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Matemática para Concursos 1
?
Índice
Conjuntos numéricos..........2
Intervalos reais..........4
Razão..........5
Escalas..........6
Proporção..........6
Números diretamente e proporcionais..........7
Grandezas diretamente e inversamente proporcionais..........9
Regra de três..........10
Procentagem..........14
Equações de 1º grau..........15
Equações de 2º grau..........18
Inequações de 1º grau..........22
Inequações de 2º grau..........23
Sistemas lineares..........24
Funções..........26
Função de 1º grau..........32
Função de 2º grau..........33
Equação exponencial..........38
Função exponencial..........38
Logaritmos..........39
Sistema de medidas de tempo.........41
Sistema decimal de medidas.........41
Progressão aritmética (P.A.)..........42
Progressão geométrica (P.G.)..........47
Princípios de contagem..........55
Arranjo simples..........55
Permutação simples..........56
Combinação simples..........57
Noções de probabilidade..........58
Noções de estatística..........62
Gráficos de barras e colunas..........62
Médias..........63
Mediana..........65
Moda..........65
Desvio..........65
Variância..........65
Desvio padrão..........65
Geometria plana..........66
Teorema de Tales..........66
Razões trigonométricas..........67
Semelhança de polígonos..........69
Quadriláteros..........70
Geometria espacial..........73
Poliedros..........76
Prismas..........77
Paralelepípedo..........78
Cilindro..........81
Cone..........82
Pirâmide..........83
Troncos..........84
Esfera..........85
Juros simples..........91
Descontos simples..........97
Juros compostos..........98
Descontos compostos..........101
Rendas certas..........104
Sistemas de amortização..........106
Matemática para Concursos 2
“Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela
mesma. Em verdade, o que proporciona o máximo prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a posse, mas a aquisição, não é
a presença, mas o ato de atingir a meta.”
Carl Friedrich Gauss
CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( IN )
N= {0,1,2,3,4,5,...}
Um subconjunto importante de IN é o conjunto N* :
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ..}
o zero foi excluído do conjunto N.
Podemos considerar os números naturais ordenados sobre
uma reta, conforme o esquema abaixo.
7 1211109861 54320
Importante:
O asterisco (*) representa a eliminação do elemento zero (0)
do conjunto.
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( Z )
Z = {... –3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, ...}
Além do conjunto IN, convém destacar os seguintes
subconjuntos de Z:
Z* = Z – { 0 }
Z + = conjunto dos números inteiros não negativos
= {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Z _ = conjunto dos números inteiros não positivos
= {..., - 4, -3, -2, -1, 0}
*
Z = conjunto dos números inteiros positivos
={1, 2, 3, 4, 5, ...}
*
Z = conjunto dos números inteiros negativos
= {..., -4, -3, -2, -1}
Observe que Z + = IN
Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre
uma reta conforme abaixo.
1 654320-5 -1-2-3-4-6
Importante:
1) A _ parte não positiva do conjunto
2) A + parte não negativa do conjunto
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Vamos acrescentar as frações positivas e negativas aos
números inteiros e teremos os números racionais.
Entao: -2, -5/4 , -1, -1/3, 0, 3/5, 1, 3/2, por exemplo, são
números racionais.
Todo número racional pode ser colocado em forma
a
b
com a
Z, b Z e b 0.
Exemplos:
-2 = -2/1 = -4/2 = -6/3 0 = 0/1 = 0/2 = 0/3
-5/4 = 5/-4 1 = 1/1 = 2/2 = 3/3
Assim, podemos escrever:
Q = {x | x =
a
b
, com a Z, b Z e b 0}
É interessante considerar a representação decimal de um
número racional
a
b
, que se obtém dividindo-se a por b:
Então, toda decimal exata ou periódica pode ser representada
na forma de número racional
a
b
.
1 5 3
0 5
2 10 6
,
1 3 12
0 3333
3 9 36
, ....
Podemos representar geometricamente os números racionais
sobre uma reta, conforme o esquema abaixo.
1 654320-5 -1-2-3-4-6
1
2
1
3
- 12
5
37
10
- 21
5
28
5
8
3
-
É importante lembrar que:
entre dois inteiros nem sempre existe outro inteiro ;
entre dois racionais sempre existe outro racional.
1
0 5
2
,
5
1 25
4
,
75
3 75
20
,
Estes exemplos se referem às decimais exatas ou
finitas.
1
0 3333 0 3
3
, .... ,
7
11666 116
6
, ... ,
6
0 857142857142 0 857142
7
, ... ,
Estes exemplos se referem às decimais periódicas
ou infinitas.
Matemática para Concursos 3
Exemplos:
entre 1 e 5/4 existe 6/5
entre 6/5 e 3/2 existe 5/4
Dizemos que o conjunto dos números racionais é denso. Isso
não significa que preencha todos os pontos da reta, conforme
veremos a seguir.
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ( I )
Consideremos, por exemplo, os números 2 e 3 .
Vamos determinar a sua representação decimal:
2 = 1,4142135...
3 = 1,7320508 ...
Observamos então, que existem decimais infinitas não
periódicas, às quais damos o nome de números irracionais
,que não podem ser escritos na forma
a
b
.
Observe a seguinte construção que nos mostra a
representação geométrica de um número irracional :
1 2
1
Outros exemplos :
- 2 = -1,414213...
- 5 = -2,236068....
e = 2,718...(base do logaritmo Natural)
= 3,1415926535...
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ( R )
Dados os conjuntos dos números Racionais ( Q ) e irracionais
( I ), define-se o conjunto dos números reais como:
-
ouIR Q I x / x Q x I
Assim, são números reais:
os números naturais (N);
os números inteiros (Z) ;
os números racionais(Q) ;
os números irracionais ( I ).
Como subconjuntos importantes de R, temos:
*
R = R – {0} (reais não nulos)
R = conjunto dos números reais não negativos.
R = conjunto dos números reais não positivos.
*
R = conjunto dos números reais positivos.
*
R = conjuntos dos números reais negativos.
Como os números reais resultam da união dos números
racionais com os números irracionais, pode-se estabelecer
uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta e os
números reais: cada ponto representará um único número
real e cada número real será representado por um único
ponto.
A esta reta nos referimos como reta real.
Atenção:
Existem 2 exceções nos R ,a saber:
a) divisão por zero;
b) raízes de índice par com radicando negativo.
O diagrama abaixo ilustra a disposição dos
conjuntos.
INTERVALOS
Intervalos são subconjuntos de R, determinados por dois
números reais a e b, com ba . Os intervalos podem ser:
Fechados
Quando suas extremidades pertencem ao conjunto. A
representação de intervalo fechado é feita com colchetes
virados para dentro.
Ex: 5,252/ xIRx
Abertos
Quando suas extremidades não pertencem ao conjunto. A
representação deste intervalo pode ser feita de duas
maneiras: com colchetes virados para fora ou com
parênteses.
Ex: 5,25,252/ xIRx
Semi-Abertos (à direita ou à esquerda)
Quando apenas uma das extremidades não pertence ao
conjunto.
Ex: 5,25,252/ xIRx
5,25,252/ xIRx
Infinitos
Quando uma das extremidades é infinito.
