Este documento apresenta vários problemas de geometria vetorial. No primeiro problema, determina-se o comprimento de vários vetores associados a um quadrado de lado 2 unidades. No segundo problema, calcula-se o valor de k para que vetores satisfaçam certas condições. No terceiro problema, analisa-se a relação entre vetores e seus múltiplos. Por fim, dão-se coordenadas de vértices de um paralelepípedo e calcula-se o ângulo entre dois vetores.

1. Geometria - Vectores
1. O quadrado [ABCD] tem de área 4 unidades.
B C
A D
Determina:
1.1 .
1.2 .
1.3 .
1.4 .
Resolução
1. Se o quadrado [ABCD] tem de área 4 unidades, signif ica que o lado mede 2 unidades.
B C
A D
1.1 . = . . cos 90° 2 2 0 0
√
1.2 . = . . cos 45° 2 2√2 4
1.3 . = . . cos 0° 2 2 1 4
1.4 . = . . cos 180° 2 2 1 4

2. 1. Dados os vectores 2, 1 e 1, , determina k de modo que:
1.1 Os vectores sejam perpendiculares
1.2 Os vectores sejam colineares
√
1.3 Cos
1.4 . 1
Resolução
1. Dados os vectores 2, 1 e 1, , determina k de modo que:
1.1 Para que os vectores sejam perpendiculares o produto escalar é zero
. 0 2 1 1 0 2 0 2
1.2 Para que os vectores sejam colineares utiliza-se a seguinte fórmula:
1
2 1 1 2 1
2
√ . √ √ √
1.3 Cos
√ √ √ √
4+2k = -√10√1
4 2 √10 10 4 2 √10 10
16 + 16k + 4k2 = 10 + 10k2 -6k2 + 16k + 6 = 0 3
1.4 . 1 2 1 1 1 2 1 3

3. 1. Seja um vector e k um número real maior que 1. Diz qual a relação entre:
1.1 e
1.2 A direcção e o sentido dos vectores e
2. , e são três vectores tais que √5, 2 , 3, 0 e 3, √3
Determina:
2.1 Um vector unitário colinear com mas de sentido contrário
2.2 Um vector perpendicular ao vector
2.3 K de modo que 2 , 1 seja colinear com .
Resolução
1. Seja um vector e k um número real maior que 1. Diz qual a relação entre:
1.1 e o vector k é maior que o vector
1.2 A direcção e o sentido dos vectores e , são iguais.
2.
2.1 Um vector colinear com mas de sentido contrário, por exemplo: 2√5, 4
2.2 Um vector perpendicular ao vector , por exemplo: 0, 3
2.3 K de modo que 2 , 1 seja colinear com .
√ √
2k √3 = 1 3 2√3 3
√

4. 1. No referencial Oxyz está representado um paralelepípedo [OABCDEFG]. O ponto E tem
coordenadas (1, 2, 4).
z
G
F
D
E
O C y
A B
x
1.1 Indica as coordenadas dos restantes vértices.
1.2 Calcula .
1.3 Determina a menos de 0,1 do grau, a amplitude do ângulo formado pelos vectores
e

5. Resolução
1.1 As coordenadas dos restantes vértices são:
O(0, 0, 0); D(1, 0, 4); F(0, 2, 4); G(0, 0, 4); B(1, 2, 0); A(1, 0, 0); C(0, 2, 0)
1.2 Calcula .
=F–A = (0, 2, 4) – (1, 0, 0) = (-1, 2, 4)
=G–D = (0, 0, 4) – (1, 0, 4) = (-1, 0, 0)
. = (-1, 2, 4). (-1, 0, 0) . =1+0+0 . =1
1.3 Determina a menos de 0,1 do grau, a amplitude do ângulo formado pelos vectores
e
= (-1, 2, 4)
=C–A = (0, 2, 0) – (1, 0, 0) = (-1, 2, 0)
. =1+4+0 . =5
= 1 2 4 = √21
= 1 2 0 = √5
.
cos =
cos =
√ √
cos =
√
= 60,8°
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