A apostila trata de matemática básica para o curso de Agronomia e aborda operações algébricas, equações do primeiro e segundo grau. A primeira parte explica expressões algébricas, operações com elas, produtos notáveis e fatoração. A segunda parte trata da resolução de equações do primeiro grau e a terceira, de equações do segundo grau, incluindo o uso da fórmula de Bhaskara.

1. Pontifícia Universidade Católica do Paraná
Campus de Toledo
Curso de Agronomia
Apostila de Matemática Básica
Parte 2
Prof. Ms. Rodrigo Campagnolo
Toledo, 2011
1

2. 1. OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
1.1 Expressões algébricas
São indicações de operações envolvendo letras ou letras e números.
‫ܾܽ4 − ݔܽ5 :ݔܧ‬
1.2 Operações com expressões algébricas
a) Soma e subtração algébrica: para somar ou subtrair termos semelhantes, repete-se a
parte literal e opera-se com os coeficientes.
‫ ݔ3 :݋݈݌݉݁ݔܧ‬ଶ ‫ ݕݔ4 − ݕ‬ଶ + 7‫ ݕݔ‬ଶ + 5‫ ݔ‬ଶ ‫ ݔ8 = ݕ‬ଶ ‫ ݕݔ3 + ݕ‬ଶ
Simplifique a expressão em cada caso:
01) 19‫ ݔ‬ଷ − 34‫ ݔ‬ଷ =
02) 4‫ ݔ‬ହ ‫ ݔ6 − ଺ ݕ‬ହ ‫= ଺ ݕ‬
03) 6‫ ݔ‬ଷ + 2‫ ݔ‬ଶ − 3‫ ݔ2 + 1 + ݔ‬ଷ − 4‫ ݔ‬ଶ + 2‫= 2 − ݔ‬
04) 23‫ ݔ‬ହ − 3‫ ݔ‬ଶ + 7‫ ݕ − ݕ‬ଷ + 3 − (−9‫ ݕ4 + ݕ‬ଷ − ‫ ݔ‬ହ ) =
b) Multiplicação: multiplicam-se cada termo do primeiro fator por todos os termos do
segundo fator.
‫ ݔ3( :݋݈݌݉݁ݔܧ‬ଶ ‫ ݔ6 = )ݕݔ2( × )ݕ‬ଷ ‫ ݕ‬ଶ
Efetue:
01) 3‫ ݐ‬ଶ (4‫ ݐ‬ଷ − 12‫= )3 + ݐ‬
02) (4ܽ + ܾ)(9ܽ − 7ܾ + 2) =
c) Divisão: dividem-se cada termo do dividendo pelo monômio divisor.
‫ܽ24( :݋݈݌݉݁ݔܧ‬ଷ ܾ‫ ݔ‬ସ ) ÷ (7ܽ‫ ݔ‬ଶ ) = 6ܽଶ ܾ‫ ݔ‬ଶ
Efetue:
01) (4‫ ݐ‬ଷ ‫ ݕ‬ଶ ) ÷ (4‫ ݐ‬ଶ ‫= )ݕ‬
1.3 Produtos Notáveis
a) Quadrado da soma de dois termos:
b) Quadrado da diferença de dois termos:
2

