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         Apostila de Matemática Básica
                                   Parte 2




Prof. Ms. Rodrigo Campagnolo


                                   Toledo, 2011



                                                                  1
1. OPERAÇÕES ALGÉBRICAS


1.1 Expressões algébricas
    São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números.
    ‫ܾܽ4 − ݔܽ5 :ݔܧ‬


1.2 Operações com expressões algébricas
    a) Soma e subtração algébrica: para somar ou subtrair termos semelhantes, repete-se a
      parte literal e opera-se com os coeficientes.
      ‫ ݔ3 :݋݈݌݉݁ݔܧ‬ଶ ‫ ݕݔ4 − ݕ‬ଶ + 7‫ ݕݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬ଶ ‫ ݔ8 = ݕ‬ଶ ‫ ݕݔ3 + ݕ‬ଶ
    Simplifique a expressão em cada caso:
      01) 19‫ ݔ‬ଷ − 34‫ ݔ‬ଷ =
      02) 4‫ ݔ‬ହ ‫ ݔ6 − ଺ ݕ‬ହ ‫= ଺ ݕ‬
      03) 6‫ ݔ‬ଷ + 2‫ ݔ‬ଶ − 3‫ ݔ2 + 1 + ݔ‬ଷ − 4‫ ݔ‬ଶ + 2‫= 2 − ݔ‬
      04) 23‫ ݔ‬ହ − 3‫ ݔ‬ଶ + 7‫ ݕ − ݕ‬ଷ + 3 − (−9‫ ݕ4 + ݕ‬ଷ − ‫ ݔ‬ହ ) =


    b) Multiplicação: multiplicam-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do
      segundo fator.
      ‫ ݔ3( :݋݈݌݉݁ݔܧ‬ଶ ‫ ݔ6 = )ݕݔ2( × )ݕ‬ଷ ‫ ݕ‬ଶ
    Efetue:
      01) 3‫ ݐ‬ଶ (4‫ ݐ‬ଷ − 12‫= )3 + ݐ‬
      02) (4ܽ + ܾ)(9ܽ − 7ܾ + 2) =


    c) Divisão: dividem-se cada termo do dividendo pelo monômio divisor.
      ‫ܽ24( :݋݈݌݉݁ݔܧ‬ଷ ܾ‫ ݔ‬ସ ) ÷ (7ܽ‫ ݔ‬ଶ ) = 6ܽଶ ܾ‫ ݔ‬ଶ
    Efetue:
      01) (4‫ ݐ‬ଷ ‫ ݕ‬ଶ ) ÷ (4‫ ݐ‬ଶ ‫= )ݕ‬


1.3 Produtos Notáveis
    a) Quadrado da soma de dois termos:




    b) Quadrado da diferença de dois termos:



                                                                                           2
c) Produto da soma de dois termos por sua diferença:




    d) Cubo de uma soma e de uma diferença:




1.4 Fatoração
    Fatorar uma expressão significa escrevê-la como um produto. Veremos alguns casos que
nos interessam.
    Caso 1. ࢞૛ + ૛ࢇ࢞ + ࢇ૛ = (࢞ + ࢇ)૛ . Típico caso para expressões de segundo grau
quando ∆= ૙, sendo ∆= ࢈૛ − ૝ࢇࢉ
    a) Para fatorar 4‫ ݔ‬ଶ + 12‫ ,9 + ݔ‬observemos que 4‫ ݔ‬ଶ = (2‫) ݔ‬ଶ e que 9 = 3ଶ e assim,
                               4‫ ݔ‬ଶ + 12‫)3 + ݔ2( = 9 + ݔ‬ଶ


    b) Para fatorar 36‫ ݔ‬ଶ − 12‫ ,1 + ݔ‬observemos que 36‫ ݔ‬ଶ = (6‫) ݔ‬ଶ e que 1 = 1ଶ e assim,
                               36‫ ݔ‬ଶ − 12‫)1 − ݔ6( = 1 + ݔ‬ଶ


    Fatore:
       01) 9‫ ݔ‬ଶ − 6‫ ݔ‬ଷ + 1 =




    Caso 2.     ࢞૛ + (࢓ + ࢔)࢞ + ࢓࢔ = (࢞ + ࢓)(࢞ + ࢔). Típico caso para expressões de
segundo grau quando ∆> ૙, sendo ∆= ࢈૛ − ૝ࢇࢉ
    a) Para fatorar ‫ ݔ‬ଶ + 8‫ ,21 + ݔ‬devemos achar m e n tais que ݉݊ = 12 ݁ ݉ + ݊ = 8.
       Tentemos achar m e n inteiros. Como 12 tem fatores 1 e 2, 2 e 6, 3 e 4, vemos que 2
       e 6 somam 8, logo tomamos ݉ = 2 ݁ ݊ = 6 . Então,
                             ‫ ݔ‬ଶ + 8‫)6 + ݔ()2 + ݔ( = 21 + ݔ‬


