Notação matemática, símbolos e conceitos fundamentais

GUIDG.COM – PG. 1
5/6/2011 – MAT: Notação Matemática, Símbolos Matemáticos.
As principais notações utilizadas em Matemática: Dicionário, manual, tabela, conceitos, notação, números, formulário, fórmulas,
operadores matemáticos, simbologia, símbolos, sinais, letras, abreviações, definições, teoremas, regras e etc.
ESTE ARTIGO DEVE SER USADO COMO UM GUIA, NÃO UTILIZE COMO FONTE ÚNICA DE ESTUDOS.
Palavras e conceitos importantes:
Notação matemática: (1) é o conjunto de símbolos do qual o matemático utiliza para expressar, resumir,
esclarecer e aplicar na resolução de um problema. (2) é uma linguagem cuja grafia e semântica se utiliza dos
símbolos matemáticos e da lógica matemática, respectivamente. É com base nessa notação que são construídas as
sentenças matemáticas (Wiki).
Notação científica / Notação exponencial: veja a definição completa na seção MEF (medidas físicas). É uma
forma de escrever números astronômicos ou microscópicos, utilizando um número simples multiplicado por uma
potência de base decimal.
Ex: 990.000.000.000 = 9,9B10
11
Ciência (do Latim scientia, significando "conhecimento”): Conjunto sistematicamente organizado de proposições
evidentes ou aceitas, necessárias e universais, capaz de dar sobre seu objeto o conhecimento pelas causas.
Matemática: ciência que tem por objetivo determinar as medidas, propriedades e relações de quantidades e
grandezas. É a ciência do raciocínio lógico e abstrato.
(Wiki), do grego µάθηµα (máthēma) que significa: ciência, conhecimento, aprendizagem; e µαθηµατικός,
(mathēmatikós): apreciador do conhecimento.
Número (Wiki): É um objeto da Matemática usado para descrever quantidade, ordem ou medida; É a relação entre
a quantidade e a unidade (Newton).
Calculus do latim: “pedra, pedrinha” (Onde começou a ser aplicado o processo de contagem, e as operações). Pela
história as primeiras contagens do homem foram feitas com pedrinhas (tais que pudessem ser carregadas, a fim de
expressar a quantidade que se tinha de alguma coisa).
Cálculo: Efeito de calcular, resolver problemas matemáticos ou do mundo real, utilizando métodos matemáticos.
O interessante neste ponto é o método de cálculo, pois é o procedimento matemático que nos ajuda a resolver
problemas do cotidiano.
Álgebra: Parte da matemática que ensina a calcular, generalizando e simplificando as questões aritméticas, por
meio de letras de um ou mais alfabetos.
A palavra Al-jabr da qual álgebra foi derivada significa "reunião", "conexão" ou "complementação". A palavra Al-
jabr significa, ao pé da letra, a reunião de partes quebradas. E foi o título de um trabalho do matemático Al-
Khowarizmi (considerado o fundador da álgebra como nós conhecemos hoje).
Razão: A relação existente entre grandezas da mesma espécie. A palavra razão vem do latim “ratio” e significa
divisão ou o quociente entre dois números A e B.
Axioma: Definição admitida como verdadeira (verdade absoluta), que não necessita de provas.
...

GUIDG.COM – PG. 2
Na coluna “Notação”, “ou” será utilizado para variação do alvo.
Notação: Significado: Definição / Descrição:
α, β, γ, δ, ε, ζ,
η, θ, ι, κ, λ, µ,
ν, ξ, ο ,π, ρ, σ,
τ, υ, φ, χ, ψ, ω
Alfabeto Grego
Utilizado na matemática, física e entre muitas outras áreas do
conhecimento, o Alfabeto Grego. Na coluna à esquerda as letras
minúsculas ao lado das maiúsculas á direita com seus respectivos nomes.
α Α Alfa ι Ι Iota ρ Ρ Rô
β Β Beta κ Κ Kapa σ Σ Sigma
γ Γ Gama λ Λ Lambda τ Τ Tau
δ ∆ Delta µ Μ Mi υ Υ Ipsilon
ε Ε Epsilon ν Ν Ni φ Φ Fi
ζ Ζ Zeta ξ Ξ Csi χ Χ Qui
η Η Eta ο Ο Ômicron ψ Ψ Psi
θ Θ Theta π Π Pi ω Ω Omega
0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9
O sistema decimal.
Algarismos
Indo-Arábicos
Algarismos ou dígitos são símbolos usados na representação de números
inteiros ou reais em sistemas numerais posicionais.
Utiliza-se estes dez símbolos, que chamamos de algarismos (por
homenagem ao matemático Al-Khowarizmi) para representar
quantidades, objetos...
0 para nenhuma unidade, 1 para uma unidade, 2 para duas unidades...
É usado internacionalmente na ciência e na maioria dos países.
N Naturais
Conjuntos numéricos:
N é o conjunto dos números naturais.
São os números que vão de 0, 1, 2, 3 ... à +∞ (lê-se mais infinito).
Todo número natural é seguido imediatamente por outro número natural
chamado sucessor, ou seja:
N = {0,1,2,3,4, ...}.
O antecessor de 1 é 0, e a definição é o número que antecede, isto é que
vem antes (sinônimo: predecessor).
O símbolo N* é usado para indicar o conjunto de números naturais sem o
zero, ou seja:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}
Z Inteiros
O conjunto dos números inteiros é o conjunto dos números naturais
acrescido dos seus opostos (os naturais negativos). É representado pela
letra Z, devido ao fato da palavra Zahl em alemão significar "número".
Z = {... ,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
O símbolo Z* é usado para indicar o conjunto de números inteiros, sem o
zero:
Z* = {... , -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
O símbolo Z+ é usado para indicar o conjunto de números inteiros não
negativos:
Z+ = {0,1,2,3,4,...}
O símbolo Z@ é usado para indicar o conjunto de números inteiros, não-
positivos:
Z@ = {..., -3, -2, -1, 0}

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O símbolo Z+
C
é usado para indicar o conjunto de números inteiros
positivos:
Z+
C
= {1,2,3,4,5, ...}
O símbolo Z@
C
é usado para indicar o conjunto de números negativos:
Z@
C
= {-1, -2, -3, -4, -5...}
Como todos os números naturais também são números inteiros, dizemos
que N é um subconjunto de Z ou que N está contido em Z: N Z.
Q Racionais
Fração:
n
d
ffff
=
numerador
denominador
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Fração: Número que exprime uma ou mais partes iguais em que foi
dividida uma unidade ou um inteiro.
Numerador: o numero superior do traço que separa os termos da fração,
indica quantas partes da unidade foram tomadas, enquanto o
denominador indica em quantas partes foi dividida a mesma unidade.
Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b)
obtemos um número racional. Todo número racional é representado por
uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra Q deriva da palavra
inglesa Quotient , que significa Quociente, já que um número racional
é um quociente de dois números inteiros.
Quociente: Número que indica quantas vezes o divisor se contém no
dividendo; resultado de uma divisão.
Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b
= 2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de
casas após a vírgula e são chamados de racionais de decimal exata.
Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por
exemplo, a = 1 e b = 3 nos dá o número racional 0,33333... É a chamada
dízima periódica.
Podemos considerar que os números racionais englobam todos os
números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números
inteiros.
Q =
a
b
ffff
| a 2 Z e b 2 Z
C
T U
Lembre-se que não existe divisão por zero. Por quê? Zero é o que nos
indica a ausência, o vazio, o nada. Logo se estamos dividindo por zero
não estamos dividindo, e por isso a divisão não pode ser efetuada. Assim
consideramos a inexistência da divisão por zero.
O símbolo Q* é usado para indicar o conjunto dos números racionais sem
o zero:
Q
C
= x 2 Q | x ≠ 0
R S
O símbolo Q+ é usado para indicar o conjunto de números racionais não-
negativos:
Q+
= x 2 Q | x ≥ 0
R S
O símbolo Q- é usado para indicar o conjunto de números racionais não-
positivos:

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Q@
= x 2 Q | x ≤ 0
R S
O símbolo Q*+ é usado para indicar o conjunto de números racionais
positivos sem o zero:
Q+
C
= x 2 Q | x > 0
R S
O símbolo Q*- é usado para indicar o conjunto de números racionais
negativos sem o zero:
Q@
C
= x 2 Q | x < 0
R S
I ou ℑ Irracionais
Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com
infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem periodicamente,
obtemos um número chamado irracional.
O número irracional mais famoso é o PI ( π ).
ℜ ou R Reais
O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o
conjunto dos números reais, indicado por R.
Indicamos por R* o conjunto dos números reais sem o zero.
R
C
= R@ 0
P Q
O símbolo R+ é usado para indicar o conjunto de números reais não-
negativos:
R+ = x 2R | x ≥ 0
R S
O símbolo R- é usado para indicar o conjunto de números reais não-
positivos:
R@ = x 2 R | x ≤ 0
R S
O símbolo R*+ é usado para indicar o conjunto de números reais
positivos:
R+
C
= x 2R | x > 0
R S
O símbolo R*- é usado para indicar o conjunto de números reais
negativos:
R@
C
= x 2 R | x < 0
R S
C ou C Complexos
Um número complexo é representado na forma: a + bi , sendo a a parte
real e b a parte imaginária.
A unidade imaginária é representada pela letra i , e significa a raiz
quadrada de -1. Pode-se escrever então: i = @ 1p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
.
2, 3, 5, 7 ... Primos
Em N (naturais)
Número Primo: (1) Aquele que só é divisível por si e pela unidade. (2)
Número divisível por um e por ele mesmo.
Observação: o número 1 não é primo nem composto, é o único número
divisível apenas por um número, ele mesmo. O número 2 é o único primo

