O documento discute equações irracionais, definindo raízes de ordem ímpar e par e propriedades básicas. Explica como reduzir equações na forma n√f(x)=g(x) ou n√f(x)±n√g(x)=h(x) a equações polinomiais para resolver, ilustrando com exemplos.

1. EQUAÇÕES IRRACIONAIS
1 Definição e propriedades das raı́zes
1.1 Definição de raı́zes de ordem ı́mpar
A raiz n
√
a de ordem ı́mpar n ≥ 3 de um número real a é o número real b
tal que bn
= a. É pressuposto que tal número b existe qualquer que for a.
1.2 Definição de raı́zes de ordem par
A raiz n
√
a de ordem par n ≥ 2 de um número real a ≥ 0 é o número real
b ≥ 0 tal que bn
= a. É pressuposto que tal número b existe qualquer que for
a ≥ 0.
Notamos que a definição de raı́zes ı́mpares não impõe nenhuma restrição
sobre a e b, enquanto a de pares exige que tanto a como b sejam números
não negativos.
1.3 Propriedades básicas das raı́zes
1. n
√
a n
√
b = n
√
ab;
2.
n
√
a
n
√
b
= n
pa
b
, b 6= 0;
3. ( n
√
a)m
= n
√
am;
4. ( n
√
a)n
= a;
5. m
p
n
√
a = mn
√
a.
Naturalmente, as propriedades de raı́zes ı́mpares são válidas para quais-
quer números a e b e das pares para a e b não negativos.
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2. 2 Equações na forma n
p
f(x) = g(x)
• Muitas equações irracionais podem ser representadas na forma
n
p
f(x) = g(x)
com n ∈ N, n ≥ 2
• O método geral da resolução de equações irracionais: redução a equa-
ções polinomiais de grau n.
– Caso n ı́mpar: não há restrições de x, além daquelas que são im-
postas pela forma de expressões f(x) e g(x), porque a raiz de or-
dem ı́mpar admite qualquer valor dentro da raiz e o seu resultado
também não tem restrições em termos do sinal. Usando proprie-
dades das raizes, podemos transformar a equação irracional numa
equação polinomial de grau n, equivalente à original, elevando os
dois lados em potência n: f(x) = (g(x))n
. A resolução dessa
última é o assunto de equações polinomiais.
– Caso n par: a equação tem sentido só naqueles pontos x onde
as duas funções f(x) e g(x) são não negativas. Devido a essa
restrição, a equação irracional pode ser reduzida a polinomial
f(x) = (g(x))n
junto com a condição g(x) ≥ 0. Notamos que
a condição f(x) ≥ 0 está automaticamente satisfeita nessa trans-
formação, uma vez que (g(x))n
≥ 0 pois n é uma potência par.
EXEMPLOS
1. Resolver a equação irracional
√
3 + x = 3 − x.
Como a ordem da raiz é par (n = 2), então depois de elevar os dois
lados da equação original ao quadrado e obter uma equação quadrática
3 + x = (3 − x)2
, temos duas opções: resolver a última junto com a
restrição 3−x ≥ 0 ou resolver a última separadamente e depois verificar
as soluções obtidas substituindo eles na original. Nesse exemplo, vamos
aplicar os dois métodos para mostrar a sua equivalência, mas, no futuro,
vamos usar a segunda opção que tem maior utilidade prática.
2

3. Resolvendo a equação quadrática 3+x = (3−x)2
, ou seja x2
−7x+6 = 0,
obtemos duas soluções x1 = 1 e x2 = 6. A desigualdade 3 − x ≥ 0, isto
é, x ≤ 3, unida com a equação, mostra que somente a primeira raiz
satisfaz essa restrição e a segunda deve ser desconsiderada. Assim, a
única solução da equação original é x1 = 1.
Da mesma maneira, empregando o segundo método, primeiro resolve-
mos a equação x2
− 7x + 6 = 0 que tem as soluções x1 = 1 e x2 = 6.
Substituindo a primeira na equação original temos identidade. Mas a
substituição da segunda gera uma relação impossı́vel
√
3 + 6 = 3 − 6,
uma vez que a parte direita é negativa (note que nesse passo na reali-
dade verificamos se g(x) = 3 − x é negativa ou não). Assim, de novo
temos a mesma solução x1 = 1.
2. Resolver a equação irracional
√
2x2 + 1 = 1 − x.
Primeiro elevamos os dois lados da equação original ao quadrado e
obtemos a equação quadrática 2x2
+ 1 = (1 − x)2
, ou seja x2
+ 2x = 0,
cujas soluções são x1 = −2 e x2 = 0. Testando as duas na equação
original, confirmamos que ambas são soluções da equação dada.
3. Resolver a equação irracional
√
2x2 − 14x + 13 = 5 − x.
Primeiro elevamos os dois lados da equação original ao quadrado e
obtemos a equação quadrática 2x2
− 14x + 13 = (5 − x)2
, ou seja
x2
− 4x − 12 = 0, cujas soluções são x1 = −2 e x2 = 6. Substituindo
a primeira na equação original temos identidade. Mas a substituição
da segunda gera uma relação impossı́vel
√
1 = −1, uma vez que a
parte direita é negativa. Assim, a única solução da equação original é
x1 = −2.
4. Resolver a equação irracional 3
√
x3 − 2x + 1 = 1.
Como a ordem da raiz é ı́mpar, então elevando os dois lados ao cubo não
vamos precisar de qualquer verificação adicional. Então, elevamos os
dois lados ao cubo e obtemos a seguinte equação cúbica x3
−2x+1 = 1,
ou seja x3
− 2x = 0, cujas soluções são x1 = 0 e x2,3 = ±
√
2. Todos
esses valores são soluções da equação original.
3

