Matemática Aplicada - Prof. Giancarlo Gssp infor

1 OS NÚMEROS
1.1 Escrita dos números e unidades;
1.2 Conjuntos numéricos;
1.3 Sistema numérico e conversões;
1.4 Algarismos significativos e notação científica;
1.5 Arredondamento;
1.6 Teoria dos conjuntos.

2 FUNÇÕES
2.1 Sistema de coordenadas cartesianas;
2.2 Relações, funções e equações polinomiais;
2.3 Progressão aritmética e progressão geométrica.

3 GEOMETRIA
3.1 Teorema de Pitágoras e Trigonometria;
3.2 Geometria plana: Áreas e perímetros;
3.3 Geometria espacial: áreas e volumes.

4 ESTATÍSTICA
4.1 Noções básicas de estatística.

Visite nossa página: http://gsspinfor.blogspot.com ou http://professorgiancarlo.blogspot.com

Prof. Giancarlo S. S. Pereira 2 Matemática Aplicada

1. Os números
1.1 ESCRITA DOS NÚMEROS E UNIDADES A evolução dos números

Como aconteceu...

Nos antigos sistemas de numeração a escrita
dos números era bem complexa, o que dificultava muito
os cálculos. Por isso, o homem criou vários
instrumentos que o auxiliavam no cálculo.
Um dos primeiros instrumentos para calcular - o
ábaco - foi inventado há mais de mil anos. A origem da
palavra ábaco não é certa. Alguns a associam ao termo
semita abac, que significa "poeira", e outros acreditam
que ela deriva do termo grego abax, que significa
"placa".
Os primeiros ábacos eram formados por placas
de madeira com sulcos, nos quais deslizavam
pequenas pedras.
Mais tarde, essas placas foram substituídas por
tábuas ou pranchas com divisões em diversas linhas ou Outras formas de contagem
colunas paralelas, separando as diferentes ordens de
numeração. Para representar números ou efetuar
operações colocavam-se fichas valendo uma unidade
simples cada uma.
Durante a Idade Média (séculos V a XV), o
sistema indo-arábico de numeração e seus processos
de cálculo foram muito divulgados. No século XIII
(1202), Leonardo Fibonacci, famoso matemático
italiano conhecido apenas como Fibonacci, escreveu a
obra Liberabaci ("Livro dos cálculos"), em 1202. Nela
ele explicava o sistema indo-arábico de numeração e
suas regras de cálculo.
Os símbolos indo-arábicos sofreram várias
transformações na sua representação, antes de
adquirirem a aparência que conservam até hoje.
Como os livros eram escritos a mão, a forma dos
algarismos sofria várias alterações. Isso começou a
mudar a partir de 1440, quando Gutenberg inventou a
imprensa, permitindo que a escrita dos números fosse
fixada. 1.2 CONJUNTOS NUMÉRICOS
A influência da imprensa foi tão importante que
os símbolos atuais têm, em sua essência, a mesma Os dois principais objetos com que se ocupa a
aparência dos símbolos que eram usados no século Matemática são os números e as figuras geométricas.
XV. O objetivo deste tópico é recordar e aprofundar o que
Sabe-se hoje que, na Europa, houve uma forte você estudou durante sua vida acadêmica.
resistência à utilização desses símbolos. Essa
1.1.1. O conjunto ℕ
resistência só foi vencida depois que o comércio
conjunto
europeu se expandiu de tal forma que se tornou
“Deus criou os números naturais.
imprescindível à adoção de um sistema de numeração
O resto é obra dos homens.”
que facilitasse os cálculos. LeopoldKronecker

O conjunto dos números naturais é representado
por:
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … }



o número é uma dízima periódica.
Um subconjunto importante de ℕ é o conjunto
Neste caso, devemos seguir alguns passos
ℕ∗ , obtido excluindo o zero de ℕ:
que serão ilustrados no exemplo abaixo.
ℕ∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … }
OBS1:ℕ é fechada em relação à adição e multiplicação. Exemplo 2
Dentro de ℕ podemos destacar os números pares e os Determine a fração geratriz das dízimas abaixo.
!
a) 0, 5
números ímpares.
!!
!!
b) 2, 13
!!
c) 1,325!!
1.1.2. O conjunto ℤ
conjunto
O conjunto dos números inteiros é representado
por: OBS3:ℚ é fechada em relação as quatro operações.
ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
Do conjunto dos números inteiros podemos 1.1.4. O conjunto "
conjunto
destacar alguns subconjuntos importantes: Assim como existem números decimais que
ℤ∗ = {… , −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, … } podem ser escritos como frações – com numerador e
ℤ = {0, 1, 2, 3, 4, … } denominador inteiros – que são os números racionais,
ℤ = {… , −4, −3, −2, −1, 0} há aqueles que não admitem tal representação. São
ℤ∗ = {1, 2, 3, 4, … } números decimais não exatos, que possuem
ℤ∗ = {… , −4, −3, −2, −1} representação infinita não periódica.
OBS2:ℤ é fechada em relação à adição, subtração e Esses números são chamados de números
irracionais, e seu conjunto é representado por ".
multiplicação.
Exemplo 3
1.1.3. O conjunto ℚ
conjunto Note que os números abaixo apresentam
O conjunto dos números racionais é inicialmente representação infinita não periódica.
descrito como o conjunto dos quocientes entre dois a) √2 = 1,4142136 …
inteiros. Utilizando o elemento genérico, podemos b) √3 = 1,7320508 …
escrever, de modo mais simples: c) $ = 3,141592 …
ℚ= ∈ℤ ∈ ℤ∗
1.1.5. O conjunto ℝ
Assim como o conjunto dos números inteiros, os
O conjunto formado pelos números racionais e
racionais apresentam cinco subconjuntos importantes:
pelos números irracionais é chamado conjunto dos
ℚ∗ : conjunto dos racionais não nulos;
números reais e é representado por ℝ. Assim, temos:
ℚ : conjunto dos racionais não negativos;
ℝ = ℚ ∪ ", sendo que ℚe " são disjuntos, ou seja,
ℚ : conjunto dos racionais não positivos;
ℚ ∩ " = ∅.
ℚ∗ : conjunto dos racionais positivos;
Assim como o conjunto dos números inteiros e o
ℚ∗ : conjunto dos racionais negativos.
conjunto dos números racionais, os reais também
apresentam cinco subconjuntos importantes, que
Toda fração possui representação decimal e todo
podem ser representados pelas seguintes
número decimal possui representação fracionária.
propriedades:
Para escrever uma fração na forma decimal,
conjunto dos racionais não nulos:
basta efetuar a divisão correspondente, por exemplo:
ℝ∗ = {* ∈ ℝ |* ≠ 0}
!
2/5 = 0,4;2/3 = 0,666. ..;1/3 = 0, 3.
conjunto dos racionais não negativos:
Para representar um número decimal na forma
ℝ = {* ∈ ℝ |* ≥ 0}
de uma fração devemos considerar duas situações:
conjunto dos racionais não positivos:
o número é decimal exato.
ℝ = {* ∈ ℝ |* ≤ 0}
Transformamos o número decimal em uma
conjunto dos racionais positivos:
fração cujo numerador é o número decimal sem a
ℝ∗ = {* ∈ ℝ |* > 0}
vírgula e o denominador é composto pelo numeral
conjunto dos racionais negativos:
1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas
ℝ∗ = {* ∈ ℝ |* < 0}
decimais do número decimal dado.
Exemplo 1 1.3 SISTEMA NUMÉRICO E CONVERSÕES
Escreva a fração correspondente aos decimais 1.3.1 Sistema métrico decimal
dados. O sistema de numeração que utilizamos
a) 0,7 atualmente é o sistema de numeração decimal, pois
b) 2,3 nele os elementos são agrupados de 10 em 10. Esse
c) 0,43 sistema também é conhecido por sistema de