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par. As unidades comuns (isto é todo primo termina em) são: 1, 3, 7, 9.
Até hoje não se sabe se existe uma regra, função ou lei de seqüência, que
permita calcular qual o próximo número primo.
Tabela dos 100 primeiros Números Primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,
79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157,
163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239,
241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331,
337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421,
431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509,
521, 523, 541 ...
O último número primo calculado (por computador):
243.112.609
− 1 , este é o primo “Mersenne” de número 46 e tem 12.978.189
dígitos.
Compostos
Em N (naturais).
Número composto: Aquele que é divisível por mais de dois números
distintos.
Ø ou {} Vazio
Significa que o conjunto não tem elementos, é um conjunto vazio.
C = { } ou C = Ø
Ex:
A={1,2,3}
B={4,5,6}
A B={} ou A B= Ø
Obs: representação errada de um conjunto vazio:
E = ∅
P Q
Isto é, dessa forma o conjunto contém um elemento.
∪∪∪∪ União
A U B
Lê-se: "A união com B"
Ex: A={5,7,10} , B={3,6,7,8}
A B = {3,5,6,7,8,10}
∩∩∩∩ Interseção
Lê-se como "A interseção B"
Ex:
A={1,3,5,7,8,10}
B={2,3,6,7,8}
A B={3,7,8}
∈ Pertence
Indica relação de pertinência.
Ex: 5 N . Significa que cinco pertence aos Naturais.

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∉ Não pertence Ex: -1 N.
Significa que o número -1 não pertence aos números Naturais.
⊂ Esta contido
Ex: N Z
Significa que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto
dos números inteiros.
⊄ Não esta contido
Ex: R N
Significa que o conjunto dos números reais não está contido no conjunto
dos números naturais.
⊃ Contém
Ex: Z N,
Significa que o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos
números naturais.
| Tal que
Barra reta (vertical)
Ex: R+ = x 2 R | x ≥ 0
R S
Leitura: Reais positivos são todos os “x pertencentes a R tais que x é
maior ou igual a zero”.
Menos, sem
Barra para esquerda.
Teoria dos conjuntos (Complemento teórico)
A B, significa que é o conjunto que contém todos os elementos de A
menos os elementos de B.
Ex:
A={1,2,3,4,5} e B={1,3,5}
Então A B = {2,4}
OBS: A barra pra direita ( / ) indica divisão.
→ Se, ... Então
se...então
p: José vai ao mercado
q: José vai fazer compras
p q
Se José vai ao mercado então ele vai fazer compras.
⇒ Implica
A: São Paulo é capital de um estado brasileiro
B: São Paulo é uma cidade brasileira
A B
Ex: sendo verdadeira a afirmação que está antes dele, então também será
verdadeira a afirmação à sua direita. Por exemplo, “São Paulo é capital de

GUIDG.COM – PG. 7
um estado brasileiro” implica que “São Paulo é uma cidade brasileira”.
*Deve-se tomar cuidado na utilização deste sinal, para não aplica-lo
desnecessariamente.
Exemplos:
x2
+ 2 = 4 [ x2
= 2 [ x =F 2p
wwwwwwwwwwwwwwwww
(certo, usar em linha)
x2
+ 2 = 4 [ F 2p
wwwwwwwwwwwwwwwww
? (errado, quatro implica em...)
x2
+ 2 = 4
[ x = F 2p
wwwwwwwwwwwwwwwww ? (errado, não pular a linha)
⇔ Se, e somente se
Se, e somente se.
Ex:
p: Maria vai para a praia
q: Maria vai tirar notas boas
p q
Maria vai para a praia se, e somente se ela tirar notas boas.
9 e
9+
Existe
e
Não existe
Indica existência.
9 x 2 Z | x > 3
Lê-se: Existe x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x é
maior que 3.
(O “existe” pode aparecer ainda, como um “E” ao contrario e cortado, que
representa inexistência.
Ex: 9+ x → B. (não existe x em B)
Sendo B={0,1,2,3}, e x = 9, não existe x no conjunto B.
... Período , a
“reticência”
A aplicação, depende do caso:
1 - Pode representar o período de um numero racional ou irracional.
(Período: parte que se repete).
Ex: 1,222... (Neste caso indica que o período, é 2)
2 – Pode representar a continuidade de uma seqüência numérica, ou uma
soma.
3 – Pode ocorrer mais aplicações.
Ex: Seja o conjunto Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
E isto indica que os números seguem indefinidamente para o infinito.
Verifique a definição de infinito.
Veja a definição do dicionário português:

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reticência : s. f. Omissão daquilo que se devia ou podia dizer; silêncio
voluntário. S. f. pl. Pontos (...) que, na escrita, indicam aquela omissão.
∴∴∴∴ Portanto
Utilizado em expressões, equações, e etc. Especialmente quando for
apresentar o resultado final de um cálculo.
Exemplo em logaritmos:
log2
4 = x ^ 2x
= 4
2x
= 4
2x
= 22
# x = 2
∀∀∀∀ Para todo
É um A de cabeça para baixo.
Significa "Para todo" ou "Para qualquer que seja".
Ex: x > 0, x é positivo.
Leitura: para todo x maior que zero, x é positivo.
( ) Parênteses - I
Por ordem de resolução é o primeiro a se resolver.
O parênteses na matemática pode ter várias aplicações, vamos citar
algumas:
1 – f(x) = 3x+2
Aqui está representando a função de 1ºgrau, ou função afim, o parênteses
neste caso, guarda o espaço para valores que serão substituídos no
lugar de “x”.
Ex: supondo que x = 3/2 + 4
f(3/2+4) = 3(3/2 + 4) + 2
Para resolver você pode aplicar a propriedade distributiva, ou tirar o
mínimo antes de multiplicar, os dois caminhos levam a mesma resposta.
Substituindo f(x) por y.
y = 3(11/2) + 2 = 33/2 + 2 = (33+4)/2 = 37/2
Pode também representar um intervalo aberto (igualmente o colchetes
para fora). Veja:
x tal que x, está entre 3 e 4, inclusive 3 e exclusive 4.
Ou x 2R | 3 ≤ x<4 . Ou [ 3 , 4 ) = [ 3 , 4 [
O parênteses aqui tem o mesmo papel que o colchetes para fora
Ou seja representa um intervalo aberto, no qual os valores tendem a esse
valor, mas não o atinge. Como se fosse o seu limite.
[ ] Colchetes - II Por ordem de resolução é o segundo a se resolver.

GUIDG.COM – PG. 9
Em funções/intervalos, representa inclusão; exemplo:
[0;1] Entre 0 e 1. (inclusive o 0 e 1)
0 ≤ x ≤ 1 (Lê-se: x maior ou igual a zero e menor ou igual a 1)
]2;4] Entre 2 e 4. (exclusive 2 e inclusive 4)
2 < x ≤ 4 (Lê-se: x maior que dois e menor ou igual a 4)
]-6;2[ Entre -6 e 2. (exclusive -6 e exclusive 2)
-6 < x < 2 (Lê-se: x maior que menos seis e menor que 2)
{ } Chaves - III
Por ordem de resolução é o terceiro a se resolver.
o conjunto de...
Ex: {a,b,c} representa o conjunto composto por a, b e c.
+ Adição
Lê-se: "mais"
Ex: 2+3 = 5 (Lê-se: dois mais três é igual a cinco).
Significa que se somarmos 2 e 3 o resultado é 5.
± Mais ou Menos
Indicação de um valor “x” com duplo sinal.
x =F 5 [ x1 = + 5 e x2 =@ 5
Isto é pode ser um ou pode ser outro, e ainda pode ser os dois, a conclusão
é feita com a prova ou teste dos valores. Isto é melhor entendido no
assunto equações de segundo grau e raízes de eq. de 2º grau.
Quando delta é maior que zero, a equação de segundo grau apresenta duas
raízes devido a presença do sinal “mais ou menos” contida na
“fórmula para as raízes da equação de segundo grau” (fórmula atribuída à
Báskara).
- Subtração
Lê-se como "menos"
Ex: 5-3 = 2, significa que se subtrairmos 3 de 5, o resultado é 2.
O sinal - também denota um número negativo.
Por exemplo:
(-6) + 2 = -4. Significa que se somarmos 2 em -6, o resultado é -4.
*ou B ou . Multiplicação
Lê-se: "multiplicado" ou “vezes”
Ex: 8*2 = 16, significa que se multiplicarmos 8 por 2, o resultado é 16.
2*3 = 3*2 (Lê-se duas vezes três é igual a três vezes dois)
Propriedade Comutativa: “A ordem dos fatores não altera o produto”
2 e 3 são fatores, 6 é o resultado da multiplicação, também chamado de
produto.
*Fator: Cada uma das quantidades que são objetos de uma multiplicação

