SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 253
Baixar para ler offline
Concurso Público Banco do Brasil


                                             INTRODUÇÃO




                    Temos seis conjuntos numéricos existentes, os naturais, inteiros, racionais,
           irracionais, reais e complexos. Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cinco
           primeiros.

           O conjunto dos números naturais são os primeiros a serem estudados. São os inteiros e
           positivos.

           O conjunto dos números inteiros são aqueles que envolvem os naturais e os negativos.

           O conjunto dos racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de frações,
           já os irracionais não podem ser escritos na forma de fração.

           Os reais vão englobar todos os anteriores.




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                         http://www.pdf4free.com
NÚMEROS NATURAIS
           Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo o
           conjunto dos números naturais, representados pela letra IN:

                                            IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

           A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um número natural
           sempre possui um sucessor e a partir do zero um sucessor.

           Exemplos:
           v o sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9.
           v o ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede 2003.
           v Generalizando: o sucessor de n é n + 1 e o antecessor de n é n - 1.




                                                 Exercícios Resolvidos
           1) Um número natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos os
           pares de números consecutivos entre esses números:
                                       2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255
           Resolução:
           0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256

           2) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais velha que Reinivaldo. As
           idades de Reinivaldo e Thaís são números consecutivos. A minha idade é um
           número que é o sucessor do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos Hudson
           tem?

           Resolução:
           Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são números consecutivos, então se
           Reinivaldo tem 45 anos, Thaís tem 46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessor
           de 46, então esta idade será 48 anos.

           3) Escreva todos os números naturais que são maiores que 3 e menores que 7.

           Resolução:
           Seja o conjunto: A = {x ∈ IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade específica o enunciado
           do exercício ficará escrito desta forma, ilustrando todos os elementos fica assim:
           A = {4, 5, 6}



                                                  ADIÇÃO
           Um automóvel segue de João Pessoa com destino a Maceió. Seu condutor deseja
           passar por Recife, sabendo-se que a distância de João Pessoa até Recife é de 120
           km e que Recife está a 285 km de Maceió, quantos quilômetros o automóvel irá




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                               http://www.pdf4free.com
percorrer até chegar em Maceió? Esta é uma pergunta relativamente fácil de
           responder, basta somar as distâncias: 285 + 120 = 405 km.
           Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só número, todas as
           unidades de dois, ou mais, números dados.
                 O resultado da operação chama-se soma ou total, e os números que se
           somam, parcelas ou termos.

                                                   Propriedades
           Fechamento - A soma de dois números naturais é sempre um número natural. Ex:
           8 + 6 = 14

           Elemento Neutro - Adicionando-se o número 0 (zero) a um número natural, o
           resultado é o próprio número natural, isto é, o 0 (zero) não influi na adição. Ex: 3 +
           0=3

           Comutativa - A ordem das parcelas não altera a soma.

           Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16

           Associativa - A soma de vários números não se altera se substituirmos algumas
           de suas parcelas pela soma efetuada. Os sinais empregados para associações
           são denominados:

           ( ) parênteses [ ] colchetes        { } chaves

           Exemplos:
           8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 16
           13 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27

           De um modo geral           a + (b + c) = (a + b) + c

           Nota:
           Estudando-se as línguas, verificamos a importância da colocação das vírgulas
           para entendermos o significado das sentenças.

           Exemplo:

           1) "Tio Sérgio, André vai ao teatro."
           2)"Tio, Sérgio André vai ao teatro."

           Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam significados diferentes,
           pelo fato da vírgula ter sido deslocada.

           Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação (parênteses,
           colchetes e chaves) podem funcionar como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se os
           sinais na seqüência:

                   ( ) parênteses [ ] colchetes{ } chaves




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                       http://www.pdf4free.com
Exemplo:

           A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, são diferentes, daí a
           importância da associação.

           Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela por outra cuja soma
           seja igual a ela. Esta propriedade é de sentido contrário da anterior.

           Exemplo:

           9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o número 9 foi dissociado em dois outros 5 e
           4).
           De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c.
           Observe que o zero como parcela não altera a soma e pode ser retirado.

           Exemplo:
           20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3



                                                  SUBTRAÇÃO
           Fabiano fez um depósito de R$ 1 200,00 na sua conta bancária. Quando retirou um
           extrato, observou que seu novo saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinha
           em sua conta antes do depósito?
           Para saber, efetuamos uma subtração:
               2 137              minuendo
               1 200              subtraendo

                                  resto ou
             R$ 937,00                diferença


                  Denomina-se subtração a diferença entre dois números, dados numa certa
           ordem, um terceiro número que, somado ao segundo, reproduz o primeiro. A
           subtração é uma operação inversa da adição.
                  O primeiro número recebe o nome de minuendo e o segundo de
           subtraendo, e são chamados termos da subtração. A diferença é chamada de
           resto.

                                                  Propriedades
           Fechamento:- Não é válida para a subtração, pois no campo dos números
           naturais, não existe a diferença entre dois números quando o primeiro é menor
           que o segundo. Ex: 3 - 5
           Comutativa: Não é válida para a subtração, pois     9-0 ≠0-9

           Associativa: Não é válida para a subtração, pois         (15 - 8) - 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8
           - 3) = 15 - 5 = 10




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                         http://www.pdf4free.com
Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos termos de uma subtração,
           a diferença não se altera.

           Exemplo: seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois termos, teremos
              (15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7



                                                  MULTIPLICAÇÃO
           Multiplicar é somar parcelas iguais.

           Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15

                 Nesta adição a parcela que se repete (5) é denominada multiplicando e o
           número de vezes que o multiplicamos (3) é chamado multiplicador e o resultado
           é chamado de produto.

           Então:
               5           multiplicando
              ×3           multiplicador

                 15        produto

                  Multiplicação é a operação que tem por fim dados dois números, um
           denominado multiplicando e outro multiplicador, formar um terceiro somando o
           primeiro tantas vezes quando forem as unidades do segundo. O multiplicando e o
           multiplicador são chamados de fatores.

                                                  Propriedades
           1) Fechamento - O produto de dois números naturais é sempre um número
           natural.
           Ex: 5 x 2 = 10

           2) Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de elemento neutro da
           multiplicação porque não afeta o produto.
           Ex: 10 x 1 = 10

           3) Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto.
           Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20

           4) Distributiva em relação à soma e a diferença - Para se multiplicar uma soma ou
           uma diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma das suas parcelas
           ou termos por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os
           resultados.

           Exemplo:
           1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                      http://www.pdf4free.com
2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15

           Essa propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por
           todos os termos.

           Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada parcela da primeira
           pelas parcelas da segunda e somar os produtos obtidos.

           Exemplo:
           (6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63

                                                       DIVISÃO
                Divisão Exata
                  Divisão exata é a operação que tem por fim, dados dois números, numa
           certa ordem, determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza o
           primeiro. A indicação dessa operação é feita com os sinais:ou ÷ que se lê:
           dividido por. O primeiro número chama-se dividendo, o segundo divisor e o
           resultado da operação, quociente.

           Exemplo:
           15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15
           Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente.

                Divisão Aproximada
                   No caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6, observa-se que não se
           encontra um número inteiro que, multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 ´ 6 = 48 é
           menor que 53 e 9 ´ 6 = 54 é maior que 53.
                   O número 8, que é o maior número que multiplicado por 6 não ultrapassa o
           dividendo 53, é denominado quociente aproximado a menos de uma unidade por
           falta, porque o erro que se comete, quando se toma o número 8 para o quociente,
           é menor que uma unidade. Temos, assim, a seguinte definição: chama-se resto de
           uma divisão aproximada a diferença entre o dividendo e o produto do quociente
           aproximado pelo divisor. A indicação dessa divisão é feita assim:




                                 DIVIDENDO = DIVISOR × QUOCIENTE + RESTO

           Exemplo:




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                        http://www.pdf4free.com
⇒ 53 = 6 × 8 + 5




                                      NÚMEROS INTEIROS (Z)
           Em tempos remotos, com o desenvolvimento do comércio, um comerciante desejando
           ilustrar a venda de 3 kg de um total de 10 kg de trigo existente num saco, escreve no saco: "-
           3", a partir daí um novo conjunto numérico passa a existir, o Conjunto dos Números
           Inteiros, hoje, representamos pela letra Z.

                                              Z = {..., -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}

           A reticências, no início ou no fim, significa que o conjunto não tem começo nem fim.
           Concluímos, então, que todos os números inteiros possuem um antecessor e um sucessor.
           Com a relação às operações que serão possíveis de se efetuar, ilustraremos exemplos da
           adição e multiplicação.



                                                          ADIÇÃO

           v Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal.

           Exemplos:
                       (+2) + (+3) = +5
                       (-2) + (-3) = - 5

           v Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do maior número em
               módulo.

           Exemplos:
                       (-2) + (+3) = +1
                       (+2) + (-3) = -1



                                              Exercícios Resolvidos




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                                       http://www.pdf4free.com
1) Calcule a soma algébrica: -150 - 200 + 100 + 300

           Resolução:

                                                     -150 - 200 + 100 + 300
                                                        -350 + 100 + 300
                                                           -250 + 300
                                                               50

           2) Alexandre tinha 20 figurinhas para jogar bafo. Jogou com Marcelo e perdeu 7
           figurinhas, jogou com Jorge e ganhou 2, ao jogar com Gregório ganhou 3 e perdeu 8 e com
           Hudson ganhou 1 e perdeu 11. Com quantas figurinhas ficou Alexandre no final do jogo?

           Resolução:

           Representando em soma algébrica:
           20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0

           Resposta: Nenhuma.




                                                    MULTIPLICAÇÃO

           Na multiplicação de números inteiros vamos, sempre, considerar a seguinte regra:
                                                 (+) . (+) = (+)
                                                  (+) . (-) = (-)
                                                  (-) . (+) = (-)
                                                  (-) . (-) = (+)
           Exemplos:
           v (+2) × (+3) = (+6)
           v (+2) × (- 3) = (- 6)
           v (-2) × (+ 3) = (- 6)
           v (-2) × (- 3) = (+ 6)


                                                   Exercício Resolvido
           1) Calcule o valor da expressão abaixo:
                               {(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1)

           Resolução:

           {(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1)
           {12 + [-6 - 7]} .[-12 -(-16)] + (-14) - (-3)
           {12 + [-13]} . [-12 + 16] - 14 + 3
           {12 - 13} . 4 - 14 + 3
           {-1}.4 - 14 + 3




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                                   http://www.pdf4free.com
-4 - 14 + 3
           -18 + 3
           -15



                         NÚMEROS RACIONAIS (Q) - FRAÇÕES
           São aqueles constituído pelos números inteiros e pelas frações positivas e
                                                                            a
           negativas. Número racional é todo número indicado pela expressão b , com b ≠ 0
           e é representado pela letra Q.




           Atenção:

           I) Todo número natural é um racional.




           II) Todo número inteiro relativo é racional.




                                                  FRAÇÕES
                  Número fracionário ou fração é o número que representa uma ou mais
           partes da unidade que foi dividida em partes iguais.

           Exemplos:

           v    1 hora = 60 minutos
           v    ¼ hora = 15 minutos
                2
           v    4 hora = 30 minutos
                3
           v    4 hora = 45 minutos




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                 http://www.pdf4free.com
⇒ Representação

                 Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo
           uma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamente
           de numerador e denominador, e que constituem os termos da fração.




                O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e o
           numerador, quantas partes foram tomadas.
                As frações podem ser decimais e ordinárias.

                                       FRAÇÕES DECIMAIS
                  Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja,
           10, 100, 1000, etc.

           Exemplo:




                                    FRAÇÕES ORDINÁRIAS
                 São todas as outras frações:




                                    TIPOS DE FRAÇÕES
           a) Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. Nesse caso a
           fração é menor que a unidade.

           Exemplo:




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                  http://www.pdf4free.com
b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador.
           Nesse caso a fração é maior que a unidade.

           Exemplo:




           c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelo
           denominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aos
           números internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador.

           Exemplo:




           d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é,
           não podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números primos
           entre si, e por esta razão não têm mais nenhum divisor comum.

           Exemplo:

                               24        2
            Simplificando-se      , temos (fração irredutível)
                               36        3



             REDUÇÕE DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR
           1) Reduzem-se as frações à forma irredutível
           2) Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas frações
           3) Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo numerador o resultado
           da divisão.

           Exemplo:




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                      http://www.pdf4free.com
1-)
             3       1
                 =
             6       2


           2-)
            mmc (2, 5, 7) = 70

           3-)
             2 1                                        28
              ,      , 4 ⇒        ,        ,        ⇒        , 35 , 40
             5 2         7   70       70       70       70    70   70


                                      PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES

           1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certo
               número diferente de zero, o valor de fração fica multiplicado ou dividido por
               esse número.

           Exemplo:
                          3                                                            6
           Seja a fração 10 . Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a fração 10 ,
                                          3               6
           que é duas vezes maior que    10 , pois se em 10 tomamos 6 das 10 divisões da
                        3
           unidade, em 10 tomamos apenas três.

           Ilustração:




                                                     3                         6
           Observando a ilustração, verificamos que 10 é duas vezes menor que 10 .




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                              http://www.pdf4free.com
2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um número
               diferente de zero, o valor da fração fica dividido ou multiplicado por esse
               número.

           Exemplo:
                         2                                                          2
           Seja a fração 5 . Multiplicando o denominador por 2, obtemos a fração 10 , que é
                                    2           2
           duas vezes menor que     5 , pois em 5 dividimos a unidade em 5 partes iguais e das
                                                2
           cinco tomamos duas, enquanto que em 10 , a mesma unidade foi dividida em 10
           partes iguais e tomadas apenas duas em dez.

           Ilustrações:




                                                               2
           Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que 5 é duas vezes maior que
            2
           10 .


           3) Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente de
               zero, o valor da fração não se altera.

           Exemplo:

             2      2 ⋅2    4
               ⇒         ⇒
             5      5 ⋅2   10

                    2    4
            Logo:     =
                    5   10


           Ilustrações:




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                    http://www.pdf4free.com
NÚMEROS MISTOS
                  Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração.
                  Para transformarmos um número misto em uma fração, basta multiplicar o
           denominador da fração imprópria pelo número inteiro e somamos o resultado
           obtido com o numerador.

           Exemplo:

                4       42 + 4        46
            6       =            =
                7         7           7



                                           COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
               Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos qual é a maior e qual
           a menor. Para isto, devemos conhecer os critérios de comparação:
           1) Quando várias frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior
               numerador.

                Exemplo:
                 4   3            1
                   >        >
                10 10            10
           2) Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor
              denominador.

           Exemplo:




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                http://www.pdf4free.com
4   4             4
              >      >
            5   7            10
           3) Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes a
              comparação é feita reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmo
              numerador.

              Exemplo:

                 2       1        4           28       35       40
                     < <                  ⇒        <        <
                 5       2        7           70       70       70



                                                                Exercício Resolvido
           1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal <.
            4 7          2        1       6
             ,       ,        ,       ,
            5 10         5        2       3


           Resolução:

           Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e paratanto o mmc
           (2, 3, 5, 10) = 30:

             4
                 , 7 , 2, 1, 6 ⇒                                    ,        ,        ,        ,        ⇒
             5 10    5     2    3        30                             30       30       30       30
               24    21     12     15     60
            ⇒      ,     ,       ,     ,
               30    30     30     30     30
            Logo:
            12    15    21     24     60                                2        1
               <     <       <     <       ⇒                                 <       <7   <4 <6
            30    30   30      30     30                                5        2   10        5    3



                                                        FRAÇÕES EQUIVALENTES
                  São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são
           frações de mesmo valor.




                                                        1       3       2
                                                            = =
                                                        2       6       4
           Na figura acima temos:                                                logo são frações equivalentes.




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                                                             http://www.pdf4free.com
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
                   Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o
           denominador são números primos entre si. Para simplificar uma fração basta
           dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número.

                                         36           36 ÷ 4    9           9 ÷3        3
             1
                 O
                     . M odo:                 ⇒              ⇒         ⇒          ⇒
                                         48           48 ÷ 4   12          12 ÷ 3       4
           3
           4 está na sua forma irredutível.


           2O. Modo:
           Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor
           comum) entre o mdc (48,36) = 12

             36 ÷ 12                 3
                             ⇒
             48 ÷ 12                 4


                                                               Exercício Resolvido
                                             3
           1) Obter 3 frações equivalentes a 5 .

           Resolução:
                                           3
           Basta tomar os termos da fração 5 multiplicá-lo por um mesmo número diferente
           de zero:
             3 ×3     9                                   3 ×7    21                  3 × 12   36
                   =                                            =                            =
             5 × 3   15                                   5 × 7   35                  5 × 12   60



                                                      ADIÇÃO DE FRAÇÕES
           Temos dois casos à considerar:

           v Caso 1:
           Denominadores Iguais

                         "Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum".

           Exemplo:

            11           9       2       11 + 9 + 2       22
                     +       +       =                =
            5            5       5           5            5




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                                           http://www.pdf4free.com
v Caso 2:
           Denominadores Diferentes

                "Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-se a regra
                                              anterior ".

           Exemplo:

             4     7    2     1   6     24    21   12             15     60
               +     +     +    +    ⇒      +    +            +         +       ⇒
             5    10    5     2   3     30    30   30             30     30
                 24 + 21 + 12 + 15 + 60
            ⇒                           = 132
                           30              30
           Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível:
             132 ÷ 6       22
                       =
              30 ÷ 6        5


           Nota:
           Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os
           números mistos em frações impróprias.


                                 SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
           Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição
           (Caso 1 e Caso 2).


                                MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
           Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os
           numeradores e denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre:

                   Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores.

           Exemplos:

                   3     6      3 × 6     18
            Þ         ×      =        =
                   5     7      5 × 7     35
                    4      7    2       4 × 7 × 2        56             56    ÷2         28
            Þ          ×      ×    =                =         =                     =
                    5    10     5     5 × 10 × 5        250            250    ÷ 2       125


           Nota:

           Neste último exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o
           produto, observe:




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                                  http://www.pdf4free.com
4            7        2       2       7           2         28
                  ×           ×        =       ×           ×       =
             5           10        5       5       5           5        125
           , simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro.

                                                   DIVISÃO DE FRAÇÕES
           Na divisão de duas frações, vamos sempre:

                         Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda.

