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GEOMÉTRIA
ANALÍTICA
Daiane Marques da Silva
Pág. 1: capa
Pág. 2: tema
Pág. 3: sumário
Pág. 4-6: distância entre dois pontos
Pág. 7-10: ponto médio de um segmento de reta
Pág. 11-12: equação geral da reta
Pág. 13-15: posição relativa entre duas retas
Pág. 16-17: distância entre ponto e reta
Pág.18-19: área do triângulo
Pág 20- 22: exercícios
SUMÁRIO
O que é a distância entre dois
pontos?
 A distância entre dois pontos depende do lugar geométrico em que
esses pontos estão localizados. Por exemplo, se dois pontos estão em
uma reta, a distância é dada pelo módulo da diferença entre eles, veja:
Ex:
Para X= 30 e para Xo= 10
O módulo é 30 – 10 = 20
O que é a distância entre dois
pontos?
 Para determinar a distância entre dois pontos no plano cartesiano, é
necessário realizar a análise tanto no sentido do eixo das abscissas
(x) quanto no do eixo das ordenadas (y). Confira:
Note que na distância entre o ponto A e B existe uma variação tanto no
eixo x quanto no eixo y, logo, a distância entre os pontos deve ser dada em
função dessas variações.
O que é a distância entre dois
pontos?
 Fórmula da distância entre dois pontos
Calcular a distância entre os pontos P (-2, -4) e Q (2, 2).
Perceba que na fórmula devemos subtrair os valores das abscissas de
cada ponto e, em seguida, elevar ao quadrado, e o mesmo deve acontecer
com os valores das ordenadas. Assim:
Ponto médio de um segmento de
reta
 O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um
deles divide o segmento em duas partes iguais. A identificação e a
determinação do ponto médio de um segmento de reta serão
demonstrados com base na ilustração a seguir:
O segmento de reta AB possui um ponto médio (M) com as
seguintes coordenadas (xM, yM).
Ponto médio de um segmento de
reta
 Observe que os triângulos AMN e
ABP são semelhantes e possuem
três ângulos iguais. Dessa forma,
podemos aplicar a seguinte relação
entre os segmentos que formam
os triângulos. Veja:
AM = AN
AB AP
Podemos concluir que AB = 2 * (AM),
considerando que M é
o ponto médio do segmento AB.
AM = AN
2AM AP
AN = 1
AP 2
AP = 2AN
xP – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2*(xM – xA)
xB – xA = 2xM – 2xA
2xM = xB – xA + 2xA
2xM = xA + xB
xM = (xA + xB)/2
 Por meio de um método análogo,
conseguimos demonstrar que yM =
(yA + yB )/2.
Ponto médio de um segmento de
reta
 Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a
seguinte expressão matemática para determinar
as coordenadas do ponto médio de qualquer segmento no plano
cartesiano:
Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as
abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média
aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B.
Ponto médio de um segmento de
reta
 Ex:
Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao
segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.
(XA = 4) (yA = 6) (xB = 8) (yB = 10)
xM = (xA + xB) / 2
xM = (4 + 8) / 2
xM = 12/2
xM = 6
yM = (yA + yB) / 2
yM = (6 + 10) / 2
yM = 16 / 2
yM = 8
Equação Geral da Reta
 Dada uma reta, podemos constituir sua equação geral partindo dadefinição
de localização de dois pontos pertencentes à reta r: ponto A de
coordenadas (x1,y1), ponto B de coordenadas (x2,y2) e um ponto Q (x,y)
Usaremos a seguinte matriz na definição da equação geral da reta:
Desenvolvendo o determinante da matriz encontramos a equação geral
x1y2 + xy1 + x2y – xy2 – x2y1 – x1y = 0
x(y1 – y2) + y(x2 – x1) + (x1y2 – x2y1) = 0
Os valores em x e y são números reais, então podemos considerar a seguinte
situação:
y1 – y2 = a
x2 – x1 = b A equação geral da reta: ax + by + c = 0
x1y2 – x2y1 = c
Equação Geral da Reta
 Ex: Determine a equação geral da reta r que passa pelos pontos P(1,1) e
X(4,6).
