Este documento descreve a história do desenvolvimento dos métodos para resolver equações algébricas de grau superior ao segundo grau, culminando com o teorema fundamental da álgebra, que estabelece que toda equação polinomial possui pelo menos uma raiz complexa. Bombelli mostrou que as raízes da equação cúbica podem ser números complexos. Viète e Cardano desenvolveram métodos para calcular as raízes reais e complexas da cúbica. Ferrari desenvolveu um método para resolver equações do quarto grau.

1. Aparecimento dos números complexos e equações do 4 o grau métodos e história Fonte: Aulas do professor João Carlos Vieira Sampaio - UFSCar

2. Um aparente paradoxo x 0 = 4 é uma raiz 1 1 0 (algoritmo de Briot-Ruffini) Portanto, a equação tem três raízes reais e distintas 1 -15 0 -4 4  + 4 Mas !!!

3. Rafael Bombelli (L’Algebra, 1572)

4. A fórmula de Cardano “esconde” raízes racionais x 0 = 1 é uma raiz Buscando as demais raízes: Aplicando Cardano: é raiz da equação Portanto,

5. François Viète, advogado francês (1540-1603) Guerra contra a Espanha, século 16: Viète serviu ao rei francês Henri IV Decifrou o código usado pelos espanhóis em suas correspondências militares 1591: desenvolveu um método para calcular as três raízes reais da cúbica quando o discriminante é negativo

6. O método de Viète para o caso indesejável de Cardano será uma solução se tivermos e

7. O método de Viète funciona se D < 0: Obteremos k e  satisfazendo se tivermos ou seja,   e

8. As três raízes da cúbica pelo método de Viète e

9. Um exemplo

10. O conselho de Euler (Elementos de Álgebra, 1770) são todas da forma p/q, sendo q u m divisor de a n e p um divisor de a 0 o d enominador q divide o coeficiente d ominante , e o numerador p divide o coeficiente constante ! As raízes racionais de um polinômio de grau n, n  1, de coeficientes inteiros , Procure primeiramente por raízes racionais!

11. Exemplo. As raízes racionais só podem ser inteiros, divisores de -4. Descobrimos então que x 0 = -2 é uma raiz: As únicas possibilidades são:  1,  2,  4 o d enominador q divide o coeficiente d ominante, e o numerador p divide o coeficiente constante Demais raízes:  1 -6 0 -4 -2 1 + -2 -2 0 (algoritmo de Briot-Ruffini) Raízes racionais de

12. O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica Um exemplo

13. o discriminante  do segundo membro é se

14. O discriminante do segundo membro é é equivalente à equação e a equação torna-se Temos então duas equações do 2 o grau, dando as quatro raízes Quando temos e

15. O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica

16. O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica

17. O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica

18. O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica Isto nos dará uma equação cúbica em t, da qual precisamos somente de uma raiz Calculamos t de modo a ter no segundo membro

19. O método de Ludovico Ferrari para a equação quártica chegaremos a uma equação Calculando-se t de modo a ter no segundo membro

20. Natureza das raízes da cúbica r é real ou com (P e Q reais)

21. Natureza das raízes da cúbica (P e Q reais)  duas ou todas as raízes são coincidentes, sendo todas reais r é real ou com  com  as três raízes são reais e distintas entre si

22. Equações do quinto grau e além Nos 250 anos que se seguiram, todos os esforços para resolver algebricamente a equação geral de 5 o grau falharam. Em 1786, E.S. Bring mostrou que a equação geral do 5 o grau (equação quíntica) pode ser reduzida, por transformações algébricas, à equação x 5 - x - A = 0 Paolo Ruffini mostrou, em 1799, que uma solução geral da equação quíntica, por radicais, é impossível.

23. Em 1826, Niels Abel publicou uma prova satisfatória do teorema de Ruffini fato repetido com a teoria mais geral ulteriormente desenvolvida por Evariste Galois , em 1831.

24. Toda equação polinomial de grau n, n  1, com coeficientes reais ou complexos, possui uma raiz complexa. O Teorema Fundamental da Álgebra Enunciado, sem demonstração, por Albert Girard em 1629. Jean D'Alembert , em 1746, e Carl Friedrich Gauss , em 1799, publicaram demonstrações deste teorema.

25. Aparecimento dos números complexos e equações do 4 o grau métodos e história