           Exemplo:

                     3        6        3       7       1           7        1× 7        7
            Þ            ÷         =       ×       =           ×        =          =
                     5        7        5       6       5           2        5×2        10



                              EXPRESSÕES ARITMÉTICAS FRACIONÁRIAS

                  O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos de
           frações ligadas por sinais de operações é feito na segunda ordem:

           1º) As multiplicações e divisões

           2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes e
           chaves.

           Exemplo:
           Vamos resolver a seguinte expressão:

             9  1    2  11   11   4 1 5
              −   2 +  ÷   ÷    +  ⋅ ÷ =
             2  4    5   3   7    3 2 6
                9        1  10 + 2  11   7    4  5
            = −                     ÷  ×    +   ÷ =
             2 4              5      3   11   6  6
                9       1       12       7   4   6                 9   3  7     4
            = − ×     ÷                   3 + 6 × 5  =              2 − 5  ÷ 3 + 5  =
              2 4 5 
                                                                                   
                45 − 6  35 + 12                            39   47            39   15
            =           ÷  15                      =          ÷           =      ×    =
              10                                           10   15            10   47
                 39    3               39    3             117
            =       ×             =       ×        =
                  2   47                2   47              94




                                                   NÚMEROS REAIS (IR)




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                                                 http://www.pdf4free.com
A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem ao conjunto dos
           números reais, representado pela letra IR.

           Observe o diagrama:




           v Observação ⇒ "Números Irracionais"

                 A parte que está em forma de "telhado", ou seja, IR - Q representa o
           conjunto dos números irracionais, e estes por sua vez são aqueles que não
           podem ser escritos na forma de fração:

           Exemplos:

             2,   3,π   etc.


                                        EXERCÍCIOS
           P1) Que restos pode dar na divisão por 5, um número que não seja divisível por 5
           ?

           P2) Qual o menor número que se deve somar a 4831 para que resulte um número
           divisível por 3 ?

           P3) Qual o menor número que se deve somar a 12318 para que resulte um número
           divisível por 5 ?

           P4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas forem contadas de 9 em 9
           não sobra nenhuma e se forem contadas de 11 em 11 sobra uma. Quantas são as
           bolinhas?

           P5) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 ou 15 ; então podemos
           afirmar que o conjunto A tem :
           a) 5 elementos b) 6 elementos




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                  http://www.pdf4free.com
c) 7 elementos d) 8 elementos

           P6) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 1080 para se obter um
           número divisível por 252?

           P7) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 2205 para se obter um
           número divisível por 1050?

           P8) Assinalar a alternativa correta.
           a) O número 1 é múltiplo de todos os números primos
           b) Todo número primo é divisível por 1
           c) Às vezes um número primo não tem divisor
           d) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor

           P9) Assinalar a alternativa falsa:
           a) O zero tem infinitos divisores
           b) Há números que tem somente dois divisores: são os primos;
           c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo;
           d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é zero.

           P10) Para se saber se um número natural é primo não:
           a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números primos;
           b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos;
           c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos;
           d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos.

           P11) Determinar o número de divisores de 270.

           P12) Calcule o valor das expressões abaixo:
           a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7)
           b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2
           c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7
           d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ]
           e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2
           f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13

           P13) Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204, a
           fim de que os quocientes sejam iguais.
           a) 15 e 17 b) 16 e 18
           c) 14 e 18 d) 12 e16

           P14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108
           e 144 metros, em partes iguais e do máximo tamanho possível.
               Determinar então, o número das partes de cada peça e os comprimentos de
           cada uma.
           9, 8, 6 partes de 18 metros
           8, 6, 5 partes de 18 metros
           9, 7, 6 partes de 18 metros
           10, 8, 4 partes de 18 metros




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                             http://www.pdf4free.com
e) e) e)

           P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um
           terreno de forma quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados do
           terreno tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros?
           a) 562 árvores b) 528 árvores
           c) 474 árvores d) 436 árvores

           P16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os
           senadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os três
           cargos, em que ano deverão ser realizadas novamente eleições para esses
           cargos?

           P17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda
           tem um dente esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentes
           esmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente o encontro?

           P18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro
           percorre em 36 segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistas
           partido juntos, pergunta-se; depois de quanto tempo se encontrarão novamente
           no ponto de partida e quantas voltas darão cada um?

           P19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75
           dentes, sendo que os dentes são todos numerados. Se num determinado
           momento o dento nº 10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da maior,
           estes dentes estarão juntos novamente?

           P20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemos
           afirmar que:
           a) os números são primos
           b) eles são divisíveis entre si
           c) os números são primos entre si
           d) os números são ímpares

           P21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8
           minutos; para Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às
           7 horas da manhã partiram três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a que
           horas do dia, até às 18 horas haverá partidas simultâneas?

           P22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20
           minutos, para o Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos;
           às 8 horas da manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais são as outras
           horas, quando os embarques coincidem até as 18 horas.

           P23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantos
           ladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio?

           P24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior. Quais são os
           números?




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                   http://www.pdf4free.com
P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu uma
           peça de linho de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça,
           depois 1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender?

           P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4
           do que tocou ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeu
           cada um ?

           P27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeiro
           comprou 1/3 da peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12
           metros e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça
           ?

           P28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro,
           1/7. Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o
           preço do terreno ?

           P29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficou
           com R$80,00. Quanto possuía?

           P30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4?

           P31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 do
           restante. Quanto falta para atingir o cume?

           P32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando se acrescentam 3
           unidades?

           P33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30
           minutos. Quanto tempo leva de uma cidade a outra uma viagem de trem?

           P34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 dessa mesma maçã. Qual
           das duas comeu mais e quanto sobrou?

           P35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para quociente 49. Qual é esse
           número?

           P36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantas
           balas couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e o
           segundo deu ½ do que possuía ao terceiro?

           P37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três herdeiros. O primeiro
           recebe ½, o segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia?

           P38) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. Em quanto tempo
           enche 3/7 desse tanque?




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                   http://www.pdf4free.com
P39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro recebe ½, o
           segundo 1/5 do que recebeu o primeiro e os restantes recebem partes iguais.
           Quanto recebeu cada pobre?

           P40) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais
           1/7 do que restou e ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavam
           lutando?

           P41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há ainda
           mais 24 árvores diversas. Quantas árvores há no pomar?

           P42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma estrada faz mais cinco
           quilômetros e assim corre 2/3 do percurso que deve fazer. Quanto percorreu o
           corredor e qual o total do percurso, em quilômetros?

           P43) Efetuar as adições:
             1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98
             2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39

           P44) Efetuar as subtrações:
              1º) 6,03 - 2,9456
              2º) 1 - 0,34781

           P45) Efetuar as multiplicações
             1º) 4,31 x 0,012
             2º) 1,2 x 0,021 x 4

           P46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta.
               1º) 56 por 17 a menos de 0,01
               2º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,1
               3º) 5   por 7 a menos de 0,001

           P47) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. Nestas condições:
               Escreva a representação decimal do número de acertos;
               Transformar numa fração decimal;
               Escreva em % o número de acertos de Luciana.
           d) d) d)
           P48) Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem das
           operações: 0,5 + ( 0,05 ¸ 0,005).

           P49) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse a fração decimal que
                                                                                  81
           representa o número 0,081 na forma de fração decimal, Toninho escreveu 10 ; Ele
           acertou ou errou a resposta.

           P50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, quais tem o mesmo valor
           ?




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                   http://www.pdf4free.com
P51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o resultado por 3 dá o
           mesmo resultado que multiplicar 804 por 0,75?

           P52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o valor de 4 - x .

           P53) Uma indústria A, vende suco de laranja em embalagem de 1,5 litro que custa
           R$ 7,50. Uma indústria B vende o mesmo suco em embalagem de 0,8 litro que
           custa R$ 5,40. Qual das duas vende o suco mais barato?

           P54)Em certo dia, no final do expediente para o público, a fila única de clientes de
           um banco, tem um comprimento de 9 metros em média, e a distância entre duas
           pessoas na fila é 0,45m.
           Responder:
           a) Quantas pessoas estão na fila?
           b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos para ser atendida, em quanto tempo
           serão atendidas todas as pessoas que estão na fila?



                            GABARITO - CONJUNTOS NUMÉRICOS


           P1) 1,2,3,4

           P2) 2

           P3) 2

           P4) 45

           P5) B

           P6) 7

           P7) 10

           P8) B

           P9) D

           P10) B

           P11) 16

           P12) a) 4 b) 94 c) 12   d) 5   e) 357
           f) 682

           P13) A

           P14) B




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                     http://www.pdf4free.com
P15) C

           P16) 1941

           P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor

           P18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos

           P19) Após 4 voltas

           P20) C

           P21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h

           P22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h

           P23) 24.339

           P24) 72 e 48

           P25) 12 metros

           P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00

           P27) 90 metros

           P28) R$420.000,00

           P29) R$300,00

           P30) 155/4

           P31) 2/7

           P32) 24

           P33) 9 h

           P34) Cada comeu ½ e não sobrou nada

           P35) 35

           P36) 6,6,15

           P37) R$35.000,00

           P38) 3horas

           P39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 ,
           3º 4º e 5º R$16,00




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                    http://www.pdf4free.com
P40) 45.000

           P41) 105

           P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros

           P43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791

           P44) 1º) 3,0844;    2º) 0,65219;

           P45) 1º) 0,05172;    2º) 0,1008;

           P46) 1º) 3,29;      2º) 1,5;    3º) 0,714;

                                  85
           P47) a) 0,85       b) 100 c) 85%

           P48) 0,05

           P49) Errou, a resposta é 81/1000

           P50) 2,03; 2,030 e 2,0300

           P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603

           P52) 13,6256

           P53) a indústria A

           P54) a) 20 pessoas b) 80 minutos.




                                              NÚMEROS DECIMAIS
                 Os números decimais fazem parte do conjunto dos números racionais, e
           no entanto, estes números merecem uma atenção especial, que aparecem muito
           em nosso cotidiano, além de se relacionar com muitas questões de provas de
           concursos públicos.


                                                  ADIÇÃO




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                    http://www.pdf4free.com
Escrevem-se os números decimais uns sobre os outros de modo que as
           vírgulas se correspondam; somam-se os números como se fossem inteiros, e,
           coloca-se a vírgula na soma, em correspondência com as parcelas.

           Exemplo:

                                          13,8 + 0,052 + 2,9 =

                                 13,8                          13,800
                                  0,052          ou             0,052
                                  2,9                           2,900

                                 16,752                        16,752



                                          SUBTRAÇÃO

                  Escreve-se o subtraendo sob o número de modo que as vírgulas se
           correspondam. Subtraem-se os números como se fossem inteiros, e coloca-se a
           vírgula no resultado em correspondência com os dois termos.

           Exemplo:
                                             5,08 - 3,4852 =

                                                5,0800
                                               −3,4852

                                                1,5948




                                        MULTIPLICAÇÃO

           Para se efetuar o produto entre números na forma decimal, deve-se multiplicar
           normalmente, como se fossem números inteiros e após conta-se a quantidade de
           casas decimais que cada um dos fatores apresenta somando em seguida e
           transferindo para o resultado do produto.

           Exemplo:


                              1,23 × 0,4 = 0,492; 12,345 × 5,75 = 70,98375



                                              DIVISÃO




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                       http://www.pdf4free.com
Reduzem-se o dividendo e o divisor ao mesmo número de casas decimais,
           desprezam-se as vírgulas de ambos, e efetua-se a divisão como se fossem
           inteiros. Obtido o quociente, coloca-se ao mesmo tempo, uma vírgula a sua direita
           e um zero a sua esquerda do resto, a fim de continuar a divisão.
                  Os demais algarismos do quociente serão sempre obtidos colocando-se
           um zero a direita de cada resto.


           Exemplo:
                                                  72,2379 ÷ 5,873


           Igualando-se as casas decimais do dividendo e do divisor temos:




                                        EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
                 É um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operações.
                 A partir do estudo da adição e subtração, já podemos começar a resolver
           expressões aritméticas, envolvendo adições e subtrações.
                 O cálculo dessas expressões é feito na ordem em que é indicada, devendo
           observar-se que são feitas inicialmente as operações indicadas entre parênteses,
           em seguida as indicadas entre colchetes e finalmente as indicadas entre chaves.

           Exemplos:

           1) Calcular o valor da expressão aritmética
                                             35 - [4 + (5 - 3)]
           efetuando-se as operações indicadas dentro dos parênteses obtemos
                                                35 - [4 + 2]
           efetuando-se as operações indicadas dentro dos colchetes temos
                                                35 - 6 = 29

           2) Calcular o valor da expressão aritmética
                                          86 - {26 - [8 - (2 + 5)]}
           efetuando-se as operações indicadas nos parênteses obtemos
                                             86 - {26 - [8 - 7]}
           efetuando-se as operações indicadas nos colchetes temos
                                                86 - {26 - 1}
           efetuando as operações indicadas entre as chaves vem que
                                                86 - 25 = 61

           3) Calcular o valor da expressão aritmética
                                 53 - {[48 + (7 - 3)] - [(27 - 2) - (7 + 8 + 10)]}




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                            http://www.pdf4free.com
53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]}
                                                      53 - {52 - 0}
                                                      53 - 52 = 1

                  O cálculo das expressões aritméticas que contém as 4 operações (adição,
           subtração, multiplicação e divisão) deve obedecer a seguinte ordem:
                  Inicialmente as multiplicações e divisões e em seguida, as adições e
           subtrações, respeitando-se a ordem de se iniciar com os parênteses mais
           internos, a seguir os colchetes e finalmente as chaves.

           Exemplo:
                                    54 - 3 x [ (7 + 6 : 2) - (4 x 3 - 5) ]
           efetuando-se inicialmente as multiplicações e divisões que estão indicadas nos
           parênteses temos:
                                            54 - 3 x [ 10 - 7 ]
           efetuando-se os colchetes vem que
                                                54 - 3 ´ [ 3 ]
                                                54 - 9 = 45




                                             Exercício Resolvido
           1) Resolva a seguinte expressão aritmética
                        {[( 8 x 4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) x 3] x 2 - (19 - 7) : 6} x 2 + 12


           Resolução:
           { [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3 ] x 2 - 12 : 6} x 2 + 12
           { [ 35 : 7 + 6 x 3 ] x 2 - 2 } x 2 + 12
           { [ 5 + 18 ] x 2 - 2 } x 2 + 12
           { 23 x 2 - 2} x 2 + 12
           { 46 - 2 } x 2 + 12
           44 x 2 + 12
           88 + 12
           100

                                             DIVISIBILIDADE
           Existem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se um número é ou não
           divisível por outro.
           Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é divisível por 3, e no entanto será
           que 762 é divisível por 2? E por 3?




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                              http://www.pdf4free.com
Todo número que é par é divisível por 2.
           Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc.




           Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por
           3, então o número inicial o será também.

           Exemplos:
           v 762, pois 7 + 6 + 2 = 15
           v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18
           v 53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24




           Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se terminar numa dezena divisível
           por 4 o número será divisível por 4.

           Exemplos:
           v 764, pois 64 é divisível por 4.
           v 1 572, pois 72 é divisível por 4.
           v 3 300, pois o número termina em dois zeros.




           Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será divisível por 5.




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                          http://www.pdf4free.com
Exemplos:
           760, 1 575, 3 320.




           Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será também, divisível por 6.

           Exemplos:
           762, 1 572, 33 291.




           Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos seguir 3 passos:
           1O. Separe a casa das unidades do número;
           2O. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2;
           3O. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse resultado for divisível por 7,
           então o número original também o será.

           Exemplos:

           v 378 é divisível por 7, pois

           Passo1: 37 ........ 8
           Passo 2: 8 × 2 = 16
           Passo 3: 37 − 16 = 21

           Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é.

           v 4 809 é divisível por 7, pois

           Passo1: 480 ........ 9
           Passo 2: 9 × 2 = 18
           Passo 3: 480 − 18 = 462

           Repetindo os passos para o número encontrado:

           Passo1: 46 ........ 2
           Passo 2: 2 × 2 = 4
           Passo 3: 46 − 4 = 42




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                           http://www.pdf4free.com
Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é.




           Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma centena divisível por 8 então o
           número original também será.

           Exemplos:
           1 416, 33 296, 57 800, 43 000.




           Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por
           9, então o número inicial o será também.

           Exemplos:
           v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18
           v 53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27
           v 945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36




           Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 10.

           Exemplos:
           760, 3 320, 13 240.




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                           http://www.pdf4free.com
Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem
           par e a soma dos algarismos de ordem ímpar tiver como resultado um número divisível por
           11.

           Exemplos:
           v 2 937, pois:
           soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16
           soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5
           fazendo a diferença: 16 - 5 = 11

           v 28 017, pois:
           soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9
           soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0 + 7 = 9
           fazendo a diferença: 9 - 9 = 0



                                      MÚLTIPLOS E DIVISORES

           ⇒ Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número natural por outro natural.

           Exemplos:
           v 24 é múltiplo de 3, pois 3 x 8 = 24.
           v 20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 = 0

           ⇒ Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um divisor de x.

           Exemplos:
           v 8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por 8.
           v 21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21.



                                          NÚMEROS PRIMOS
           Todo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o próprio número e a
           unidade; ele será considerado um número primo, são eles:

                                 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...




                               RECONHECENDO UM NÚMERO PRIMO:

                   Dividimos o número, de maneira sucessiva, pelos números que formam a série dos
           números primos, até encontramos um coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso nenhuma
           dessas divisões seja exata, então o número é primo.




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                                  http://www.pdf4free.com
Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar algumas dessas divisões.

           Exemplo:
                  Vamos verificar se o número 193 é primo. Utilizando os critérios da divisibilidade,
           podemos verificar que 193 não é divisível por 2, 3, 5, 7.
           Então, dividindo:

             193 11         193 13            193 17
              83 17          63 14             23 11
               6             11                 6
           Quociente menor que o divisor ⇒ 11 < 17, e não houve divisão exata, então o número 193 é
           primo.


                            DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

                  Quando um número não é primo, pode ser decomposto num produto de fatores
           primos.
                  A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os fatores primos divisores de
           um número natural.

                   ⇒ Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor primo, excetuando-se a
           unidade, a seguir, dividimos o quociente pelo menor divisor comum e assim sucessivamente
           até encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao produto de todos os divisores
           encontrados que serão números primos.

           Exemplo:




                     QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO
           Podemos determinar o total de divisores de um número, mesmo não se
           conhecendo todos os divisores.