GUIDG.COM – PG. 10
/ ou ÷ ou : Divisão
Lê-se: "dividido"
Ex: Vamos representar a divisão: 6 por 2:
6 / 2 =
6
2
fff
= 6 D 2 = 6 :2
Todas essas notações significam que se dividirmos 6 por 2, o resultado é
3.
6
2
fff
= 3 . Neste caso temos uma fração (que é uma divisão).
Lê-se: Seis sobre dois é igual à três.
n
d
ffff
Fração
Fração:
n
d
ffff
=
numerador
denominador
; Leitura de frações:
1/1 = 1 = Um inteiro
½ = Um meio
1/3 = Um terço
¼ = Um quarto
1/5 = Um quinto
1/6 = Um sexto
1/7 = Um sétimo
1/8 = Um oitavo
1/9 = Um nono
1/11 = Um onze avos
1/12 = Um doze avos
1/13 = Um treze avos
1/14 = Um quatorze avos
1/15 = Um quinze avos
1/16 = Um dezesseis avos
1/17 = Um dezessete avos
1/18 = Um dezoito avos
1/19 = Um dezenove avos
1/10 = um dez avos
1/20 = um vinte avos
1/30 = um trinta avos
1/40 = um quarenta avos
1/50 = um cinqüenta avos
1/60 = um sessenta avos
1/70 = um setenta avos
1/80 = um oitenta avos
1/90 = um noventa avos
1/100 = um cem avos
1/1000 = um mil avos
1/10000 = um dez mil avos
1/100000 = um cem mil avos
1/1000000 = um milhão avos
= um décimo
= um vigésimo
= um trigésimo
= um quadragésimo
= um qüinquagésimo
= um sexagésimo
= um septuagésimo
= um octogésimo
= um nonagésimo
= um centésimo
= um milésimo
= um décimo milésimo
= um centésimo milésimo
= um milionésimo
2/3 = dois terços
3/2 = três meios
4/5 = quatro quintos
5/4 = cinco quartos
6/7 = seis sétimos
7/8 = sete oitavos
8/9 = oito nonos
9/8 = nove oitavos
10/11 = dez onze avos, 10 sobre 11
13/20 = treze vinte avos, 13 sobre 20
60/7 = sessenta sétimos, 60 sobre 7
73/21 = setenta e três vinte e um avos
π/e = pi sobre e
n/m = n sobre m
...
A Fração é uma representação da divisão, isto é uma simplificação devido
as divisões não exatas:
Ex: Como expressar a divisão 2 por 3:
0,666666666... = 2/3 =
2
3
fff
= 2 D 3 = 2A
1
3
fff

Tipos de frações:
Fração própria: n < d (numerador menor que o denominador, isto é a
parte tomada dentro do inteiro).
Fração imprópria: n > d (numerador maior que o denominador, isto é a
parte tomada é maior que o inteiro).
Fração aparente: n é múltiplo de d .
Ex: 0/3 = 0 , 4/2 = 2
Fração equivalente: são frações que representam a mesma parte do
inteiro.
Ex: ½ = 2/4 = 3/6 = 4/8
Fração composta: quando n é uma fração e d é outra fração, tais que se
apresentem na forma:
n
d
ffff
| n =
e
f
fffff
e d =
g
h
ffff
,
n
d
ffff
=
e
f
fffff
g
fffffff
h
ffffff
=
e
f
fffff
A
h
g
ffff
Portanto as frações do tipo ( e/f ) / ( g/h ) , são denominadas frações
compostas. Simplifica-se aplicando a regra de multiplicação: “a primeira
pela inversa da segunda”. Isto é:
( e/f ) / ( g/h ) = ( e.h )/( f.g )
i
n
d
ffff
Número Misto
Um número misto, é aquele que é constituído por uma parte inteira (i)
mais a fração n/d.
O número misto não é o produto i . n/d .
Transformações:
Ex, número misto para uma fração:
4
1
4
ffff
= 4 +
1
4
ffff
=
16
4
fffffff
+
1
4
ffff
=
17
4
fffffff
Lê-se: quatro e um quarto;
quatro mais um quarto;
ou quatro inteiros e um quarto;
Quatro inteiros mais um quarto;
Ex: fração para um número misto:
19
13
fffffff
=
13
13
fffffff
+
6
13
fffffff
= 1 +
6
13
fffffff
= 1
6
13
fffffff
%
Percentagem
ou
Porcentagem
... 1%, 2%, 3% ... 100% ...
Lê-se: Um por cento, dois por cento ...
Do latim, Per Centum = a cada centena
É definido como uma medida de razão de base cem (100). Isto é a
proporção que o número a está para b (base), sendo a o numerador e b
o denominador.

a
b
ffff
Indicador de fração por cento (100). Porcentagem = Por cento, ou seja um
número por 100 (Sobre 100, dividido por cem).
10% = 10/100 = 0,1
20% = 20/100 = 0,2
= Igual,
Igualdade
Lê-se como "igual a"
Ex: x = y, significa que x e y possuem o mesmo valor.
Por exemplo: 3+5 = 7+1
≠ Diferente
Ex: 13 ≠ 31 (13 é diferente de 31).
Ex: x=5, y=2
Logo x ≠ y
=N Numericamente
igual
Este símbolo é empregado em casos particulares.
Exemplo em física:
Considere o gráfico abaixo de um movimento uniforme:
Neste caso dizemos que a área A do gráfico representa o deslocamento
escalar ∆s do móvel, então:
∆s=
N
A =
v + v0
2
fffffffffffffffffff
A ∆t
#
Cerquilha
ou
Cardinal
Para o matemático:
Cerquilha é o sinal que definimos como o símbolo de número.
Isto é ele indica o número de algo.
#1, #2 ... pode ser lido como: número um, número dois. Pode ser
empregado na construção de tabelas, enumeração de exemplos,
exercícios, ordem etc.
Nome oficial: Octothorpe (Bell Labs)
Este símbolo é muito comum e pouco valorizado, com isso adquiriu vários nomes
e agora esta como um símbolo de multi-significado (ou seja, o significado
depende do caso de aplicação). Alguns exemplos de nomes comuns. Ex: jogo-da-
velha, chiqueirinho, tralha, cerquinha, e etc.
≈ ou
Aproximadamente
ou
Aproximadamente
igual
Tanto faz a utilização de um ou de outro, mas não confunda com Congruente.
Usamos para arredondamento de um valor muito grande, periódico ou irracional.
Alguns exemplos de aplicação:
π ≈ 3,14 ; e ≈ 2,72 ; 2p
wwwwwwwwwwwwwwwww
≈ 1,41
3p
wwwwwwwwwwwwwwwww
≈ 1,73 ;
1
3
fff
≈ 1,3

Não confundir com: t Congruente
Para informações sobre como arredondar um valor corretamente veja o artigo:
MEF: (1) Um curso de Medidas, Algarismos significativos, Notação científica e Unidades SI
~
Eqüipolente ;
Negação, (Lógica) ;
Semelhança
(Trigonometria)
Depende o caso ou assunto.
1 - Em Álgebra Linear e Geometria Analítica:
Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm o
mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. A eqüipolência dos
segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD .
2 – Em lógica, podem ser os símbolos: ~ e
:Ex: p: Os alunos irão passear.
~p ou : p : Os alunos não irão passear.
3 – Veja o uso do til para a semelhança de triângulos (mais abaixo).
4 – Podem existir outras aplicações.
∧ e (Lógica)
Ex:
p: Cláudia tem um cachorro
q: Cláudia tem um gato
p q
Cláudia tem um cachorro e um gato.
∨ ou (Lógica)
Ex:
p: José gosta de jogar futebol
q: José gosta de jogar tênis
p q
José gosta de jogar futebol ou tênis.
≡ e a6 Equivalente ou
Idêntico
Exemplos: 2/4 ≡ 1/2
Lê-se: “é equivalente à” ou “é idêntico à”.
x= 16 , y = 4 logo x ≡ y
O sinal cortado significa “não equivalente” ou “não equivale”.
t Congruente à
Ângulos Congruentes:
Dois segmentos de reta são chamados congruentes quando tiverem a
mesma medida, na mesma unidade.