 1*6*1 + 1*1*x + 1*4*y – 1*6*x – 1*4*1 – 1*y*1 = 0
6 + x + 4y – 6x – 4 – y = 0
– 5x + 3y – 2 = 0
– 5x + 3y + 2 = 0
 : equação geral da reta que passa pelos pontos P(1,1) e X(4,6)
Posições relativas entre duas retas
 Uma reta é um conjunto de pontos. Sua representação geométrica é dada
por uma figura geométrica plana, formada por uma linha única, reta,
infinita para duas direções e que, portanto, não faz curva alguma em toda
a sua extensão.
Duas retas contidas no mesmo plano podem interagir de algumas maneiras
distintas, gerando conceitos, definições e propriedades. O conjunto das
possíveis interações entre duas retas é chamado de posições relativas. São
elas:
 Retas paralelas
Duas retas são paralelas quando não possuem nenhum ponto em comum em
toda a sua extensão. Uma propriedade interessante sobre essas retas é que
a distância entre elas sempre será a mesma, independentemente do ponto
escolhido para medi-las.
Posições relativas entre duas retas
 Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes quando possuem um único ponto de
intersecção. Retas concorrentes formam quatro ângulos, congruentes dois a
dois. Quando um deles mede 90°, as retas concorrentes são chamadas
de perpendiculares.
os ângulos formados podem ser classificados em adjacentes ou opostos pelo
vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Dois ângulos
adjacentes são suplementares. Além disso, duas retas perpendiculares
sempre são concorrentes, mas nem sempre duas retas concorrentes
são perpendiculares.
Posições relativas entre duas retas
 Retas coincidentes
Duas retas são coincidentes quando todos os pontos da primeira também são
pontos da segunda e vice-versa.
É comum encontrar autores que afirmam: duas retas são coincidentes quando
possuem dois ou mais pontos em comum. Esse tipo de relação é baseado em
um resultado da geometria: se duas retas possuem pelo menos dois pontos
em comum, então todos os pontos da primeira são pontos da segunda.
Também podemos dizer que duas retas coincidentes são, na realidade, uma
única reta, como mostra a figura a seguir:
Distância entre ponto e reta
 A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à
reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto
(90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação
geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a
condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ
a distância entre eles.
 Estabelecendo a equação geral da reta
s: ax + by + c = 0 e a coordenada do ponto
P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão
capaz de calcular a distância entre o
ponto P e a reta s: d = |ax0 + by0 + c|
√(a2 + b2)
Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas
situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e
uma reta.
Distância entre ponto e reta
 Ex: Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância
entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.
Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6
c: 2
Área do triângulo
 A geometria analítica também possui seus artifícios para o cálculo da área
de um triângulo, nesse caso é necessário que saibamos as coordenadas
de seus três vértices para que o triângulo possa ser representado em um
plano cartesiano.
 Considere o triângulo de vértices
A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), veja
a sua representação em um plano
cartesiano:
A partir dessa representação podemos dizer que o cálculo da área (A) de um
triângulo através dos conhecimentos da geometria analítica é dado pelo
determinante dos vértices dividido por dois.
A = |D|
2 Onde D = .
Área do triângulo
 Ex: Determine a área de um triângulo de vértices A(3, 3), B(6, 3) e C(3, 5).
Solução: vamos fazer o cálculo do determinante das coordenas dos
vértices do triângulo.
Exercícios
 1- FCMSJF 2018/2: Na figura a seguir a reta r tem por equação 2x + 5y - 18 =
0 e ABCD é um retângulo onde as coordenadas do ponto A é (4,0). A reta r
passa pelos pontos B e C Em unidades de área, a área do retângulo ABCD
vale:
A. 10.
B. 12.
C. 14.
D. 16.
Exercícios
 2- EsPCEx 2° Dia 2019: As equações das retas paralelas à reta r: 3x + 4y -
1 = 0, que cortam a circunferência λ: x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 e