    Fatore:
       01) ‫ ݔ‬ଶ + ‫= 2 − ݔ‬




                                                                                         3
Caso 3. ࢞૛ − ࢇ૛ = (࢞ − ࢇ)(࢞ + ࢇ)
a) Para fatorar 4‫ ݔ‬ଶ − 9, escrevemos
                          4‫ ݔ‬ଶ − 9 = (2‫)3 + ݔ2()3 − ݔ‬


Fatore:
  01)     ‫ݔ‬ଶ − 1 =




Caso 4. ࢞૜ − ࢇ૜ = (࢞ − ࢇ)(࢞૛ + ࢇ࢞ + ࢇ૛ )
a) Para fatorar 8‫ ݔ‬ଷ − 27, escrevemos
                       8‫ ݔ‬ଷ − 27 = (2‫ ݔ4()3 − ݔ‬ଶ + 6‫)9 + ݔ‬


Fatore:
01) 125 − ‫ ݔ‬ଷ =




Caso 5. ࢞૜ − ࢇ૜ = (࢞ − ࢇ)(࢞૛ + ࢇ࢞ + ࢇ૛ )
a) Para fatorar 8‫ ݔ‬ଷ + 27, escrevemos
                       8‫ ݔ‬ଷ + 27 = (2‫ ݔ4()3 − ݔ‬ଶ + 6‫)9 + ݔ‬


Fatore:
01) ‫ ݔ‬ଷ + 216 =




Particularidades.
Fatore:
01) 2‫ ݔ‬ଶ − 11‫= 5 + ݔ‬




02) 3‫ ݔ‬ଶ − ‫= 4 − ݔ‬




                                                             4
2. EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU


          Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às
letras.




          Os valores atribuídos ás incógnitas que tornam verdadeiras as igualdades denominam-
se raízes da equação.


2.1 Resolução de uma equação do primeiro grau com duas incógnitas
          No caso de uma equação do 1º grau a uma incógnita, consegue-se resolvê-la isolando-
se a incógnita no 1º membro, transferindo-se para o 2º membro os termos que não contenham
a incógnita efetuando-se a operação inversa.




Exercícios:




                                                                                               5
3. EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
      Equação do segundo grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo:



3.1 Resolvendo equações do segundo grau
      1° Caso:

      2° Caso:




      3° Caso:




      4° Caso: A resolução da equação completa de segundo grau, é obtida utilizando-se a
fórmula de BHASKARA.




BIBLIOGRAFIA

BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. São Paulo: MAKRON Books, 1999.

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações : ensino médio e preparação
para educação superior. São Paulo: Ática, 1999. 3 v.

GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy.
Matemática fundamental: 2. Grau. São Paulo: FTD, 1994.


                                                                                           6

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Apostila Matematica Básica Parte 2