Exemplo
Os segmentos de reta e , da figura, têm medida 4 cm, portanto são
congruentes.
Indica-se:
< > Comparação
Desigualdade Estrita.
É menor que, é maior que
x < y significa que x é menor que y
x > y significa que x é maior que y
≤ ≥ Comparação
Desigualdade não estrita.
é menor ou igual a, é maior ou igual a
x ≤ y significa: x é menor ou igual a y;
x ≥ y significa: x é maior ou igual a y
x n
= x A x A x
…= y
Potenciação
Definição dos termos da potenciação
Lê-se: x elevado à enésima potência é igual ao produto de x, “n”
vezes, que é igual a y.
x n
= x A x A x … = y
x = base
n = expoente ou potência (determina o número de fatores)
x.x.x... = produto de fatores (é determinado pelo expoente)
y = produto (em alguns livros é definido como potência)
Exemplos:
…
@ 3
` a@ 2
=
1
@ 3
` a2
fffffffffffffffffff
=
1
9
fff
@ 2
` a@ 1
=
1
@ 2
` a1
ffffffffffffffffff
= @
1
2
fff
1
0
= 1
2
1
= 2
3
2
= 3A 3 = 9
…
Existem várias propriedades, consulte Propriedades da Potenciação.
x2
= n
x ao quadrado é
igual a n
É comum alunos terem dúvidas nesse caso, por isso destacamos com um
exemplo:
x² = 9 ?
Aqui vem a seguinte pergunta, que número elevado ao quadrado é igual a
nove? E você responde 3! (certo), mas esquece que pode ser (-3) também.

Portanto não cometa mais esse erro, existem dois números que elevados
ao quadrado são iguais a nove. Isto é:
x2
= 9
x2
@ 9 = 0
então:x2
@3
2
= 0
diferença de quadrados:veja a forma fatorada:
x + 3
` a
x @ 3
` a
= 0
portanto x + 3 = 0 ou x @ 3 = 0
x =@ 3 ou x = 3
Podendo ser escrita da seguinte forma:
}3,3{
39:
9:
:
2
2
−=
±=±=
=
±=
=
S
xentão
xexemplo
nxentão
nx
!!!! Fatorial ,
n fatorial (n!)
O Símbolo / Sinal de exclamação na matemática é definido como fatorial.
Fatorial que vêm da palavra fator.
A definição de n fatorial é a seguinte:
n! = n.(n-1).(n-2)(n-3)...3.2.1
Definimos também:
0! = 1
1! = 1
Exemplos:
Para n = 6, teríamos:
n! = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
4!=4.3.2.1 = 24
20!
18!
fffffffff
=
20.19A 18!
18!
ffffffffffffffffffffffffffffffff
= 20.19 = 380
(n+2)! = (n+2).(n+1).(n).(n-1)(n-2)!
n + 1
` a
!
n @ 1
` a
!
fffffffffffffffffffffffff
=
n + 1
` a
A n
` a
A n @ 1
` a
!
n @ 1
` a
!
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
= n + 1
` a
n = n2
+ n
√ Radical
O símbolo radical deriva da letra r devido ao nome em latim radix
quadratum (raiz quadrada), interpreta-se geometricamente como o lado do
quadrado.
n
x Lê-se: Raiz enésima de x.
OBS: quando não houver número no índice esta será sempre quadrada,
não existe em R raízes de índice par de números negativos. Existem em R
raízes de índices impares de números negativos.
Ex: 416 += (Raiz quadrada de 16)

27
3p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= 3
@ 27
3p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=@ 3
(Raiz cúbica)
2164
+= (Raiz quarta de 16)
...
reip
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= z
( √ ) Radical (sinal)
( i ) Índice (fora)
( r ) Radicando (dentro)
( e ) Expoente de r
( z ) Raiz (resultado)
Importante: A raiz quadrada de um número é sempre positiva.
||2
xx =
A segunda notação para raízes é a o expoente fracionário. Então
z = r
e
i
fffff
Exemplo:
A raiz quadrado de x ao cubo:
x3q
= x
3
2
fffff
A raiz quinta de x ao quadrado:
x25q
= x
2
5
fffff
Decoreba: para escrever corretamente, “quem esta por dentro esta por
cima, e quem esta por fora esta por baixo”.
(dentro da raiz, fora da raiz, por cima na fração (numerador), por baixo na
fração (denominador).
log Logaritmo
Ex: log28 = 3
O logaritmo de 8 na base 2 é 3, pois elevando 2 ao expoente 3 obtemos 8.
Nunca esqueça, se não tiver base no logarítmo, definimos como sendo na
base 10.
ln (l) Logaritmo
(n) neperiano
Logarítmo natural
logen = y
Logarítimo neperiano é o logarítmo cuja base é o numero "e".
e = 2,718281828....
Ex: log e 8 = 2,079441542...
porque e 2,079441542...
= 8

e Número de Euler
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287...
Lê-se “número de Óilar” ou também: número de Napier, constante de
Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial.
Publicado em 1618 por John Napier.
γγγγ
Constante de Euler-
Mascheroni
*letra grega “Gama”
minúscula
À teoria dos números.
γγγγ = 0,577215664901532860606512090082402431...
A sexta constante matemática importante, foi calculado com centenas de
casas decimais. Não se sabe se γγγγ é um número irracional.
i Unidade imaginaria
i = @ 1p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
i é utilizado para representar a raiz de menos um
Consulte Números Complexos.
π Pi (Minúsculo)
*letra grega
π = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288...
O número π é definido como a razão entre a circunferência de um
círculo e o seu diâmetro.
Mas este número tem outras personalidades. É também um número
irracional e um número transcendente.
Em trigonometria π = 180º
Também é conhecido como constante de Arquimedes ou número de
Ludoph.
2p
wwwwwwwwwwwwwwwww Constante de
Pitágoras
*Raiz quadrada de dois.
2p
wwwwwwwwwwwwwwwww
= 1.41421 35623 73095 04880 16887 …
φ
Número de Ouro
Letra grega Fi
minúscula
À razão Áurea, Proporção Áurea.
φ =1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811...

y = ax + b
ou
y = mx + n
Função do primeiro
grau.
Ou
Equação da reta
Ou.
* Para melhor entender verifique a definição de função.
Ex: y = 0,5x + 1
m é o coeficiente angular, e intercepta o eixo das abscissas (Ox).
n é o coeficiente linear e intercepta o eixo das ordenadas (Oy).
Se n e m forem diferentes de zero chama-se função afim, Se n for igual a
zero chama-se função linear.
Se m for maior que zero a função é crescente.
Se m for menor que zero a função é decrescente.
Se f(x) = y = x, chama-se função identidade.
ax + by + c = 0 Equação geral da
reta
GEOMETRIA ANALITICA
y =
@ a
b
fffffffffff
x @
c
b
ffff Equação reduzida
da reta
GEOMETRIA ANALITICA
ax2
+ bx + c =0
e
x =
@bF b
2
@4acq
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
2a
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A equação de
segundo grau
e a fórmula para
As Raízes da
Equação de
Segundo Grau
Ocorre de escrevermos Báskara, mas o certo é Bhaskara.
É apenas aqui no Brasil, que comum tornou-se atribuir créditos ao
Matemático Bhaskara, e o método para extrair as raízes, como fórmula
de Bhaskara. (Consulte a história).
Essa fórmula se obtém quando fatora-se a equação de segundo grau,
completa-se os quadrados e isola-se a variável (x). Viète também propôs
outro método para extração das raízes (devem existir mais), mas essa é a
forma mais fácil mesmo, e como na matemática trabalha-se repetidamente
com equações de segundo grau, será fácil a memorização.
Essa é a equação de segundo grau igualada à zero:
ax2
+ bx + c =0
a, b, c são os coeficientes (também chamados de “parâmetros”), e x a
variável.
E foi a partir dela que surgiu a fórmula, o problema consistia em achar os
valores de x para os quais tornam a equação verdadeira, ou seja que
valores de x tornam a equação nula.
Publicamos um artigo demonstrando essa fórmula, verifique o índice
de Matemática Básica.