numeração indo-arábico, pelo fato de ter sido O quadro a seguir apresenta os múltiplos do
desenvolvido pelos hindus e aperfeiçoado e difundido metro.
pelos árabes. Os símbolos utilizados nesse sistema
são chamados algarismos, palavra decorrente do
nome do matemático árabe Mohammed al-Khowarizmi.
No sistema de numeração decimal, podemos
agrupar os elementos da seguinte maneira: Abaixo temos alguns dos principais instrumentos
utilizados para a verificação de medidas de
comprimento.

Os agrupamentos de 10 elementos também
podem ser representados em um ábaco.

Ao lado temos uma tabela que
mostra a evolução dos algarismos
utilizados em nosso sistema de
numeração decimal.

1.3.2 Medidas de comprimento
Desde a Antiguidade, muitos povos criaram suas
unidades de medida, ou seja, possuíam sua própria
unidade padrão. Antes do surgimento das unidades de
medidas de comprimento que conhecemos hoje, como
o metro, diversos povos utilizavam partes do corpo
como referência. Observe nas ilustrações abaixo.

Exemplo 4
Efetue as transformações abaixo.
a) 5 m → mm
b) 150 cm → dam
c) 12 km → m
d) 12 m → cm
e) 265 dm → hm

1.3.3 Medidas de tempo
O relógio

Temos o metro como unidade padrão de
medida, com base nele foi que surgiram outra unidades
de medida de comprimento, como o centímetro (cm), o
milímetro (mm), o quilômetro (km), entre outras.



Para medir o tempo durante o dia, utilizamos o 1.4 ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS E NOTAÇÃO
relógio, que pode ser de ponteiros ou digital. Em geral, CIENTÍFICA
os relógios marcam as horas os minutos e os
segundos, sendo que:
1.4.1 Algarismos significativos
O que torna um algarismo significativo ou não?
Hoje em dia, a obtenção de medidas é
fundamental para as ciências exatas. Mas nenhuma
O calendário medida obtida é absolutamente precisa; sempre existirá
uma incerteza associada a cada medida e é essa
incerteza que torna um número significativo ou não.
Considere a figura abaixo, em que uma régua
comum, calibrada em milímetros, é usada para medir o
comprimento de um segsegmento de reta.

Observando este calendário, podemos notar que o ano De acordo com a figura, a medida exata do
é dividido em 12 meses, os meses, em semanas, e
, comprimento situa-se entre 6,5 cm e 6,6 cm. Mas,
se
cada semana, em 7dias. podemos estimar, com uma pequena margem de erro,
O período de 2 meses corresponde a um bimestre, o que a medida do comprimento é 6,54 cm.
de 3 meses, a um trimestre, o de 4 meses, a um Em uma medida, dá dá-se o nome algarismos
quadrimestre e o de 6 meses, a um semestre. significativos a todos os algarismos tidos como certos
mais o algarismo duvidoso. No exemplo dado, a
1.3.4 Medidas de superfície medida 6,54 cm possui três algarismos
significativos.Um outro exemplo seria o número 0,0034
Um
que possui apenas dois algarismos significativos
(observe que os zeros à esquerda indicam apenas um

pode ser escrito como 3 ∙ 10 > ).
3,4
deslocamento da vírgula, pois esse mesmo número

1.4.2 Notação científica
Quando medimos o comprimento ou a largura de A diversidade dos números
uma sala de aula, estamos utilizando medidas de que aparecem no mundo físico é
comprimento. Quando queremos medir a superfície de enorme. Para ter uma ideia, a
uma sala, estamos querendo saber qual a área dessa massa da terra, por exemplo, é

5.980.000.000.000.000.000
000.000.000
sala. de cerca de
Neste tópico daremos ênfase apenas a
conversão de unidades de medidas de superfície. A
des quilogramas (12), enquanto o
),

0,000000000000001 metro (
temática a cerca do cálculo de áreas trataremos no diâmetro de um próton é de cerca de
capítulo 3. (5).
Para a conversão de unidades de medida de A grande quantidade de zeros torna a
superfície temos a seguinte tabela. representação desses números bastante inconveniente
e, por esse motivo, usamos uma maneira mais prática
para escrever valores muito grandes ou muito

massa da terra como 5 5,98.∙ 12, e o diâmetro do próton
pequenos. Usando potência de 10 podemos escrever a

como 10 34 5. Esse tipo de n
. notação recebe o nome de
Exemplo 5 notação científica.
Efetue as conversões a seguir Ao usar a notação científica para representar um

6 5. 10 , em que 1 . 5 0 10 é a mantissa. Assim,
a) 1,93 m² → cm²
7
número N qualquer, devemos escrevê escrevê-lo na forma
b) 295 cm² → m²

8, 9: ∙ <=8 .
c) 535 cm² → m² o número 253, por exemplo, deve ser escrito como
,
d) 12,5 m² → mm²
e) 0,95 dam² → dm²



Visando facilitar ainda mais a notação das Quando o algarismo imediatamente seguinte ao
grandezas, é bastante comum a utilização de prefixos último algarismo a ser conservado for inferior a 5, o
representando as potências de dez. a tabela seguinte último algarismo a ser conservado permanecerá
traz a denominação dos principais prefixos de acordo sem modificação.
com o Inmetro (Instituto Nacional de Metrologia,
Normalização e Qualidade Industrial). Exemplo 7
1,333 3 arredondado à primeira decimal tornar-se-á
1,3.

Quando o algarismo imediatamente seguinte ao
último algarismo a ser conservado for superior a 5,
ou, sendo 5, for seguido de no mínimo um algarismo
diferente de zero, o último algarismo a ser
conservado deverá ser aumentado de uma unidade.