Ex: ,55/ xIRx
2,2/ xIRx
Matemática para Concursos 4
Obs:
Subconjuntos importantes de IR
1. IRxIRx ,00/ Conjunto dos números
reais não negativos
2. IRxIRx 0,0/ Conjunto dos números
reais não positivos
3.
*
,00/ IRxIRx Conjunto dos números
reais positivos
4.
*
0,0/ IRxIRx Conjunto dos números
reais negativos
OPERAÇÕES COM INTERVALOS
Em alguns casos, como na resolução de inequações, se faz
necessário à união ou intersecção de intervalos. Nestes
casos, é sempre interessante que se faça uma representação
geométrica para realizar a operação, lembrando sempre que
os intervalos também são conjuntos e por isso as definições
das operações entre conjuntos continuam valendo.
Exemplos:
Sejam os intervalos 8,0A , 9,4B e
93/ xIRxC determine:
a) CBA
0 8
0 9
A
4 9
B
AUB
3 9
C
3 9
(A B)U C
b) BCA
0 8
A
3 9
C
0 3
A-C
4 9
B
4 90 3
(A-C)UB
c) ACB
3 9
C
4 9
B
4
B
0 8
A
C
B C( )-A
9
8 9
Exercícios
01) Se 0 1 2 3 4 5 6 7A , , , , , , , ,.... , então a é equivalente a:
a)
*
x Q
b) x R
c) 0 7x N / x
d) x Z
e) 0 7x I / x
02) Resolva:
a)
1 2
2 3
b) 0
6 =
c) 1
3
d)
3
1
2
e)
23
a
f)
5 3
a a
g)
2
2
h) 2 3
5 5
i)
2
1
3
j)
3
0 4
5
,
l)
23
2
m)
0
7
9
n)
1
2
o)
2
1 3 1
1
3 10 3
p)
1 1
4 5 1 0 1
2 4
, . ,
q)
2 3
3 1 1
2 1
4 5
.
r)
1 2
3
2 2
2
s)
1 2
2 31 1
2 2
2 2
.
03)Dados os números racionais
12 22 16
5 3
5 9 3
; ; e ,
podemos afirmar que:
a)
22 12
9 5
b)
22 12
9 5
c)
12 22
5 9
d)
12 22
5 9
Matemática para Concursos 5
04) O maior entre os números
2 2 2 3
3 3 2 2
4 4 5 5
e, , é:
a)
2
3
4
b)
2
3
4
c)
2
2
5
d)
3
2
5
05) Transformando 6000 em potência de 10, temos:
06) Resolva:
a)
1
0 1
3
,
b)
2 1
3 2
.
c)
1
1
2
1 1
3 2
07) O valor da expressão
81 49
81 49
08) Calcule o valor de x, na proporção
3 1 4
2 1 3 2 5
x /
/ ,
RAZÃO
Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo
segundo, com o segundo número diferente de zero.
Numa razão
a
b
, “a” é o primeiro termo, ou antecedente, e “b”
é o segundo termo, ou conseqüente.
A razão inversa de
a
b
é
b
a
, com a ≠ 0 e b ≠ 0.
Exemplos:
a)
4
5
= = 0,8
b)
7
4
= =
4 3 7
1 75
4 4 4
,
c) A razão de 10 para certo número é 2. Qual é esse
número?
10
2 5x
x
Exercícios
09) (CESPE/UnB) Se uma corda de 30 metros de
comprimento é dividida em duas partes, cujos comprimentos
estão na razão 2:3, então o comprimento da menor parte, em
metros, é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
10) (CESPE/UnB) Em uma loja, o preço x da resma de papel
ofício é maior que o preço y da resma do mesmo papel
vendido em outra loja. Sabendo que estes preços estão na
razão de 101:99, assinale a opção correta:
a) A razão
x y
x y
é igual a
100
99
b) Se 10 00x y , , então 5 05x ,
c) Se 0 10x y , , então 11 00x y ,
d) Se 3 30y , , então x é maior que 3,40
e) A razão
x
x y
é igual a
1
2
11) A razão entre dois números é de 3 para 8. Se a soma do
maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é?
12) O valor de x e y na proporção
3 2
x y
, sabendo que x
– y = 5
13) Numa caixa há bolas brancas e bolas pretas num total de
360. Se o número de brancas é o quádruplo do número de
pretas, então o número de bolas brancas é?
14) Se a razão entre os números a e b, nesta ordem, é 0,75,
então a razão entre os números a + b e b é:
15) Em uma sala de aula há 19 rapazes e 23 moças. Que
razão pode ser estabelecida entre o total de rapazes e o total
de alunos da sala?
16) A razão entre 20 minutos e uma hora é:
17) A diferença entre dois números racionais é 30 e a razão
entre o dobro do maior e o menor é 6. Determine o número
maior.
18) Sabendo que a diferença entre dois números racionais é
igual a 28 e que a razão entre o dobro do maior e o triplo do
menor é 1, calcule o menor número.
19) Qual é a razão igual a
3
7
, cujo antecedente é igual a 6 ?
20) Numa cidade, há uma bicicleta para cada 4 jovens.
a) Qual a razão entre o número de bicicletas e o de jovens?
b) Qual a razão inversa?
21) Marcelo levantou uma bola de ferro pesando 15 Kg, e
Mateus, outra pesando 20 Kg. Qual a razão entre os pesos
levantados por Marcelo e Mateus?
Matemática para Concursos 6
22) Qual a razão igual a razão
2
5
, cujo antecedente é igual a
8?
23) Qual a razão igual a razão
1
4
, cujo conseqüente é igual a
12?
24) Quem tem maior razão de acertos : Antônio, que, em 40
exercícios, acertou 32, ou Paulo, que, em 36 exercícios,
acertou 28?
25) A razão da terça parte de um número para o triplo desse
mesmo número é?
a)
1
9
b)
1
3
c) 3
d) 9
26) O produto de duas razões inversas é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
27) Chama-se densidade demográfica a razão entre o
número de habitantes de uma região e a área da mesma.
Assim sendo, se a área do distrito federal for de 5.800 2
Km
aproximadamente e sua densidade demográfica for de 203
hab/ 2
Km , então o numero de habitantes deverá ser:
a) superior a
6
1 5 10,
b) inferior a 6
11 10,
c) superior a
6
1 3 10,
d) exatamente 6
1 3 10,
e) aproximadamente
6
1 2 10,
28) Multipliquei o antecedente de uma razão por 5 e dividi
seu conseqüente por 2. a Razão ficou:
a) dividida por 2
b) multiplicada por 5
c) dividida por 10
d) multiplicada por 10
ESCALAS
Na vida prática, utiliza-se a ESCALA, porque nem sempre é
possível desenhar os objetos em tamanho natural.
Escala é a relação que existe entre as dimensões dos objetos
reais e as de sua representação.
Na escala natural o desenho tem as mesmas dimensões do
objeto real, 1: 1 ( 1 para 1), 1 cm normal do desenho é igual a
1 cm do objeto.
Na escala de Redução a representação gráfica é menor que
a dimensão do objeto, 1: 2 ( 1 para 2), 1 cm normal do
desenho equivale a 2 cm do objeto.
Na escala de aumento a representação gráfica tem dimensão
maior que a do objeto, 2 : 1 ( 2 para 1) 2 cm do desenho
equivalem a 1 cm do objeto.