Pesquisa de Raízes
Racionais
Raízes da equação
polinomial quando o
grau é maior que 2.
Este método é chamado Pesquisa de raízes, por que raramente na
primeira tentativa se acha uma solução para o problema. No entanto ele
sugere um caminho, resumimos a definição abaixo.
(A) Raízes Racionais: Seja a função polinomial P(x) = 0 de grau n.
a0
xn
+ a1
xn + 1
+…+ an @ 2
x2
+ an @ 1
x + an = 0
an ≠ 0 e a0
≠ 0
b c
As possíveis raízes são o(s) número(s) x = p/q (p e q números primos),
onde p é divisor Inteiro de an (termo independente) e q é divisor
Inteiro de a0
(coeficiente do termo de maior grau).
(B) Raízes Inteiras: Um caso particular é se an divisível por a0
, for
um número inteiro. Então obtemos sem tantas tentativas as raízes, que são
os divisores inteiros de an . (Mas o teorema que abrange mais
amplamente é o primeiro mesmo).
Exemplo para (A):
Determinar em C as raízes da função polinomial:
f (x) = 2x3
+ x2
+ x – 1
Solução.
I ) 2x3
+ x2
+ x – 1 = 0
II) As raízes possíveis são x = p/q, onde p é divisor inteiro de -1 e q é
divisor inteiro de 2 .
III) D(-1) = { ±1} = p
D(2) = {±1, ±2} = q
IV) Raízes possíveis: x = p/q { ±1 , ±1/2 }
V) Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir o polinômio e
testar as possíveis raízes.
VI) Verifica-se que 1/2 é raiz do polinômio, e a função polinomial é
dividida sem resto, assim re-escrevemos P(x):
P(x) = (2x²+2x+2)(x-1/2)
VII) Com o Método para extração das raízes da eq. De segundo grau
temos o conjunto solução, com duas raízes imaginárias:
Exemplo para (B):
Determinar as raízes:

f (x) =2x³-11x²+17x-6=0
De acordo com o teorema B, as raízes possíveis, já que -6 é divisível por
2, são apenas os divisores inteiros de -6.
D(-6) = {±1, ±2, ±3, ±6}
Pesquisando as raízes pelo dispositivo de Briot-Ruffini:
Vemos que 2 é raiz, simplificando a função:
f (x) = (x – 2) (2x2
– 7x + 3)
S = {1/2, 2, 3}
Logo notamos também que existe outra raiz inteira, 3.
E aqui se esclarece que se utilizarmos o teorema A, a raiz já seria
sugerida, no entanto o conjunto das raízes possíveis aumentaria de oito
raízes possíveis para doze.
Utilizando o método A, o conjunto das raízes possíveis é:
x = p/q={ -½, ½ , ±1, ±3/2, -2, 2, 3, -3, ±6}
Portanto esteja consciente de utilizar o método adequado.~
Teorema Auxiliar: O Teorema de Bolzano sugere duas implicações e
resumimos abaixo omitindo a demonstração:
Considere a função polinomial de coeficientes Reais:
f x
` a
a0
xn
+ a1
xn + 1
+…+ an @ 2
x2
+ an @ 1
x + an
E dois números tais que a < b , f (a) . f (b) ≠ 0
1 – Se f (a) . f (b) < 0 , Então em f (x) existe um número impar de raízes
no intervalo (a, b). Dependendo do grau do polinômio. (se for três, então
uma ou três raízes).
2- Se f (a) . f (b) > 0 , Então em f (x) não existe, ou existe um número par
de raízes no intervalo (a, b). Dependendo do grau do polinômio. (se for
seis, então não existem raízes, ou há duas, ou quatro ou seis raízes).
Este teorema resolve questões de análise, por exemplo:
Analise a função polinomial e verifique quantas raízes há no intervalo (0,
1). f(x) = x5
– 2x2
+ 3x +1 .
Solução: Pelo teorema P(0).P(1) > 0 , então não há raízes, ou há duas, ou
quatro raízes no intervalo dado. (isto porque o polinômio é de quinto
grau).
Produtos Notáveis
1) Quadrado da soma ou diferença de dois termos:
a + b
` a2
= a2
+ 2ab + b
2
a @ b
` a2
= a2
@ 2ab + b
2

2) Diferença de Quadrados:
a2
@ b
2
= a + b
` a
A a @ b
` a
3) Cubo da soma ou diferença de dois termos:
a + b
` a3
= a3
+ 3a2
b + 3ab
2
+ b
3
a @ b
` a3
= a3
@ 3a2
b + 3ab
2
@ b
3
4) Soma ou diferença de Cubos:
a3
+ b
3
= a + b
` a
A a2
@ ab + b
2
b c
a3
@ b
3
= a @ b
` a
A a2
+ ab + b
2
b c
Binômio de Newton
Não se assuste com a seguinte fórmula, pois ela é muito simples, e
foi desenvolvida com a intenção de facilitar o cálculo.
A forma x + a
` an
8 n > 1 2 Z , é expandida da seguinte
maneira e aplicável a todas as formas demonstradas anteriormente
em Produtos notáveis.
x + a
` an
= xn
+
n
1!
fffff
A xn @ 1
A a +
nA n @ 1
` a
2!
ffffffffffffffffffffffffffffff
A xn @ 2
A a2
+ …
…+
nA n @ 1
` a
A n @ 2
` a
3!
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A xn @ 3
A a3
+ …
… +
n n @ 1
` a
n @ 2
` a
…2
n @ 1
` a
!
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
A x A an @ 1
+ an
Procedimento, para o lado direito da igualdade:
1 – o primeiro termo (x) é sempre elevado ao expoente n.
2 – o segundo termo, é o expoente vezes x elevado a uma unidade a
menos que o n inicial. Multiplique isso por a.
3 – o terceiro é o produto de n pelo expoente de x do segundo
termo, ou seja: n e (n – 1). Divida isso pelo número de termos
escritos, ou seja, dois. Multiplique por x elevado a duas unidades
reduzidas do n inicial. Multiplique por a elevado a uma unidade a
mais que a do segundo termo.
A dica é memorizar os passos, deduzir os produtos notáveis (que
possam ser) pelo Binômio de Newton, e por último demonstrar a
fórmula até o quarto termo. Depois disso é repetição.
PA
Progressão
Aritmética
PA, Progressão Aritmética. É uma seqüência numérica, tal que o termo
posterior é o termo anterior mais a razão.
PA = a1 , a2 , a3 , … ,an
P Q
A Razão de uma PA
r é a razão, numa PA determina-se fazendo a diferença do termo
posterior pelo termo anterior, isto é:

r = a2 @ a1
Termo geral de uma PA:
an = a1 + n @ 1
` a
r
Formula de recorrência: Termo qualquer, sendo n ≠ m :
an = am + n @ m
` a
r
Exemplo: Determinar r sendo a4 = 25 e a10 = 43 :
an = am + n @ m
` a
r [ a10 = a4 + 10 @ 4
` a
r
43 = 25 + 6r
6r = 18 [ r = 3
Conseqüência: A soma dos extremos de uma PA é sempre um número
constante.
Considere a PA = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} então:
a1 = 2, a2 = 4, … a9 = 18
a1 + a9 = a2 + a8 = a3 + a7 = a4 + a6 = a5 + a5
2 + 18 = 4 + 16 = 6 + 14 = 8 + 12 = 10 + 10 = 20
Termo médio, Média aritmética:
Sendo a1 , a2 , a3 uma PA então:
a2 =
a1 + a3
2
ffffffffffffffffffff
[ an =
an @ 1 + an + 1
2
ffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Soma dos termos da PA:
Sendo a1 e an então a soma dos n termos da PA:
Sn =
a1 + an
b c
n
2
ffffffffffffffffffffffffffffffff
PG
Progressão
Geométrica
PG, Progressão Geométrica. É uma seqüência numérica, tal que o termo
posterior é o termo anterior vezes a razão.
Ex: PG = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...} é uma PQ de razão 2.
q é a razão, e obtém-se dividindo o termo posterior pelo anterior.
q =
an
an @ 1
ffffffffffffff
Termo geral:
an = a1 A qn @ 1
Termo qualquer:
an = am A qn @ m
Termo médio, Média Geométrica:

Seja a PG: …, an @ 1 , an , an + 1 , …
` a
an
` a2
= an @ 1
` a
A an + 1
` a
an
` a
=F an @ 1
` a
A an + 1
` a
q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
Isto é: o termo do meio é a raiz quadrada do produto: termo anterior vezes
termo posterior (depende o sinal da seqüência também).
Soma dos termos da PG:
Sn = a1A
qn
@ 1
q @ 1
fffffffffffffffffff
f g
ou Sn = a1 A
1 @ qn
1 @ q
fffffffffffffffffff
f g
Apesar da troca de sinal, as duas fórmulas são iguais.
Soma dos termos da PG, quando -1 < q < 1 , e n → +∞ . Isto é a soma
dos termos de uma Progressão Geométrica Convergente.
Sn =
a1
1 @ q
ffffffffffffffff
Ex: Qual o valor da soma s = 1 +
1
2
fff
+
1
4
ffff
+
1
8
fff
+ … ?
q =
1
2
ffff
1
ffff
=
1
2
fff
, S1 =
1
1 @
1
2
ffff
ffffffffffffffff
=
1
1
fff
2
fff
= 2
AB
ffffffffff
Segmento de reta
Dados dois pontos distintos, chamamos de segmento de reta a figura (*)
constituída por eles e por todos os pontos que estão entre eles.
Exemplo:
O segmento de reta determinado por A e B é representado por AB
ffffffffff
,
dizemos que A e B são suas extremidades, e representamos por AB a
medida de .
AB
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
ou ujjjjjjjjk Vetor
Geometria Analítica, Álgebra Linear.
Vetor, verifique a definição formal. Segmento de reta orientado.
ujjjjjjjjk
= AB
= B@ A
Ex: se A x1 ,y1 ,z1
` a
e B x2 ,y2 ,z2
` a
então AB
= B@ A = x2 @ x1 ,y2 @ y1 ,z2 @ z1
` a