           ⇒ Regra: O número total de divisores de um número é igual ao produto dos
           expoentes dos seus fatores primos aumentados (cada expoente) de uma unidade.

           Exemplo:




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                           http://www.pdf4free.com
Vamos determinar o total de divisores de 80.
           Fatorando-se o número 80 encontraremos:              80 = 24 × 51

           Aumentando-se os expoentes em 1 unidade:
           v     4 +1 =5
           v     1 +1 =2
           Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados
                             5 × 2 = 10
           Portanto, o número de divisores de 80 é 10.

           Nota:
           Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos encontrando apenas os
           divisores positivos desse número.


                              MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)
                   Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não
           nulos, ao maior número natural que divide a todos simultaneamente.

           Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao
           mesmo tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números
           dados.




                       MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

                 Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primos
           comuns com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes.

           Exemplo:
           1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280




              Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os
           menores expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus
           menores expoentes são :
                    22 × 5 = 4 × 5 = 20




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                         http://www.pdf4free.com
Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma:
                   MDC (60, 280) = 20

           2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188




           O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser escolhido aquele que tiver
           o menor expoente, então temos 22 = 4
            mdc (480, 188) = 4




                               MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS
                                        (MÉTODO DE EUCLIDES)

           Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280.

           1O. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na primeira lacuna (do
           meio) e o menor na segunda lacuna (do meio):




           2O. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de cima do 60 e o resto na
           lacuna abaixo do 280:




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                         http://www.pdf4free.com
3O. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se os
           passos 1, 2 e 3 até encontrarmos resto zero.




           4O. Passo: O último divisor encontrado será o mdc.

           mdc (60, 280) = 20

           Nota:
           "Números Primos entre Si"
           Dois ou mais números são considerados primos entre si se e somente o Máximo Divisor
           Comum entre esses números for igual a 1.

           Exemplo:
           21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1


                                            Exercícios Resolvidos
           1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 144 e 160, a fim de
           obtermos quocientes iguais.

           Resolução:
           Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                          http://www.pdf4free.com
mdc (144, 160) = 24 = 16

           Então:
           144 ÷ 16 = 9
           O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9,
           Vem que 160 ÷ 16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 160 e 10 o menor quociente.
           Logo os números procurados são 9 e 10,
           pois 144 ÷ 9 = 16 e 160 ÷ 10 = 16.

           2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24 metros de frente e 56
           metros de fundo. Qual deve ser o comprimento de um cordel que sirva para medir
           exatamente as duas dimensões?

           Resolução:




           Então:
                mdc ( 56, 24) = 8

           Resposta:
           O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir as dimensões do terreno
           deve ser de 8 metros de comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24.



                         MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)
                "Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos
                                  múltiplos, não nulo, comum a esses números."

                  Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 e outro constituído pelos
           múltiplos de 9.

           v M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}
           v M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...}

                   Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, verificamos que existem
           números que aparecem em ambos, isto é, são comuns aos dois conjuntos, como os números
           18 e 36, isto é:

                                               M(6) ∩ M(9) = {0, 18, 36, ...}




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                                http://www.pdf4free.com
Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números são
           divisíveis ao mesmo tempo por 6 e por 9.
           Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 18, isto é:

                                                  mmc (6, 9) = 18



                        MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

                  O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, obtém-se decompondo
           simultaneamente este números e efetuando-se o produto dos fatores primos comuns e não
           comuns escolhidos com seus maiores expoentes.

           Exemplo:
           Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180.
           Fatorando os números:


             70 2      140 2        180   2
             35 5       70 2         90   2
             7 7        35 5         45   3
             1           7 7         15   3
                         1            5   5
                                      1


           Então temos:
           70 = 2 x 5 x 7
           140 = 22 x 5 x 7
           180 = 22 x 32 x 5

               Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2e 5.O número 7
           não é fator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número
           3 também não é fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo:

           v fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 5.

           v Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 32 e 7.

                                     mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260



                           MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                            http://www.pdf4free.com
Então:

           mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260



                                RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC
                    O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números.

                                          mmc (a, b) × mdc (a,b) = a x b

           Exemplo:

           Sejam os números 18 e 80
           Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) × mdc (18, 80)
           O produto é 18 × 80 = 1440.

           Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números.



            80, 18 2
            40, 9 2
            20, 9 2
            10, 9 2
             5, 9 3
             5, 3 3
             5, 1 5
             1, 1



           mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720

           Logo:
           mdc(80, 18) = 1440 ÷ mmc(18, 80) = 1440 ÷ 720 = 2




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                          http://www.pdf4free.com
EXERCÍCIO RESOLVIDO
                   Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos
           algumas indicações importantes.
           I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são
           múltiplos;
           II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns;
           III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C.

           Exemplo:

           Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias.
           Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?

           Resolução:
           v Existe a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando
              ocorrerá o novo encontro?"
              ⇒ Múltiplo
           v "Encontrar-se-ão num determinado dia"
              ⇒ Comum
           v "Quando acontecerá o novo encontro"
              ⇒ Mínimo

           Portanto



            15, 20, 25       2
            15, 10, 25       2
            15, 5, 25        3
             5, 5, 25        5
             1, 1, 5         5
             1, 1    1

                             300


           Resposta:
           O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.




                                    SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                             http://www.pdf4free.com
MEDIDAS DE COMPRIMENTO

                  A medida básica de comprimento é o metro cujo símbolo é m.

                  O metro é um padrão adequado para medir a largura de uma rua, o comprimento
           de um terreno, a altura de uma sala.

                   Para medir grandes distâncias, há unidades derivadas de metro e que são maiores
           que ele, como por exemplo medir a extensão de uma estrada.

                 Há também unidades derivadas do metro e que servem para medir pequenos
           comprimentos, como por exemplo o comprimento de um prego.

                  Observe a tabela que representa os múltiplos e submúltiplos do metro.

                                       Nome             Símbolo      Relação
           Múltiplos do Metro          decâmetro        dam          10 m
                                       hectômetro       hm           100 m
                                       quilômetro       km           1000 m
           Submúltiplos do Metro       decímetro        dm           0,1 m
                                       centímetro       cm           0,01 m
                                       milímetro        mm           0,001 m

           Nota:
           Os múltiplos e os submúltiplos do metro são obtidos a partir do metro, realizando
           sucessivas multiplicações ou divisões por 10.




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                          http://www.pdf4free.com
MUDANÇA DE UNIDADE

           Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades
           abaixo representada:




                   Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros para centímetros, vamos
           multiplicar o número por 100, pois estaremos descendo dois degraus.
                   Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus esta escada (metros pra hectômetro
           por exemplo), iríamos dividir o número por 100. Analogamente, de acordo com a
           quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de dez.

           Exemplo1:

           Vamos reduzir 424,286 hectômetros pra metros.
           v hm → m ⇒ × 100 (Desce 2 degrau)
                     424,286 ×100 = 42428,6 m


           Exemplo2:

           Reduzindo 5645,8 decímetros para quilômetros.
           v dm → km ⇒ ÷ 10.000 (Sobe 4 degraus)
                      5645,8 ¸10.000 = 0,56458 km




                              OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS
                                RELACIONADAS AO METRO



           v    Polegada = 2,54 cm
           v   Pé = 30,48 cm
           v   Milha = 1609 metros




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                          http://www.pdf4free.com
EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE COMPRIMENTO

           P 1) Reduzir 28,569 hm a metros.

           P 2) Exprimir 456,835 cm em quilômetros.

           P 3) Quantos metros existem em 8 dm?

           P 4) Quanto dista, em quilômetros, a terra da lua; sabendo-se que essa distância equivale,
           em média, a 60 raios terrestres? (Nota: o raio da terra mede 6.370.000 m).

           P 5) Um viajante percorreu em 7 horas, 33.600 metros. Quantos quilômetros ele fez, em
           média, por hora?

           P 6) O passo de um homem mede cerca de 0,80m. Quanto tempo empregará esse homem
           para percorrer 4.240 km de uma estrada, sabendo-se que anda à razão de 100 passos por
           minuto?

           P 7) Uma senhora comprou 20 metros de fazenda à razão de R$ 84,00 o metro. Se esta
           fazenda foi medida com uma régua que era 1 cm mais curta que o metro verdadeiro;
           pergunta-se:
           1º) Quanto de fazenda a senhora recebeu?
           2º) Quanto pagou a mais?

           P 8) Numa construção, chama-se pé direito a distância do chão ao teto. Nos prédios de
           apartamentos, o pé direito mínimo é de 2,70 m. Qual a altura aproximada de um prédio de
           15 andares?

           P 9) As telas dos aparelhos de televisão costumam ser medidas, em diagonal por polegadas.
           Considerando-se a polegada igual a 2,5 cm. Quantos cm tem a diagonal de um aparelho de
           16 polegadas?

           P 10) De acordo com a Bíblia, a arca de Noé tinha 300 cúbitos de comprimento, 50 cúbitos de
           largura e 30 cúbitos de altura. Considerando-se 1 cúbito = 0,5 m. Calcule as dimensões da
           arca de Noé.

           P 11) Em um mapa cada cm corresponde a 25 km no real. Sabendo-se que a distância real
           de São Paulo a Curitiba é de aproximadamente 400 km, essa distância corresponde a
           quantos cm no mapa?

           P 12) A figura a seguir mostra parte de um mapa onde estão localizadas as cidades A, B, C<
           D e as distâncias (em km) entre elas. Um automóvel percorria uma menor distância saindo
           de A, passando por B e chegando a D ou saindo de A, passando por C e chegando a D?




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                           http://www.pdf4free.com
P 13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de mesmo comprimento.
           Qual deverá ser o comprimento de cada pedaço?

           P 14) Uma cidade A está ligada a uma cidade B por uma estrada que tem 52,5 km de
           comprimento. Por sua vez a cidade B está ligada a cidade C por uma estrada cujo
           comprimento é igual a 2/3 da distância de A até B. Quantos quilômetros percorrerá um
           veículo que sai de A, passa por B e atinge C?

           P 15) Um carpinteiro está colocando rodapé no contorno de uma sala que tem 7,40m de
           comprimento por 4,15m de largura. Esta sala tem três portas, duas delas com 90 cm de vão
           cada uma e a outra com 130 cm de vão. Considerando-se que ele não vai colocar rodapé no
           vão da porta, podemos dizer que ele vai usar de rodapé:
           a) 16m
           b) 17m
           c) 18 m
           d) 19 m
           e) 20 m



                            GABARITO - MEDIDAS DE COMPRIMENTO

           P1) 2856,9

           P2) 0,00456835

           P3) 0,80

           P4) 382.200 km

           P5) 4,8 km/h

           P6) 53.000 minutos

           P7) Recebeu 19,80 m e pagou a mais 16,80

           P8) 40,50 m

           P9) 40 cm

           P10) 150 m de comprimento, 25 m de largura e 15 m de altura




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                        http://www.pdf4free.com
P11) 16 cm

           P12) Passando por C

           P13) 1,62 m

           P14) 87,5 km

           P15) E




                                     MEDIDAS DE SUPERFÍCIE


              "Superfície é a região do plano determinada por segmentos de reta ou por linhas curvas.
                      Medir uma superfície é compará-la com outra tomada como unidade".

                  Para medirmos as superfícies, utilizamos as unidades da área do sistema métrico
           internacional, cuja unidade básica é o metro quadrado (m2 ) e que corresponde a um
           quadrado de 1 metro de lado.




           Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a unidade imediatamente
           inferior.
                   O metro quadrado foi criado para medir grandes superfícies, como por exemplo, a
           superfície de uma fazenda.
                   Para medir grandes superfícies foram criadas unidades maiores que o metro
           quadrado, bem como, foram criadas unidades menores que o metro quadrado para medir
           pequenas superfícies.

                                        Múltiplos do Metro Quadrado
                   Decâmetro Quadrado (dam2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 dam de
           lado, eqüivalendo a 100 m2.

                   Hectômetro Quadrado (hm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 hm de
           lado, eqüivalendo a 10.000 m2.




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                           http://www.pdf4free.com
Quilômetro Quadrado (km2 ) - que corresponde a uma região quadrada de 1 km de
           lado, eqüivalendo a 1.000.000 m2.


                                    Submúltiplos do Metro Quadrado
                   Decímetro Quadrado (dm2 ) - que corresponde a uma região quadrada de 1 dm de
           lado, equivalendo a 0,01 m2 .

                   Centímetro Quadrado (cm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 cm de
           lado, equivalendo a 0,0001 m2.

                   Milímetro Quadrado (mm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 mm de
           lado, equivalendo a 0,000001 m2




                QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE


                  As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, qualquer unidade é sempre
           100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade
           imediatamente superior.




                                      MUDANÇA DE UNIDADE

                  Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de
           unidades abaixo representada:




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                       http://www.pdf4free.com
Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros quadrados para
           centímetros quadrados, vamos multiplicar o número por 10.000, pois estaremos descendo
           dois degraus. Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus desta escada (metros
           quadrados pra decâmetros quadrados por exemplo), iríamos dividir o número por 10.000.
           Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator
           múltiplo de cem.




                                            MEDIDAS AGRÁRIAS
                   São medidas utilizadas na agricultura para medir campos, fazendas, etc.
                   As unidades são o hm2, o dam2 e o m2 que recebem designações especiais.
                   A unidade fundamental de medida é o ARE, cujo símbolo é a, eqüivale a 1 dam2 ou
           seja 100 m2.
                   O are possui apenas um múltiplo e um submúltiplo:
           v O múltiplo do are é o hectare que vale 100 ares ou 1 hectômetro quadrado. Seu símbolo é
              ha.
           v O submúltiplo do are é o centiare, cujo símbolo é ca e cujo valor corresponde a 0,01 are e
              equivale a 1m2.


           Múltiplo          hectare      ha        Hectômetro quadrado          10.000 m2
                             are          a         Decâmetro quadrado           100 m2
           Sub-múltiplo      centiare     ca        Metro quadrado               1 m2


           Observação:

             Existem unidades não legais que pertencem ao sistema métrico decimal.

           v        Alqueire Paulista = 24.200 m2
           v Alqueire Mineiro = 48.400 m2




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                           http://www.pdf4free.com
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS AGRÁRIAS

           P 1) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m2?

           P 2) Uma reserva florestal tem 122.800m2 de área. Qual a área dessa reserva em ha?

           P 3) Uma plantação de café tem uma área de 406 ha. Qual a área dessa plantação em km2?

           P 4) Uma gleba de terra tem uma área de 5/8 ha. 60% da área dessa gleba foi reservada para
           pasto. Quantos m2 de pasto foram formados nessa gleba?

           P 5) Roberto comprou 6 alqueires paulistas de terra, Quantos m2 ele comprou?

           P 6) Numa fazenda de criação de gados para engorda, foram formados 50 alqueires
           (mineiros) de pasto de excelente qualidade. Quantos m2 de pasto foram formados nessa
           fazenda?

           P 7) Uma plantação de cana de açúcar cobre uma extensão de 42 ha. Qual é, em m2, a
           superfície ocupada pela plantação?



                                  GABARITO - MEDIDAS AGRÁRIAS


           P1) 60.000 m2

           P2) 12,28 ha

           P3) 4,06 km2

           P4) 3750 m2

           P5) 145.20 m2

           P6) 2.420.000 m2

           P7) 420.000 m2




                                   MEDIDAS DE CAPACIDADE




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                          http://www.pdf4free.com
" Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em seu interior".

                    Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa de água mineral cabe meio
           litro, estamos medindo a quantidade de líquido que a garrafa pode conter.


                    Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as unidades de volume para
           medir os líquidos. Mas para este fim, utilizamos uma outra unidade de medida chamada
           litros, que se abrevia por l.O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 dm de
           aresta, ou seja, corresponde ao volume de um decímetro cúbico.




           Exemplo:

                  O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, um consumo de
           25m 3 de água. Quantos litros de água foram consumidos nessa casa?

           •25m3 = (25 x 1000)dm3 = 25.000dm3 = 25.000l



                                    MUDANÇA DE UNIDADE

                    Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 em 10, pode-se concluir que
           as mudanças de unidades são feitas como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando-
           se a vírgula de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a direita ou ainda, como
           foi dito, utilizando a escada de transformações representada abaixo:




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                          http://www.pdf4free.com
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE CAPACIDADE

           P 1) Expressar 2l em ml.

           P 2) Sabendo-se que 1dm3 = 1l, expressar 250 l em cm3.

           P 3) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último
           mês foi de 36m3, quantos litros de água foram consumidos?

           P 4) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma vacina que deve ser
           colocada em ampolas de 35cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com esta
           quantidade de vacina?

           P 5) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 85m3. Quantos litros
           de combustível essa carreta pode transportar quando totalmente cheia?

           P 6) Um reservatório, cujo volume é de 10m3, estava totalmente cheio quando deles
           foram retirados 2.200 l. Numa segunda vez foi retirado 1/3 da quantidade de água
           que restou. Nessas condições, quantos litros ainda restam no reservatório?

           P 7) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 12cm3. Qual é a
           capacidade máxima em ml desta ampola?

           P 8) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo volume interno é de
           0,24m3?




                               GABARITO - MEDIDAS DE CAPACIDADE

           P1) 2000ml

           P2) 250000 cm3

           P3) 36.000 litros

           P4) 40.000 ampolas

           P5) 85.000l de combustível

           P6) 5200 litros




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                     http://www.pdf4free.com
MEDIDAS DE MASSA

                 "Massa de um corpo qualquer é a quantidade de matéria que esse corpo contém".

                  O sistema métrico decimal é utilizado, para estabelecer as unidades que servem para
           medir a massa de um corpo.
                  A unidade padrão para medir a massa de um corpo é a massa de um decímetro
           cúbico de água, a uma temperatura de 4ºC. Entretanto, por ser mais prático, foi utilizado
           como unidade principal o grama (abrevia-se g) e que se constitui numa massa igual a
           milésima parte do quilograma ou seja,
                  1g = 0,001kg ou 1kg = 1000g.




                                           RELAÇÃO IMPORTANTE


                                      Volume        Capacidade Massa
                                  1 dm3 =          1 litro    =      1 kg

           Exemplo:
                  Um recipiente, totalmente cheio contém um volume de 5m3 de água pura. Qual é o
           peso (massa) da água contida neste recipiente?
           v 5m3 = 5.000 dm3 = 5000 kg
           Logo, o peso dessa água contida nesse recipiente é de 5.000 kg



            OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO GRAMA

           v Tonelada (T) = 1.000 kg
           v Megaton = 1.000 toneladas
           v Quilate = 0,2 g (unidade para medida de pedras e metais preciosos)




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                         http://www.pdf4free.com
EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE MASSA

           P 1) Com uma certa quantidade de papel, foram feitos 25.000 blocos, todos com o mesmo
           número de páginas. Se cada bloco tem 0,75 kg, quantos quilogramas de papel foram usados
           para fazer esses blocos?

