O documento discute as relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação do segundo grau. Estabelece que a soma das raízes é igual ao coeficiente da parte linear dividido pelo coeficiente da parte quadrática, o produto das raízes é igual ao termo independente dividido pelo coeficiente da parte quadrática, e a diferença das raízes é igual à raiz quadrada do discriminante. Fornece exemplos para ilustrar essas relações e exercícios para determinar valores que satisfaçam certas condições sobre as raízes.

1. PROF. EVERTON MORAES 1
RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES
Considere a equação do 2º grau 2
0ax bx c .   Sejam ,
x e ,,
x suas raízes. Vamos estabelecer as
relações de Girard entre essas raízes e os coeficientes a, b e c da equação.
Sabemos que:
2
, b
x
a
  
 e
2
,, b
x
a
  

1a relação: Soma das raízes.
    2
2 2 2 2 2
, ,,
b bb b b b b b
S x x
a a a a a a
                     
              
   
Portanto:
2a relação: Produto das raízes.
   
 
22
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 4 4
4 4 4
4 4 4
, ,,
bb b b
S x . x .
a a a a
b b .a.c b b .a.c ac c
a a a a
            
         
   
   
   
Portanto:
3a relação: Diferença das raízes.
    2
2 2 2 2 2
, ,,
b bb b b b
D x x
a a a a a a
                      
             
   
Portanto:
Exemplo 1: calcular a soma o produto e a diferença das raízes da equação 2
7 10 0x x   .
Temos : a = 1, b = -7 e c = 10
7 7
7
1 1
, ,, b ( )
S x x
a
 
      
10
10
1
, ,, c
S x . x
a
   
, ,, b
S x x
a
   
, ,, c
P x .x
a
 
, ,,
D x x
a

  
22
7 4 1 104
1 1
49 40 9 3
, ,, ( ) . .b .a.c
D x x
a
  
     
   

2. PROF. EVERTON MORAES 2
1) Calcule a soma e o produto das raízes das seguintes equações:
a) 2
8 15 0x x   f) 2
3 25 0x  
b) 2
2 3 1 0x x   g) 2 2
2 0x ax a  
c) 2
5 21 4 0x x   h) 2
3 5 5 0x ( a)x a   
d) 2
7 12 0x x   i) 2
1 0x (a )x a   
e) 2
3 6 0x x 
2) Determinar o valor de k na equação 2
22 20 0kx x   para que a soma das raízes seja
11
3
.
3) Determinar o valor de p na equação 2
5 5 0px x (p )    para que o produto das raízes seja
1
6
.
4) Determine o valor de m na equação 2
4 2 3 0x (m )x    para que a soma das raízes seja
3
4
.
5) Calcule o valor de k na equação 2
5 10 3 0(k )x x    para que o produto das raízes seja
3
8
.
6) Calcule o valor de m na equação 2
10 21 5 0(m )x x    para que a soma das raízes seja
7
6
.
7) Determine o valor de p na equação 2
6 11 1 0x x (p )    para que o produto das raízes seja
3
4
.
8) Calcular o valor de k na equação 2
12 0x x k   para que uma das raízes seja o dobro da outra.
9) Calcule o valor de p na equação 2
8 2 0x x p   para que uma das raízes seja o triplo da outra.
10) Determinar m na equação 2
3 7 0x (m )x m     , de modo que uma de suas raízes seja o
triplo da outra.
11) Calcule o valor de k na equação 2
36 0x kx   para que uma das raízes seja o quádruplo da
outra.
12) Determinar p na equação 2
8 2 3 0x x p    , de modo que a diferença de suas raízes seja 4.
13) Determine m, de modo que uma das raízes da equação 2
1 8 3 0(m )x x    seja o inverso da
outra.
14) Calcule o valor de h na equação 2
3 2 1 10 0(h )x (h )x h      , de modo que a soma dos
inversos das raízes seja
1
3
.
Exercícios