Exemplo 8
1,666 6 arredondado à primeira decimal tornar-se-á:
1,7.
4,850 5 arredondados à primeira decimal tornar-se-
ão : 4,9.

Quando o algarismo imediatamente seguinte ao
último algarismo a ser conservado for 5 seguido de
zeros, dever-se-á arredondar o algarismo a ser
conservado para o algarismo par mais próximo.
Consequentemente, o último a ser retirado, se for
ímpar, aumentará uma unidade.

Exemplo 9
4,5500 arredondados à primeira decimal tornar-se-
Fonte: Resolução Conmetro 12/88, de 12 de outubro de 1988. ão: 4,6.

Exemplo 6 Quando o algarismo imediatamente seguinte ao
A lista a seguir apresenta valores numéricos que último a ser conservado for 5 seguido de zeros, se
podem, ou não estar representados em notação for par o algarismo a ser conservado, ele
cientifica. Faça as alterações necessária para que permanecerá sem modificação.
todos os valores estejam representados na forma de
notação científica. Exemplo 10
a) 3,2 ∙ 104 4,8500 arredondados à primeira decimal tornar-se-
b) 23,5 ∙ 10 ?
ão: 4,8.
c) 0,73 ∙ 10>
d) 0,067 ∙ 10 @
e) 1560 ∙ 10 >
1.6 TEORIA DOS CONJUNTOS.
1.5 ARREDONDAMENTO
1.6.1 Conceito básico
Regras de arredondamento na Numeração A nível de segundo grau, conjunto é toda
Decimal - Norma ABNT NBR 5891 de dezembro de coleção de objetos, de animais, de palavras, de
1977. números, ou seja, de qualquer coisa. Um conjunto
qualquer é formado por elementos. Da mesma forma
1.5.1 Objetivo que conjuntos, elementos são conceitos matemáticos
Esta norma tem por fim estabelecer as regras de primitivos, portanto sem definição.
arredondamento na Numeração Decimal.
1.6.2 Tipos de conjuntos
1.5.2 Regras de arredondamento Em nosso cotidiano podemos perceber
diversos tipos de conjuntos: conjunto de estudantes a



caminho da escola; conjunto de casas (vilas); conjunto Caso A não esteja contido em B,
de cães; conjunto de carros, entre outros. simbolicamente, temos A ⊄ G ou G ⊅ A (G não
contém A).

1.6.3 Elementos 1.6.10 Subconjunto
Subconjunto
Quando todos os elementos de um conjunto A
conjunto A, sendo os jogadores
Se considerarmos o
qualquer forem também elementos de um conjunto G,
titulares de um time de futebol, diz-se, então, que A é um subconjunto de G, ou seja,
temos que cada jogador é um A ⊂ G. Observações:
Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou
A. E que o conjunto A é limitado
elemento pertencente ao conjunto
seja, A ⊂ A ;
ou finito e possui 11 elementos. O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto
de qualquer conjunto, ou seja, ∅ ⊂ A.
1.6.4 Representação
Um conjunto pode ser representado de várias Exemplo 11
maneiras, entre as quais três são mais usuais: Se considerarmos todos osalunos do NEPAM,
Diagramas podemos observar alguns subconjuntos?
Representamos um conjunto por diagramas
(curvas fechadas) e no seu interior colocamos seus 1.6.11 Conjunto das partes
elementos. O conjunto formado por todos os subconjuntos de um
Listagem ou Enumeração conjunto A é chamado de conjunto das partes de A,
Representamos um conjunto por uma letra que indicamos por M(A).
maiúscula e listamos seus elementos entre chaves.
Propriedade Característica Exemplo 12
Representamos um conjunto por meio de uma Dados os conjuntos A = {1}, G = {1, 2} e N = {1, 2, 3},
propriedade característica de seus elementos, sem vamos determinar M(A), M(G) e M(N).
nomeá-los.
OBS1: Se um conjunto finito O qualquer tem P
OBS1
1.6.5 (∈)
Relação de pertinência ( ) elementos, então M(Q) tem 27 elementos, ou seja:
Entre um elemento x qualquer e um conjunto A R[M(Q)] = 27 .
qualquer só existe duas, e somente duas,

1ª Possibilidade B ∈ C 2ª Possibilidade B ∉ C
possibilidades de relacioná-los. 1.6.12 Operações com conjuntos: união ou reunião de
conjuntos
Dados os conjuntos A = {U, V, W, X} e G =
{U, V, Y, Z, 2}, vamos determinar o conjunto N de maneira
1.6.6 Conjunto vazio
Um conjunto, embora seja associado a uma
que seus elementos pertençam a pelo menos um dos
coleção de objetos, às vezes não possui elementos.
conjuntos, A ou G.

ou seja, que não possui elementos, por { } ou Ø.
Representamos esse tipo de conjunto, chamado vazio,
N = {U, V, W, X, Y, Z, 2}
O conjunto N é chamado de união ou reunião
de A e G e pode ser indicado por A ∪ G, que se lê A
união G ou A reunião G.
1.6.7 Conjunto unitário
Simbolicamente: se * é um elemento de A ∪ G,
Quando um conjunto apresenta um único
então* ∈ A ou * ∈ G, ou seja,A ∪ G = {*|* ∈
elemento o chamamos de conjunto unitário. Por
A [ * ∈ G}.
exemplo, uma única pessoa num estádio de futebol.

1.6.8 Conjunto universo
1.6.13 Interseção de conjuntos
O conjunto de todos os elementos considerados
Considere os mesmos conjuntos A e G usados
em determinada situação é chamado conjunto
acima, vamos determinar o conjunto ] de maneira que
universo.
seus elementos pertençam ao conjunto A e ao G.
] = {U, V}
O conjunto ] é chamado interseção de A e G e
1.6.9 Relação de inclusão
O símbolo ⊂ denomina-se sinal de inclusão e
pode ser indicado por A ∩ G, que se lê A interseção G.
A ⊂ G, relação de inclusão, ou seja,A está contido
Simbolicamente: se * é um elemento de A ∩ G,
A ∩ G = {*|* ∈
em G ou G contém A (G ⊃ A).
então * ∈ A e * ∈ G, ou seja:
A Y * ∈ G}.