           P 2) Uma laje é formada por 40 blocos de concreto. Cada bloco de concreto tem 1 1/4 T. de
           massa. Qual a massa da laje toda?

           P 3) Um litro de uma certa substância corresponde a uma massa de 2.5 kg. Quantos kg há
           em 6 m3 dessa substância?

           P 4) Um comprimido contém 3,5 mg de vitamina x. Uma pessoa toma três desses
           comprimidos por dia. Quantos miligramas de vitamina x essa pessoa vai ingerir após 1 mês
           de 30 dias?

           P 5) Um recipiente contém água pura. A massa dessa água é de 18.000 kg. Qual é em m3 o
           volume interno desse recipiente?

           P 6) Um volume de 0,01 m3 corresponde a quantos decímetros cúbicos?

           P 7) Um reservatório tem um volume de 81 m3 e está totalmente cheio d´água. Uma válvula
           colocada nesse reservatório deixa passar 1500l de água a cada 15 minutos. Esta válvula
           ficou aberta durante um certo tempo e depois foi fechada. Verificou-se que havia, ainda
           27m3 de água no reservatório. Durante quanto tempo esta válvula permaneceu aberta?
           a) 8 horas
           b) 9 horas
           c) 12 horas
           d) 18 horas
           e) 36 horas



                                       GABARITO - MEDIDAS DE MASSA


           P1) 18.750 kg
           P2) 50 T
           P3) 15.000 kg
           P4) 315 mg
           P5) 18 m3
           P6) 10 dm3
           P7) B




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                          http://www.pdf4free.com
MEDIDAS DE TEMPO

                  A unidade fundamental do tempo é o segundo. As unidades secundárias, que se
           apresentam somente como múltiplos, constam no quadro:

           NOMES          Símbolos       Valores em
                                        segundos
           Segundo        s ou seg      1
           Minuto         min           60
           Hora           h             3.600
           Dia            d             86.400

           Outras unidades, usadas na prática, são:
           v Semana (se) 7 dias
           v Mês (me) 30, 31 ou 29 ou 28 dias
           v Ano (a) 360, 365 ou 366 dias

             O ano compõe-se de 12 meses. O ano comercial tem 360 dias, o ano civil tem 365 dias e
           ano bissexto 366 dias.
             Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias; os
           meses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias. O mês de fevereiro tem 28 dias nos
           anos comuns (civil) e 29 dias nos anos bissextos.
             Todo ano que for divisível por 4, são bissextos. Assim, por exemplo:
                   1940, 1952, 1964 são bissextos
                   1910, 1953, 1965 não são bissextos

           Nomenclaturas:

           v   02 anos chama-se biênio
           v   03 anos chama-se triênio
           v   04 anos chama-se quadriênio
           v   05 anos chama-se quinquênio ou lustro
           v   10 anos chama-se decênio ou década
           v   100 anos chama-se século
           v   1000 anos chama-se milênio
           v   02 meses chama-se bimestre
           v   03 meses chama-se trimestre
           v   06 meses chama-se semestre

                  A representação do número complexo que indica unidade de tempo, é feita
           escrevendo-se em ordem decrescente o valor, s números correspondentes às diversas
           unidades acompanhados dos respectivos símbolos.

           Exemplo:

           v 9a    4 me    18 d      15 h    23 min   17 seg




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                         http://www.pdf4free.com
MUDANÇA DE UNIDADES

           Podem ocorrer dois casos:

           Caso 1: Transformação de número complexo em unidades inferiores também chamadas de
           medidas simples ou número incomplexo.

           Exemplo:
                 Verificar quantos minutos há em 3d 8h 13min?
           v Como 1 dia tem 24 horas →      24 h x 3 = 72 h
           v Temos + 8 h. Estas 72 h + 8 h dá 80 h.
           v Como a hora vale 60 min. → 80 h x 60 min = 4800 min.
           v Somando-se ainda mais 13 min. → 4813 min.

           Caso2: Transformação de um número expresso em medidas simples ou unidades inferiores
           ou em números incomplexos.

           Exemplo:
                   Transformar 4813 min. em número não decimal, é o mesmo que determinar quantos
           dias, horas e minutos há em 4813 min. Neste caso efetuamos as operações inversas do
           problema anterior.

           v 4813 ¸ 60 = 80 h e 13 min
           v 80h ¸ 24 = 3 d e 8 h

           Logo, 4813 minutos é o mesmo que 3 dias 8horas e 13 minutos.




                               EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE TEMPO

           P 1) Dizer: a) Quantos minutos há numa semana?
               b) Quantas horas há em duas semanas?

           P 2) Converter: a) 2d 12 h 15 min em minutos.
                           b) 4 a 8 me 12 d em dias.

           P 3) Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 min.

           P 4) Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano.

           P 5) Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e outro durante 11 me 29 d.
           Qual é a diferença entre os tempos de trabalho dos dois operários?




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                          http://www.pdf4free.com
P 6) As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, na
           verdade, quando o relógio marcar 5 h da tarde?




                                      GABARITO - MEDIDAS DE TEMPO

           P1) a) 10.080 min       b) 336 h

           P2) a) 3.615 min        b) 1.712 dias

           P3) 242 d 18 h 21 min

           P4) 7 me e 20 d

           P5) 1 a 10me 14d

           P6) 4 h 58 min



                                                   INTRODUÇÃO
                  Antes de iniciarmos o estudo de perímetros de figuras planas, vamos
           revisar alguns conceitos básicos da Geometria Plana.



                                                   ÂNGULOS
                        "Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem".


                                                        ˆ
                                              Ângulo: A O B




                                                    BISSETRIZ
              "É uma semi-reta de origem no vértice do ângulo, que o divide em 2 ângulos
                                           congruentes".




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                       http://www.pdf4free.com
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
             "São ângulos cujos lados de um, são semi-retas opostas aos lados do outro,
                                       como ilustra a figura".




                                              TEOREMA: a = b
                                                       ˆ ˆ



                                      CLASSIFICAÇÕES




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                 http://www.pdf4free.com
ÂNGULOS ADJACENTES




                                     TRIÂNGULOS
                              "Os Triângulos são Polígonos de três lados".



                              CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS LADOS




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                     http://www.pdf4free.com
CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS ÂNGULOS




PDF Creator - PDF4Free v2.0                              http://www.pdf4free.com
QUADRILÁTEROS
                       "Os Quadriláteros são Polígonos de quatro lados".

                                            TRAPÉZIO
           "Quadrilátero com dois lados paralelos e ângulos consecutivos (agudo e obtuso)
                                          suplementares".

                                     Trapézio ABCD:




                                     v AD // BC
                                     v A + B = 180O
                                       ˆ   ˆ
                                       ˆ   ˆ
                                     v C + D = 180º



                                      PARALELOGRAMO

               "Quadrilátero com lados dois a dois paralelos, ângulos opostos iguais e
                                   consecutivos suplementares".

                                Paralelogramo ABCD:




                                v AB // CD e AC // BD
                                v A + B = 180 O
                                   ˆ   ˆ
                                  ˆ   ˆ
                                v C + D = 180º
                                  ˆ   ˆ    ˆ   ˆ
                                v A= D e C= B

                                             LOSANGO




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                  http://www.pdf4free.com
"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos opostos iguais e
                               ângulos consecutivos suplementares".

                                  Losango ABCD:




                                  v AB // CD e AC // BD
                                  v AB =BC = CD = AD
                                  v A + B = 180O
                                    ˆ   ˆ
                                    ˆ   ˆ
                                  v C + D = 180º
                                    ˆ   ˆ    ˆ   ˆ
                                  v A= C e D = B



                                           RETÂNGULO

           "Quadrilátero com lados dois a dois paralelos ângulos internos de medida igual a
                                                90O".

                                 Retângulo ABCD:




                                 v AB // CD e
                                 v AD // BC
                                 v A = B = C = D =90O
                                   ˆ ˆ ˆ ˆ


                                           QUADRADO
              "Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos internos de
                                        medida igual a 90 O".

                                 Quadrado ABCD:




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                   http://www.pdf4free.com
v AB // CD e AD // BC
                                 v AB = BC = CD = AD
                                 v A = B = C = D = 90O
                                    ˆ    ˆ ˆ ˆ




                                POLÍGONOS DIVERSOS
           Além dos triângulos e quadriláteros, temos polígonos de lados maiores que 4,
           que é o caso do Pentágono (5 lados), Hexágono (6 lados), e assim
           sucessivamente. Observe a tabela abaixo, referente aos nomes dos polígonos:

           Nomenclatura

           Número de lados
                 3       Triângulo
                 4       Quadrilátero
                 5       Pentágono
                 6       Hexágono
                 7       Heptágono
                 8       Octógono
                 9       Eneágono
                10       Decágono
                11       Undecágono
                12       Dodecágono
                20       Icoságono

           Exemplos:

           v Pentágono




PDF Creator - PDF4Free v2.0                                  http://www.pdf4free.com
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica
Exercicios resolvidos bb matematica

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Radiciação 2015 (professora Simone)
Radiciação 2015 (professora Simone)Radiciação 2015 (professora Simone)
Radiciação 2015 (professora Simone)Elivelton Pontes
 
Solidos exercicios resolvidos
Solidos exercicios resolvidosSolidos exercicios resolvidos
Solidos exercicios resolvidosHelena Borralho
 
Ângulos e poligonos
Ângulos e poligonosÂngulos e poligonos
Ângulos e poligonosEliane
 
álbum de fração 5º ano 2019.doc
álbum de fração 5º ano 2019.docálbum de fração 5º ano 2019.doc
álbum de fração 5º ano 2019.docCamila Silva
 
RAZÃO e PROPORÇÂO.ppt
RAZÃO e  PROPORÇÂO.pptRAZÃO e  PROPORÇÂO.ppt
RAZÃO e PROPORÇÂO.pptJooHonorato3
 
Volumes
VolumesVolumes
Volumesrukka
 
Orientação principios básicos
Orientação principios básicosOrientação principios básicos
Orientação principios básicosAntonio Fleming
 
Elementos da Orientação e da cartografia - Aulas 1, 2 e 3 Geografia 3º Ano
Elementos da Orientação e da cartografia - Aulas 1, 2 e 3 Geografia 3º Ano Elementos da Orientação e da cartografia - Aulas 1, 2 e 3 Geografia 3º Ano
Elementos da Orientação e da cartografia - Aulas 1, 2 e 3 Geografia 3º Ano Fellipe Prado
 
6 elementos de um mapa
6  elementos de um mapa6  elementos de um mapa
6 elementos de um mapaMayjö .
 
Funções e Função Afim
Funções e Função Afim Funções e Função Afim
Funções e Função Afim estudamatematica
 
Poliedros E NãO Poliedros
Poliedros E NãO PoliedrosPoliedros E NãO Poliedros
Poliedros E NãO PoliedrosHelena Borralho
 
O conjunto-dos-números-reais
O conjunto-dos-números-reaisO conjunto-dos-números-reais
O conjunto-dos-números-reaisleilamaluf
 

Mais procurados (20)

Esferas
EsferasEsferas
Esferas
 
Radiciação 2015 (professora Simone)
Radiciação 2015 (professora Simone)Radiciação 2015 (professora Simone)
Radiciação 2015 (professora Simone)
 
Solidos exercicios resolvidos
Solidos exercicios resolvidosSolidos exercicios resolvidos
Solidos exercicios resolvidos
 
Ângulos e poligonos
Ângulos e poligonosÂngulos e poligonos
Ângulos e poligonos
 
álbum de fração 5º ano 2019.doc
álbum de fração 5º ano 2019.docálbum de fração 5º ano 2019.doc
álbum de fração 5º ano 2019.doc
 
RAZÃO e PROPORÇÂO.ppt
RAZÃO e  PROPORÇÂO.pptRAZÃO e  PROPORÇÂO.ppt
RAZÃO e PROPORÇÂO.ppt
 
Numeros racionais
Numeros racionaisNumeros racionais
Numeros racionais
 
Aula 09 05_multiplicaçao
Aula 09 05_multiplicaçaoAula 09 05_multiplicaçao
Aula 09 05_multiplicaçao
 
Volumes
VolumesVolumes
Volumes
 
Ciclo trigonometrico
Ciclo trigonometricoCiclo trigonometrico
Ciclo trigonometrico
 
Orientação principios básicos
Orientação principios básicosOrientação principios básicos
Orientação principios básicos
 
Elementos da Orientação e da cartografia - Aulas 1, 2 e 3 Geografia 3º Ano
Elementos da Orientação e da cartografia - Aulas 1, 2 e 3 Geografia 3º Ano Elementos da Orientação e da cartografia - Aulas 1, 2 e 3 Geografia 3º Ano
Elementos da Orientação e da cartografia - Aulas 1, 2 e 3 Geografia 3º Ano
 
6 elementos de um mapa
6  elementos de um mapa6  elementos de um mapa
6 elementos de um mapa
 
Quadriláteros
QuadriláterosQuadriláteros
Quadriláteros
 
Geometria de posição
Geometria de posiçãoGeometria de posição
Geometria de posição
 
Funções e Função Afim
Funções e Função Afim Funções e Função Afim
Funções e Função Afim
 
Poliedros E NãO Poliedros
Poliedros E NãO PoliedrosPoliedros E NãO Poliedros
Poliedros E NãO Poliedros
 
Escalas e mapas
Escalas e mapasEscalas e mapas
Escalas e mapas
 
O conjunto-dos-números-reais
O conjunto-dos-números-reaisO conjunto-dos-números-reais
O conjunto-dos-números-reais
 
Aula fatorial
Aula fatorialAula fatorial
Aula fatorial
 

Destaque

Lista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade
Lista de Exercícios – Critérios de DivisibilidadeLista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade
Lista de Exercícios – Critérios de DivisibilidadeEverton Moraes
 
Workshop de Empreendedorismo Corporativo
Workshop de Empreendedorismo CorporativoWorkshop de Empreendedorismo Corporativo
Workshop de Empreendedorismo Corporativojosedornelas
 
Educacao empreendedora
Educacao empreendedoraEducacao empreendedora
Educacao empreendedorajosedornelas
 
Exercícios: Adição de Números Naturais e Suas Propriedades
Exercícios: Adição de Números Naturais e Suas PropriedadesExercícios: Adição de Números Naturais e Suas Propriedades
Exercícios: Adição de Números Naturais e Suas PropriedadesElaine Gomes
 
Transformar fração decimal em número decimal
Transformar fração decimal em número decimalTransformar fração decimal em número decimal
Transformar fração decimal em número decimalMarcia Roberto
 
Característias hereditárias
Característias hereditáriasCaracterístias hereditárias
Característias hereditáriasReal Auto Ònibus
 
Slide numeros decimais w 2003
Slide numeros decimais w 2003Slide numeros decimais w 2003
Slide numeros decimais w 2003mariafseabra
 
Frações decimais e números decimais
Frações decimais e números decimaisFrações decimais e números decimais
Frações decimais e números decimaistcrisouza
 
10 11 números naturais 5º ano
10 11 números naturais  5º ano10 11 números naturais  5º ano
10 11 números naturais 5º anoCristina Jesus
 
Ii lista de exercícios 6º ano pdf
Ii lista de exercícios   6º ano pdfIi lista de exercícios   6º ano pdf
Ii lista de exercícios 6º ano pdfjonihson
 
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)Hélio Rocha
 
Atividades de reforço multiplicação e divisão
Atividades de reforço multiplicação e divisãoAtividades de reforço multiplicação e divisão
Atividades de reforço multiplicação e divisãoVera Lucia A. Trindade Dias
 
Correção da Ficha de Avaliação 2
Correção da Ficha de Avaliação 2Correção da Ficha de Avaliação 2
Correção da Ficha de Avaliação 2sofiasimao
 
Caderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da Infância
Caderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da InfânciaCaderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da Infância
Caderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da InfânciaJairo Felipe
 

Destaque (18)

Lista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade
Lista de Exercícios – Critérios de DivisibilidadeLista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade
Lista de Exercícios – Critérios de Divisibilidade
 
Empreendedorismo
EmpreendedorismoEmpreendedorismo
Empreendedorismo
 
Planejamento
PlanejamentoPlanejamento
Planejamento
 
Workshop de Empreendedorismo Corporativo
Workshop de Empreendedorismo CorporativoWorkshop de Empreendedorismo Corporativo
Workshop de Empreendedorismo Corporativo
 
Educacao empreendedora
Educacao empreendedoraEducacao empreendedora
Educacao empreendedora
 
Exercícios: Adição de Números Naturais e Suas Propriedades
Exercícios: Adição de Números Naturais e Suas PropriedadesExercícios: Adição de Números Naturais e Suas Propriedades
Exercícios: Adição de Números Naturais e Suas Propriedades
 
Ficha 1
Ficha 1Ficha 1
Ficha 1
 
Transformar fração decimal em número decimal
Transformar fração decimal em número decimalTransformar fração decimal em número decimal
Transformar fração decimal em número decimal
 
Característias hereditárias
Característias hereditáriasCaracterístias hereditárias
Característias hereditárias
 
Slide numeros decimais w 2003
Slide numeros decimais w 2003Slide numeros decimais w 2003
Slide numeros decimais w 2003
 
Frações decimais e números decimais
Frações decimais e números decimaisFrações decimais e números decimais
Frações decimais e números decimais
 
10 11 números naturais 5º ano
10 11 números naturais  5º ano10 11 números naturais  5º ano
10 11 números naturais 5º ano
 
Caracteristicas Hereditárias
Caracteristicas HereditáriasCaracteristicas Hereditárias
Caracteristicas Hereditárias
 
Ii lista de exercícios 6º ano pdf
Ii lista de exercícios   6º ano pdfIi lista de exercícios   6º ano pdf
Ii lista de exercícios 6º ano pdf
 
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
SIMULADO: POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO (8º ANO E H2)
 
Atividades de reforço multiplicação e divisão
Atividades de reforço multiplicação e divisãoAtividades de reforço multiplicação e divisão
Atividades de reforço multiplicação e divisão
 