< u
jjjjjjjjk
, v
jjjjjjjjk
> Produto escalar
Geometria Analítica, Álgebra Linear.
Esta notação implica que devemos multiplicar as coordenadas do vetor u
pelas de v, e então obter o produto escalar. Também representasse por:
ujjjjjjjjk
A vjjjjjjjjk
Exemplo:
ujjjjjjjjk
= 1,2,3
b c
e vjjjjjjjjk
= 4,5,6
b c
então < ujjjjjjjjk
, vjjjjjjjjk
> = ujjjjjjjjk
A vjjjjjjjjk
= 1,2,3
b c
A 4,5,6
b c
= 4 + 10 + 18
` a
= 32
d P,π
b c
Distância de um
ponto a um Plano
d P,π
b c
=
ax0 + by0
+ cz0 + d
L
L
L
M
M
M
a2
+ b
2
+ c2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
a,b,c são as coordenadas do vetor normaldo plano
x0 ,y0 ,z0 são as cordenadas do ponto qualquer
d = @ax1 @ by1
@cz1 onde x1 ,y1 ,z1
` a
são as coordenadas
de umponto pertencente ao planoA
Ex: A distância entre o ponto P(-4,2,5) ao plano
π : 2x + y + 2z + 8 = 0
d P,π
b c
=
2 @ 4
` a
+ 1 2
` a
+ 2 5
` a
+ 8
L
L
L
M
M
M
2
2
+ 1
2
+ 2
2q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
d P,π
b c
= 4uc
d P1 ,P2
b c
Distância entre dois
pontos
GEOMETRIA ANALÍTICA
Utilizando como base o teorema de Pitágoras, pode-se calcular a
facilmente a distancia entre dois pontos no plano cartesiano.
seja: P1 x1 , y1 ,z1
` a
e P2 x2 ,y2 ,z2
` a
então a distância d P1 ,P2
b c
=| P1 P2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
|
d P1 ,P2
b c
= x2@x1
` a2
+ y2@y1
` a2
+ z2@z1
` a2
q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
Ou seja a distância é o módulo do vetor P1 ,P2
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjk
Ex.
A distância entre P(7,3,4) e Q(1,0,6)
d P,Q
b c
= 1@7
` a2
+ 0@3
` a2
+ 6@4
` a2
q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= 49p
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
=7 u.c.
u.c. : unidades de comprimento

X
i = m
n
f i
` a
Notação Sigma
“Somatório"
*Σ letra grega
Sigma maiúscula
X
i = m
n
f i
` a
= f m
` a
+ f m + 1
` a
+ f m + 2
` a
+ …f n
` a
i é o índice da soma (é um símbolo arbitrário, pode assumir o valor de
qualquer letra)
m é o limite inferior
n é o limite superior
f (i) é a função
Ex: X
k = 1
5
k
2
=1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ 4
2
+ 5
2
Π
Produto,
Produtório.
(Aritmética) *letra grega
Pi Maiúsculo
Produto em, até, de...
|x| Módulo / Valor
absoluto de x
|-5| = 5
Lê-se: o módulo de menos cinco é igual à cinco.
Significa geometricamente a distancia do valor de x até zero. (veja a
definição de módulo para mais informações).
|x| = x
` a2
q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
|9| = 9
` a2
q
wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww
= 9
Definição: O módulo de x é x se x for maior ou igual a zero ou o módulo
de x é -(x) se x for menor que zero.
Definição em linguagem matemática:
|x| =
x, se x ≥ 0
@ x, se x <0
V
||x|| Norma de /
comprimento de
Análise funcional. (verificar definição e teoria)
||x|| é a norma do elemento x de um espaço vetorial
Ex:
|| x + y|| ≤ || x|| + || y||
⊥
Perpendicular ou
Ortogonal
Retas
Perpendiculares
Se r e s, são retas perpendiculares indicamos por r ⊥ s .
Lê-se: r é perpendicular à s . Ou r é ortogonal à s .
Retas perpendiculares / ortogonais são aquelas que possuem um único
ponto em comum e formam entre si um ângulo de 90º.

∟ ou
Ângulo reto
90º
Representa em geometria e trigonometria, ou em geral. A formação de um
ângulo de noventa graus (90º) entre duas retas ou planos, independente se
a primeira(o) estiver disposta(o) de forma horizontal, vertical ou diagonal.
Um ângulo reto é a metade de um ângulo raso.
//
Paralelo
Retas paralelas
Se r e s são duas retas paralelas indicamos por r // s.
Lê-se: r é paralela(o) à s .
Retas paralelas são aquelas que não possuem ponto em comum, ou seja
não se cruzam, não são concorrentes.
Ângulo raso Ângulo raso
Um ângulo raso mede 180º, e é a metade do ângulo de uma volta
completa (360º).
Raso: Adj.: De superfície plana; liso.
Ângulo agudo Ângulo agudo
É o ângulo cuja medida esta entre 0º e 90º. Ou o mesmo que 0º < x < 90º
Agudo: Adj.: Terminado em gume ou em ponta. (gume: lado afiado de
um instrumento cortante)
Ângulo obtuso Ângulo obtuso
É aquele cuja medida situa-se entre 90º e 180º.
Ou o mesmo que 90º < x < 180º
Obtuso: Adj.:Que não é aguçado ou agudo; que não é bicudo;
arredondado, rombo.
Ângulos
complementares
Ângulos
complementares
São aqueles cujas medidas somam 90º, e diz-se que um é o complemento
do outro.
Ex: 34º é o complemento de 56º e vice-versa, pois 34º + 56º = 90º
Complemento: s. m. 1. Ato ou efeito de completar.
Ângulos
suplementares
Ângulos
suplementares
São aqueles cujas medidas somam 180º e diz-se que um é o suplemento
do outro.
Ex: 48º é o suplemento de 132º e vice-versa, pois 48º + 132º = 180º
Suplemento: s. m. Aquilo que serve para suprir qualquer falta.
Ângulo de
depressão
Ângulo de
depressão
É o ângulo que se forma abaixo da linha horizontal. Neste caso o ângulo
alfa "α"

Ângulo de elevação Ângulo de elevação
É o ângulo que se forma acima da linha horizontal. Neste caso o ângulo
alfa "α"
Bissetriz de um
ângulo
Bissetriz de um
angulo
Bissetriz de um ângulo – é a semi-reta que partindo do vértice, determina
dois ângulos congruentes ( ou seja, de mesma medida).
Obs: todo ângulo possui uma única bissetriz
º Grau
Indicação para ângulos e coordenadas em geometria / trigonometria,
temperatura em graus Celsius e etc.
Tempo: 1 grau é igual a 60 minutos que é igual a 3600 segundos.
1º = 60’ = 3600”
MAT: Por definição, 1 grau é o arco equivalente a (um trezentos e
sessenta avos) da circunferência, ou seja, em um arco de volta completa,
ou de uma volta, cabem 360° (graus).
‘ Minuto
Indicação abreviada de minuto.
Ex: 1’ = 60” (Um minuto igual a sessenta segundos).
“ Segundo
Indicação abreviada de segundo.
Ex: 20 segundos = 20”
gr Grado
Definimos como 1 grado o arco equivalente a da circunferência, isto
é, em uma circunferência ou arco de uma volta cabem 400 gr (grados).
Esse sistema não é tão eficaz quanto ao sistema grau, por isso caiu em
desuso.

rad Radiano
(1) Um radiano é o arco cujo comprimento é igual ao do raio da
circunferência onde tal arco foi determinado.
(2) Um radiano é o comprimento de arco cujo medida é igual a do raio da
circunferência que ele compõe.
arc Arco AB / AB
& Definimos como arco de circunferência cada uma das partes em que ela
é dividida por dois de seus pontos.
: Um Arco é representado dessa forma, e lê-se: Arco AB
Se dois pontos coincidem, há portanto dois arcos, um é o arco nulo, e
outro é o arco de uma volta.
Atenção: Não confundir com segmento de reta.
sinou sen e
cos
Seno e Co-seno
Muitas pessoas tem dificuldade com trigonometria, por não entender o
significado das abreviações sen, cos, tg, etc. esses termos representam
medidas, que se projeta em algum eixo. Por exemplo o seno de um ponto
P(x,y) é dado pela relação abaixo, e significa uma medida.
sen α
` a
=
cateto oposto
hipotenusa
cos α
` a
=
cateto adjacente
hipotenusa
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Função Trigonométrica:

Definição geométrica de “sen” e “cos”: Tomemos uma circunferência de
raio 1 e um ponto A da mesma, considere o sistema de coordenadas da
figura acima. Dado um número real x, seja Px o ponto da circunferência
correspondente a x, então:
cos x = abscissa de Px ;
sen x = ordenada de Px ;
Portanto Px = (cos x, sen x)
Obs: o símbolo da função seno é sen, então deveríamos escrever sen(x), e
da mesma forma para cos x, cos(x). A omissão dos parênteses é
tradicional, e serve para aliviar a notação. Contudo não vá pensar que sen
x, é um produto de sen por x. E isso não tem sentido, pois sen e cos é uma
correspondência (função) e não um número:
sen x não é produto de sen por x; cos x não é produto de cos por x.
co-x
Co-razão x
O complemento de x
Expliquemos o significado da partícula co, que inicia o nome das relações
co-seno, co-tangente e co-secante. Ela foi introduzida por Edmund
Gunter, em 1620, querendo indicar a razão trigonométrica do
complemento. Por exemplo, co-seno de 22° tem valor idêntico ao seno de
68° (complementar de 22°).
Assim, as relações co-seno, co-tangente e co-secante de um ângulo
indicam, respectivamente, seno, tangente e secante do complemento
desse ângulo.
Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo nome de
razão, podemos dizer que
co-razão x = razão (90º - x)
Exemplos:
I
a
sen
π
3
fffff
d e
= cos
π
2
fffff
@
π
3
fffff
d e
= cos
3π @ 2π
6
ffffffffffffffffffffffffff
f g
= cos
π
6
fffff
d e
II
a
sen 37º
` a
= cos 90º @ 37º
` a
= cos 53º
` a
Com base no triângulo apresentado na figura A, conclui-se que:
sen = cos e sen = cos
tg = cotg tg = cotg

sec = cossec sec = cossec
tan ou tg Tangente
tg = (co: cateto Oposto)/(ca: cateto adjacente) = co/ca
tg x =
senx
cosx
ffffffffffffff
=
co
h
fffffffff
ca
h
fffffffff
ffffffff
=
co
h
fffffff
A
h
ca
fffffff
=
co
ca
fffffff
Interpretação geométrica no ciclo trigonométrico:
cotou cotg Co-tangente
cot x =
cos x
sen x
ffffffffffffffff
=
1
tg x
ffffffffffff
Sabendo as três primeiras “sen, cos e tg”, o resto não fica difícil de
memorizar veja:
Quando aparecer “Co” pode se para memorização interpretar como:
“inverso de”.
Tg é sen sobre cos, então cotg é o inverso de tg, e fica cos sobre sen.
Geometricamente:
sec Secante
sec x =
1
cos x
fffffffffffffff
“Secante lembra Seno, mas é um sobre cosseno”
Geometricamente
cscou cossec Co-secante
csc x =
1
sen x
ffffffffffffffff
“Co-secante lembra cosseno, mas é um sobre seno”

Interpretação
geométrica das
funções
trigonométricas no
ciclo trigonométrico
sinhou senh Seno hiperbólico
Definimos a seguinte função exponencial como Seno hiperbólico, e suas
demais conseqüentes abaixo.
f:RQ R , sinh x
` a
=
ex
@ e@ x
2
cosh Co-seno hiperbólico
f:RQ 1, + 1
B c
, cosh x
` a
=
ex
+ e@ x
2
tanhou tgh
Tangente
hiperbólica f:RQ @ 1, 1
b c
,
sinh x
` a
cosh x
` a
ffffffffffffffffffffffff
= tgh x
` a
=
ex
@ e@ x
ex
+ e@ x
cothou cotgh
Co-tangente
hiperbólica
f:R
C
Q @1 , @ 1
b c
S 1, + 1
b cD E
,
1
tgh x
` a
fffffffffffffffffffff
= coth x
` a
=
ex
+ e@ x
ex
@ e@ x
sech Secante hiperbólica f:RQ 0, 1
b c
,
1
cosh x
` a
ffffffffffffffffffffffff
= sech x
` a
=
2
ex
+ e@ x
cschou cossech
Co-secante
hiperbólica f:R
C
QR
C
,
1
sinh x
` a
ffffffffffffffffffffff
= csch x
` a
=
2
ex
@ e@ x
Relações Hiperbólicas
Aqui está uma analogia às relações trigonométricas, onde alguns casos
também são verificados nas funções hiperbólicas. Abaixo estão algumas
identidades:
1) cosh
2
x @sinh
2
x = 1

2) sinh @ x
` a
=@ sinh x
` a
3) cosh @ x
` a
= cosh x
` a
4) coshx + sinhx =ex
5) coshx@ sinhx =e@ x
6) sech
2
x = 1 @ tgh
2
x
7) @csch
2
x = 1 @coth
2
x
csch
2
x =coth
2
x@ 1
X

Z
8) sinh x + y
` a
= sinhxA coshy + sinhyA coshx
9) cosh x + y
` a
= coshxA coshy + sinhxA sinhy
10) sinh 2x
` a
= sinh x + x
` a
= 2A sinhxA coshx
11)
cosh 2x
` a
= cosh x + x
` a
=cosh
2
x + sinh
2
x
= 2Asinh
2
x + 1
= 2Acosh
2
x @ 1
X
^^^^^^^
^^^^^^^Z
12) sinh
2
x =
coshx@ 1
2
fffffffffffffffffffffffffffff
13) cosh
2
x =
coshx + 1
2
Relações
Trigonométricas
Relação
fundamental
Partindo da figura A e da relação de Pitágoras:
a² = b² + c² (dividindo por a²)
1 = (b/a)² + (c/a)²
Tomando em relação ao Ângulo B.
Sabemos que sen² x = (c.o./h)² = (b/a)²
e cos² x = (ca/h)² = (c/a)²
sen2
x + cos2
x = 1
Outras relações:
sec2
x = 1 + tg2
x mas cosx ≠ 0
cossec2
x = 1 + cotg2
x mas senx ≠ 0

Relações
Trigonométricas
Em senos
Algumas fórmulas que podem ser úteis na vida dos estudantes de cálculo.
Quando aparece: cos a cos b , isto implica que estamos multiplicando o
co-seno de a pelo co-seno de b, e isto se aplica a todas as fórmulas
apenas mudando as funções em sen, cos, tg, etc.
1: sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b
2: sen(a – b) = sen a cos b – cos a sen b
“Decoreba” para 1 e 2: Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá,
seno a co-seno b, seno b co-seno a. Sinais iguais
3: sen(2a) = sen (a +a) = sen a cos a + sen a cos a
sen(2a) = 2 sen a cos a
4: sena senb =@
1
2
fff
cos a + b
` a
@cos a @b
` aB C
5: sena cos b =
1
2
fff
sen a + b
` a
+ sen a @b
` aB C
Não recomendo a memorização, mas você deve saber que existem essas
relações, saber aplicar e ter em mãos quando for necessário.
Relações
Trigonométricas
Em co-senos
1: cos(a + b) = cos a cos b – sen a sen b
2: cos(a – b) = cos a cos b + sen a sen b
“Decoreba” para 1 e 2: coça-coça, senta-senta.Sinais contrários.
3a: cos(2a) = cos (a + a) = cos a cos a – sen a sen a
cos(2a) = cos²a – sen²a
3b: cos(2a) = 1 – 2sen²a
3c: cos (2a) = 2cos² a – 1
OBS: 3b e 3c são obtidas por substituição da relação fundamental. E a
partir dessas duas relações pode-se chegar a outras por manipulação
algébrica.
4: cos a cos b =
1
2
fff
cos a + b
` a
+ cos a @b
` aB C
Relações
Trigonométricas
Em tangente
1: tg a + b
` a
=
sen a + b
` a
cos a + b
` a
ffffffffffffffffffffffffffffffffff
tg a + b
` a
=
tga + tgb
1 @tgaA tgb
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
^ cos a + b
` a
≠ 0
2: tg a @ b
` a
=
sen a @b
` a
cos a @b
` a
ffffffffffffffffffffffffffffffffff
tg a @b
` a
=
tga @tgb
1 + tgaA tgb
fffffffffffffffffffffffffffffffffffff
^ cos a @b
` a
≠ 0
3: tg 2a
` a
=
2tga
1 @tg2
a
ffffffffffffffffffffffffffff
^ cos 2a
` a
≠ 0