ESCALA
1comprimento do desenho
comprimento real correspondente n
1: n
Exemplo:
A planta de uma casa está na escala 1 : 50, ou seja, uma
medida no desenho representa uma outra 50 vezes maior.
Assim, um comprimento de 8 cm na planta corresponde a
quantos metros na realidade?
1 8 1
50 50
comp. na planta
comp. real x
x = 400 cm ou 4 m
Exercícios
29) Na planta de uma casa, um muro de 2 metros está
representado por um segmento de 4 centímetros. Qual é a
escala dessa planta?
Obs:
comprimento no desenho
escala
comprimento real
30) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas.
Escala do desenho Medida do desenho Medida Real
1:250 10cm X
1:400 25cm Y
1:600 25cm 150m
As medidas X e Y são respectivamente?
31) Num mapa, cuja escala é
1
3 000 000. .
, a estrada Belém –
Brasília tem 67 cm. Calcular, em Km , a distância real.
a) 1.010 Km.
b) 2.010 Km.
c) 510 Km.
d) 1000 Km.
PROPORÇÃO
Proporção é a igualdade entre duas razões.
a c
b d
( b 0 e d 0 )
(Lê-se a está para b, assim como c está para d )
Escrevendo a, b, c e d, chamamos a e d de extremos da
proporção e b e c são os meios da proporção.
Exemplo:
1 2
2 4
Matemática para Concursos 7
Exemplo:
2 12
4
3 6 3
x
x x
Outras Propriedades
a c a c a c
b d b d b d
Exercícios
32) Zeca possui em seu sítio 26 porcos, 10 vacas e 24
frangos. A fração que representa os animais mamíferos em
relação ao total de animais é:
a)3/5
b)1/4
c)2/3
d)5/3
e)2/5
33) A razão entre o preço de um aparelho de som e o preço
de uma televisão é de 2 para 9. Se o aparelho de som custou
R$ 5.796,00 , qual o preço da televisão ?
34) Numa cidade 3/16 dos moradores são de nacionalidade
estrangeira. Se o total de habitantes é 30.000, o número de
brasileiros na cidade é:
a) 23.865.
b) 24.375.
c) 25.435.
d) 25.985.
e) 26.125.
35) Na partida final de um campeonato de basquete, a equipe
campeã venceu o jogo com uma diferença de 8 pontos.
Quantos pontos assinalou a equipe vencedora, sabendo que
os pontos assinalados pelas duas equipes estão na razão de
23 para 21 ?
36) Uma indústria prepara combustível, utilizando álcool e
gasolina em quantidades proporcionais a 3 e 7. Com 3600
litros de álcool, quantos litros de gasolina devem ser
misturados?
37) O comprimento e a largura de uma lanchonete são
proporcionais a 4 e 3. O comprimento é 10 metros. Qual a
largura da lanchonete?
38) A razão entre a terça parte de 0,27 e o dobro de 0,2,
nessa ordem, é equivalente a:
a) 2,25%
b) 4,75%
c) 22,5%
d) 27,5%
e) 47,5%
39) Uma mistura contém ferro e chumbo na razão de 3 para
7. Quantos quilogramas de ferro há em 960 quilogramas
dessa mistura ?
40) Determine uma fração equivalente a 2/3 que, adicionada
de uma unidade no numerador e subtraída de uma unidade
no denominador resulte em uma fração equivalente a ¾ .
41) Para o transporte de valores de certa empresa são
usados dois veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4
toneladas e a de B é de 32 000 quilogramas, então a razão
entre as capacidades de A e B, nessa ordem, equivale a:
a) 0,0075 %
b) 0,65 %
c) 0,75 %
e) 6,5 %
f) 7,5 %
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo:
Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo que elas
são diretamente proporcionais:
( 2, 3, x ) e ( 6, y, 15 )
Resolução:
2 3
6 15
x
y
2 3
6 y
9y
2
6 15
x
5x
Exercícios
42) Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo que
elas são diretamente proporcionais:
a) ( 6, x, 9 ) e ( 18, 12, y )
b) ( x, y, 4 ) e ( 12, 10, 8 )
DIVISÃO DE UM NÚMERO “N” EM PARTES
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo:
Divida 70 em partes diretamente proporcionais a 3 e 7.
Resolução:
a) Deve-se representar os números procurados por x e y.
b) Considera-se as sucessões (x, y) e (3, 7) como
diretamente proporcionais
Propriedade Fundamental das Proporções
“Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios”
Os números a, b e c são diretamente proporcionais aos
números x, y e t quando se tem:
a b c a b c
x y t x y t
Matemática para Concursos 8
Logo:
3 7
x y
e sabe-se que x + y = 70
Então:
3 7 3 7
x y x y
ou ;
Assim:
70
10 3
x
21x
70
10 7
y
49y
Exercícios
43) Dividir 1830 em partes diretamente proporcionais a 1/3,
1/4 e 1/7.
44) Dividir R$ 4.000,00 em partes diretamente proporcionais
a 0,4 ; 1,2 e 3,4.
45) Um prêmio, no valor de R$ 4650,00, deve ser dividido
entre três funcionários de uma empresa, na razão direta de
seus tempos de trabalho na mesma. Se um trabalha há 4
anos, outro há 5 anos e o terceiro há 6 anos e meio, a maior
das partes a ser distribuída será no valor de:
a) R$ 2000,00
b) R$ 1950,00
c) R$ 1750,00
d) R$ 1600,00
46) Dois irmãos jogaram na loto, sendo que o primeiro entrou
com R$ 140,00 e o segundo com R$ 220,00. Ganharam um
prêmio de R$ 162.000,00.O prêmio recebido pelo segundo
jogador foi:
a) R$ 6.300,00
b) R$ 8.900,00
c) R$ 10.800,00
d) R$ 11.200,00
e) R$ 99.000,00
47) Um terreno, de forma quadrangular, tem a medida dos
lados proporcionais aos números 2, 3, 4 e 5. Se o perímetro
desse terreno é 70m, a medida, em metros, do maior lado é ?
48) Três amigos fizeram um bolão para concorrer na Mega
Sena. Antônio entrou com R$ 4,00 , Luís com R$ 6,50 e
Paulo com R$ 2,00. Foram sorteados e ganharam
R$100.000,00. Quanto deve receber cada um ?
49) Três amigas resolveram trabalhar em sociedade. Porém,
o tempo que elas dispunham era desigual. Ao entregar uma
encomenda, elas verificaram que Maria das Graças havia
trabalhado 9/10 do total de sessões de trabalho, Carla
compareceu a 4/5 e Fernanda a 3/4 das sessões. Tendo
recebido R$ 2.450,00 pelo trabalho, quanto deve receber
cada uma?