OBS2: Quando A ∩ G
OBS2 ∅, A e G são chamados b) Quantos clientes gostam apenas de lasanha ou
conjuntos disjuntos. apenas de canelone ou de ambos os pratos?
c) Quantos clientes não gostam nem de lasanha

Considerando os conjuntos A e G acima, vamos
1.6.14 Quantidade de elementos do conjunto união nem de canelone?
A
determinar o número de elementos do conjunto A ∪ G. Questão4
Fórmula: A parte hachurada no gráfico representa:

Dados os conjuntos A
1.6.15 Diferença de Conjuntos
0, 1, 2, 3 e G
{2, 3, 4, 5 , vamos determinar o conjunto C de maneira
que seus elementos pertençam ao conjunto A, mas não
pertença ao G.
N {0, 1
O conjunto N é chamado diferença entre A e B e (A) A ∩ HG ∪ NJ
pode ser indicado por A– G, que se lê A menos G.
, (B) HA ∩ GJ ∪ N
Simbolicamente: se x é um elemento de A G,
: (C) HA ∪ GJ ∩ N
então * ∈ A e * ∉ G, ou seja: A G
, *|* ∈ (D) A ∪ HG ∩ NJ
AY* ∉G . (E) N.R.A.

Questão5
EXERCÍCIO PROPOSTO Se R_MH`Ja 64, então o conjunto ` é:
,
A) {a, b, c, d}
Questão1 B) {a, b, c, d, e, f}
(Fatec – SP) O conjunto A tem 20 elementos; A ∩ G C) {a, b, c, d, e, f, g}
tem 12 elementos e A ∪ G tem 60 elementos. O número D) ⍉
de elementos do conjunto G é: E) {a, b, c, d, e}
(A) 28
(B) 36
(C) 40
(D) 48
(E) 52

Questão2
Numa creche com 120 crianças, verificou
verificou-se que 108
haviam sido vacinadas contra a poliomielite, 94 contra
o sarampo e 8 não tinham recebido nenhuma das duas
vacinas. Quantas crianças foram vacinadas contra
poliomielite e sarampo?

Questão3
Certo dia o proprietário de um restaurante de cozinha
italiana perguntou a 80 de seus clientes: “Entre
lasanha, canelone e macarronada, de qual ou quais
você gosta?”. O resultado da pesquisa foi:
?”.
• 35 gostam de lasanha;
• 39 gostam de canelone;
• 40 gostam de macarronada;
• 15 gostam de lasanha e canelone;
• 13 gostam de lasanha e macarronada;
• 11 gostam de canelone e macarronada;
• 5 gostam dos três pratos.
a) Quantos clientes gostam somente de canelone?



2. Funções
valores de g que são imagem de * denominamos
2.1 Sistema de coordenadas cartesianas "mHlJ).
imagem da função ("m
O sistema cartesiano ortogonal é formado por
dois eixos perpendiculares entre si, que se cruzam num
Conjunto
ponto denominado origem das coordenadas e que
determinam um plano chamado plano cartesiano
cartesiano. imagem
No plano cartesiano abaixo temos os seguintes pares
mos Note que o
ordenados: conjunto
imagem é
formado
AH*h , gh J apenas pelos
elementos do

GH*i , gi J
conjunto B que
Domínio se relaciona
com elementos

NH*j , gj J
Contradomínio
Contrad de A.

]H*k , gk J
2.2.3 Função Polinomial do 1º Grau

2.2.3.1 Definição
Exemplo 13 Chama-se função polinomial do 1º grau ou
grau,

uma lei da forma ZH H*J U* o V, onde a e b são
Marque os pontos dado abaixo no plano cartesiano. função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por
,

números reais dados e U , 0.
A(1, 0)

Na função ZH H*J U* o V, o número r é
B(-1, 3)

chamado de coeficiente de * e o número s é chamado
C(2, -2)
D(-3, -1) termo constante.
E(0, 3)
Exemplo 14
F(2, 0)
Determine os valores dos coeficientes das funções
G(3, 3)
a) ZH*J 5* 3;
abaixo.

b) ZH*J 2* 7 7;
H(1, -3)

c) ZH*J 11*.
J(0, 1)

2.2 Relações, funções e equações polinomiais
2.2.3.2 Zero e Equação do 1º Grau

1º grau ZH*J U* o V, U , 0, o número real * tal que
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do
se

ZH*J 0.
2.2.1 Função
Dados os conjuntos A e G não vazios, a relação
Z de A em G é uma função quando a cada elemento *
do conjunto A está associado um único elemento g do V
Temos:
ZH*J 0 ⇒ U* o V 0 ⇒ U* V⇒*
conjunto G. U
Podemos representar uma função Z de A em G

G
com a seguinte notação: Exemplo 15

a) ZH*J 2* 5
Z: A → GouA → G Obtenção do zero das funç
funções a seguir.

b) ZH*J * 2
(lê-se: função Z de A em B)

c) ZH*J 3* o 6
Quando escrevemos uma função Z: A → G, d) ZH*J 1
q
2.2.2 Domínio, contradomínio e imagem de uma função
@
denominamos o conjunto A de domínio (
HlJ). Cada elemento
(fHlJ) e o
conjunto G, de contradomínio (efH
g de G associado ao elemento * de A, denominamos
2.2.3.3 Gráfico

imagem de * pela função Z. Ao conjunto de todos os
.



O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, Quando ∆ 0, a equação terá duas raízes reais
,
g U* o V, com U , 0, é uma reta oblíqua aos eixos
Quando ∆ 0 0, a equação não terá raízes reais,
, e iguais;
t* e tg. ,
mas sim raiz complexa, o que veremos nas
2.2.3.4 Crescimento e Decrescimento próximas aulas.

U / 0 (positivo) e, Decrescente quando U 0 0
O gráfico da função Afim será Crescente quando 2.2.4.3 Gráficos
De acordo com as características dos gráficos
(negativo). das funções quadráticas, podemos organizar o quadro
a seguir.
2.2.3.5 Domínio e imagem

fHlJ & "mHlJ &

Exemplo 16

a) g 3* 1
Construa os gráficos das funções a seguir.
ões

b) ZH*J *o2
c) ZH*J 3
q
@

2.2.4 Função Polinomial do 2º Grau

Toda função Z: & → & tal que ZH*J U* @ o V* o
2.2.4.1 Definição

W, com U, V, W ∈ & e U , 0 é chamada função polinomial
do 2° grau.

Exemplo 17 Exemplo 19

a) ZH*J *@ o 3
3* 2
Determine os valores dos coeficientes das funções Determine a concavidade das funções:

b) ZH*J 3* @ o 4* o 12
*
abaixo.
ZH*J * @ o 2* o 1;
ZH*J 2* @ 4*.
2.2.4.4 Vértice da parábola

para baixo, ela tem um ponto de máximo y.
2.2.4.2 Raízes da função Quando uma parábola tem concavidade voltada

polinomial do 2° grau os valores de *para os quais a
Chamamos de raízes, ou zeros, da função

função se anula, ou seja, Z H*J 0.
Para determinar as raízes de uma função
polinomial do 2° grau, usaremos a fórmula de

V x √∆
Bhaskara.