4. 3 Equações na forma n
p
f(x) ± n
p
g(x) = h(x)
• Forma mais geral de equações irracionais
• Solução: transformar essa equação numa equação polinomial elevando
os lados da original na potência correspondente
• Aplicar transformações
• É necessário fazer a verificação das soluções da equação polinomial,
mesmo quando a ordem da raiz original é impar
EXEMPLOS
1. Resolver a equação irracional
√
2x + 3 +
√
x − 2 = 4.
Primeiro, isolamos uma das raizes num lado da equação, por exemplo,
√
2x + 3 = 4 −
√
x − 2 e elevamos os dois lados dessa equação ao qua-
drado: 2x + 3 = 16 + (x − 2) − 8
√
x − 2. Em seguida, isolamos a raiz
restante, isto é, reescrevemos a nova equação na forma 8
√
x − 2 = 11−x
e elevamos ao quadrado mais uma vez: 64(x − 2) = 121 − 22x + x2
, ou
simplificando, x2
− 86x + 249 = 0. As soluções da última equação são
x1 = 3 e x2 = 83. Como foi realizada a operação de elevação ao qua-
drado (de não equivalência), poderia ocorrer que a equação quadrática
final tem mais soluções que a original. Substituindo a solução x1 na
equação original, obtemos a identidade:
√
6 + 3 +
√
3 − 2 = 4. Tes-
tando x2, temos
√
166 + 3 +
√
83 − 2 = 13 + 9 = 22 6= 4, isto é, x2 não
é a solução da equação dada. Assim, a única solução é x1 = 3.
2. Resolver a equação irracional
√
3x − 5 −
√
4 − x = 1.
Primeiro, isolamos uma das raizes num lado da equação, por exemplo,
√
3x − 5 = 1 +
√
4 − x e elevamos os dois lados dessa equação ao qua-
drado: 3x − 5 = 1 + (4 − x) + 2
√
4 − x. Em seguida, isolamos a raiz
restante, isto é, reescrevemos a nova equação na forma
√
4 − x = 2x−5
e elevamos ao quadrado mais uma vez: 4−x = 4x2
−20x+25, ou seja,
4x2
− 19x + 21 = 0. As soluções da última equação são x1 = 3 e
x2 = 7
4
. Como foi realizada a operação de elevação ao quadrado (de
não equivalência), poderia ocorrer que a equação quadrática final tem
mais soluções que a original. Substituindo a solução x1 na equação
4

5. original, obtemos a identidade:
√
9 − 5 −
√
4 − 3 = 1. Testando x2,
temos
q
21
4
− 5 −
q
4 − 7
4
= 1
2
− 3
2
= −1 6= 1, isto é, x2 não é a solução
da equação dada. Assim, a única solução é x1 = 3.
3. Resolver a equação irracional 3
√
2x − 1 + 3
√
x − 1 = 1.
Elevando os dois lados ao cubo, obtemos
(2x − 1) + 3 3
p
(2x − 1)2(x − 1) + 3 3
p
(2x − 1)(x − 1)2 + (x − 1) = 1
ou reagrupando os termos,
3x − 2 + 3 3
p
(2x − 1)(x − 1) 3
√
2x − 1 + 3
√
x − 1
= 1
Notamos que a soma das raizes dentro das parênteses pode ser subs-
tituı́da por 1 de acordo com a equação original. Então simplificamos
a última equação à forma 3x − 2 + 3 3
p
(2x − 1)(x − 1) = 1, ou iso-
lando a raiz restante 3
p
(2x − 1)(x − 1) = 1 − x. Elevando de novo
os dois lados da última equação ao cubo, encontramos a equação po-
linomial (2x − 1)(x − 1) = (1 − x)3
. Depois da separação da solução
x1 = 1 dessa equação, relativa ao fator x−1, resta a equação quadrática
1 − 2x = (1 − x)2
que se simplifica a x2
= 0 com a única solução
x2 = 0. Verificando as duas soluções, para x1 = 1 temos identidade
3
√
2 − 1 + 3
√
1 − 1 = 1, mas para x2 = 0 a equação original não confere
3
√
0 − 1 + 3
√
0 − 1 = −2 6= 1. Assim, a única solução da equação dada
é x1 = 1.
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