50) A quantia de R$ 1320,00 foi dividida entre Marcos e
Carlos, na razão direta de suas idades. Se Marcos tem 29
anos e Carlos 26 anos, a parte que coube a Carlos
corresponde a:
a) R$ 486,00
b) R$ 528,00
c) R$ 624,00
d) R$ 686,00
51) (CESPE/UnB) O encarregado de uma escavação de uma
rede de esgotos dispõe de 540 litros de combustível para
distribuir entre os operadores de dois tratores e de uma
escavadeira. Um dos tratores consome 18 litros de
combustível por hora, enquanto que outro, por ser mais novo,
consome apenas 16 litros por hora. Já a escadeira tem um
consumo de 26 litros de combustível por hora. Se os
encarregado distribui todo o combustível de tal forma que
todas as máquinas possam trabalhar pelo mesmo período de
tempo, operador da escavadeira receberá uma quantidade de
combustível igual a:
a)228
b)234
c) 240
d)244
e)248
52) (CESPE/UnB) Considere que os operários Pedro, Carlos
e Paulo tenham sido contratados para fazer reparos em um
edifício. Pedro trabalhou durante 20 horas, Carlos trabalhou
durante 25 horas e Paulo, durante 32 horas. Eles dividiram
uma quantia de R$ 616,00, valor combinado pelo serviço,
proporcionalmente ao número de horas que cada um
trabalhou. Assinale a alternativa falsa:
a) Paulo recebeu menos que Pedro e Carlos juntos
b) Carlos recebeu mais de 6/5 do que Pedro recebeu
c) Pedro Recebeu R$100,00
53) (CESPE/UnB) Considere que para a vigilância de um
depósito de material bélico, um turno de 60 horas é dividido
entre os agentes de segurança Paulo, Pedro e Mário, e que
o número de horas de serviço de cada um deles é
diretamente proporcional aos números 3, 4 e 8,
respectivamente. Então o número de horas de serviço de
Paulo é:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo:
Verifique se as sucessões são inversamente proporcionais:
( 2, 6, 9 ) e ( 18, 6, 4 )
Resolução:
Os números a, b e c são inversamente proporcionais aos
números x, y e t, quando se tem:
1 1 1
a b c
a.x b.y c.t
x y t
Matemática para Concursos 9
2 6 9
2 18 6 6 9 4 36 36 36
1 1 1
18 6 4
. . .
Logo, as sucessões são inversamente proporcionais.
Exercícios
54) Verifique se as seqüências são inversamente
proporcionais: ( 4, 5, 3 ) e ( 15, 12, 20 )
55)Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo – se
que elas são inversamente proporcionais :
a) ( x, 8, 6 ) e ( 12, 3, y )
b) ( 5, 6, x ) e ( 30, y, 2 )
DIVISÃO DE UM NÚMERO “N” EM PARTES
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo:
Dividindo 52 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4;
obtém-se:
Resolução:
a) Deve-se representar os números procurados por x, y e t.
b) Considera-se as sucessões ( x, y, t ) e ( 2, 3, 4 ) como
inversamente proporcionais.
Logo:
1 1 1
2 3 4
x y t
e sabe-se que x + y + t = 52
Então:
1 1 1 1 1 1
2 3 4 2 3 4
x y t x y t
ou ou
52 52 12
52 48
6 4 3 13 13
12 12
1
48 48 24
1 2
2
x
x x
1
48 48 16
1 3
3
y
y y
1
48 48 12
1 4
4
t
t t
Exercícios
56) Reparta 36 em partes inversamente proporcionais aos
números 3 e 6.
57) Divida 33 em partes inversamente proporcionais aos
números 1/3 e 1/8.
58) Uma empresa distribuiu um prêmio de R$ 900,00 entre
três funcionárias. Cada uma receberá uma gratificação cujo
valor é inversamente proporcional ao número de faltas dadas
no ano anterior. Cristina faltou 8 dias, Gláucia faltou 6 dias e
Juliane 3 dias. Quanto receberá cada uma?
59) Um tio ofereceu R$ 60,00 para ser repartido entre três
sobrinhos, em partes inversamente proporcionais ao número
de faltas que eles deram no semestre anterior. Se dois deles
faltaram duas vezes e o outro 5, quanto cada um recebeu?
60) Dividir 380 em partes inversamente proporcionais aos
números 2, 4 e 5.
61) Dividir 6.500 em três partes inversamente proporcionais
aos números: 2,5 ; 5/6 e 5/17.
62) O perímetro de um terreno é de 72 metros. As medidas
de seus lados são inversamente proporcionais a 2, 3, 5 e 6. A
medida, em metros, do menor lado desse terreno é?
63) (CESPE/UnB) Três marceneiros receberam R$ 6000,00
pela execução conjunta de uma reforma de certo prédio. Um
dos artífices trabalhou 5 dias; o outro 4 dias e meio; e o
terceiro , 8 dias. Tinham respectivamente a idade de 20 anos,
22 anos e seis meses, 26 anos e oito meses. Eles haviam
acertado repartir, entre si, a remuneração global em partes
diretamente proporcionais ao tempo de trabalho de cada um
e inversamente proporcionais às respectivas idades.
Com base na situação acima, assinale a alternativa
verdadeira.
a) O marceneiro que trabalhou 5 dias, recebeu 2/3 da quantia
recebida pelo marceneiro que trabalhou 8 dias;
b) O marceneiro mais jovem foi o que recebeu a menor
quantia;
c) O marceneiro que trabalhou 8 dias recebeu 1/4 da
remuneração global;
d) A soma das quantias recebidas pelo marceneiro mais
jovem e pelo marceneiro mais velho perfaz 11/15 da
remuneração global.
GRANDEZAS
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido,
contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas
ou diminuídas. s
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a
superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o
tempo, o custo e a produção.
É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos
duas ou mais grandezas. Por exemplo:
Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto
maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa
prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.
Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum,
quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de
ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.
DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são classificadas como diretamente
proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra
aumenta na mesma proporção em que a primeira.
Exemplo:
Um carro percorre, com velocidade constante, em uma hora,
60 Km e, em duas horas, 120 Km.
TEMPO DISTÂNCIA PROPORÇÃO
1h 60 km 1 60
2 1202h 120 km
Matemática para Concursos 10
Podemos notar que quando duplicado o tempo a distância
também duplicou-se.
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando,
aumentando uma delas, a outra diminui na proporção inversa
em que a primeira cresce.
Exemplo:
Um carro percorre uma distância fixa em quatro horas com
velocidade constante de 100 Km/h. Com 50 Km/h de
velocidade a distância é percorrida em oito horas.
TEMPO VELOCIDADE PROPORÇÃO
4 h 100 Km/h 4 50
8 100
8 h 50 km/h
Neste exemplo, quando a velocidade é reduzida à metade o
tempo de percurso dobra.
REGRA DE TRÊS
Simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver
problemas que envolvam quatro valores dos quais
conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um
valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma
espécie em colunas e mantendo na mesma linha as
grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2
,
uma lancha com motor movido a energia solar consegue
produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa
área para 1,5m
2
, qual será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m
2
) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 X
Identificação do tipo de relação:
Área Energia
1,2
1,5
400
X
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que
contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia
solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta),
podemos afirmar que as grandezas são diretamente
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no
mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a
proporção e resolvendo a equação temos:
Área Energia
1,2
1,5
400
X
1 2 400
1 5
1 2 600
600
500
1 2
,
, x
, x
x
,
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de
400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em
quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade
utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade
(Km/h)
Tempo
(h)
400 3
480 x
Identificação do tipo de relação:
Velocidade Tempo
400
480
3
X
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que
contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do
percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui),
podemos afirmar que as grandezas são inversamente
proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no
sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a
proporção e resolvendo a equação temos:
Velocidade Tempo
400
480
3
X
3 480
400
480 1200
1200
2 5
480
x
x
x ,
=
=
= =
Os termos foram
invertidos
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas
e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto
ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e
preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas Preço(R$)
3 120
5 X
Identificação do tipo de relação:
Camisetas Preço
3
5
120
X
Matemática para Concursos 11
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que
contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço
também aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta),
podemos afirmar que as grandezas são diretamente
proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a
equação temos:
Camisetas Preço
3
5
120
X
3 120
5
3 600
600
200
3
x
x
x
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
Composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com três
ou mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3
de areia.
Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para
descarregar 125m3
?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas
de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que
contém o x (2ª coluna).
Horas Caminhões
8
5
20
X
Volume
160
125
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela
onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos
diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é
inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número
de caminhões. Portanto a relação é diretamente
proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos
igualar a razão que contém o termo x com o produto das
outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Horas Caminhões
8
5
20
X
Volume
160
125
Os termos foram
invertidos
20 160 5
125 8
20 800 8 4
1000 10 5
4 100
100
25
4
.
x
x
x
x
=
= = =
=
= =
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20
carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4
homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens Carrinhos Dias
8 20 5
4 x 16
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que
contém o x (2ª coluna).
Homens Carrinhos
8
4
20
X
Dias
5
16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos
aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não
precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos
aumenta. Portanto a relação também é diretamente
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos
igualar a razão que contém o termo x com o produto das
outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Homens Carrinhos
8
4
20
X
Dias
5
16
20 8 5
4 16
20 40 10 5
64 16 8
5 160
160
32
5
.
x
x
x
x
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com
2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura
para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse
muro?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as
grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas
de espécies diferentes que se correspondem.
Pedreiros Dias Altura
2 9 2
3 x 4
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que
contém o x.
Pedreiros Dias
2
3
9
X
Altura
2
4
Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas
diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes
para as inversamente proporcionais, como mostra a figura
abaixo:
Matemática para Concursos 12
Pedreiros Dias
2
3
9
X
Altura
2
4
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Os termos foram
invertidos
9 2 3
4 2
9 6 3
8 4
3 36
36
12
3
.
x
x
x
x
=
= =
=
= =
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Exercícios
64) Se 5 torneiras enchem um tanque em 7h 30min, 9
torneiras encherão o mesmo tanque em quanto tempo?(Dê a
resposta em horas)
65) Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo
trabalho, quantos operários farão esse mesmo trabalho em 6
dias?
66) Um relógio atrasa 4 minutos a cada 24 horas. Quantos
minutos atrasará em 120 horas?
67) Seis operários gastam 20 dias para construir uma casa.
Quanto tempo gastaria 10 operários para construir a mesma
casa?
68) Para fazer um carregamento de areia, 6 caminhões de
5 3
m de capacidade fizeram 30 viagens. O número de viagens
necessárias para que 10 caminhões de 6 3
m façam o mesmo
carregamento será ?
69) Uma pessoa dá 90 passos por minuto, com passos de 70
cm, faz um trajeto de treinamento em 4h 20min. Quanto
tempo levará para percorrer essa mesma distância com
passos de 65cm, dando 100 passos por minuto?
70) Um circo pode ser armado, por 15 homens, em 3 dias de
trabalho de 10 horas por dia. Em quantos dias 25 homens
armariam o circo, trabalhando 9 horas por dia?
71) Em uma empresa, 8 funcionários produzem 2000 peças,
trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O número de
funcionários necessários para que essa empresa produza
6000 peças em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 8
e) 16
72) Para asfaltar 1 Km de estrada, 30 homens gastaram 12
dias trabalhando 8 horas por dia. 20 homens, para asfaltar 2
Km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia
gastarão quantos dias?
73) 15 teares, trabalhando 6 horas por dia, durante 20 dias,
produzem 600 m de pano. Quantos teares são necessários
para fazer 1.200 m do mesmo pano, em 30 dias, com 8 horas
de trabalho por dia?
74) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600
Km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro,
para percorrer 840 Km, consumirá quantos litros ?
75) Para fazer uma toalha quadrada de renda com 1 m de
lado, uma rendeira utiliza 16 novelos de linha. Para fazer uma
outra toalha quadrada com 2 m de lado, com o mesmo ponto
e a mesma linha, ela utilizará uma quantidade de novelos
igual a:
a) 256
b) 128
c) 64
d) 32
e) 28
76) Um reservatório contendo 120 litros de água apresentava
um índice de salinidade de 12%. Devido a evaporação, esse
índice subiu para 15%. Determine, em litros o volume de
água evaporada.
77) Um ciclista percorreu 3/10 de uma prova em 1/4 de hora.
Mantendo a mesma velocidade, determine o tempo gasto, em
minutos, para completar o restante da prova.
78) Um motociclista percorre 200 Km em 2 dias, se rodar
durante 4 horas por dia. Em quantos dias esse motociclista
percorrerá 500 Km, se rodar 5 horas por dia ?
79) Em 3 horas 3 torneiras despejam 3600 litros de água.
Quantos litros despejam 5 dessas torneiras em 5 horas ?
80) Fiz meus cálculos: durante 25 dias de férias eu precisaria
ler 12 páginas por dia para terminar a leitura pedida pela
escola. Infelizmente, eu nem peguei o livro. Agora, só restam
15 dias de férias. Quantas páginas terei de ler por dia, para
completar a leitura no último dia de férias?
81) Um livro tem 120 páginas de 40 linhas, cada linha com 12
cm de comprimento. Quantas páginas teria esse livro se
houvesse 60 linhas em cada página, e as linhas tivessem 10
cm de comprimento?
82) Em 30 dias, uma frota de 34 táxis consome 85.000 litros
de combustível. Um pequeno incêndio no estacionamento da
frota destruiu 4 táxis. Calcule agora para quantos dias serão
suficientes os 100.000 litros de combustível que a frota tem
em estoque, supondo que os táxis restantes continuem
rodando normalmente.
83) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100 2
m em
3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto
tempo limpará uma área de 11900 2
m ?
84) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias
3 Kg de pão. Quantos quilos serão necessários para
alimentá-los durante 5 dias, estando ausente 2 pessoas?
85) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor
mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica
realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de
mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou
fazer uma nova encomenda. Desta vez, sessenta mil
folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava
Matemática para Concursos 13
quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a
trabalhar doze horas por dia, executando o serviço em:
a) 5 dias
b) 8 dias
c) 10 dias
d) 12 dias
e) 15 dias
86) Com a velocidade média de 42 Km/h um carro percorre
uma distância em 6 horas e 30 minutos. Que velocidade
deverá desenvolver para fazer o mesmo trajeto em 5 horas e
15 minutos?
87) Uma tinturaria paga a quantia de R$ 750,00 pelo
consumo de energia elétrica, durante 6 dias, de um ferro
elétrico que funciona 5 horas por dia. A despesa que esse
ferro dará mensalmente, se funcionar 9 horas por dia será de:
a) R$ 3750,00
b) R$ 4500,00
c) R$ 6759,00
d) R$ 7250,00
88) Um supermercado dispõe de 20 atendentes que
trabalham 8 horas por dia e custam R$ 3.600,00 por mês. Se
o supermercado passar a ter 30 atendentes trabalhando 5
horas por dia, eles custarão, por mês:
a) R$ 3.375,00.
b) R$ 3.400,00.
c) R$ 3.425,00.
d) R$ 3.450,00.
e) R$ 3.475,00.
89) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram
incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total
na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus
respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27
anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está
há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre
os números de processos que cada um arquivou é:
a) 48
b) 50
c) 52)(())
d) 54
e) 56
90) Um determinado serviço é realizado por uma única
maquina em 12 horas de funcionamento ininterrupto e, em 15
horas, por uma outra máquina, nas mesmas condições. Se
funcionarem simultaneamente, em quanto tempo realizarão
esse mesmo serviço?
a) 3 horas.
b) 9 horas.
c) 25 horas.
d) 4 horas e 50 minutos.
e) 6 horas e 40 minutos.
91) Considere que uma máquina específica seja capaz de
montar um livro de 400 páginas em 5 minutos de
funcionamento ininterrupto. Assim sendo, outra máquina, com
50% da capacidade operacional da primeira, montaria um
livro de 200 páginas após funcionar ininterruptamente por um
período de:
a) 2 minutos e 30 segundos.
b) 5 minutos.
c) 6 minutos e 15 segundos.
d) 7 minutos.
e) 7 minutos e 30 segundos.
92) Na construção de 6 Km de uma ponte, foram empregados
30 operários, durante 60 dias, trabalhando 8 horas por dia.
Nas mesmas condições, 50 operários, trabalhando 6 horas
por dia, em quantos dias construirão 10 Km dessa ponte?
93) (CESPE/UnB) Com velocidade constante de 65 Km/h, um
veículo vai de uma cidade a outra em 3 horas e 7 minutos.
Então, se a velocidade for aumentada em 20 km/h e mantida
constante, o intervalo de tempo para que o veículo faça o
mesmo trajeto será de:
a) 2h 19min
b) 2h 20min
c) 2h 21min
d) 2h 22min
e) 2h 23min
94) CESPE/UnB) Se 6 pessoas trabalhando 8 horas por dias
cumprem uma determinada tarefa em 9 dias, então 12
pessoas, trabalhando 9 horas nas mesmas condições,
concluirão a mesma tarefa em:
a) 8 dias
b) 7 dias
c) 6 dias
d) 5 dias
e) 4 dias
95) (CESPE/UnB) Considere que 8 copiadoras igualmente
produtivas, trabalhando 4 horas por dia, produzem em 5 dias
160.000 cópias. Então, em 5 dias de trabalho, 7 dessas
copiadoras, trabalhando seis horas por dia produzirão:
a) 205.000 cópias
b) 207.000 cópias
c) 208.500 cópias
d) 210.000 cópias
e) 210.900 cópias
96) (CESPE/UnB) Para o tratamento de água de um
reservatório de 45000 litros, recomendam-se 180g de cloro.
Seguindo a proporcionalidade recomendada, para um
reservatório de 215000 litros de capacidade, mas que esta
somente com 4/5 de sua capacidade, a quantidade de cloro a
ser adicionada a água deverá ser:
a) Inferior a 0,5 kg
b) Maior que 0,5 kg e menor que 0,6 kg
c) Maior que 0,6 kg e menor que 0,7 kg
d) Maior que 0,7 kg e menor que 0,8 kg
e) Superior a 0,8 kg
97) (CESPE/UnB) Com o regime de trabalho de 8 horas
diárias, 12 empregados são necessários para dar proteção
aos recursos hídricos de uma empresa, em uma área de 100
Km2
. Tendo passado a adotar o regime de trabalho de 6
horas diárias e necessitando ampliar a área a ser protegida
para 200 Km
2
, a empresa terá de aumentar o número desses
empregados para:
a)18
b)24
c) 28
d)32
e)36
Matemática para Concursos 14
98) (CESPE/UnB) Considerando que todos os consultores de
uma empresa desempenhem as suas atividades com a
mesma eficiência e que todos os processos que eles
analisam demandem o mesmo tempo de análise, se 10
homens analisam 400 processos em 9 horas, então 8
homens analisariam 560 processos em quantas horas?
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
99) (CESPE/UnB) Os 33 alunos formandos de uma escola
estão organizando a sua festa de formatura e 9 desses
estudantes ficaram encarregados de preparar os convites.
Esse pequeno grupo trabalhou durante 4 horas e produziu
2343 convites. Admitindo-se que todos os estudantes sejam
igualmente eficientes, se todos os 33 formandos tivessem
trabalhado na produção desses convites, o número de
convites que teriam produzido nas mesmas 4 horas seria
igual a:
a) 7987
b) 8591
c) 8737
d) 8926
e) 9328
PORCENTAGEM
É toda razão na qual o denominador é 100, ou seja,
100
N
N .
Exemplos:
a)
35
35 0 35
100
% ,
b)
25
25 500 500 125
100
% de
Exercícios
100) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do
valor de cada venda efetuada.
a) Um apartamento foi vendido por R$ 62.400,00.
Determine a comissão recebida pelo corretor.
b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$
79.800,00, já descontada a comissão do corretor. Determine
o valor da comissão.
101) Quanto é 18% de a + b, quando a = 7/3 e b = 5?
102) Se 0,6% de
1
3 3 1
3
x , então o valor de x é:
a) 3,4%
b) 9,8%
c) 34%
d) 54%
e) 98%
103) Paulo ganha 70 salários mínimos mensais. Joaquim
ganha 30% a menos do que ganha Paulo. Quantos salários
mínimos mensais ganha Joaquim?
104) Trinta por cento da quarta parte de 6400 é igual a:
a) 480
b) 640
c) 240
d) 160
e) 180
105) Em Florianópolis, com suas 42 praias, são esperados
para a temporada de 1998, 60% de turistas estrangeiros e um
total de 150000 turistas nacionais. A previsão de estrangeiro
é:
a) 375000
b) 250000
c) 400000
d) 150000
e) 225000
106) Seja
26
9 5 4 8
5
x , . Então, o valor de 0,3% de x
é:
a) 0,66
b) 0,066
c) 2,2
d) 6,6
e) 3,3
107) O preço de um carro “zero Km” é de R$ 10.000,00.
Sabe-se que ele sofre uma desvalorização anual de 20%.
Decorridos 3 anos de uso, seu preço será de:
a) R$ 17.280,00
b) R$ 6.740,00
c) R$ 5.120,00
d) R$ 4.000,00
e) R$ 3.806,00
108) Com 20% de desconto, paguei R$ 64,00 por uma capa.
O preço sem desconto é:
a) R$ 90,00
b) R$ 76,80
c) R$ 80,00
d) R$ 66,00
109) Uma fábrica tem 350 operários. O número de mulheres
corresponde a 40% do número de homens. O número de
homens, é:
a) 280
b) 250
c) 220
d) 210
e) 140
110) Um comerciante marcou o preço de venda de uma
mercadoria computando um lucro de 18% sobre o preço de
custo. Se em uma promoção, ele der 18% de desconto sobre
o preço de venda, concluímos que:
a) ganhará dinheiro
b) perderá dinheiro
c) empatará
Matemática para Concursos 15
d) é impossível determinar se perderá, ganhará ou
empatará, pois não se conhece o preço de venda da
mercadoria.
e) é impossível determinar se perderá, ganhará ou
empatará, pois não se conhece o preço de compra da
mercadoria.