∆ V@ 4∙U∙W ; *
2∙U

para cima, ela tem um ponto de mínimo y.
Exemplo 18 Quando a parábola tem concavidade voltada

a) ZH*J * @ 4* o 3
Determinar as raízes reais das funções a seguir.
s

b) ZH*J *² * 2
c) ZH*J 2*² * o 3
d) ZH*J * @ 4
eJ ZH*J 3*² 9*

2° grau depende do valor do discriminante ∆ obtido:
OBS1: A quantidade de raízes reais de uma função do
OBS1

Quando ∆ / 0, a equação terá duas raízes reais
,
e diferentes;



OBS2: As coordenadas do vértice yH*z , gz J de uma
a) ZH*J * @ 6* o 5
OBS2 Identifique os coeficientes a, b e c nas funções abaixo:

b) ZH*J 3* @ o 6
parábola podem ser determinadas pelas relações

∆ c) ZH*J 2* o * @
abaixo:

Y gz
V
4U
*z
2U
Questão6
Exemplo 20

a) ZH*J 3* @ 7* o 2
Determine as raízes das funções abaixo:
Determinar as coordenadas dos vértice das funções a
vértices

b) ZH*J 3* @ o 6
a) ZH*J * @ 4* o 3
seguir.

c) ZH*J * @ o 5* o 7
b) ZH*J 2* @ * o 1

Questão7

verticalmente, tem sua altura | (em metros) dada em
(UCDB-MT) Uma bola lançada para cima,
MT)

função do tempo { (em segundos) decorrido após o
lançamento pela fórmula | 5{ @ o 20*. Qual é a
EXERCÍCIO PROPOSTO
altura máxima atingida pela bola.
Questão 1

grau dada por g U* o V. Ache a lei que relaciona g
O gráfico abaixo se refere à função polinomial do 1º
Questão8
com *.
.
(PUCCAMP - Adaptada Na figura a seguir tem-se
Adaptada)
representada a curva descrita por
um projétil, desde o seu
Y lançamento (ponto A) até que
atinja o solo (ponto B). Se a curva

g 2* @ o 4*, qual é à distân
4 descrita é a parábola de equação
, distância
AB, em metros?
2
Anotações
-2 3 X

Encontre g ZH*J sendo f uma função polinomial do 1º
Questão 2

grau, sabendo-se que ZH 3J 4 e Z
ZH3J 6.

Questão 3
O gráfico ao lado descreve
o valor cobrado por
umtaxista, em reais, em
função do número de
quilômetros percorrido.
Determine:
a) o preço da bandeira;
b) o preço cobrado por
quilômetro rodado;
c) a lei que define esse
gráfico.

Dada a função Z: & → &, definida por
Questão4

ZH* o 1J ZH*J o ZH1JeZH2J 1, determine o valor de
,

ZH4J.
,

Questão5


2.2.5 Função Exponencial Questão 2

indústria é dada pela expressão ‡ <==
Mensalmente, a produção em toneladas de certa

<==. „ =,=9B na qual x é o número de meses contados
2.2.5.1 Definição

Z: } → }∗ , definida por ZH*J U q ou g U q , com
q
Chamamos de função exponencial toda função
a partir de uma certa data. Após dez meses, qual será
U / 0 e U , 0. a produção atingida?

Exemplo 21 Questão 3

mais eficiência a cada dia. Suponha que ˆ ‰„=H<
Determine os valores das bases das funções Um empregado está executando a sua tarefa com

8 =,9… J seja o número de unidades fabricadas por dia
seguintes.
3 q
a) ZH*J ~ •

de fabricação. Se { 14,
14 qual o valor de 6?
> por esse empregado, após t dias do inicio do processo
b) ZH*J 2q

2.2.5.2 Gráficos
Gráficos Questão 4

seja igual a 9==. H:J… reais. Após dois anos, a
J
Considere as funções abaixo e construa os Estima-se que daqui a t anos o valor de um terreno
se

1 q
respectivos gráficos.

UJ ZH*J 2q VJ ZH*J ‚ ƒ
J
2
valorização (aumento de valor) em relação a hoje será
de:
a) R$ 4.000,00 c) R$ 2.000,00
b) R$ 3.500,00 d) R$ 1.500,00
e) R$ 1.000,00

Questão 5
Sob certas condições, o número de bactérias B de
uma cultura, em função do tempo t, medido em horas,
é dado por
†HH…J H8J<8
…

Isso significa que, cinco dias após a hora zero, o
número de bactérias é:
a) 1.024
b) 1.120
c) 512

e) √8
d) 20
:

Se U / 1 Z é crescente
Se 0 0 U 0 1 Z é decrescente
crescente.
OBS1
OBS1

Anotações
2.2.5.3 Equação exponencial
As equações exponenciais são aquelas em que
a incógnita aparece nos expoentes. Para resolvê
resolvê-las,

ou seja, para r / 0 er , <, temos:
usamos o fato de que a função exponencial é injetiva,

r r ⟺

EXERCÍCIO PROPOSTO

Determine o valor de B nas equações abaixo.
Questão 1

a) 2q 32
b) 3q 3 81
c) 5@q • 1
d) 3q 27



2.2.6 Progressão Aritmética 2.2.7 Progressão Geométrica

2.2.6.1 Definição 2.2.7.1 Definição

Progressão aritmética é uma sequência É toda sequência numérica cujo quociente
numérica em que cada termo, a partir do segundo, é entre um termo qualquer (a partir de segundo) e seu
igual ao anterior, somado com uma constante chamada antecessor é uma constante chamada razão – indicada
razão da progressão aritmética. por .

2.2.6.2 Representação 2.2.7.2 Representação

ŠC Hr< , r8 , r: , . . . , rP ); Š•(r< , r8 , r: , r„ , . . . , rŽ , . . . , rP , . . . )
Onde:
Onde: r< é o primeiro termo;
r< é o primeiro termo; rŽ é o termo que ocupa a posição Ž;
‹é a razão ‹ = r8 − r< = r: − r8 = … = rP − rP < ; rP é o termo que ocupa a posição P;
rP é o termo da posição P; rP < é o termo anterior a rP ;
Pé o número de termos. Žé menor que P (Ž < R).