determinam cordas de comprimento igual a 8, são, respectivamente
A. 3x + 4y + 5 = 0 e 3x + 4y + 25 = 0.
B. 3x + 4y - 5 = 0 e 3x + 4y - 25 = 0.
C. 3x - 4y + 5 = 0 e 3x - 4y + 25 = 0.
D. 3x + 4y - 5 = 0 e 3x + 4y + 25 = 0.
E. 3x + 4y + 5 = 0 e 3x + 4y - 25 = 0.
Exercícios
 3- AFA 2019:Considere no plano cartesiano os pontos A e (2,0) e B(6, − 4)
que são simétricos em relação à reta r
Se essa reta r determina na circunferência x2 + y2 - 12x - 4y + 32 = 0 uma
corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo
A. [4,5[
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Slide de matemática Geometria analítica

  • 2. Pág. 1: capa Pág. 2: tema Pág. 3: sumário Pág. 4-6: distância entre dois pontos Pág. 7-10: ponto médio de um segmento de reta Pág. 11-12: equação geral da reta Pág. 13-15: posição relativa entre duas retas Pág. 16-17: distância entre ponto e reta Pág.18-19: área do triângulo Pág 20- 22: exercícios SUMÁRIO
  • 3. O que é a distância entre dois pontos?  A distância entre dois pontos depende do lugar geométrico em que esses pontos estão localizados. Por exemplo, se dois pontos estão em uma reta, a distância é dada pelo módulo da diferença entre eles, veja: Ex: Para X= 30 e para Xo= 10 O módulo é 30 – 10 = 20
  • 4. O que é a distância entre dois pontos?  Para determinar a distância entre dois pontos no plano cartesiano, é necessário realizar a análise tanto no sentido do eixo das abscissas (x) quanto no do eixo das ordenadas (y). Confira: Note que na distância entre o ponto A e B existe uma variação tanto no eixo x quanto no eixo y, logo, a distância entre os pontos deve ser dada em função dessas variações.
  • 5. O que é a distância entre dois pontos?  Fórmula da distância entre dois pontos Calcular a distância entre os pontos P (-2, -4) e Q (2, 2). Perceba que na fórmula devemos subtrair os valores das abscissas de cada ponto e, em seguida, elevar ao quadrado, e o mesmo deve acontecer com os valores das ordenadas. Assim:
  • 6. Ponto médio de um segmento de reta  O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles divide o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta serão demonstrados com base na ilustração a seguir: O segmento de reta AB possui um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM).
  • 7. Ponto médio de um segmento de reta  Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes e possuem três ângulos iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja: AM = AN AB AP Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB. AM = AN 2AM AP AN = 1 AP 2 AP = 2AN xP – xA = 2*(xM – xA) xB – xA = 2*(xM – xA) xB – xA = 2xM – 2xA 2xM = xB – xA + 2xA 2xM = xA + xB xM = (xA + xB)/2  Por meio de um método análogo, conseguimos demonstrar que yM = (yA + yB )/2.
  • 8. Ponto médio de um segmento de reta  Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática para determinar as coordenadas do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano: Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B.
  • 9. Ponto médio de um segmento de reta  Ex: Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento. (XA = 4) (yA = 6) (xB = 8) (yB = 10) xM = (xA + xB) / 2 xM = (4 + 8) / 2 xM = 12/2 xM = 6 yM = (yA + yB) / 2 yM = (6 + 10) / 2 yM = 16 / 2 yM = 8
  • 10. Equação Geral da Reta  Dada uma reta, podemos constituir sua equação geral partindo dadefinição de localização de dois pontos pertencentes à reta r: ponto A de coordenadas (x1,y1), ponto B de coordenadas (x2,y2) e um ponto Q (x,y) Usaremos a seguinte matriz na definição da equação geral da reta: Desenvolvendo o determinante da matriz encontramos a equação geral x1y2 + xy1 + x2y – xy2 – x2y1 – x1y = 0 x(y1 – y2) + y(x2 – x1) + (x1y2 – x2y1) = 0 Os valores em x e y são números reais, então podemos considerar a seguinte situação: y1 – y2 = a x2 – x1 = b A equação geral da reta: ax + by + c = 0 x1y2 – x2y1 = c
  • 11. Equação Geral da Reta  Ex: Determine a equação geral da reta r que passa pelos pontos P(1,1) e X(4,6).  1*6*1 + 1*1*x + 1*4*y – 1*6*x – 1*4*1 – 1*y*1 = 0 6 + x + 4y – 6x – 4 – y = 0 – 5x + 3y – 2 = 0 – 5x + 3y + 2 = 0  : equação geral da reta que passa pelos pontos P(1,1) e X(4,6)
  • 12. Posições relativas entre duas retas  Uma reta é um conjunto de pontos. Sua representação geométrica é dada por uma figura geométrica plana, formada por uma linha única, reta, infinita para duas direções e que, portanto, não faz curva alguma em toda a sua extensão. Duas retas contidas no mesmo plano podem interagir de algumas maneiras distintas, gerando conceitos, definições e propriedades. O conjunto das possíveis interações entre duas retas é chamado de posições relativas. São elas:  Retas paralelas Duas retas são paralelas quando não possuem nenhum ponto em comum em toda a sua extensão. Uma propriedade interessante sobre essas retas é que a distância entre elas sempre será a mesma, independentemente do ponto escolhido para medi-las.