Correção da Ficha de Avaliação 2
Correção da Ficha de Avaliação 2Correção da Ficha de Avaliação 2
Correção da Ficha de Avaliação 2
 
Caderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da Infância
Caderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da InfânciaCaderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da Infância
Caderno de atividade - 5º ano - Programa Primeiros Saberes da Infância
 

Semelhante a Exercicios resolvidos bb matematica

Unprotected apostila-matematica
Unprotected apostila-matematicaUnprotected apostila-matematica
Unprotected apostila-matematicaJ M
 
Apostila matematica
Apostila matematicaApostila matematica
Apostila matematicaJ M
 
Exercícios resolvidos numeros naturais
Exercícios resolvidos numeros naturaisExercícios resolvidos numeros naturais
Exercícios resolvidos numeros naturaisEderronio Mederos
 
Razão e proporção
Razão e proporçãoRazão e proporção
Razão e proporçãowalissongbs
 
Apostila de matemática i apostila específica para o concurso da prefeitura ...
Apostila de matemática i   apostila específica para o concurso da prefeitura ...Apostila de matemática i   apostila específica para o concurso da prefeitura ...
Apostila de matemática i apostila específica para o concurso da prefeitura ...Iracema Vasconcellos
 
isoladas-matematica-do-zero-aula-2-dudan-resolvido.pdf
isoladas-matematica-do-zero-aula-2-dudan-resolvido.pdfisoladas-matematica-do-zero-aula-2-dudan-resolvido.pdf
isoladas-matematica-do-zero-aula-2-dudan-resolvido.pdfLourencianneCardoso
 
Essencial_ Números racionais não negativos.pptx
Essencial_ Números racionais não negativos.pptxEssencial_ Números racionais não negativos.pptx
Essencial_ Números racionais não negativos.pptxMariaFloradeSousaBri
 
03_Matematica Banco do Brasil.pdf
03_Matematica Banco do Brasil.pdf03_Matematica Banco do Brasil.pdf
03_Matematica Banco do Brasil.pdfConcurseiroSilva4
 
72370870 matematica-etapa-3
72370870 matematica-etapa-372370870 matematica-etapa-3
72370870 matematica-etapa-3Rone carvalho
 
Frações e números decimais
Frações e números decimaisFrações e números decimais
Frações e números decimaisErasmo lopes
 
Uso do sudoku nas operações com numeros naturais e fracionários
Uso do sudoku nas operações com numeros naturais e fracionáriosUso do sudoku nas operações com numeros naturais e fracionários
Uso do sudoku nas operações com numeros naturais e fracionárioscidiasales
 

Semelhante a Exercicios resolvidos bb matematica (20)

Matemática
MatemáticaMatemática
Matemática
 
Unprotected apostila-matematica
Unprotected apostila-matematicaUnprotected apostila-matematica
Unprotected apostila-matematica
 
Apostila matematica
Apostila matematicaApostila matematica
Apostila matematica
 
Apostila Matemática Básica Parte 1
Apostila Matemática Básica Parte 1Apostila Matemática Básica Parte 1
Apostila Matemática Básica Parte 1
 
Pedreiro alvenaria1 18
Pedreiro alvenaria1 18Pedreiro alvenaria1 18
Pedreiro alvenaria1 18
 
Exercícios resolvidos numeros naturais
Exercícios resolvidos numeros naturaisExercícios resolvidos numeros naturais
Exercícios resolvidos numeros naturais
 
Razão e proporção
Razão e proporçãoRazão e proporção
Razão e proporção
 
Mat 6 ef2_frações
Mat 6 ef2_fraçõesMat 6 ef2_frações
Mat 6 ef2_frações
 
Apostila de matemática i apostila específica para o concurso da prefeitura ...
Apostila de matemática i   apostila específica para o concurso da prefeitura ...Apostila de matemática i   apostila específica para o concurso da prefeitura ...
Apostila de matemática i apostila específica para o concurso da prefeitura ...
 
MentalPost1.pptx
MentalPost1.pptxMentalPost1.pptx
MentalPost1.pptx
 
isoladas-matematica-do-zero-aula-2-dudan-resolvido.pdf
isoladas-matematica-do-zero-aula-2-dudan-resolvido.pdfisoladas-matematica-do-zero-aula-2-dudan-resolvido.pdf
isoladas-matematica-do-zero-aula-2-dudan-resolvido.pdf
 
Essencial_ Números racionais não negativos.pptx
Essencial_ Números racionais não negativos.pptxEssencial_ Números racionais não negativos.pptx
Essencial_ Números racionais não negativos.pptx
 
03_Matematica Banco do Brasil.pdf
03_Matematica Banco do Brasil.pdf03_Matematica Banco do Brasil.pdf
03_Matematica Banco do Brasil.pdf
 
Conjunto dos números naturais
Conjunto dos números naturaisConjunto dos números naturais
Conjunto dos números naturais
 
72370870 matematica-etapa-3
72370870 matematica-etapa-372370870 matematica-etapa-3
72370870 matematica-etapa-3
 
Aula2 equação 1º_
Aula2 equação 1º_Aula2 equação 1º_
Aula2 equação 1º_
 
Gabarito1011
Gabarito1011Gabarito1011
Gabarito1011
 
Apostila teoria - 2013 - 60
Apostila   teoria - 2013 - 60Apostila   teoria - 2013 - 60
Apostila teoria - 2013 - 60
 
Frações e números decimais
Frações e números decimaisFrações e números decimais
Frações e números decimais
 
Uso do sudoku nas operações com numeros naturais e fracionários
Uso do sudoku nas operações com numeros naturais e fracionáriosUso do sudoku nas operações com numeros naturais e fracionários
Uso do sudoku nas operações com numeros naturais e fracionários
 

Mais de trigono_metria

Mat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacaoMat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacaotrigono_metria
 
Mat divisores de um numero
Mat divisores de um numeroMat divisores de um numero
Mat divisores de um numerotrigono_metria
 
Mat funcao polinomial 2 grau
Mat funcao polinomial 2 grauMat funcao polinomial 2 grau
Mat funcao polinomial 2 grautrigono_metria
 
Mat expressoes algebricas
Mat expressoes algebricasMat expressoes algebricas
Mat expressoes algebricastrigono_metria
 
Mat numeros decimais parte ii
Mat numeros decimais parte iiMat numeros decimais parte ii
Mat numeros decimais parte iitrigono_metria
 
Mat equacao do segundo grau parte i
Mat equacao do segundo grau   parte iMat equacao do segundo grau   parte i
Mat equacao do segundo grau parte itrigono_metria
 
Mat razoes e proporcoes 002
Mat razoes e proporcoes  002Mat razoes e proporcoes  002
Mat razoes e proporcoes 002trigono_metria
 
Mat utfrs 22. poligonos exercicios
Mat utfrs 22. poligonos exerciciosMat utfrs 22. poligonos exercicios
Mat utfrs 22. poligonos exerciciostrigono_metria
 
Mat conjuntos numericos
Mat conjuntos numericosMat conjuntos numericos
Mat conjuntos numericostrigono_metria
 
Mat leitura numero decimal
Mat leitura numero decimalMat leitura numero decimal
Mat leitura numero decimaltrigono_metria
 
Mat equacoes do 1 grau 004
Mat equacoes do 1 grau  004Mat equacoes do 1 grau  004
Mat equacoes do 1 grau 004trigono_metria
 
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidosMat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidostrigono_metria
 
Mat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacaoMat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacaotrigono_metria
 
Mat equacoes do 1 grau 001
Mat equacoes do 1 grau  001Mat equacoes do 1 grau  001
Mat equacoes do 1 grau 001trigono_metria
 
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002
Mat equacao do primeiro grau resolvidos  002Mat equacao do primeiro grau resolvidos  002
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002trigono_metria
 

Mais de trigono_metria (20)

Mat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacaoMat utfrs 03. potenciacao
Mat utfrs 03. potenciacao
 
Mat divisores de um numero
Mat divisores de um numeroMat divisores de um numero
Mat divisores de um numero
 
Mat funcao polinomial 2 grau
Mat funcao polinomial 2 grauMat funcao polinomial 2 grau
Mat funcao polinomial 2 grau
 
Mat areas e volumes
Mat areas e volumesMat areas e volumes
Mat areas e volumes
 
Mat expressoes algebricas
Mat expressoes algebricasMat expressoes algebricas
Mat expressoes algebricas
 
Mat numeros decimais parte ii
Mat numeros decimais parte iiMat numeros decimais parte ii
Mat numeros decimais parte ii
 
Mat equacao do segundo grau parte i
Mat equacao do segundo grau   parte iMat equacao do segundo grau   parte i
Mat equacao do segundo grau parte i
 
Mat razoes e proporcoes 002
Mat razoes e proporcoes  002Mat razoes e proporcoes  002
Mat razoes e proporcoes 002
 
Mat sc conicas
Mat sc conicasMat sc conicas
Mat sc conicas
 
Mat utfrs 22. poligonos exercicios
Mat utfrs 22. poligonos exerciciosMat utfrs 22. poligonos exercicios
Mat utfrs 22. poligonos exercicios
 
Mat conjuntos numericos
Mat conjuntos numericosMat conjuntos numericos
Mat conjuntos numericos
 
Mat leitura numero decimal
Mat leitura numero decimalMat leitura numero decimal
Mat leitura numero decimal
 
Mat numeros racionais
Mat numeros racionaisMat numeros racionais
Mat numeros racionais
 
Mat divisibilidade
Mat divisibilidadeMat divisibilidade
Mat divisibilidade
 
Mat equacoes do 1 grau 004
Mat equacoes do 1 grau  004Mat equacoes do 1 grau  004
Mat equacoes do 1 grau 004
 
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidosMat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
Mat fatoracao algebrica exercicios resolvidos
 
Mat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacaoMat utfrs 05. radiciacao
Mat utfrs 05. radiciacao
 
Mat derivadas
Mat derivadasMat derivadas
Mat derivadas
 
Mat equacoes do 1 grau 001
Mat equacoes do 1 grau  001Mat equacoes do 1 grau  001
Mat equacoes do 1 grau 001
 
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002
Mat equacao do primeiro grau resolvidos  002Mat equacao do primeiro grau resolvidos  002
Mat equacao do primeiro grau resolvidos 002
 

Último

O desenvolvimento é um conceito mais amplo, pode ter um contexto biológico ou...
O desenvolvimento é um conceito mais amplo, pode ter um contexto biológico ou...O desenvolvimento é um conceito mais amplo, pode ter um contexto biológico ou...
O desenvolvimento é um conceito mais amplo, pode ter um contexto biológico ou...azulassessoria9
 
Apresentação | Símbolos e Valores da União Europeia
Apresentação | Símbolos e Valores da União EuropeiaApresentação | Símbolos e Valores da União Europeia
Apresentação | Símbolos e Valores da União EuropeiaCentro Jacques Delors
 
Prova nivel 3 da XXII OBA DE 2019 - GABARITO POWER POINT.pptx
Prova nivel 3 da XXII OBA DE 2019 - GABARITO POWER POINT.pptxProva nivel 3 da XXII OBA DE 2019 - GABARITO POWER POINT.pptx
Prova nivel 3 da XXII OBA DE 2019 - GABARITO POWER POINT.pptxLucasFCapistrano
 
atividade-de-portugues-paronimos-e-homonimos-4º-e-5º-ano-respostas.pdf
atividade-de-portugues-paronimos-e-homonimos-4º-e-5º-ano-respostas.pdfatividade-de-portugues-paronimos-e-homonimos-4º-e-5º-ano-respostas.pdf
atividade-de-portugues-paronimos-e-homonimos-4º-e-5º-ano-respostas.pdfAutonoma
 
Regulamento do Festival de Teatro Negro - FESTIAFRO 2024 - 10ª edição - CEI...
Regulamento do Festival de Teatro Negro -  FESTIAFRO 2024 - 10ª edição -  CEI...Regulamento do Festival de Teatro Negro -  FESTIAFRO 2024 - 10ª edição -  CEI...
Regulamento do Festival de Teatro Negro - FESTIAFRO 2024 - 10ª edição - CEI...Eró Cunha
 
No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...
No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...
No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...azulassessoria9
 
MESTRES DA CULTURA DE ASSARÉ Prof. Francisco Leite.pdf
MESTRES DA CULTURA DE ASSARÉ Prof. Francisco Leite.pdfMESTRES DA CULTURA DE ASSARÉ Prof. Francisco Leite.pdf
MESTRES DA CULTURA DE ASSARÉ Prof. Francisco Leite.pdfprofesfrancleite
 
Sopa de letras | Dia da Europa 2024 (nível 2)
Sopa de letras | Dia da Europa 2024 (nível 2)Sopa de letras | Dia da Europa 2024 (nível 2)
Sopa de letras | Dia da Europa 2024 (nível 2)Centro Jacques Delors
 
ATIVIDADE 3 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
ATIVIDADE 3 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024ATIVIDADE 3 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
ATIVIDADE 3 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024azulassessoria9
 
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSSFormação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSSPedroMatos469278
 
Historia de Portugal - Quarto Ano - 2024
Historia de Portugal - Quarto Ano - 2024Historia de Portugal - Quarto Ano - 2024
Historia de Portugal - Quarto Ano - 2024Cabiamar
 
RENASCIMENTO E HUMANISMO_QUIZ 7º ANO.pptx
RENASCIMENTO E HUMANISMO_QUIZ 7º ANO.pptxRENASCIMENTO E HUMANISMO_QUIZ 7º ANO.pptx
RENASCIMENTO E HUMANISMO_QUIZ 7º ANO.pptxAntonioVieira539017
 
INTRODUÇÃO DE METODOLOGIA PARA TRABALHIOS CIENTIFICOS
INTRODUÇÃO DE METODOLOGIA PARA TRABALHIOS CIENTIFICOSINTRODUÇÃO DE METODOLOGIA PARA TRABALHIOS CIENTIFICOS
INTRODUÇÃO DE METODOLOGIA PARA TRABALHIOS CIENTIFICOSPedro Luis Moraes
 
Sistema de Bibliotecas UCS - Cantos do fim do século
Sistema de Bibliotecas UCS  - Cantos do fim do séculoSistema de Bibliotecas UCS  - Cantos do fim do século
Sistema de Bibliotecas UCS - Cantos do fim do séculoBiblioteca UCS
 
Aula de ampliação e redução - matemática
Aula de ampliação e redução - matemáticaAula de ampliação e redução - matemática
Aula de ampliação e redução - matemáticaJulianeNassaralla1
 
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...azulassessoria9
 
Quando a escola é de vidro, de Ruth Rocha
Quando a escola é de vidro, de Ruth RochaQuando a escola é de vidro, de Ruth Rocha
Quando a escola é de vidro, de Ruth RochaREGIANELAURALOUREIRO1
 
ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024azulassessoria9
 

Último (20)

Poema - Maio Laranja
Poema - Maio Laranja Poema - Maio Laranja
Poema - Maio Laranja
 
O desenvolvimento é um conceito mais amplo, pode ter um contexto biológico ou...
O desenvolvimento é um conceito mais amplo, pode ter um contexto biológico ou...O desenvolvimento é um conceito mais amplo, pode ter um contexto biológico ou...
O desenvolvimento é um conceito mais amplo, pode ter um contexto biológico ou...
 
Novena de Pentecostes com textos de São João Eudes
Novena de Pentecostes com textos de São João EudesNovena de Pentecostes com textos de São João Eudes
Novena de Pentecostes com textos de São João Eudes
 
Apresentação | Símbolos e Valores da União Europeia
Apresentação | Símbolos e Valores da União EuropeiaApresentação | Símbolos e Valores da União Europeia
Apresentação | Símbolos e Valores da União Europeia
 
Prova nivel 3 da XXII OBA DE 2019 - GABARITO POWER POINT.pptx
Prova nivel 3 da XXII OBA DE 2019 - GABARITO POWER POINT.pptxProva nivel 3 da XXII OBA DE 2019 - GABARITO POWER POINT.pptx
Prova nivel 3 da XXII OBA DE 2019 - GABARITO POWER POINT.pptx
 
atividade-de-portugues-paronimos-e-homonimos-4º-e-5º-ano-respostas.pdf
atividade-de-portugues-paronimos-e-homonimos-4º-e-5º-ano-respostas.pdfatividade-de-portugues-paronimos-e-homonimos-4º-e-5º-ano-respostas.pdf
atividade-de-portugues-paronimos-e-homonimos-4º-e-5º-ano-respostas.pdf
 
Regulamento do Festival de Teatro Negro - FESTIAFRO 2024 - 10ª edição - CEI...
Regulamento do Festival de Teatro Negro -  FESTIAFRO 2024 - 10ª edição -  CEI...Regulamento do Festival de Teatro Negro -  FESTIAFRO 2024 - 10ª edição -  CEI...
Regulamento do Festival de Teatro Negro - FESTIAFRO 2024 - 10ª edição - CEI...
 
No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...
No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...
No processo de aprendizagem motora, a forma como o indivíduo processa as info...
 
MESTRES DA CULTURA DE ASSARÉ Prof. Francisco Leite.pdf
MESTRES DA CULTURA DE ASSARÉ Prof. Francisco Leite.pdfMESTRES DA CULTURA DE ASSARÉ Prof. Francisco Leite.pdf
MESTRES DA CULTURA DE ASSARÉ Prof. Francisco Leite.pdf
 
Sopa de letras | Dia da Europa 2024 (nível 2)
Sopa de letras | Dia da Europa 2024 (nível 2)Sopa de letras | Dia da Europa 2024 (nível 2)
Sopa de letras | Dia da Europa 2024 (nível 2)
 
ATIVIDADE 3 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
ATIVIDADE 3 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024ATIVIDADE 3 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
ATIVIDADE 3 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
 
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSSFormação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
Formação T.2 do Modulo I da Formação HTML & CSS
 
Historia de Portugal - Quarto Ano - 2024
Historia de Portugal - Quarto Ano - 2024Historia de Portugal - Quarto Ano - 2024
Historia de Portugal - Quarto Ano - 2024
 
RENASCIMENTO E HUMANISMO_QUIZ 7º ANO.pptx
RENASCIMENTO E HUMANISMO_QUIZ 7º ANO.pptxRENASCIMENTO E HUMANISMO_QUIZ 7º ANO.pptx
RENASCIMENTO E HUMANISMO_QUIZ 7º ANO.pptx
 
INTRODUÇÃO DE METODOLOGIA PARA TRABALHIOS CIENTIFICOS
INTRODUÇÃO DE METODOLOGIA PARA TRABALHIOS CIENTIFICOSINTRODUÇÃO DE METODOLOGIA PARA TRABALHIOS CIENTIFICOS
INTRODUÇÃO DE METODOLOGIA PARA TRABALHIOS CIENTIFICOS
 
Sistema de Bibliotecas UCS - Cantos do fim do século
Sistema de Bibliotecas UCS  - Cantos do fim do séculoSistema de Bibliotecas UCS  - Cantos do fim do século
Sistema de Bibliotecas UCS - Cantos do fim do século
 
Aula de ampliação e redução - matemática
Aula de ampliação e redução - matemáticaAula de ampliação e redução - matemática
Aula de ampliação e redução - matemática
 
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
Considerando as pesquisas de Gallahue, Ozmun e Goodway (2013) os bebês até an...
 