2.2.6.3 Classificação 2.2.7.3 Classificação
I. Crescente:ocorre quando(•< > 0 Y • >
I. Crescente: ocorre somente se ‹ > 0; 1)ou(•< < 0 Y 0 < • < 1).
II. Constante: ocorre quando ‹ = =; II. Decrescente:ocorre quando(•< > 0 Y 0 < • < 1)
III. Decrescente:isto somente ocorre se ‹ < 0; ou(•< < 0 Y • > 1).
III. Constante:ocorre quando‘ = <.
2.2.6.4 Fórmula do Termo Geral
do IV. Oscilante:ocorre quando‘ < 0.

rP = r + (P – <). ‹ 2.2.7.4 Fórmula do Termo Geral

2.2.6.5 Interpolação Aritmética rP = r< ∙ P <

Interpolar meios aritméticos entre dois 2.2.7.5 Interpolação Geométrica
números é formar uma progressão aritmética com Interpolar meios geométricos entre dois
todos estes termos. Estes problemas consistem no números é formar uma progressão geométrica com
cálculo da razão. todos estes termos. Estes problemas consistem no
cálculo da razão.
Exemplo 22
Interpolar 2 meios aritméticos entre 7 e 22. Exemplo 23
Interpolar 3 meios aritméticos entre 64 e 4.

2.2.6.6 Soma dos Termos de Uma PA
PA
2.2.7.6 Soma dos Termos de Uma PG
Podemos calcular a soma de termos de uma
PA se conhecer o primeiro termo da progressão, o Podemos calcular a soma de termos de uma
último termo e a quantidade de termos a serem P.G. se conhecer o primeiro termo da progressão e a
somados através da fórmula: razão:
r< ∙ ( − <)
P

(r< + rP ). P ŒP =
ŒP = −<
8
Onde:
Onde: • ŒP é a soma de P termos da progressão;
• ŒP é a soma de P termos da progressão; • r< é o primeiro termo;
• r< é o primeiro termo; • é a razão da progressão.
• rP é o último termo a ser somado; • Pé o numero de termos.
• Pé o numero de termos.



Questão 5
EXERCÍCIO PROPOSTO Qual o valor do primeiro termo de uma Š• cujo sétimo
termo é igual a 14 e cuja razão é igual a 2?
Questão 1
Determine o primeiro termo Hr< J, a razãoH‹ [ J, o
último termo HrP Je o número de termos HPJdas
seguintes progressões.
a) H<, :, 9, ’, “)
b) (−:, −’, −<<, … )
c) (8, „, ”)
d) (“, “, “, “, “, “)
e) (9, <9, „9, … )
f) (<, :, 9, ’, “)
g) (<‰, „, <, … )

Questão 2
Determine a razão e o décimo segundo termo da Questão 6
ŠC(:, 9, ’, … ). Determine a soma dos 10 primeiros termos
daŠC(<, „, ’, … ).

Questão 3
Determine a razão e o sétimotermo da Š•(<, :, “, … ).

Questão 7
Determine a soma dos 10 primeiros termos
daŠ•(<, 8, „, … ).

Questão 4
Qual o valor do primeiro termo de uma ŠC cujo décimo
termo é igual a 51 e cuja razão é igual a 5?



3.Geometria
3.1 Teorema de Pitágoras notáveis
3.2.2 Tabela de arcos notáveis

retângulo C†e.
Abaixo temos a figura de um triângulo
=° :=°
° „9° ‰=° “=°

™ P

—¡™

…Ÿ

3.3 Geometria plana: áreas e perímetros

3.3.1 Polígonos e As Principais Figuras
Do Teorema de Pitágoras temos a seguinte

r8 s8 o —8
relação:
3.3.1.1 Polígonos

São figuras plana formadas por três ou mais
planas
segmentos chamados lados de modo que cada lado
3.2 Trigonometria tem interseção com somente outros dois lados
próximos, sendo que tais interseções são denominadas
3.2.1 Relações trigonométricas no triângulo retângulo vértices do polígono e os lados próximos não são
paralelos.
Através de conceitos primitivos
primitivoscomo ponto,
reta e plano, podemos fo
, formar os mais variados
polígonos, dentre as quais temos os não convexos e
, temos,
os convexos.

3.3.1.2 Polígono não convexo

Um polígono é dito não convexo se, dados
dois pontos do polígono, o segmento que contém estes

s
Seno pontos como extremidades contiver pontos que estão
™ Pr
˜ r
fora do polígono.

—
™ Pš
r
3.3.1.3 Polígono convexo

É um polígono construído de modo que os

—
Cosseno prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da

›œ•ž
r
figura original.

˜ s
›œ• š
r
OBS1: o perímetro de um polígono é a soma das
OBS1
medidas de seus lados.

s
3.3.2 Triângulos e suas classificações
Tangente
…Ÿ r
˜ —
—
Os triângulos são polígonos mais primitivos,

…Ÿ š
possuem três lados. Podemos classificá
classificá-los de duas
s maneiras:
Quanto aos lados:



Perímetro do quadrado Š£ J
quadradoHŠ
Š£ „r
____________ ___________ _______________

Quanto aos ângulos:
3.3.3.3 Paralelogramo

Quadrilátero de 4 lados, cujos lados paralelos
devem ser congruentes.
_____________ __________________________
_________________________

OBS2: a formas de se calcular a área de um triângulo
OBS2
depende de qual triângulo se está trabalhando.

3.3.3 Quadriláteros convexos e suas classificações

3.3.3.1 Retângulo
Área do paralelogramo CŠ J
paralelogramoHC
Quadrilátero de 4 lados e ângulos internos CŠ s¥
iguais a 90°, sendo que pode ser de dois tipos: lados
iguais ou lados adjacentes diferentes.
Perímetro do paralelogramo Š J
paralelogramoHŠ
ŠŠ 8Hr o sJ

3.3.3.4 Losango

Quadrilátero de 4 iguais, tal que suas
diagonais são sempre perpendiculares.

Área do retângulo ¢ J
retânguloHC
C¢ rs

Perímetro do retângulo ¢ J
retânguloHŠ
Š¢ 8Hr o sJ
J

Área do losango ¤ J
losangoHC
f¦
C¤
3.3.3.2 Quadrado
8
Caso particular de retângulo. Possui todos
aso
os lados iguais.
Perímetro do losango ¤ J
losangoHŠ
Š¤ „r

3.3.3.5 Trapézio

O trapézio é uma figura que possui dois lados
paralelos correspondentes às suas bases, uma maior e
outra menor. Pode se classificar em: trapézio retângulo:
possui dois ângulos retos; trapézio isósceles: os lados
não paralelos possuem medidas iguais;trapézio
Área do quadrado HC£ J escaleno: os lados possuem medidas de tamanhos
C£ r8 diferentes.