3. c) Produto da soma de dois termos por sua diferença:
d) Cubo de uma soma e de uma diferença:
1.4 Fatoração
Fatorar uma expressão significa escrevê-la como um produto. Veremos alguns casos que
nos interessam.
Caso 1. ࢞૛ + ૛ࢇ࢞ + ࢇ૛ = (࢞ + ࢇ)૛ . Típico caso para expressões de segundo grau
quando ∆= ૙, sendo ∆= ࢈૛ − ૝ࢇࢉ
a) Para fatorar 4‫ ݔ‬ଶ + 12‫ ,9 + ݔ‬observemos que 4‫ ݔ‬ଶ = (2‫) ݔ‬ଶ e que 9 = 3ଶ e assim,
4‫ ݔ‬ଶ + 12‫)3 + ݔ2( = 9 + ݔ‬ଶ
b) Para fatorar 36‫ ݔ‬ଶ − 12‫ ,1 + ݔ‬observemos que 36‫ ݔ‬ଶ = (6‫) ݔ‬ଶ e que 1 = 1ଶ e assim,
36‫ ݔ‬ଶ − 12‫)1 − ݔ6( = 1 + ݔ‬ଶ
Fatore:
01) 9‫ ݔ‬ଶ − 6‫ ݔ‬ଷ + 1 =
Caso 2. ࢞૛ + (࢓ + ࢔)࢞ + ࢓࢔ = (࢞ + ࢓)(࢞ + ࢔). Típico caso para expressões de
segundo grau quando ∆> ૙, sendo ∆= ࢈૛ − ૝ࢇࢉ
a) Para fatorar ‫ ݔ‬ଶ + 8‫ ,21 + ݔ‬devemos achar m e n tais que ݉݊ = 12 ݁ ݉ + ݊ = 8.
Tentemos achar m e n inteiros. Como 12 tem fatores 1 e 2, 2 e 6, 3 e 4, vemos que 2
e 6 somam 8, logo tomamos ݉ = 2 ݁ ݊ = 6 . Então,
‫ ݔ‬ଶ + 8‫)6 + ݔ()2 + ݔ( = 21 + ݔ‬
Fatore:
01) ‫ ݔ‬ଶ + ‫= 2 − ݔ‬
3

4. Caso 3. ࢞૛ − ࢇ૛ = (࢞ − ࢇ)(࢞ + ࢇ)
a) Para fatorar 4‫ ݔ‬ଶ − 9, escrevemos
4‫ ݔ‬ଶ − 9 = (2‫)3 + ݔ2()3 − ݔ‬
Fatore:
01) ‫ݔ‬ଶ − 1 =
Caso 4. ࢞૜ − ࢇ૜ = (࢞ − ࢇ)(࢞૛ + ࢇ࢞ + ࢇ૛ )
a) Para fatorar 8‫ ݔ‬ଷ − 27, escrevemos
8‫ ݔ‬ଷ − 27 = (2‫ ݔ4()3 − ݔ‬ଶ + 6‫)9 + ݔ‬
Fatore:
01) 125 − ‫ ݔ‬ଷ =
Caso 5. ࢞૜ − ࢇ૜ = (࢞ − ࢇ)(࢞૛ + ࢇ࢞ + ࢇ૛ )
a) Para fatorar 8‫ ݔ‬ଷ + 27, escrevemos
8‫ ݔ‬ଷ + 27 = (2‫ ݔ4()3 − ݔ‬ଶ + 6‫)9 + ݔ‬
Fatore:
01) ‫ ݔ‬ଷ + 216 =
Particularidades.
Fatore:
01) 2‫ ݔ‬ଶ − 11‫= 5 + ݔ‬
02) 3‫ ݔ‬ଶ − ‫= 4 − ݔ‬
4

5. 2. EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados valores atribuídos às
letras.
Os valores atribuídos ás incógnitas que tornam verdadeiras as igualdades denominam-
se raízes da equação.
2.1 Resolução de uma equação do primeiro grau com duas incógnitas
No caso de uma equação do 1º grau a uma incógnita, consegue-se resolvê-la isolando-
se a incógnita no 1º membro, transferindo-se para o 2º membro os termos que não contenham
a incógnita efetuando-se a operação inversa.
Exercícios:
5

6. 3. EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
Equação do segundo grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo:
3.1 Resolvendo equações do segundo grau
1° Caso:
2° Caso:
3° Caso:
4° Caso: A resolução da equação completa de segundo grau, é obtida utilizando-se a
fórmula de BHASKARA.
BIBLIOGRAFIA
BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. São Paulo: MAKRON Books, 1999.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações : ensino médio e preparação
para educação superior. São Paulo: Ática, 1999. 3 v.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy.
Matemática fundamental: 2. Grau. São Paulo: FTD, 1994.
6