Quando a escola é de vidro, de Ruth Rocha
Quando a escola é de vidro, de Ruth RochaQuando a escola é de vidro, de Ruth Rocha
Quando a escola é de vidro, de Ruth Rocha
 
ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
ATIVIDADE 2 - DESENVOLVIMENTO E APRENDIZAGEM MOTORA - 52_2024
 

Exercicios resolvidos bb matematica

  • 1. Concurso Público Banco do Brasil INTRODUÇÃO Temos seis conjuntos numéricos existentes, os naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos. Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cinco primeiros. O conjunto dos números naturais são os primeiros a serem estudados. São os inteiros e positivos. O conjunto dos números inteiros são aqueles que envolvem os naturais e os negativos. O conjunto dos racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de frações, já os irracionais não podem ser escritos na forma de fração. Os reais vão englobar todos os anteriores. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 2. NÚMEROS NATURAIS Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo o conjunto dos números naturais, representados pela letra IN: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um número natural sempre possui um sucessor e a partir do zero um sucessor. Exemplos: v o sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9. v o ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede 2003. v Generalizando: o sucessor de n é n + 1 e o antecessor de n é n - 1. Exercícios Resolvidos 1) Um número natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos os pares de números consecutivos entre esses números: 2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255 Resolução: 0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256 2) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais velha que Reinivaldo. As idades de Reinivaldo e Thaís são números consecutivos. A minha idade é um número que é o sucessor do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos Hudson tem? Resolução: Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são números consecutivos, então se Reinivaldo tem 45 anos, Thaís tem 46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessor de 46, então esta idade será 48 anos. 3) Escreva todos os números naturais que são maiores que 3 e menores que 7. Resolução: Seja o conjunto: A = {x ∈ IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade específica o enunciado do exercício ficará escrito desta forma, ilustrando todos os elementos fica assim: A = {4, 5, 6} ADIÇÃO Um automóvel segue de João Pessoa com destino a Maceió. Seu condutor deseja passar por Recife, sabendo-se que a distância de João Pessoa até Recife é de 120 km e que Recife está a 285 km de Maceió, quantos quilômetros o automóvel irá PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 3. percorrer até chegar em Maceió? Esta é uma pergunta relativamente fácil de responder, basta somar as distâncias: 285 + 120 = 405 km. Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só número, todas as unidades de dois, ou mais, números dados. O resultado da operação chama-se soma ou total, e os números que se somam, parcelas ou termos. Propriedades Fechamento - A soma de dois números naturais é sempre um número natural. Ex: 8 + 6 = 14 Elemento Neutro - Adicionando-se o número 0 (zero) a um número natural, o resultado é o próprio número natural, isto é, o 0 (zero) não influi na adição. Ex: 3 + 0=3 Comutativa - A ordem das parcelas não altera a soma. Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16 Associativa - A soma de vários números não se altera se substituirmos algumas de suas parcelas pela soma efetuada. Os sinais empregados para associações são denominados: ( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves Exemplos: 8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 16 13 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27 De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c Nota: Estudando-se as línguas, verificamos a importância da colocação das vírgulas para entendermos o significado das sentenças. Exemplo: 1) "Tio Sérgio, André vai ao teatro." 2)"Tio, Sérgio André vai ao teatro." Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam significados diferentes, pelo fato da vírgula ter sido deslocada. Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves) podem funcionar como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se os sinais na seqüência: ( ) parênteses [ ] colchetes{ } chaves PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 4. Exemplo: A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, são diferentes, daí a importância da associação. Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela por outra cuja soma seja igual a ela. Esta propriedade é de sentido contrário da anterior. Exemplo: 9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o número 9 foi dissociado em dois outros 5 e 4). De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c. Observe que o zero como parcela não altera a soma e pode ser retirado. Exemplo: 20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3 SUBTRAÇÃO Fabiano fez um depósito de R$ 1 200,00 na sua conta bancária. Quando retirou um extrato, observou que seu novo saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinha em sua conta antes do depósito? Para saber, efetuamos uma subtração: 2 137 minuendo 1 200 subtraendo resto ou R$ 937,00 diferença Denomina-se subtração a diferença entre dois números, dados numa certa ordem, um terceiro número que, somado ao segundo, reproduz o primeiro. A subtração é uma operação inversa da adição. O primeiro número recebe o nome de minuendo e o segundo de subtraendo, e são chamados termos da subtração. A diferença é chamada de resto. Propriedades Fechamento:- Não é válida para a subtração, pois no campo dos números naturais, não existe a diferença entre dois números quando o primeiro é menor que o segundo. Ex: 3 - 5 Comutativa: Não é válida para a subtração, pois 9-0 ≠0-9 Associativa: Não é válida para a subtração, pois (15 - 8) - 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8 - 3) = 15 - 5 = 10 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 5. Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos termos de uma subtração, a diferença não se altera. Exemplo: seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois termos, teremos (15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7 MULTIPLICAÇÃO Multiplicar é somar parcelas iguais. Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15 Nesta adição a parcela que se repete (5) é denominada multiplicando e o número de vezes que o multiplicamos (3) é chamado multiplicador e o resultado é chamado de produto. Então: 5 multiplicando ×3 multiplicador 15 produto Multiplicação é a operação que tem por fim dados dois números, um denominado multiplicando e outro multiplicador, formar um terceiro somando o primeiro tantas vezes quando forem as unidades do segundo. O multiplicando e o multiplicador são chamados de fatores. Propriedades 1) Fechamento - O produto de dois números naturais é sempre um número natural. Ex: 5 x 2 = 10 2) Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de elemento neutro da multiplicação porque não afeta o produto. Ex: 10 x 1 = 10 3) Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto. Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20 4) Distributiva em relação à soma e a diferença - Para se multiplicar uma soma ou uma diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma das suas parcelas ou termos por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se os resultados. Exemplo: 1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 6. 2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15 Essa propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui por todos os termos. Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada parcela da primeira pelas parcelas da segunda e somar os produtos obtidos. Exemplo: (6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63 DIVISÃO Divisão Exata Divisão exata é a operação que tem por fim, dados dois números, numa certa ordem, determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza o primeiro. A indicação dessa operação é feita com os sinais:ou ÷ que se lê: dividido por. O primeiro número chama-se dividendo, o segundo divisor e o resultado da operação, quociente. Exemplo: 15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15 Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente. Divisão Aproximada No caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6, observa-se que não se encontra um número inteiro que, multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 ´ 6 = 48 é menor que 53 e 9 ´ 6 = 54 é maior que 53. O número 8, que é o maior número que multiplicado por 6 não ultrapassa o dividendo 53, é denominado quociente aproximado a menos de uma unidade por falta, porque o erro que se comete, quando se toma o número 8 para o quociente, é menor que uma unidade. Temos, assim, a seguinte definição: chama-se resto de uma divisão aproximada a diferença entre o dividendo e o produto do quociente aproximado pelo divisor. A indicação dessa divisão é feita assim: DIVIDENDO = DIVISOR × QUOCIENTE + RESTO Exemplo: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 7. ⇒ 53 = 6 × 8 + 5 NÚMEROS INTEIROS (Z) Em tempos remotos, com o desenvolvimento do comércio, um comerciante desejando ilustrar a venda de 3 kg de um total de 10 kg de trigo existente num saco, escreve no saco: "- 3", a partir daí um novo conjunto numérico passa a existir, o Conjunto dos Números Inteiros, hoje, representamos pela letra Z. Z = {..., -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...} A reticências, no início ou no fim, significa que o conjunto não tem começo nem fim. Concluímos, então, que todos os números inteiros possuem um antecessor e um sucessor. Com a relação às operações que serão possíveis de se efetuar, ilustraremos exemplos da adição e multiplicação. ADIÇÃO v Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal. Exemplos: (+2) + (+3) = +5 (-2) + (-3) = - 5 v Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do maior número em módulo. Exemplos: (-2) + (+3) = +1 (+2) + (-3) = -1 Exercícios Resolvidos PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 8. 1) Calcule a soma algébrica: -150 - 200 + 100 + 300 Resolução: -150 - 200 + 100 + 300 -350 + 100 + 300 -250 + 300 50 2) Alexandre tinha 20 figurinhas para jogar bafo. Jogou com Marcelo e perdeu 7 figurinhas, jogou com Jorge e ganhou 2, ao jogar com Gregório ganhou 3 e perdeu 8 e com Hudson ganhou 1 e perdeu 11. Com quantas figurinhas ficou Alexandre no final do jogo? Resolução: Representando em soma algébrica: 20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0 Resposta: Nenhuma. MULTIPLICAÇÃO Na multiplicação de números inteiros vamos, sempre, considerar a seguinte regra: (+) . (+) = (+) (+) . (-) = (-) (-) . (+) = (-) (-) . (-) = (+) Exemplos: v (+2) × (+3) = (+6) v (+2) × (- 3) = (- 6) v (-2) × (+ 3) = (- 6) v (-2) × (- 3) = (+ 6) Exercício Resolvido 1) Calcule o valor da expressão abaixo: {(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1) Resolução: {(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1) {12 + [-6 - 7]} .[-12 -(-16)] + (-14) - (-3) {12 + [-13]} . [-12 + 16] - 14 + 3 {12 - 13} . 4 - 14 + 3 {-1}.4 - 14 + 3 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 9. -4 - 14 + 3 -18 + 3 -15 NÚMEROS RACIONAIS (Q) - FRAÇÕES São aqueles constituído pelos números inteiros e pelas frações positivas e a negativas. Número racional é todo número indicado pela expressão b , com b ≠ 0 e é representado pela letra Q. Atenção: I) Todo número natural é um racional. II) Todo número inteiro relativo é racional. FRAÇÕES Número fracionário ou fração é o número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais. Exemplos: v 1 hora = 60 minutos v ¼ hora = 15 minutos 2 v 4 hora = 30 minutos 3 v 4 hora = 45 minutos PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 10. ⇒ Representação Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo uma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamente de numerador e denominador, e que constituem os termos da fração. O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e o numerador, quantas partes foram tomadas. As frações podem ser decimais e ordinárias. FRAÇÕES DECIMAIS Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja, 10, 100, 1000, etc. Exemplo: FRAÇÕES ORDINÁRIAS São todas as outras frações: TIPOS DE FRAÇÕES a) Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. Nesse caso a fração é menor que a unidade. Exemplo: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 11. b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador. Nesse caso a fração é maior que a unidade. Exemplo: c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelo denominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aos números internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador. Exemplo: d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é, não podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números primos entre si, e por esta razão não têm mais nenhum divisor comum. Exemplo: 24 2 Simplificando-se , temos (fração irredutível) 36 3 REDUÇÕE DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR 1) Reduzem-se as frações à forma irredutível 2) Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas frações 3) Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo numerador o resultado da divisão. Exemplo: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 12. 1-) 3 1 = 6 2 2-) mmc (2, 5, 7) = 70 3-) 2 1 28 , , 4 ⇒ , , ⇒ , 35 , 40 5 2 7 70 70 70 70 70 70 PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES 1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certo número diferente de zero, o valor de fração fica multiplicado ou dividido por esse número. Exemplo: 3 6 Seja a fração 10 . Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a fração 10 , 3 6 que é duas vezes maior que 10 , pois se em 10 tomamos 6 das 10 divisões da 3 unidade, em 10 tomamos apenas três. Ilustração: 3 6 Observando a ilustração, verificamos que 10 é duas vezes menor que 10 . PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 13. 2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um número diferente de zero, o valor da fração fica dividido ou multiplicado por esse número. Exemplo: 2 2 Seja a fração 5 . Multiplicando o denominador por 2, obtemos a fração 10 , que é 2 2 duas vezes menor que 5 , pois em 5 dividimos a unidade em 5 partes iguais e das 2 cinco tomamos duas, enquanto que em 10 , a mesma unidade foi dividida em 10 partes iguais e tomadas apenas duas em dez. Ilustrações: 2 Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que 5 é duas vezes maior que 2 10 . 3) Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente de zero, o valor da fração não se altera. Exemplo: 2 2 ⋅2 4 ⇒ ⇒ 5 5 ⋅2 10 2 4 Logo: = 5 10 Ilustrações: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 14. NÚMEROS MISTOS Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração. Para transformarmos um número misto em uma fração, basta multiplicar o denominador da fração imprópria pelo número inteiro e somamos o resultado obtido com o numerador. Exemplo: 4 42 + 4 46 6 = = 7 7 7 COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos qual é a maior e qual a menor. Para isto, devemos conhecer os critérios de comparação: 1) Quando várias frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador. Exemplo: 4 3 1 > > 10 10 10 2) Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador. Exemplo: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 15. 4 4 4 > > 5 7 10 3) Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes a comparação é feita reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmo numerador. Exemplo: 2 1 4 28 35 40 < < ⇒ < < 5 2 7 70 70 70 Exercício Resolvido 1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal <. 4 7 2 1 6 , , , , 5 10 5 2 3 Resolução: Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e paratanto o mmc (2, 3, 5, 10) = 30: 4 , 7 , 2, 1, 6 ⇒ , , , , ⇒ 5 10 5 2 3 30 30 30 30 30 24 21 12 15 60 ⇒ , , , , 30 30 30 30 30 Logo: 12 15 21 24 60 2 1 < < < < ⇒ < <7 <4 <6 30 30 30 30 30 5 2 10 5 3 FRAÇÕES EQUIVALENTES São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são frações de mesmo valor. 1 3 2 = = 2 6 4 Na figura acima temos: logo são frações equivalentes. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 16. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o denominador são números primos entre si. Para simplificar uma fração basta dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. 36 36 ÷ 4 9 9 ÷3 3 1 O . M odo: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 48 48 ÷ 4 12 12 ÷ 3 4 3 4 está na sua forma irredutível. 2O. Modo: Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor comum) entre o mdc (48,36) = 12 36 ÷ 12 3 ⇒ 48 ÷ 12 4 Exercício Resolvido 3 1) Obter 3 frações equivalentes a 5 . Resolução: 3 Basta tomar os termos da fração 5 multiplicá-lo por um mesmo número diferente de zero: 3 ×3 9 3 ×7 21 3 × 12 36 = = = 5 × 3 15 5 × 7 35 5 × 12 60 ADIÇÃO DE FRAÇÕES Temos dois casos à considerar: v Caso 1: Denominadores Iguais "Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum". Exemplo: 11 9 2 11 + 9 + 2 22 + + = = 5 5 5 5 5 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 17. v Caso 2: Denominadores Diferentes "Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-se a regra anterior ". Exemplo: 4 7 2 1 6 24 21 12 15 60 + + + + ⇒ + + + + ⇒ 5 10 5 2 3 30 30 30 30 30 24 + 21 + 12 + 15 + 60 ⇒ = 132 30 30 Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível: 132 ÷ 6 22 = 30 ÷ 6 5 Nota: Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os números mistos em frações impróprias. SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição (Caso 1 e Caso 2). MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os numeradores e denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre: Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores. Exemplos: 3 6 3 × 6 18 Þ × = = 5 7 5 × 7 35 4 7 2 4 × 7 × 2 56 56 ÷2 28 Þ × × = = = = 5 10 5 5 × 10 × 5 250 250 ÷ 2 125 Nota: Neste último exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o produto, observe: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 18. 4 7 2 2 7 2 28 × × = × × = 5 10 5 5 5 5 125 , simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro. DIVISÃO DE FRAÇÕES Na divisão de duas frações, vamos sempre: Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda. Exemplo: 3 6 3 7 1 7 1× 7 7 Þ ÷ = × = × = = 5 7 5 6 5 2 5×2 10 EXPRESSÕES ARITMÉTICAS FRACIONÁRIAS O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos de frações ligadas por sinais de operações é feito na segunda ordem: 1º) As multiplicações e divisões 2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes e chaves. Exemplo: Vamos resolver a seguinte expressão: 9 1  2  11 11 4 1 5  − 2 +  ÷  ÷ + ⋅ ÷ = 2 4  5   3 7 3 2 6 9 1  10 + 2  11 7 4 5 = −   ÷  × + ÷ = 2 4  5   3 11 6 6  9  1 12 7 4 6 9 3  7 4 = − × ÷ 3 + 6 × 5  = 2 − 5  ÷ 3 + 5  =  2 4 5         45 − 6  35 + 12  39 47 39 15 =  ÷  15  = ÷ = × =  10    10 15 10 47 39 3 39 3 117 = × = × = 2 47 2 47 94 NÚMEROS REAIS (IR) PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 19. A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem ao conjunto dos números reais, representado pela letra IR. Observe o diagrama: v Observação ⇒ "Números Irracionais" A parte que está em forma de "telhado", ou seja, IR - Q representa o conjunto dos números irracionais, e estes por sua vez são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração: Exemplos: 2, 3,π etc. EXERCÍCIOS P1) Que restos pode dar na divisão por 5, um número que não seja divisível por 5 ? P2) Qual o menor número que se deve somar a 4831 para que resulte um número divisível por 3 ? P3) Qual o menor número que se deve somar a 12318 para que resulte um número divisível por 5 ? P4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas forem contadas de 9 em 9 não sobra nenhuma e se forem contadas de 11 em 11 sobra uma. Quantas são as bolinhas? P5) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 ou 15 ; então podemos afirmar que o conjunto A tem : a) 5 elementos b) 6 elementos PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 20. c) 7 elementos d) 8 elementos P6) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 1080 para se obter um número divisível por 252? P7) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 2205 para se obter um número divisível por 1050? P8) Assinalar a alternativa correta. a) O número 1 é múltiplo de todos os números primos b) Todo número primo é divisível por 1 c) Às vezes um número primo não tem divisor d) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor P9) Assinalar a alternativa falsa: a) O zero tem infinitos divisores b) Há números que tem somente dois divisores: são os primos; c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo; d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é zero. P10) Para se saber se um número natural é primo não: a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números primos; b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos; c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos; d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos. P11) Determinar o número de divisores de 270. P12) Calcule o valor das expressões abaixo: a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7) b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2 c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7 d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ] e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2 