3.4.1.1 Elementos de um poliedro

Os polígonos que limitam o poliedro são
chamados de faces, os lados dos polígonos das faces
são chamados de arestas e as intersecções das

J¥
Área do trapézio §‹r J
trapézioHC arestas são chamadas de vértices.
H† o sJ Os poliedros podem ser classificados em:
C§‹r
8

† o s o 8¤
Perímetro do trapézio §‹r J
trapézioHŠ
Š§‹r

3.3.3.6 Hexágono

:
Área do hexágono HC¥ B J 3.4.1.2 A relação de Euler
O matemático suíço Leonhard Euler (1707 –
©8 √:
C¨ B ‰∙ 1783) descobriu uma importante relação entre o
„ número de vértice («), o número de aresta (
), (C) e o

Em todo poliedro convexo com C arestas, «
número de faces (¬) de um poliedro convexo.
)
Perímetro do trapézio ¨ B J
vértices e ¬ faces, vale a relação:
trapézioHŠ
Š¨ B ‰©

« o ¬ Co 8
3.3.3.7 Circunferência e círculo

3.4.2 Prismas

Entre os poliedros mais conhecidos,
destacamos os prismas, os quais são classificados pelo
número de lados das bases. Veja alguns exemplos de
Área do círculo HCJ
prismas.

Ce ª‹8
do

Perímetro da circunferência HŠe J
Še 8ª‹

3.4 Geometria espacial: áreas e volumes

3.4.1 Poliedros 3.4.2.1 Elementos de um prisma

Define-se como poliedro a todo sólido
se
formado por uma superfície fechada, limitada somente
por polígonos e que satisfaça às duas condições
abaixo.
O ângulo formado entre dois polígono é diferente
polígonos
de um ângulo raso;
Cada lado dos poliedros pertence somente a dois
polígonos.



« r‹ rs—
3.4.2.2 Planificação dos prismas 3.4.3.4 do
Volume do paralelepípedo

3.4.5 Cilindro

São sólidos que possuem duas regiões
paralelas na forma de círculos congruentes e uma
superfície arredondada. Em um cilindro, as duas
regiões circulares paralelas são chamadas de base do
Prisma triangular Prisma quadrangular cilindro e a distância entre elas é chamada de altura do
cilindro.

; C…¡…r© C¤r… o 8Cs
3.4.2.3 Área lateral e área total
C¤r… Šs ¥

« ‹-™mr Cs ¥
3.4.2.4 Volume de um prisma

C¤r… →área lateral do prisma;
OBS3: nos itens 3.4.2.3 e 3.4.2.4, temos:
BS3

C…¡…r© → área total do prisma;
Cs →área do polígono da base;
Šs →perímetro do polígono da base
« ‹-™mr → Volume do prisma;
base;

¥→altura do prisma.

3.4.3 Cubo

C¤r… 8ª‹¥ ; C…¡…r© 8ª‹H‹ o ¥J

C¤r… „r ; C…¡…r© ‰r «—-©-P¦‹¡ ª‹8 ¥
3.4.5.2 do
Volume do cilindro

«—®s¡ r:
3.4.3.2 do
Volume do cubo
3.4.6 Cone

Um sólido limitado por duas regiões: um
m
3.4.4 Paralelepípedo círculo e uma superfície arredondada. Em um cone, o
círculo é chamado de base do come e a superfície

« é o vértice do cone. C distância do vértice ao plano
arredondada é chamada de superfície lateral. O ponto

reta em que um dos extremos é « e o outro é um ponto
da base é chamada altura do cone e todo segmento de
e

da circunferência da base é chamado de geratriz.

C¤r… 8Hr— o s—
s—J

C…¡…r© 8Hrs o r— o s—J



Questão 2
Dois níveis de uma praça estão ligados por uma rampa
de 2 m de comprimento e 30° de inclinação, conforme a
figura. Devem-se construir, sobre a rampa, 8 degraus
de mesma altura.

C¤r… ª‹Ÿ ; C…¡…r© ª‹HŸ o ‹J

3.4.6.2 Volume do cone
«—¡P ª‹8 ¥
Encontre a altura de cada degrau.
3.4.7 Esfera
Questão 3
No instante em que o ângulo de elevação do sol acima
A esfera é um sólido limitado por uma
do horizonte é de 60°, a sombra de um poste mede 3
superfície curva de revolução que tem todos os pontos
m, como mostra a figura ao lado.
igualmente distantes de um ponto interior chamado
centro. A superfície esférica é resultado da revolução
de uma semicircunferência em torno do diâmetro.

Qual é a altura desse poste?

Questão 4
3.4.6.3 Área total e volume Considere a sala representada na figura a seguir.

8
„ª‹:
C…¡…r© „ª‹ ; « ™l ‹r
:

EXERCÍCIO PROPOSTO
Questão 1
Nesta figura, as retas paralelas r e r’ representam as
margens de um rio.
Determine qual a lotação máxima desta sala, sabendo-
se que cada pessoa ocupa uma área de 1 m².

Questão 5
Determine a área e o perímetro de um terreno na forma
de um triângulo retângulo cujos catetos medem 21 e 28
metros.

Questão 6
Um disco de aço usado para o corte de peças de metal
Determine a largura l desse rio. tem diâmetro igual a 10 cm. Determine o comprimento
e a área deste disco. (considere $ 3,1.)



Questão 7
Num prisma quadrangular regular, a aresta da base
mede 4 cm e a aresta lateral mede 10 cm. Calcule a
área lateral e a área total do prisma.

Questão 8
figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases
são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos
medem 4 cm cada um e a altura do prisma mede 6 cm.
Determine o volume do prisma.

Questão 9
Determine o número de vértices de um poliedro
convexo que tem três faces triangulares, uma face
quadrangular, uma face pentagonal e duas faces
hexagonais.

Questão 10
A figura a seguir representa um tambor, desses que
são usados para o transporte de óleo. O diâmetro da
sua base mede 60cm e a altura, 85cm. Sendo assim,
determine o custo do material utilizado na sua
confecção (desprezando as perdas), sabendo-se que
cada metro quadrado custa R$ 100,00. (Considere
$ 3.)
Rascunho



4. ESTATÍSTICA
Introduçã
ção
4.1 Introdução Variável qualitativa: é quando seus valores
são expressos por atributos. Ex: sexo,
Com o desenvolvimento tecnológico, os meios preferência musical, etc. variáveis qualitativas
de comunicação passaram a transmitir um número poder ser classificadas em: nominais ou
muito maior de informações e muito mais rapidamente. ordinais.
Essas informações, encontradas, por exemplo, em Variável quantitativa: é quando seus valores
jornais, revistas e telejornais nos são apresentadas das são expressos em números. Ex: estatura,
mais diversas formas, como em tabelas, gráficos etc. idade, salário, número de habitantes, etc.
Variáveis quantitativas podem ser classificadas
ser classificadas em discretas ou contínuas.