111) Um comerciante comprou uma peça de tecido de 50m
por R$ 1.000,00. Se ele vender 20m com lucro de 60%, 20m
com lucro de 35% e 10m pelo preço de custo, o seu lucro
total na venda dessa peça será de:
a) 38%
b) 15%
c) 5%
d) 12%
e) 25%
112) Se eu tivesse mais 20% da quantia que tenho, poderia
pagar uma dívida de R$ 92,00 e ainda ficaria com R$ 8,80. A
quantia que possuo é:
113) As promoções do tipo ``leve 3 e pague 2`` comuns no
comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade
vendida, de:
a) 50/3 %
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 100/3 %
114) A organização de uma festa distribuiu 200 ingressos
para 100 casais. Outros 300 ingressos foram vendidos, 30%
dos quais para mulheres. As 500 pessoas com ingresso
foram à festa.
a) Determine o percentual de mulheres na festa.
b) Se os organizadores quisessem ter igual número de
homens e de mulheres na festa, quantos ingressos a mais
eles deveriam distribuir apenas para pessoas do sexo
feminino?
115) Um comerciante adquire uma mercadoria por um preço
P e paga um imposto no valor de 15% de P. Ao revendê-la, o
comerciante cobrou um valor 75% superior ao preço P. O
lucro deste comerciante, em relação ao custo total, é
aproximadamente de:
a) 45%
b) 52%
c) 55%
d) 59%
e) 60%
116) Ao vender um artigo por R$ 2000,00, obtive um lucro de
25%. O valor do meu lucro corresponde, na unidade
monetária em uso, a:
a) 250,00
b) 400,00
c) 500,00
d) 1500,00
e) 1600,00
117) No custo industrial de um livro, 60% é devido ao papel e
40% à impressão. Sendo que num ano o papel aumentou
259% e a impressão, 325%, o aumento percentual no custo
do livro foi de:
a) 278,1%
b) 280,5%
c) 283,7%
d) 285,4%
e) 287,8%
118) Após um aumento de 20%, um livro passa a custar R$
180,00. O preço antes do aumento era:
a) R$ 170,00
b) R$ 144,00
c) R$ 160,00
d) R$ 150,00
119) Uma loja realiza uma liquidação vendendo certa
mercadoria por R$ 950,00, com prejuízo de 5% sobre o preço
de custo. De quanto foi o prejuízo?
a) R$ 50,00
b) R$ 60,00
c) R$ 70,00
d) R$ 80,00
120) O preço de uma geladeira é de R$ 1200,00. Como vou
comprá-la a prazo, o preço sofre um acréscimo de 10% sobre
o preço à vista. Dando 30% de entrada e pagando restante
em duas prestações iguais, o valor de cada prestação será
de:
a) R$ 302,00
b) R$ 402,00
c) R$ 450,00
d) R$ 462,00
121) Num lote de 1000 peças, 65% são do tipo A e 35% são
do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo A e 4% do tipo B são
defeituosas, quantas peças devem ser rejeitadas neste lote?
a) 66
b) 70
c) 42
d) 80
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1° E 2° GRAUS
EQUAÇÃO
É toda a sentença aberta expressa por uma igualdade.
EQUAÇÃO DE 1º GRAU
É toda equação que pode ser reduzida a forma 0ax b ,
com a 0 e a e b R.
A solução é dada quando isolamos x.
Assim:
a x + b = 0 x = -b/a
S = {-b/a }.
Exemplos:
01 - Resolva as equações do 1º grau:
a) 2 8 3 10x x
b) 2 6 12x
c)
2
2
x
x
d) 3 5x
Matemática para Concursos 16
Resolução:
a) 2 8 3 10 8 10 3 2 2x x x x x
b) 2 6 12 2 12 6 2 6 3x x x x
c)
2
2 2 2 2 2 2
x
x x x x x
x
d) 3 5 5 3 2x x x
02 - Problema:
Em uma cidade A uma corrida de táxi custa R$ 5,00 pela
bandeirada e R$ 0,20 por quilômetro rodado. Na cidade B a
bandeirada custa R$ 2,00 mais R$ 0,30 o quilômetro.
Quantos quilômetros uma pessoa pode rodar para pagar o
mesmo nas duas cidades?
Resolução:
Chamando de X a quantidade de quilômetros rodados,
temos:
Custo de uma corrida na cidade A.
5,00 + 0,20x
Custo de uma corrida na cidade B.
2,00 + 0,30x
Como queremos gastar o mesmo em ambas as cidades,
devemos igualar os custos. Daí:
5,00 0,20 2,00 0,30
0,20 0,30 2,00 5,00
0,10 3,00
3,00
0,10
30
x x
x x
x
x
x
Logo, para que os custos de ambas as corridas seja igual,
devemos rodar 30 quilômetros.
Exercícios
Nos exercícios de 122 a 126 resolva as equações.
122) 3 5 2 8x x
123) 4 1 2 5x x
124)
4 1
5
3
x
125)
4
1 5
3
x
126)
1 5
2 1 12x
Problemas do 1° grau
127) O dobro de um número diminuído de 3 é igual a 11.
Qual é o número?
128) A soma de um número com a sua quinta parte é 2. Qual
é esse número?
129) A soma de dois números consecutivos é 25. Calcule os
números.
130) Um fazendeiro repartiu 240 reses entre seus três
herdeiros na seguinte forma: o primeiro recebeu 2/3 do
segundo e o terceiro tanto quanto o primeiro e o segundo
juntos. A parte recebida pelo primeiro herdeiro foi?
131) A soma das idades de duas pessoas é 42 anos e a
diferença é 6 anos. Quais são as idades?
132) A soma de dois números é 44 e a diferença é 4. Quais
são esses números?
a) 20 e 24
b) 18 e 6
c) 18 e 20
d) 26 e 20
133) Atualmente, quando um empregado sai de férias tem
direito a 1/3 do salário como abono. João, ao sair de férias,
disse: “Estou ganhando muito pouco. O abono mais R$ 600 (
de horas extras e atrasados) equivale a três vezes o meu
salário”. João ganha em reais:
a) R$ 175,00
b) R$ 200,00
c) R$ 225,00
d) R$ 300,00
134) A minha idade é, hoje, o triplo da sua. E daqui a 5 anos,
será o dobro da sua.Qual é, hoje, a soma das nossas idades?
a) 10
b) 15
c) 25
d) 30
e) 20
135) Hoje, um pai tem o dobro da idade de um filho. Dez
anos atrás, o pai tinha o triplo da idade que o filho tinha. Hoje,
a idade do pai é:
a) 20
b) 25
c) 40
d) 30
136) A diferença entre o quádruplo de um número e a terça
parte desse mesmo número é 187. Este número é:
a) primo
b) múltiplo de 3.
c) divisível por 4.
d)múltiplo de 5.
137) Se a soma de três números pares consecutivos é 402, o
menor dos três é divisível por:
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
138) As idades de Carlos e Felipe somam, hoje, 45 anos e há
6 anos passados, a idade de Carlos era o dobro da idade de
Felipe. A idade atual de Carlos é:
a) 20
Matemática para Concursos 17
b) 22
c) 26
d) 28
139) Dois quintos do meu salário são reservados para o
aluguel, e a metade do que sobra, para a alimentação.
Descontados o dinheiro do aluguel e o da alimentação,
coloco um terço do que sobra na poupança, restando então
R$ 1.200,00 para gastos diversos. Qual é o meu salário?
