ½
= x +½ x = 3/2. x
7) f(x) =
2
3
2
−x
x
f ’(x) = 22
2
)2(
2.3)2.(3
−
−−
x
xxx
= 22
2
)2(
63
−
−−
x
x
8) f(x) =(x+2)8
f ’(x)= 8.(x+2)7
.1= 8.(x+2)7
.
9) f(x) = ln(3x-4)
f ’(x) =
43
3
−x
10) f(x) = log 2(5x+3)
f ’(x) =
)2ln()35(
5
+x
11) f(x) =
3x
e f ’(x) =3x2
.
3x
e
12) f(x) = 24x
f ’(x) = 4.24x
.ln(2)
13) f(x) = sen (3x) f ’(x) = 3.cox(3x)
14) f(x) = cos (7x+2) f’(x) = -7 .sen(7x+2)
Agora é a sua vez! Lista de Exercícios: Calcule as derivadas das seguintes funções:
1. y = x3
. log(x) 2.y = -0,6x 3. y = x. x
4. y = 3-x6
+x8
5. y = -x3
6. y = x .x –1
7. y = 4x+5x2
+6x3
+7x4
8. y = 6x2
+ 7-x
9. y =
xx
xx
−
+
4
2
5,0
43
10. y =
2
1
4
3
+
x
11.y =
2
x
12. y = 5
32
53
32
x
xxx
+
++
55

56. 13. y =
x
x
−3
2
14.y =
2
3
−
+
x
x
15. y =
)log(
)ln(
x
x
16. y = 3 2
5xx − 17.y=ex
/x 18. y = x2
.(2x-1)4
19. y =
34
3
4
4
5
xx − 20.y = 5
4
x
21. y =
x
x
3
2−
22. y = 7.ex
+ ln(x) – ln 2 23.y = 6x 0,5
24. y = 0,2x+0,5x2
-0,3
25. y = 5
x -3x+5 26.y = 35
xx + 27. y = 93 +x
28. y = 10x
+ 5. ln(x) + 3x+4 29.y = 5. ex
+ 6. ln(x) +3. 2x
+ 6 30. y = (ln(x))3
31. y =5.3x
32.y = 12x
+ x3
33. y = x2
.ex
34. y = (3x2
+5)5
35.y = (2x-4)3
36. y = -x.ln(x)
37. y = (x3
–3x2
)4
38.y = (4 – 7x)7
39. y = (e5x+3
)4
40. y = 32
+x
e 41.y = 2.e3x-1
42. y = 5x – 3x2
+4
43. y = e5-2x
44.y = 5.e2-x
45. y = 2x
. x2
46. y = ln (x2
-5x+1) 47.y = ln ( 3x-4) 48. y = x.(x+3)3
49. y = log (4-x2
) 50.y = log 2 ( x+x2
) 51. y = 3x5
.e4x+2
52. y = 23x
+ 5.(3-x2
)6
+ e5x+2
53.y = 102x-3
54. y = 3x2
e2-x
.
Revisando - Integrais Indefinidas
1) ∫ dxc =c. x + k 2) ∫ dxxn
=
1
1
+
+
n
xn
+ k , n ≠ -1 7) dxax
∫ =
a
ax
ln
+ k
3) ∫
−
dxx 1
= dx
x∫
1
= ln |x | + k 4) ∫ dxex
= ex
+ k 8) ∫ dxenx
=
n
enx
+k
5) ∫ dxxcos = sen x +k 6) ∫ dxxsen = - cos x + k 9) ∫ dxnx)cos( =
n
nx)sen(
+k
10) ∫ dxnx)sen( =
n
nx)cos(−
+k
56