4.3 Distribuição de frequência

H J
4.3.1. Frequência HlJ
É o número de vezes que um determinado elemento

é também chamado de frequência absoluta, l.
aparece em uma distribuição qualquer. Esse fenômeno

4.3.2. Frequência Relativa Hl‹ J
Programa das nações unidas para o desenvolvimento.

A estatística é uma área da Matemática que É o quociente da frequência absoluta pelo número P de
elementos dados l‹
trabalha com a coleta de informações, bem como sua l
P
.
organização e análise. Com a análise dos dados

4.3.3. Frequência Acumulada Hlr J
coletados, podemos tomar decisões, além de fazer
previsões e planejamentos com mais segurança.
É a soma das frequências relativas até determinado
4.2 Termos da estatística dado.

4.3.4. Frequência Acumulada Relativa Hlr‹ J
4.2.1 População

relação ao total da absoluta. lr‹
Corresponde à proporção da frequência acumulada em
orresponde
lr
População é todo universo que está sendo
P
estudado. Ex: população de uma cidade. .

4.2.2 Amostra Exemplo 24
Amostra é apenas uma parte da população Organize a tabela de frequência abaixo, de acordo com
que está sendo estudada. Ex: parte da população de os conceitos estudados nos pontos acima.
uma cidade. A amostragem pode ocorrer de três
formas: Frequência
Frequê ncia
Amostragem aleatória (casual simples) a
simples): Nível de Frequência Frequência acumulada
acumulada
escolaridade (f ) relativa (fr ) relativa
amostra é composta de elementos retirados ao (fa )
(far )
acaso da população.
Ensino
Amostragem sistemática: aos elementos da 6
Fundamental
amostra são escolhidos com base em um
Ensino Médio 8
sistema preestabelecido.
Amostragem estratificada:
estratificada:a amostra é Ensino
2
composta de elementos proveniente de todos
os Superior
os grupos ou estratos da população. Total 16

4.2.3 Variável
A variável fornece as características da
população, também sendo conhecida como variável
estatística. As variáveis podem ser classificadas em
.
qualitativas ou quantitativas.



4.3.5. Intervalo de classe 4.4.3 Gráfico de setores

Intervalos de classes são utilizados quando O gráfico de setores, também conhecido
trabalhamos com um número elevado de elementos. como “gráfico de pizza”, é utilizado, em geral, para
representar partes de um todo. Atente para o fato de
Exemplo 25 que o todo de gráfico de setor equivale a 360°, ou seja,
Considere as notas obtidas por 20 alunos de uma 100% está para 360°. Essa relação será muito útil nas
turma em certa avaliação na disciplina de matemática. análises desses tipos de gráficos.
72 43 91 65 67 70 83 87 81 85
Exemplos:

39 52 58 53 88 73 50 86 68 73

Construa a tabela de frequência utilizando intervalos de
classes.

4.4 Representação gráfica de dados estatísticos
4.4.4 Histograma
Os dados de uma pesquisa podem ser
representados de várias maneiras. Os meios de Este tipo de gráfico é utilizado para
comunicação utilizam, em geral, os gráficos para representar as frequências absolutas e as relativas de
apresentar esses dados. Isso ocorre porque os gráficos dados agrupados em intervalos de classes. O
permitem uma melhor visualização e também uma histograma é composto de retângulos justapostos cujas
análise mais detalhada dos dados apresentados. bases são apoiadas em um eixo horizontal.
Exemplos:
4.4.1 Gráfico de barras

O gráfico de barras, também conhecido como
gráfico de colunas, é utilizado, em geral, para
representar dados de uma tabela de frequências
associados a uma variável qualitativa.
Exemplos:
Note que, se ligarmos os pontos médios das
bases superiores das barras do histograma a partir de
segmentos de retas, obteremos uma linha chamada
poligonal de frequência.

4.4.5 Pictograma

É uma técnica muito utilizada pelos meios de
4.4.2 Gráfico de linhas comunicação, como revistas, jornais, entre outros,afim
de tornar os gráficos mais atraentes. Esses meios de
O gráfico de linhas, também conhecidos como comunicação costumam ilustrar imagens relacionadas
gráfico de segmentos, é utilizado, em geral, para ao contexto do qual as informações fazem parte.
representar a evolução dos valores de uma variável no Exemplos:
decorrer do tempo de maneira contínua.
Exemplos:



4.5 Medidas de tendência central Exemplo 27
Um levantamento sobre a idade em anos, dos alunos
do 1º ano do colégio Impacto resultou na seguinte
Em estatística, as medidas de tendências distribuição:
centrais são utilizadas a fim de obter um valor que Idade Número de alunos
tende a caracterizar ou representar melhor um conjunto 14 4
de dados. Dentre as medidas de tendência central, 15 12
estudaremos a média aritmética, a moda e a 16 8
mediana. 17 1

4.5.1 °
Média Aritmética Simples H¯J
a) Construa o gráfico de linha relativo a esses dados.

É o quociente obtido ao se dividir a soma das
frequências da variável pelo número de valores.

B< o B8 o B: o ⋯ o B P ∑ P B-
-³<
°
¯
P P

4.5.2 °
Média aritmética ponderada H´µ J

É o quociente obtido ao se dividir a soma dos
produtos das frequências da variável por seus
respectivos pesos pela soma dos pesos.
B< ∙ < + B8 ∙ 8 + B: ∙ : + ⋯ + B P ∙ P
¯°
< + 8 + : +⋯+ P b) Construa o gráfico de barras verticais relativo a
∑ P B- ∙ -
-³<
esses dados.
=
∑P-³< -

4.5.3 Moda (´œ)

Denomina-se moda de um conjunto de dados
o valor que ocorre com maior frequência. A moda pode
não existir e, mesmo quando exista, pode não ser
única.

4.5.4 Mediana (´¶)

É o valor que ocupa a posição central de um
rol quando este apresenta uma quantidade ímpar de
valores. Para um rol que tem quantidade par de
valores, a mediana é a média aritmética dos dois c) Construa o gráfico de setores relativo a esses dados.
valores centrais.

Exemplo 26
Em uma prova realiza com 40 alunos da 5ª série de
uma determinada escola, obteve-se o seguinte
resultado em número de pontos por alunos.

Pontos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Alunos 1 5 3 2 2 6 8 2 6 5

Represente a distribuição de freqüência dos dados. Em
seguida determine a moda, a mediana e a média
aritmética da 5 maiores notas.


Matemática Aplicada - Prof. Giancarlo Gssp infor

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (12)

Semelhante a Matemática Aplicada - Prof. Giancarlo Gssp infor

Semelhante a Matemática Aplicada - Prof. Giancarlo Gssp infor (20)

Mais de Secretaria de Estado de Educação do Pará

Mais de Secretaria de Estado de Educação do Pará (20)

Último

Último (20)

Matemática Aplicada - Prof. Giancarlo Gssp infor