  • 1. Pontifícia Universidade Católica do Paraná Campus de Toledo Curso de Agronomia Apostila de Matemática Básica Parte 2 Prof. Ms. Rodrigo Campagnolo Toledo, 2011 1
  • 2. 1. OPERAÇÕES ALGÉBRICAS 1.1 Expressões algébricas São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números. ‫ܾܽ4 − ݔܽ5 :ݔܧ‬ 1.2 Operações com expressões algébricas a) Soma e subtração algébrica: para somar ou subtrair termos semelhantes, repete-se a parte literal e opera-se com os coeficientes. ‫ ݔ3 :݋݈݌݉݁ݔܧ‬ଶ ‫ ݕݔ4 − ݕ‬ଶ + 7‫ ݕݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬ଶ ‫ ݔ8 = ݕ‬ଶ ‫ ݕݔ3 + ݕ‬ଶ Simplifique a expressão em cada caso: 01) 19‫ ݔ‬ଷ − 34‫ ݔ‬ଷ = 02) 4‫ ݔ‬ହ ‫ ݔ6 − ଺ ݕ‬ହ ‫= ଺ ݕ‬ 03) 6‫ ݔ‬ଷ + 2‫ ݔ‬ଶ − 3‫ ݔ2 + 1 + ݔ‬ଷ − 4‫ ݔ‬ଶ + 2‫= 2 − ݔ‬ 04) 23‫ ݔ‬ହ − 3‫ ݔ‬ଶ + 7‫ ݕ − ݕ‬ଷ + 3 − (−9‫ ݕ4 + ݕ‬ଷ − ‫ ݔ‬ହ ) = b) Multiplicação: multiplicam-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do segundo fator. ‫ ݔ3( :݋݈݌݉݁ݔܧ‬ଶ ‫ ݔ6 = )ݕݔ2( × )ݕ‬ଷ ‫ ݕ‬ଶ Efetue: 01) 3‫ ݐ‬ଶ (4‫ ݐ‬ଷ − 12‫= )3 + ݐ‬ 02) (4ܽ + ܾ)(9ܽ − 7ܾ + 2) = c) Divisão: dividem-se cada termo do dividendo pelo monômio divisor. ‫ܽ24( :݋݈݌݉݁ݔܧ‬ଷ ܾ‫ ݔ‬ସ ) ÷ (7ܽ‫ ݔ‬ଶ ) = 6ܽଶ ܾ‫ ݔ‬ଶ Efetue: 01) (4‫ ݐ‬ଷ ‫ ݕ‬ଶ ) ÷ (4‫ ݐ‬ଶ ‫= )ݕ‬ 1.3 Produtos Notáveis a) Quadrado da soma de dois termos: b) Quadrado da diferença de dois termos: 2
  • 3. c) Produto da soma de dois termos por sua diferença: d) Cubo de uma soma e de uma diferença: 1.4 Fatoração Fatorar uma expressão significa escrevê-la como um produto. Veremos alguns casos que nos interessam. Caso 1. ࢞૛ + ૛ࢇ࢞ + ࢇ૛ = (࢞ + ࢇ)૛ . Típico caso para expressões de segundo grau quando ∆= ૙, sendo ∆= ࢈૛ − ૝ࢇࢉ a) Para fatorar 4‫ ݔ‬ଶ + 12‫ ,9 + ݔ‬observemos que 4‫ ݔ‬ଶ = (2‫) ݔ‬ଶ e que 9 = 3ଶ e assim, 4‫ ݔ‬ଶ + 12‫)3 + ݔ2( = 9 + ݔ‬ଶ b) Para fatorar 36‫ ݔ‬ଶ − 12‫ ,1 + ݔ‬observemos que 36‫ ݔ‬ଶ = (6‫) ݔ‬ଶ e que 1 = 1ଶ e assim, 36‫ ݔ‬ଶ − 12‫)1 − ݔ6( = 1 + ݔ‬ଶ Fatore: 01) 9‫ ݔ‬ଶ − 6‫ ݔ‬ଷ + 1 = Caso 2. ࢞૛ + (࢓ + ࢔)࢞ + ࢓࢔ = (࢞ + ࢓)(࢞ + ࢔). Típico caso para expressões de segundo grau quando ∆> ૙, sendo ∆= ࢈૛ − ૝ࢇࢉ a) Para fatorar ‫ ݔ‬ଶ + 8‫ ,21 + ݔ‬devemos achar m e n tais que ݉݊ = 12 ݁ ݉ + ݊ = 8. Tentemos achar m e n inteiros. Como 12 tem fatores 1 e 2, 2 e 6, 3 e 4, vemos que 2 e 6 somam 8, logo tomamos ݉ = 2 ݁ ݊ = 6 . Então, ‫ ݔ‬ଶ + 8‫)6 + ݔ()2 + ݔ( = 21 + ݔ‬ Fatore: 01) ‫ ݔ‬ଶ + ‫= 2 − ݔ‬ 3
  • 4. Caso 3. ࢞૛ − ࢇ૛ = (࢞ − ࢇ)(࢞ + ࢇ) a) Para fatorar 4‫ ݔ‬ଶ − 9, escrevemos 4‫ ݔ‬ଶ − 9 = (2‫)3 + ݔ2()3 − ݔ‬ Fatore: 01) ‫ݔ‬ଶ − 1 = Caso 4. ࢞૜ − ࢇ૜ = (࢞ − ࢇ)(࢞૛ + ࢇ࢞ + ࢇ૛ ) a) Para fatorar 8‫ ݔ‬ଷ − 27, escrevemos 8‫ ݔ‬ଷ − 27 = (2‫ ݔ4()3 − ݔ‬ଶ + 6‫)9 + ݔ‬ Fatore: 01) 125 − ‫ ݔ‬ଷ = Caso 5. ࢞૜ − ࢇ૜ = (࢞ − ࢇ)(࢞૛ + ࢇ࢞ + ࢇ૛ ) a) Para fatorar 8‫ ݔ‬ଷ + 27, escrevemos 8‫ ݔ‬ଷ + 27 = (2‫ ݔ4()3 − ݔ‬ଶ + 6‫)9 + ݔ‬ Fatore: 01) ‫ ݔ‬ଷ + 216 = Particularidades. Fatore: 01) 2‫ ݔ‬ଶ − 11‫= 5 + ݔ‬ 02) 3‫ ݔ‬ଶ − ‫= 4 − ݔ‬ 4
  • 5. 2. EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às letras. Os valores atribuídos ás incógnitas que tornam verdadeiras as igualdades denominam- se raízes da equação. 2.1 Resolução de uma equação do primeiro grau com duas incógnitas No caso de uma equação do 1º grau a uma incógnita, consegue-se resolvê-la isolando- se a incógnita no 1º membro, transferindo-se para o 2º membro os termos que não contenham a incógnita efetuando-se a operação inversa. Exercícios: 5
  • 6. 3. EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU Equação do segundo grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo: 3.1 Resolvendo equações do segundo grau 1° Caso: 2° Caso: 3° Caso: 4° Caso: A resolução da equação completa de segundo grau, é obtida utilizando-se a fórmula de BHASKARA. BIBLIOGRAFIA BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. São Paulo: MAKRON Books, 1999. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações : ensino médio e preparação para educação superior. São Paulo: Ática, 1999. 3 v. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática fundamental: 2. Grau. São Paulo: FTD, 1994. 6