Relações
Trigonométricas
Em metades.
1: sen2 a
2
ffff
d e
=
1 @cos a
2
2: cos2 a
2
ffff
d e
=
1 + cos a
2
fffffffffffffffffffffffffff
3: tg2 a
2
ffff
d e
=
1 @cos a
1 + cosa
^ cosa ≠@ 1
Relações
Trigonométricas
Soma e diferença de
senos
1: senp + senq = 2sen
p + q
2
fffffffffffffffff
d e
A cos
p @ q
2
fffffffffffffffff
d e
2: senp @senq = 2sen
p @ q
2
fffffffffffffffff
d e
A cos
p + q
2
fffffffffffffffff
d e
Relações
Trigonométricas
Soma e diferença de
co-senos
1: cos p + cos q = 2cos
p + q
2
fffffffffffffffff
d e
A cos
p @q
2
fffffffffffffffff
d e
2: cos p @cos q =@2sen
p + q
2
fffffffffffffffff
d e
A sen
p @q
2
fffffffffffffffff
d e
Relações
Trigonométricas
para qualquer
triângulo
Lei dos senos.
Lei dos senos:
A medida de um lado (x) é igual ao dobro do
raio (2R) vezes o seno do ângulo oposto ao
lado (X
^
):
( x = 2RsenX
^
).
Ou também:
a
senA
^
fffffffffffffffff
=
b
senB
^
ffffffffffffffff
=
c
senC
^
ffffffffffffffff
= 2R
Obs: O Triângulo não precisa ser eqüilátero
(ter os lados iguais).
Relações
Trigonométricas
para qualquer
triângulo
Lei dos co-senos.
Lei dos co-senos:
a2
= b
2
+ c2
@ 2bcA cos A
^
b
2
=a2
+ c2
@ 2acA cos B
^
c2
=a2
+ b
2
@ 2abA cosC
^
Mais informações consulte a teoria.
a2
= b
2
+ c2
Teorema de
Pitágoras
Consulte trigonometria.
Relação trigonométrica de Pitágoras para o Triangulo Retângulo (T.R. é
aquele que possui um ângulo de noventa graus ou ângulo reto).
a, b e c são as medidas dos catetos.
Cateto: Cada um dos lados do ângulo reto no triângulo retângulo.
Adjacente: próximo, vizinho, ao lado.
Hipotenusa: em geometria, é o nome do lado do triangulo que esta
oposto ao ângulo reto.

A hipotenusa ao quadrado (a²) é igual (=) a soma dos quadrados dos
catetos (b² + c²).
CO = cateto oposto ao ângulo
CA = cateto adjacente ao ângulo
Outras relações: Altura h:
a.h = b.c
h² = m.n
Projeções m e n:
b² = a.n
c² = a.m
Existem controvérsias quanto a atribuição da fórmula à Pitágoras, pelo fato dele
próprio não ter deixado nada por escrito, o que se tem são relatos de outros
estudiosos daquela época, que podem ser alterações do trabalho original, de
qualquer forma conhecemos esse teorema e assim nos lembramos por “teorema de
Pitágoras”.
Polígonos regulares Tabela de polígonos
Polígonos (figuras geométricas com n número de lados iguais). Obs:
Polígono regular é todo polígono convexo que tem os lados congruentes
e os ângulos coincidentes (ângulos iguais).
Número de lados, Polígono:
3 - Triangulo
4 - Quadrilátero
5 - Pentágono
6 - Hexágono
7 - Heptágono
8 – Octógono
10 - Decágono
11 - Undecágono
12 - Dodecágono
15 - Pentadecágono
20 – Icoságono
d =
nA n @ 3
` a
2
Número de
diagonais.
Polígonos
A diagonal é a reta que liga vértices não consecutivos:
O número de diagonais (d) é dado por:
d =
nA n @ 3
` a
2
(n) é o número de lados do polígono.
Para este polígono temos 5 lados, e substituindo na fórmula temos o
número de diagonais que é 5. Mas nem sempre o número de lados é igual

ao número de diagonais.
As diagonais desde pentágono são as retas coloridas.
Si = n @ 2
` a
A 180º
Soma de ângulos
internos.
Polígonos
Essa fórmula determina a soma dos ângulos internos de um polígono
convexo, mas não necessariamente regular.
Si = n@ 2
` a
A 180º
i^ Ângulo interno
Em polígonos regulares, como todos os ângulos são coincidentes,
podemos calcular cada ângulo interno utilizando a formula da soma de
ângulos internos (Si ) dividida pelo número de lados (n) do polígono.
i^
=
Si
n
ffffff
[ i^
=
n @ 2
` a
A 180º
n
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
AB
BC
ffffffffff
=
DE
EF
ffffffffff
Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas (a, b, c) determina, sobre duas transversais
quaisquer, que segmentos de uma (
AB
BC
ffffffffff
) são proporcionais aos segmentos
correspondentes da outra (
DE
EF
ffffffffff
).
a // b // c então
AB
BC
ffffffffff
=
DE
EF
ffffffffff
∆∆∆∆ABC ~ ∆∆∆∆DEF
Semelhança de
triângulos
O til (~) neste caso pode ser lido como “é semelhante”
Os triângulos são semelhantes se as seguintes condições forem
verificadas:
1 – Os ângulos internos correspondentes são iguais.
2 – A razão entre os lados homólogos forem proporcionais.
Homólogo: lados, ângulos, diagonais, vértices e outros elementos que se
correspondem ordenadamente.
Então, em linguagem matemática resumimos:

∆ABC~∆DEF ^
A^
= D^
B
^
= E
^
C
^
= F
^
X
^^^^
^^^^Z
e
a
d
ffff
=
b
e
ffff
=
c
f
fff
= k
Decorrência:
No Triângulo ABC, se PQ
ffffffffff
// BC
ffffffffff
, então ∆∆∆∆APQ ~ ∆∆∆∆ABC
∞ Infinito
É um "oito deitado" e representa o infinito.
Este símbolo foi criado pelo matemático Inglês John Wallis (1616-1703)
para representar a "aritmética Infinitorum".
Infinito não é um número, é um conceito, pode ser visto como aquilo que
esta acima de todos os números, e que contém todos e além.
x Q1
Quando dizemos que x tende ao infinito, queremos dizer que ele cresce
sempre, sem ter um limite, independente do sinal, positivo ou negativo,
cresce nos dois sentidos simultaneamente.
x Q + 1
Se for dito que x tende a mais infinito, então ele cresce sempre, somente
na parte positiva.
∝ Proporcional à À definir.
f :A Q B Função de A em B
f = função
: = de
A = Conjunto de saída (Domínio)
→ = em
B = Conjunto de chegada (Contra-domínio)
Lê-se: “ f de A em B ”.
Ou interpretasse como associação, “Se associa ao elemento”.
Exemplo de utilização em funções:
f : R→ R
x→y | y = a.x + b, a≠0
Lê-se: F de R em R, associa a cada x o elemento y igual à “a” vezes “x”
mais “b” com “a” diferente de zero.
f x
` a
Função de x
Consulte a teoria de Funções:
Lê-se: “f” de “x”
Exemplo: f(x) = ax + b (Lê-se: “f” de “x” é igual a “ax” mais “b”)
Essa é uma função de primeiro grau, ou também chamada de função afim
quando b for diferente de zero.

Podendo variar entre f, f, F ... e não se restringindo à x, podendo ser y, z,
t, e qualquer outra letra.
lim Limite
Verificar tabela de limites no índice de Calculo Dif. E integral.
Ex:
Indica que 3 é o limite da função 2x+1 quando x tende a 1.
f. Derivada
f ’ é a notação para a derivada de uma função, outras notações também
são usadas freqüentemente:
Se y é uma função de x y = f x
` ab c
, então a derivada de x é indicada por:
f. x
` a
=
dy
dx
ffffffff
= Dx y
A definição:
f. x
` a
= lim
∆x Q 0
f x + ∆x
` a
@ f x
` a
∆x
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
∂ , lê-se: partial d (d parcial), partial differential (derivada parcial).
Quando trata-se de uma função de várias variáveis, o símbolo de derivação muda.
Ex: seja u = f(x,y,z) então a derivada é indicada em relação a que variável quer-se
derivar a função:
∂u
∂x
ffffffff
,
∂u
∂y
ffffffff
,
∂u
∂z
ffffffff
que indicam a derivada da função f em relação à x, à y , à
z , respectivamente. Existem outros casos de aplicação.
∫ Integral
∫ , S de Soma.
O símbolo da integral é um S estilizado (e não um I como pode se
pensar), pelo fato da integral ser uma soma (Cálculo 2). Inicialmente a
integral é vista como a inversa da derivada, a Anti-derivada (cálculo 1), e
depois ela recebe uma nova cara, que é a soma de infinitésimos para o
cálculo de áreas e volumes, verifique as noções intuitivas e a definição
formal por um livro.
Existem várias regras de integração. Exemplo de uma das regras:
Lê-se: A integral de seno de x dx é "menos" cosseno de x"mais" a
constante.
Verifique a Tabela de integrais imediatas no site. (para o cálculo 1)
Omitimos a bibliografia. Encontrou erro? Faça sua sugestão, entre em contato pelo menu (?) SOBRE O SITE em www.guidg.hd1.com.br

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