  • 13. Posições relativas entre duas retas  Retas concorrentes Duas retas são concorrentes quando possuem um único ponto de intersecção. Retas concorrentes formam quatro ângulos, congruentes dois a dois. Quando um deles mede 90°, as retas concorrentes são chamadas de perpendiculares. os ângulos formados podem ser classificados em adjacentes ou opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Dois ângulos adjacentes são suplementares. Além disso, duas retas perpendiculares sempre são concorrentes, mas nem sempre duas retas concorrentes são perpendiculares.
  • 14. Posições relativas entre duas retas  Retas coincidentes Duas retas são coincidentes quando todos os pontos da primeira também são pontos da segunda e vice-versa. É comum encontrar autores que afirmam: duas retas são coincidentes quando possuem dois ou mais pontos em comum. Esse tipo de relação é baseado em um resultado da geometria: se duas retas possuem pelo menos dois pontos em comum, então todos os pontos da primeira são pontos da segunda. Também podemos dizer que duas retas coincidentes são, na realidade, uma única reta, como mostra a figura a seguir:
  • 15. Distância entre ponto e reta  A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.  Estabelecendo a equação geral da reta s: ax + by + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s: d = |ax0 + by0 + c| √(a2 + b2) Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.
  • 16. Distância entre ponto e reta  Ex: Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente. Temos que: x: 3 y: -6 a: 4 b: 6 c: 2
  • 17. Área do triângulo  A geometria analítica também possui seus artifícios para o cálculo da área de um triângulo, nesse caso é necessário que saibamos as coordenadas de seus três vértices para que o triângulo possa ser representado em um plano cartesiano.  Considere o triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), veja a sua representação em um plano cartesiano: A partir dessa representação podemos dizer que o cálculo da área (A) de um triângulo através dos conhecimentos da geometria analítica é dado pelo determinante dos vértices dividido por dois. A = |D| 2 Onde D = .
  • 18. Área do triângulo  Ex: Determine a área de um triângulo de vértices A(3, 3), B(6, 3) e C(3, 5). Solução: vamos fazer o cálculo do determinante das coordenas dos vértices do triângulo.
  • 19. Exercícios  1- FCMSJF 2018/2: Na figura a seguir a reta r tem por equação 2x + 5y - 18 = 0 e ABCD é um retângulo onde as coordenadas do ponto A é (4,0). A reta r passa pelos pontos B e C Em unidades de área, a área do retângulo ABCD vale: A. 10. B. 12. C. 14. D. 16.
  • 20. Exercícios  2- EsPCEx 2° Dia 2019: As equações das retas paralelas à reta r: 3x + 4y - 1 = 0, que cortam a circunferência λ: x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 e determinam cordas de comprimento igual a 8, são, respectivamente A. 3x + 4y + 5 = 0 e 3x + 4y + 25 = 0. B. 3x + 4y - 5 = 0 e 3x + 4y - 25 = 0. C. 3x - 4y + 5 = 0 e 3x - 4y + 25 = 0. D. 3x + 4y - 5 = 0 e 3x + 4y + 25 = 0. E. 3x + 4y + 5 = 0 e 3x + 4y - 25 = 0.
  • 21. Exercícios  3- AFA 2019:Considere no plano cartesiano os pontos A e (2,0) e B(6, − 4) que são simétricos em relação à reta r Se essa reta r determina na circunferência x2 + y2 - 12x - 4y + 32 = 0 uma corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo A. [4,5[ B. [3,4[ C. [2,3[ D. [1,2[