f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13 P13) Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204, a fim de que os quocientes sejam iguais. a) 15 e 17 b) 16 e 18 c) 14 e 18 d) 12 e16 P14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108 e 144 metros, em partes iguais e do máximo tamanho possível. Determinar então, o número das partes de cada peça e os comprimentos de cada uma. 9, 8, 6 partes de 18 metros 8, 6, 5 partes de 18 metros 9, 7, 6 partes de 18 metros 10, 8, 4 partes de 18 metros PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 21. e) e) e) P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, um terreno de forma quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados do terreno tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros? a) 562 árvores b) 528 árvores c) 474 árvores d) 436 árvores P16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, os senadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os três cargos, em que ano deverão ser realizadas novamente eleições para esses cargos? P17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada roda tem um dente esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentes esmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente o encontro? P18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiro percorre em 36 segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistas partido juntos, pergunta-se; depois de quanto tempo se encontrarão novamente no ponto de partida e quantas voltas darão cada um? P19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75 dentes, sendo que os dentes são todos numerados. Se num determinado momento o dento nº 10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da maior, estes dentes estarão juntos novamente? P20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemos afirmar que: a) os números são primos b) eles são divisíveis entre si c) os números são primos entre si d) os números são ímpares P21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8 minutos; para Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às 7 horas da manhã partiram três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a que horas do dia, até às 18 horas haverá partidas simultâneas? P22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20 minutos, para o Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos; às 8 horas da manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais são as outras horas, quando os embarques coincidem até as 18 horas. P23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantos ladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio? P24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior. Quais são os números? PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 22. P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu uma peça de linho de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça, depois 1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender? P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4 do que tocou ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeu cada um ? P27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeiro comprou 1/3 da peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12 metros e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça ? P28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro, 1/7. Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual o preço do terreno ? P29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficou com R$80,00. Quanto possuía? P30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4? P31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 do restante. Quanto falta para atingir o cume? P32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando se acrescentam 3 unidades? P33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30 minutos. Quanto tempo leva de uma cidade a outra uma viagem de trem? P34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 dessa mesma maçã. Qual das duas comeu mais e quanto sobrou? P35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para quociente 49. Qual é esse número? P36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantas balas couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e o segundo deu ½ do que possuía ao terceiro? P37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três herdeiros. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia? P38) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. Em quanto tempo enche 3/7 desse tanque? PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 23. P39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro recebe ½, o segundo 1/5 do que recebeu o primeiro e os restantes recebem partes iguais. Quanto recebeu cada pobre? P40) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais 1/7 do que restou e ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavam lutando? P41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há ainda mais 24 árvores diversas. Quantas árvores há no pomar? P42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma estrada faz mais cinco quilômetros e assim corre 2/3 do percurso que deve fazer. Quanto percorreu o corredor e qual o total do percurso, em quilômetros? P43) Efetuar as adições: 1º) 12,1 + 0,0039 + 1,98 2º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39 P44) Efetuar as subtrações: 1º) 6,03 - 2,9456 2º) 1 - 0,34781 P45) Efetuar as multiplicações 1º) 4,31 x 0,012 2º) 1,2 x 0,021 x 4 P46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta. 1º) 56 por 17 a menos de 0,01 2º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,1 3º) 5 por 7 a menos de 0,001 P47) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. Nestas condições: Escreva a representação decimal do número de acertos; Transformar numa fração decimal; Escreva em % o número de acertos de Luciana. d) d) d) P48) Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem das operações: 0,5 + ( 0,05 ¸ 0,005). P49) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse a fração decimal que 81 representa o número 0,081 na forma de fração decimal, Toninho escreveu 10 ; Ele acertou ou errou a resposta. P50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, quais tem o mesmo valor ? PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 24. P51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o resultado por 3 dá o mesmo resultado que multiplicar 804 por 0,75? P52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o valor de 4 - x . P53) Uma indústria A, vende suco de laranja em embalagem de 1,5 litro que custa R$ 7,50. Uma indústria B vende o mesmo suco em embalagem de 0,8 litro que custa R$ 5,40. Qual das duas vende o suco mais barato? P54)Em certo dia, no final do expediente para o público, a fila única de clientes de um banco, tem um comprimento de 9 metros em média, e a distância entre duas pessoas na fila é 0,45m. Responder: a) Quantas pessoas estão na fila? b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos para ser atendida, em quanto tempo serão atendidas todas as pessoas que estão na fila? GABARITO - CONJUNTOS NUMÉRICOS P1) 1,2,3,4 P2) 2 P3) 2 P4) 45 P5) B P6) 7 P7) 10 P8) B P9) D P10) B P11) 16 P12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357 f) 682 P13) A P14) B PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 25. P15) C P16) 1941 P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor P18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos P19) Após 4 voltas P20) C P21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h P22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h P23) 24.339 P24) 72 e 48 P25) 12 metros P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00 P27) 90 metros P28) R$420.000,00 P29) R$300,00 P30) 155/4 P31) 2/7 P32) 24 P33) 9 h P34) Cada comeu ½ e não sobrou nada P35) 35 P36) 6,6,15 P37) R$35.000,00 P38) 3horas P39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 , 3º 4º e 5º R$16,00 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 26. P40) 45.000 P41) 105 P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros P43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791 P44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219; P45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008; P46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714; 85 P47) a) 0,85 b) 100 c) 85% P48) 0,05 P49) Errou, a resposta é 81/1000 P50) 2,03; 2,030 e 2,0300 P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603 P52) 13,6256 P53) a indústria A P54) a) 20 pessoas b) 80 minutos. NÚMEROS DECIMAIS Os números decimais fazem parte do conjunto dos números racionais, e no entanto, estes números merecem uma atenção especial, que aparecem muito em nosso cotidiano, além de se relacionar com muitas questões de provas de concursos públicos. ADIÇÃO PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 27. Escrevem-se os números decimais uns sobre os outros de modo que as vírgulas se correspondam; somam-se os números como se fossem inteiros, e, coloca-se a vírgula na soma, em correspondência com as parcelas. Exemplo: 13,8 + 0,052 + 2,9 = 13,8 13,800 0,052 ou 0,052 2,9 2,900 16,752 16,752 SUBTRAÇÃO Escreve-se o subtraendo sob o número de modo que as vírgulas se correspondam. Subtraem-se os números como se fossem inteiros, e coloca-se a vírgula no resultado em correspondência com os dois termos. Exemplo: 5,08 - 3,4852 = 5,0800 −3,4852 1,5948 MULTIPLICAÇÃO Para se efetuar o produto entre números na forma decimal, deve-se multiplicar normalmente, como se fossem números inteiros e após conta-se a quantidade de casas decimais que cada um dos fatores apresenta somando em seguida e transferindo para o resultado do produto. Exemplo: 1,23 × 0,4 = 0,492; 12,345 × 5,75 = 70,98375 DIVISÃO PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 28. Reduzem-se o dividendo e o divisor ao mesmo número de casas decimais, desprezam-se as vírgulas de ambos, e efetua-se a divisão como se fossem inteiros. Obtido o quociente, coloca-se ao mesmo tempo, uma vírgula a sua direita e um zero a sua esquerda do resto, a fim de continuar a divisão. Os demais algarismos do quociente serão sempre obtidos colocando-se um zero a direita de cada resto. Exemplo: 72,2379 ÷ 5,873 Igualando-se as casas decimais do dividendo e do divisor temos: EXPRESSÕES ARITMÉTICAS É um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operações. A partir do estudo da adição e subtração, já podemos começar a resolver expressões aritméticas, envolvendo adições e subtrações. O cálculo dessas expressões é feito na ordem em que é indicada, devendo observar-se que são feitas inicialmente as operações indicadas entre parênteses, em seguida as indicadas entre colchetes e finalmente as indicadas entre chaves. Exemplos: 1) Calcular o valor da expressão aritmética 35 - [4 + (5 - 3)] efetuando-se as operações indicadas dentro dos parênteses obtemos 35 - [4 + 2] efetuando-se as operações indicadas dentro dos colchetes temos 35 - 6 = 29 2) Calcular o valor da expressão aritmética 86 - {26 - [8 - (2 + 5)]} efetuando-se as operações indicadas nos parênteses obtemos 86 - {26 - [8 - 7]} efetuando-se as operações indicadas nos colchetes temos 86 - {26 - 1} efetuando as operações indicadas entre as chaves vem que 86 - 25 = 61 3) Calcular o valor da expressão aritmética 53 - {[48 + (7 - 3)] - [(27 - 2) - (7 + 8 + 10)]} PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 29. 53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]} 53 - {52 - 0} 53 - 52 = 1 O cálculo das expressões aritméticas que contém as 4 operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) deve obedecer a seguinte ordem: Inicialmente as multiplicações e divisões e em seguida, as adições e subtrações, respeitando-se a ordem de se iniciar com os parênteses mais internos, a seguir os colchetes e finalmente as chaves. Exemplo: 54 - 3 x [ (7 + 6 : 2) - (4 x 3 - 5) ] efetuando-se inicialmente as multiplicações e divisões que estão indicadas nos parênteses temos: 54 - 3 x [ 10 - 7 ] efetuando-se os colchetes vem que 54 - 3 ´ [ 3 ] 54 - 9 = 45 Exercício Resolvido 1) Resolva a seguinte expressão aritmética {[( 8 x 4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) x 3] x 2 - (19 - 7) : 6} x 2 + 12 Resolução: { [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3 ] x 2 - 12 : 6} x 2 + 12 { [ 35 : 7 + 6 x 3 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 { [ 5 + 18 ] x 2 - 2 } x 2 + 12 { 23 x 2 - 2} x 2 + 12 { 46 - 2 } x 2 + 12 44 x 2 + 12 88 + 12 100 DIVISIBILIDADE Existem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se um número é ou não divisível por outro. Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é divisível por 3, e no entanto será que 762 é divisível por 2? E por 3? PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 30. Todo número que é par é divisível por 2. Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc. Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 3, então o número inicial o será também. Exemplos: v 762, pois 7 + 6 + 2 = 15 v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 v 53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24 Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se terminar numa dezena divisível por 4 o número será divisível por 4. Exemplos: v 764, pois 64 é divisível por 4. v 1 572, pois 72 é divisível por 4. v 3 300, pois o número termina em dois zeros. Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será divisível por 5. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 31. Exemplos: 760, 1 575, 3 320. Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será também, divisível por 6. Exemplos: 762, 1 572, 33 291. Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos seguir 3 passos: 1O. Separe a casa das unidades do número; 2O. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2; 3O. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse resultado for divisível por 7, então o número original também o será. Exemplos: v 378 é divisível por 7, pois Passo1: 37 ........ 8 Passo 2: 8 × 2 = 16 Passo 3: 37 − 16 = 21 Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é. v 4 809 é divisível por 7, pois Passo1: 480 ........ 9 Passo 2: 9 × 2 = 18 Passo 3: 480 − 18 = 462 Repetindo os passos para o número encontrado: Passo1: 46 ........ 2 Passo 2: 2 × 2 = 4 Passo 3: 46 − 4 = 42 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 32. Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é. Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma centena divisível por 8 então o número original também será. Exemplos: 1 416, 33 296, 57 800, 43 000. Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por 9, então o número inicial o será também. Exemplos: v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18 v 53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27 v 945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36 Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 10. Exemplos: 760, 3 320, 13 240. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 33. Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar tiver como resultado um número divisível por 11. Exemplos: v 2 937, pois: soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16 soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5 fazendo a diferença: 16 - 5 = 11 v 28 017, pois: soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9 soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0 + 7 = 9 fazendo a diferença: 9 - 9 = 0 MÚLTIPLOS E DIVISORES ⇒ Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número natural por outro natural. Exemplos: v 24 é múltiplo de 3, pois 3 x 8 = 24. v 20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 = 0 ⇒ Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um divisor de x. Exemplos: v 8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por 8. v 21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21. NÚMEROS PRIMOS Todo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o próprio número e a unidade; ele será considerado um número primo, são eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ... RECONHECENDO UM NÚMERO PRIMO: Dividimos o número, de maneira sucessiva, pelos números que formam a série dos números primos, até encontramos um coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso nenhuma dessas divisões seja exata, então o número é primo. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 34. Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar algumas dessas divisões. Exemplo: Vamos verificar se o número 193 é primo. Utilizando os critérios da divisibilidade, podemos verificar que 193 não é divisível por 2, 3, 5, 7. Então, dividindo: 193 11 193 13 193 17 83 17 63 14 23 11 6 11 6 Quociente menor que o divisor ⇒ 11 < 17, e não houve divisão exata, então o número 193 é primo. DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Quando um número não é primo, pode ser decomposto num produto de fatores primos. A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os fatores primos divisores de um número natural. ⇒ Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor primo, excetuando-se a unidade, a seguir, dividimos o quociente pelo menor divisor comum e assim sucessivamente até encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao produto de todos os divisores encontrados que serão números primos. Exemplo: QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO Podemos determinar o total de divisores de um número, mesmo não se conhecendo todos os divisores. ⇒ Regra: O número total de divisores de um número é igual ao produto dos expoentes dos seus fatores primos aumentados (cada expoente) de uma unidade. Exemplo: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 35. Vamos determinar o total de divisores de 80. Fatorando-se o número 80 encontraremos: 80 = 24 × 51 Aumentando-se os expoentes em 1 unidade: v 4 +1 =5 v 1 +1 =2 Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados 5 × 2 = 10 Portanto, o número de divisores de 80 é 10. Nota: Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos encontrando apenas os divisores positivos desse número. MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.) Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não nulos, ao maior número natural que divide a todos simultaneamente. Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide ao mesmo tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos números dados. MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primos comuns com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes. Exemplo: 1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280 Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com os menores expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seus menores expoentes são : 22 × 5 = 4 × 5 = 20 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 36. Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma: MDC (60, 280) = 20 2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188 O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser escolhido aquele que tiver o menor expoente, então temos 22 = 4 mdc (480, 188) = 4 MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS (MÉTODO DE EUCLIDES) Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280. 1O. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na primeira lacuna (do meio) e o menor na segunda lacuna (do meio): 2O. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de cima do 60 e o resto na lacuna abaixo do 280: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 37. 3O. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se os passos 1, 2 e 3 até encontrarmos resto zero. 4O. Passo: O último divisor encontrado será o mdc. mdc (60, 280) = 20 Nota: "Números Primos entre Si" Dois ou mais números são considerados primos entre si se e somente o Máximo Divisor Comum entre esses números for igual a 1. Exemplo: 21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1 Exercícios Resolvidos 1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 144 e 160, a fim de obtermos quocientes iguais. Resolução: Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 38. mdc (144, 160) = 24 = 16 Então: 144 ÷ 16 = 9 O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9, Vem que 160 ÷ 16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 160 e 10 o menor quociente. Logo os números procurados são 9 e 10, pois 144 ÷ 9 = 16 e 160 ÷ 10 = 16. 2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24 metros de frente e 56 metros de fundo. Qual deve ser o comprimento de um cordel que sirva para medir exatamente as duas dimensões? Resolução: Então: mdc ( 56, 24) = 8 Resposta: O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir as dimensões do terreno deve ser de 8 metros de comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C) "Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos múltiplos, não nulo, comum a esses números." Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 e outro constituído pelos múltiplos de 9. v M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...} v M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...} Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, verificamos que existem números que aparecem em ambos, isto é, são comuns aos dois conjuntos, como os números 18 e 36, isto é: M(6) ∩ M(9) = {0, 18, 36, ...} PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 39. Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números são divisíveis ao mesmo tempo por 6 e por 9. Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 18, isto é: mmc (6, 9) = 18 MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, obtém-se decompondo simultaneamente este números e efetuando-se o produto dos fatores primos comuns e não comuns escolhidos com seus maiores expoentes. Exemplo: Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180. Fatorando os números: 70 2 140 2 180 2 35 5 70 2 90 2 7 7 35 5 45 3 1 7 7 15 3 1 5 5 1 Então temos: 70 = 2 x 5 x 7 140 = 22 x 5 x 7 180 = 22 x 32 x 5 Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2e 5.O número 7 não é fator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número 3 também não é fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo: v fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 5. v Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 32 e 7. mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260 MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 40. Então: mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260 RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números. mmc (a, b) × mdc (a,b) = a x b Exemplo: Sejam os números 18 e 80 Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) × mdc (18, 80) O produto é 18 × 80 = 1440. Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números. 80, 18 2 40, 9 2 20, 9 2 10, 9 2 5, 9 3 5, 3 3 5, 1 5 1, 1 mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720 Logo: mdc(80, 18) = 1440 ÷ mmc(18, 80) = 1440 ÷ 720 = 2 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 41. EXERCÍCIO RESOLVIDO Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temos algumas indicações importantes. I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos são múltiplos; II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns; III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C. Exemplo: Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias. Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro? Resolução: v Existe a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando ocorrerá o novo encontro?" ⇒ Múltiplo v "Encontrar-se-ão num determinado dia" ⇒ Comum v "Quando acontecerá o novo encontro" ⇒ Mínimo Portanto 15, 20, 25 2 15, 10, 25 2 15, 5, 25 3 5, 5, 25 5 1, 1, 5 5 1, 1 1 300 Resposta: O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias. SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 42. MEDIDAS DE COMPRIMENTO A medida básica de comprimento é o metro cujo símbolo é m. O metro é um padrão adequado para medir a largura de uma rua, o comprimento de um terreno, a altura de uma sala. Para medir grandes distâncias, há unidades derivadas de metro e que são maiores que ele, como por exemplo medir a extensão de uma estrada. Há também unidades derivadas do metro e que servem para medir pequenos comprimentos, como por exemplo o comprimento de um prego. Observe a tabela que representa os múltiplos e submúltiplos do metro. Nome Símbolo Relação Múltiplos do Metro decâmetro dam 10 m hectômetro hm 100 m quilômetro km 1000 m Submúltiplos do Metro decímetro dm 0,1 m centímetro cm 0,01 m milímetro mm 0,001 m Nota: Os múltiplos e os submúltiplos do metro são obtidos a partir do metro, realizando sucessivas multiplicações ou divisões por 10. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 43. MUDANÇA DE UNIDADE Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades abaixo representada: Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros para centímetros, vamos multiplicar o número por 100, pois estaremos descendo dois degraus. Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus esta escada (metros pra hectômetro por exemplo), iríamos dividir o número por 100. Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de dez. Exemplo1: Vamos reduzir 424,286 hectômetros pra metros. v hm → m ⇒ × 100 (Desce 2 degrau) 424,286 ×100 = 42428,6 m Exemplo2: Reduzindo 5645,8 decímetros para quilômetros. v dm → km ⇒ ÷ 10.000 (Sobe 4 degraus) 5645,8 ¸10.000 = 0,56458 km OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO METRO v Polegada = 2,54 cm v Pé = 30,48 cm v Milha = 1609 metros PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 44. EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE COMPRIMENTO P 1) Reduzir 28,569 hm a metros. P 2) Exprimir 456,835 cm em quilômetros. P 3) Quantos metros existem em 8 dm? P 4) Quanto dista, em quilômetros, a terra da lua; sabendo-se que essa distância equivale, em média, a 60 raios terrestres? (Nota: o raio da terra mede 6.370.000 m). P 5) Um viajante percorreu em 7 horas, 33.600 metros. Quantos quilômetros ele fez, em média, por hora? P 6) O passo de um homem mede cerca de 0,80m. Quanto tempo empregará esse homem para percorrer 4.240 km de uma estrada, sabendo-se que anda à razão de 100 passos por minuto? P 7) Uma senhora comprou 20 metros de fazenda à razão de R$ 84,00 o metro. Se esta fazenda foi medida com uma régua que era 1 cm mais curta que o metro verdadeiro; pergunta-se: 1º) Quanto de fazenda a senhora recebeu? 2º) Quanto pagou a mais? P 8) Numa construção, chama-se pé direito a distância do chão ao teto. Nos prédios de apartamentos, o pé direito mínimo é de 2,70 m. Qual a altura aproximada de um prédio de 15 andares? P 9) As telas dos aparelhos de televisão costumam ser medidas, em diagonal por polegadas. Considerando-se a polegada igual a 2,5 cm. Quantos cm tem a diagonal de um aparelho de 16 polegadas? P 10) De acordo com a Bíblia, a arca de Noé tinha 300 cúbitos de comprimento, 50 cúbitos de largura e 30 cúbitos de altura. Considerando-se 1 cúbito = 0,5 m. Calcule as dimensões da arca de Noé. P 11) Em um mapa cada cm corresponde a 25 km no real. Sabendo-se que a distância real de São Paulo a Curitiba é de aproximadamente 400 km, essa distância corresponde a quantos cm no mapa? P 12) A figura a seguir mostra parte de um mapa onde estão localizadas as cidades A, B, C< D e as distâncias (em km) entre elas. Um automóvel percorria uma menor distância saindo de A, passando por B e chegando a D ou saindo de A, passando por C e chegando a D? PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 45. P 13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de mesmo comprimento. Qual deverá ser o comprimento de cada pedaço? P 14) Uma cidade A está ligada a uma cidade B por uma estrada que tem 52,5 km de comprimento. Por sua vez a cidade B está ligada a cidade C por uma estrada cujo comprimento é igual a 2/3 da distância de A até B. Quantos quilômetros percorrerá um veículo que sai de A, passa por B e atinge C? P 15) Um carpinteiro está colocando rodapé no contorno de uma sala que tem 7,40m de comprimento por 4,15m de largura. Esta sala tem três portas, duas delas com 90 cm de vão cada uma e a outra com 130 cm de vão. Considerando-se que ele não vai colocar rodapé no vão da porta, podemos dizer que ele vai usar de rodapé: a) 16m b) 17m c) 18 m d) 19 m e) 20 m GABARITO - MEDIDAS DE COMPRIMENTO P1) 2856,9 P2) 0,00456835 P3) 0,80 P4) 382.200 km P5) 4,8 km/h P6) 53.000 minutos P7) Recebeu 19,80 m e pagou a mais 16,80 P8) 40,50 m P9) 40 cm P10) 150 m de comprimento, 25 m de largura e 15 m de altura PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 46. P11) 16 cm P12) Passando por C P13) 1,62 m P14) 87,5 km P15) E MEDIDAS DE SUPERFÍCIE "Superfície é a região do plano determinada por segmentos de reta ou por linhas curvas. Medir uma superfície é compará-la com outra tomada como unidade". Para medirmos as superfícies, utilizamos as unidades da área do sistema métrico internacional, cuja unidade básica é o metro quadrado (m2 ) e que corresponde a um quadrado de 1 metro de lado. Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a unidade imediatamente inferior. O metro quadrado foi criado para medir grandes superfícies, como por exemplo, a superfície de uma fazenda. Para medir grandes superfícies foram criadas unidades maiores que o metro quadrado, bem como, foram criadas unidades menores que o metro quadrado para medir pequenas superfícies. Múltiplos do Metro Quadrado Decâmetro Quadrado (dam2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 dam de lado, eqüivalendo a 100 m2. Hectômetro Quadrado (hm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 hm de lado, eqüivalendo a 10.000 m2. PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 47. Quilômetro Quadrado (km2 ) - que corresponde a uma região quadrada de 1 km de lado, eqüivalendo a 1.000.000 m2. Submúltiplos do Metro Quadrado Decímetro Quadrado (dm2 ) - que corresponde a uma região quadrada de 1 dm de lado, equivalendo a 0,01 m2 . Centímetro Quadrado (cm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 cm de lado, equivalendo a 0,0001 m2. Milímetro Quadrado (mm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 mm de lado, equivalendo a 0,000001 m2 QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, qualquer unidade é sempre 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidade imediatamente superior. MUDANÇA DE UNIDADE Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidades abaixo representada: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 48. Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros quadrados para centímetros quadrados, vamos multiplicar o número por 10.000, pois estaremos descendo dois degraus. Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus desta escada (metros quadrados pra decâmetros quadrados por exemplo), iríamos dividir o número por 10.000. Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de cem. MEDIDAS AGRÁRIAS São medidas utilizadas na agricultura para medir campos, fazendas, etc. As unidades são o hm2, o dam2 e o m2 que recebem designações especiais. A unidade fundamental de medida é o ARE, cujo símbolo é a, eqüivale a 1 dam2 ou seja 100 m2. O are possui apenas um múltiplo e um submúltiplo: v O múltiplo do are é o hectare que vale 100 ares ou 1 hectômetro quadrado. Seu símbolo é ha. v O submúltiplo do are é o centiare, cujo símbolo é ca e cujo valor corresponde a 0,01 are e equivale a 1m2. Múltiplo hectare ha Hectômetro quadrado 10.000 m2 are a Decâmetro quadrado 100 m2 Sub-múltiplo centiare ca Metro quadrado 1 m2 Observação: Existem unidades não legais que pertencem ao sistema métrico decimal. v Alqueire Paulista = 24.200 m2 v Alqueire Mineiro = 48.400 m2 PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 49. EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS AGRÁRIAS P 1) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m2? P 2) Uma reserva florestal tem 122.800m2 de área. Qual a área dessa reserva em ha? P 3) Uma plantação de café tem uma área de 406 ha. Qual a área dessa plantação em km2? P 4) Uma gleba de terra tem uma área de 5/8 ha. 60% da área dessa gleba foi reservada para pasto. Quantos m2 de pasto foram formados nessa gleba? P 5) Roberto comprou 6 alqueires paulistas de terra, Quantos m2 ele comprou? P 6) Numa fazenda de criação de gados para engorda, foram formados 50 alqueires (mineiros) de pasto de excelente qualidade. Quantos m2 de pasto foram formados nessa fazenda? P 7) Uma plantação de cana de açúcar cobre uma extensão de 42 ha. Qual é, em m2, a superfície ocupada pela plantação? GABARITO - MEDIDAS AGRÁRIAS P1) 60.000 m2 P2) 12,28 ha P3) 4,06 km2 P4) 3750 m2 P5) 145.20 m2 P6) 2.420.000 m2 P7) 420.000 m2 MEDIDAS DE CAPACIDADE PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 50. " Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em seu interior". Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa de água mineral cabe meio litro, estamos medindo a quantidade de líquido que a garrafa pode conter. Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as unidades de volume para medir os líquidos. Mas para este fim, utilizamos uma outra unidade de medida chamada litros, que se abrevia por l.O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 dm de aresta, ou seja, corresponde ao volume de um decímetro cúbico. Exemplo: O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, um consumo de 25m 3 de água. Quantos litros de água foram consumidos nessa casa? •25m3 = (25 x 1000)dm3 = 25.000dm3 = 25.000l MUDANÇA DE UNIDADE Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 em 10, pode-se concluir que as mudanças de unidades são feitas como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando- se a vírgula de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a direita ou ainda, como foi dito, utilizando a escada de transformações representada abaixo: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 51. EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE CAPACIDADE P 1) Expressar 2l em ml. P 2) Sabendo-se que 1dm3 = 1l, expressar 250 l em cm3. P 3) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 36m3, quantos litros de água foram consumidos? P 4) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma vacina que deve ser colocada em ampolas de 35cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com esta quantidade de vacina? P 5) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 85m3. Quantos litros de combustível essa carreta pode transportar quando totalmente cheia? P 6) Um reservatório, cujo volume é de 10m3, estava totalmente cheio quando deles foram retirados 2.200 l. Numa segunda vez foi retirado 1/3 da quantidade de água que restou. Nessas condições, quantos litros ainda restam no reservatório? P 7) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 12cm3. Qual é a capacidade máxima em ml desta ampola? P 8) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo volume interno é de 0,24m3? GABARITO - MEDIDAS DE CAPACIDADE P1) 2000ml P2) 250000 cm3 P3) 36.000 litros P4) 40.000 ampolas P5) 85.000l de combustível P6) 5200 litros PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 52. MEDIDAS DE MASSA "Massa de um corpo qualquer é a quantidade de matéria que esse corpo contém". O sistema métrico decimal é utilizado, para estabelecer as unidades que servem para medir a massa de um corpo. A unidade padrão para medir a massa de um corpo é a massa de um decímetro cúbico de água, a uma temperatura de 4ºC. Entretanto, por ser mais prático, foi utilizado como unidade principal o grama (abrevia-se g) e que se constitui numa massa igual a milésima parte do quilograma ou seja, 1g = 0,001kg ou 1kg = 1000g. RELAÇÃO IMPORTANTE Volume Capacidade Massa 1 dm3 = 1 litro = 1 kg Exemplo: Um recipiente, totalmente cheio contém um volume de 5m3 de água pura. Qual é o peso (massa) da água contida neste recipiente? v 5m3 = 5.000 dm3 = 5000 kg Logo, o peso dessa água contida nesse recipiente é de 5.000 kg OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO GRAMA v Tonelada (T) = 1.000 kg v Megaton = 1.000 toneladas v Quilate = 0,2 g (unidade para medida de pedras e metais preciosos) PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 53. EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE MASSA P 1) Com uma certa quantidade de papel, foram feitos 25.000 blocos, todos com o mesmo número de páginas. Se cada bloco tem 0,75 kg, quantos quilogramas de papel foram usados para fazer esses blocos? P 2) Uma laje é formada por 40 blocos de concreto. Cada bloco de concreto tem 1 1/4 T. de massa. Qual a massa da laje toda? P 3) Um litro de uma certa substância corresponde a uma massa de 2.5 kg. Quantos kg há em 6 m3 dessa substância? P 4) Um comprimido contém 3,5 mg de vitamina x. Uma pessoa toma três desses comprimidos por dia. Quantos miligramas de vitamina x essa pessoa vai ingerir após 1 mês de 30 dias? P 5) Um recipiente contém água pura. A massa dessa água é de 18.000 kg. Qual é em m3 o volume interno desse recipiente? P 6) Um volume de 0,01 m3 corresponde a quantos decímetros cúbicos? P 7) Um reservatório tem um volume de 81 m3 e está totalmente cheio d´água. Uma válvula colocada nesse reservatório deixa passar 1500l de água a cada 15 minutos. Esta válvula ficou aberta durante um certo tempo e depois foi fechada. Verificou-se que havia, ainda 27m3 de água no reservatório. Durante quanto tempo esta válvula permaneceu aberta? a) 8 horas b) 9 horas c) 12 horas d) 18 horas e) 36 horas GABARITO - MEDIDAS DE MASSA P1) 18.750 kg P2) 50 T P3) 15.000 kg P4) 315 mg P5) 18 m3 P6) 10 dm3 P7) B PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 54. MEDIDAS DE TEMPO A unidade fundamental do tempo é o segundo. As unidades secundárias, que se apresentam somente como múltiplos, constam no quadro: NOMES Símbolos Valores em segundos Segundo s ou seg 1 Minuto min 60 Hora h 3.600 Dia d 86.400 Outras unidades, usadas na prática, são: v Semana (se) 7 dias v Mês (me) 30, 31 ou 29 ou 28 dias v Ano (a) 360, 365 ou 366 dias O ano compõe-se de 12 meses. O ano comercial tem 360 dias, o ano civil tem 365 dias e ano bissexto 366 dias. Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias; os meses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias. O mês de fevereiro tem 28 dias nos anos comuns (civil) e 29 dias nos anos bissextos. Todo ano que for divisível por 4, são bissextos. Assim, por exemplo: 1940, 1952, 1964 são bissextos 1910, 1953, 1965 não são bissextos Nomenclaturas: v 02 anos chama-se biênio v 03 anos chama-se triênio v 04 anos chama-se quadriênio v 05 anos chama-se quinquênio ou lustro v 10 anos chama-se decênio ou década v 100 anos chama-se século v 1000 anos chama-se milênio v 02 meses chama-se bimestre v 03 meses chama-se trimestre v 06 meses chama-se semestre A representação do número complexo que indica unidade de tempo, é feita escrevendo-se em ordem decrescente o valor, s números correspondentes às diversas unidades acompanhados dos respectivos símbolos. Exemplo: v 9a 4 me 18 d 15 h 23 min 17 seg PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 55. MUDANÇA DE UNIDADES Podem ocorrer dois casos: Caso 1: Transformação de número complexo em unidades inferiores também chamadas de medidas simples ou número incomplexo. Exemplo: Verificar quantos minutos há em 3d 8h 13min? v Como 1 dia tem 24 horas → 24 h x 3 = 72 h v Temos + 8 h. Estas 72 h + 8 h dá 80 h. v Como a hora vale 60 min. → 80 h x 60 min = 4800 min. v Somando-se ainda mais 13 min. → 4813 min. Caso2: Transformação de um número expresso em medidas simples ou unidades inferiores ou em números incomplexos. Exemplo: Transformar 4813 min. em número não decimal, é o mesmo que determinar quantos dias, horas e minutos há em 4813 min. Neste caso efetuamos as operações inversas do problema anterior. v 4813 ¸ 60 = 80 h e 13 min v 80h ¸ 24 = 3 d e 8 h Logo, 4813 minutos é o mesmo que 3 dias 8horas e 13 minutos. EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE TEMPO P 1) Dizer: a) Quantos minutos há numa semana? b) Quantas horas há em duas semanas? P 2) Converter: a) 2d 12 h 15 min em minutos. b) 4 a 8 me 12 d em dias. P 3) Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 min. P 4) Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano. P 5) Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e outro durante 11 me 29 d. Qual é a diferença entre os tempos de trabalho dos dois operários? PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 56. P 6) As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, na verdade, quando o relógio marcar 5 h da tarde? GABARITO - MEDIDAS DE TEMPO P1) a) 10.080 min b) 336 h P2) a) 3.615 min b) 1.712 dias P3) 242 d 18 h 21 min P4) 7 me e 20 d P5) 1 a 10me 14d P6) 4 h 58 min INTRODUÇÃO Antes de iniciarmos o estudo de perímetros de figuras planas, vamos revisar alguns conceitos básicos da Geometria Plana. ÂNGULOS "Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem". ˆ Ângulo: A O B BISSETRIZ "É uma semi-reta de origem no vértice do ângulo, que o divide em 2 ângulos congruentes". PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 57. ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE "São ângulos cujos lados de um, são semi-retas opostas aos lados do outro, como ilustra a figura". TEOREMA: a = b ˆ ˆ CLASSIFICAÇÕES PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 58. ÂNGULOS ADJACENTES TRIÂNGULOS "Os Triângulos são Polígonos de três lados". CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS LADOS PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 59. CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS ÂNGULOS PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 60. QUADRILÁTEROS "Os Quadriláteros são Polígonos de quatro lados". TRAPÉZIO "Quadrilátero com dois lados paralelos e ângulos consecutivos (agudo e obtuso) suplementares". Trapézio ABCD: v AD // BC v A + B = 180O ˆ ˆ ˆ ˆ v C + D = 180º PARALELOGRAMO "Quadrilátero com lados dois a dois paralelos, ângulos opostos iguais e consecutivos suplementares". Paralelogramo ABCD: v AB // CD e AC // BD v A + B = 180 O ˆ ˆ ˆ ˆ v C + D = 180º ˆ ˆ ˆ ˆ v A= D e C= B LOSANGO PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 61. "Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos opostos iguais e ângulos consecutivos suplementares". Losango ABCD: v AB // CD e AC // BD v AB =BC = CD = AD v A + B = 180O ˆ ˆ ˆ ˆ v C + D = 180º ˆ ˆ ˆ ˆ v A= C e D = B RETÂNGULO "Quadrilátero com lados dois a dois paralelos ângulos internos de medida igual a 90O". Retângulo ABCD: v AB // CD e v AD // BC v A = B = C = D =90O ˆ ˆ ˆ ˆ QUADRADO "Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos internos de medida igual a 90 O". Quadrado ABCD: PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com
  • 62. v AB // CD e AD // BC v AB = BC = CD = AD v A = B = C = D = 90O ˆ ˆ ˆ ˆ POLÍGONOS DIVERSOS Além dos triângulos e quadriláteros, temos polígonos de lados maiores que 4, que é o caso do Pentágono (5 lados), Hexágono (6 lados), e assim sucessivamente. Observe a tabela abaixo, referente aos nomes dos polígonos: Nomenclatura Número de lados 3 Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 20 Icoságono Exemplos: v Pentágono PDF Creator - PDF4Free v2.0 http://www.pdf4free.com