140) Cada filha de Luiz Antônio tem o número de irmãs igual
a quarta parte do número de irmãos. Cada filho de Luiz
Antônio tem o número de irmãos igual ao triplo do número de
irmãs. O total de filhas de Luiz Antônio é:
a)5
b)6
c)11
d)16
e)21
141) Resolva os sistemas:
a)
3 10
5 2 16
x y
x y
b)
4 3 2
8 5 26
x y
x y
c)
4 3 6 1 60
3 5
24
2 3
( x ) ( y )
x y
142) Marcelo e Renato têm juntos 360 figurinhas. Se Marcelo
der 40 figurinhas para Renato, eles ficarão com igual número
de figurinhas. O número de figurinhas de Renato,
inicialmente, era:
a) 140
b) 160
c) 200
d) 220
143) Num grupo de cavalos e patos, num total de 100
animais, o número de pés excede o número de cabeças em
150 unidades. O número de cavalos é:
a) 25
b) 30
c) 50
d) 75
144) (CESPE/UnB) Um grupo composto de x empregados de
uma empresa pretende comprar um presente de R$ 70,00
para o chefe, dividindo esse valor em partes iguais. Devido à
desistência de dois colegas em participarem do evento, o
encarregado da compra solicitou mais R$ 4,00 de cada
participante restante. Com base nas informações acima,
assinale a alternativa correta.
a) A equação
70 74
4 2x x
permite determinar o número x
de empregados da empresa
b) Inicialmente, o grupo de empregados era composto por
mais de 8 participantes
c) Cada empregado participante do evento contribuirá com
mais de R$ 10,00 para a compra do presente
145) (CESPE/UnB) Ao fazer o controle de entrada e saída de
veículos de garagem de uma empresa, o encarregado de
segurança registrou a saída de 10 veículos, alguns com
capacidade de transporte de 7 passageiros, outros com
capacidade de transporte de 3 passageiros. Sabendo que
todos os veículos deixaram a garagem com sua lotação
máxima e que 54 passageiros foram transportados, a
quantidade de veículos com capacidade de 7 passageiros
que saiu da garagem foi igual a:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 8
e) 10
146) Uma criança comprou n canetas por 300 reais e n+4
lapiseiras por 200 reais. Sabendo que o preço de uma caneta
é o dobro do preço de uma lapiseira, o número de canetas e
lapiseiras, respectivamente, que ele comprou é:
a) 8 e 12
b) 10 e 14
c) 12 e 16
d) 16 e 12
e) 12 e 8
147) O número
110
3
foi dividido em três parcelas de modo
que
10
3
da primeira é igual à segunda, e a terceira é o dobro
da segunda. A menor parcela é:
a)
10
3
b)
20
3
c) 10
d) 100
e)
100
3
148) Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro
por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar
4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então,
o número original de garrafas de vinho na caixa é:
a) 42
b) 33
c) 30
d) 24
e) 18
149) Maria e Manuel disputaram um jogo no qual são
atribuídos 2 pontos por vitória e é retirado um ponto por
derrota. Inicialmente cada um tinha 5 pontos. Se o Manuel
ganhou exatamente 3 partidas, e a Maria no final ficou com
10 pontos, quantas partidas eles disputaram?
a)3
b)4
c) 5
d)6
e)7
Matemática para Concursos 18
150) (CESPE/UnB) Um juiz tem quatro servidores em seu
gabinete. Ele deixa uma pilha de processos para serem
divididos igualmente entre seus auxiliares. O primeiro
servidor conta os processos e retira a quarta parte para
analisar. O segundo, achando que era o primeiro, separa a
quarta parte que encontrou e deixa 54 processos para serem
divididos entre os outros dois servidores. Quantos foram os
processos deixados pelo juiz?
a) 96
b) 97
c) 98
d) 99
e) 100
151) (CESPE/UnB) Um ciclista deseja percorrer 800 km em
cinco dias. Se, no primeiro dia, ele consegue percorrer 1/5 do
total e, no segundo dia, ele percorre 1/4 do restante do
percurso, então, nos três dias subseqüentes, ele deverá
percorrer:
a) 240 km
b) 360 km
c) 400 km
d) 440 km
e) 480 km
152) (CESPE/UnB) Marcos e Pedro receberam, no início de
abril, mesadas de valores iguais. No final do mês, Marcos
havia gastado 4/5 de sua mesada e Pedro 5/6 da sua.
Sabendo que Marcos ficou com R$ 10,00 a mais que Pedro,
o valor da mesada recebida por cada um deles é:
a) Inferior a R$ 240,00
b) Superior a R$ 240,00 e inferior a R$ 280,00
c) Superior a R$ 280,00 e inferior a R$ 320,00
d) Superior a R$ 320,00 e inferior a R$ 360,00
e) Superior a R$ 360,00
EQUAÇÃO DE 2º GRAU
É toda equação na forma ax2
+ bx + c = 0, com a 0 e a, b e
c R .
Equações completas e incompletas
Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são
diferentes de zero.
Exemplos:
2
9 20 0x x e 2
10 16 0x x são equações
completas;
Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual
a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero.
Exemplos:
2
36 0
0
x
b
2
10 0
0
x x
c
2
4 0
0
x
b c
Raízes de uma equação de 2º grau
Resolver uma equação de 2º grau significa determinar
suas raízes.
Raiz é um número real que, ao substituir a incógnita de uma
equação, transforma-a numa sentença verdadeira.
O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-
se conjunto verdade ou conjunto solução.
Resolução de equações incompletas
Quando a equação tem c = 0 as sua raízes são do tipo:
0x e
b
x
a
Quando a equação tem b=0 suas raízes são simétricas (um
número é o oposto do outro) e as mesmas só serão reais se
0
c
a
, caso contrário a equação não tem solução no
conjunto dos reais.
Resolução de equações completas
Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos
à fórmula de Bhaskara.
2
4
2
b b ac
x
a
, e podemos representar as duas raízes
reais por 'x e "x , assim:
2
2
4
'
2
4
"
2
b b ac
x
a
b b ac
x
a
Discriminante
Denominamos discriminante o radical 2
4b ac que é
representado pela letra grega (delta).
2
4b ac
Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:
x
2
b
a
De acordo com o discriminante temos três casos a
considerar:
1º Caso - 0 - O valor de é real e a equação tem
duas raízes reais diferentes.
2º Caso - 0 - O valor de é nulo e a equação tem
duas raízes reais e iguais.
3º Caso - 0 - O valor de não existe no conjunto dos
reais, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da
equação são números complexos.
Exemplos:
01 – Resolva as equações do 2º grau abaixo:
a) 2
5 6 0x x
Matemática para Concursos 19
Temos:
1
5
6
a
b
c
Assim:
2
2
4
5 4 1 6
25 24 1
b ac
. .
2
5 1
3
5 1 2
5 12
2
2
b
x
a
x'
x
x"
3 2S ,
b) 2
4 4 0x x
Temos:
1
4
5
a
b
c
Assim:
2
2
4
4 4 1 4
16 16 0
b ac
. .
2
4 0
2
4 0 2
4 02
2
2
b
x
a
x'
x
x"
2S
c) 2
2 3 0x x
Temos:
1
2
3
a
b
c
Assim:
2
2
4
2 4 1 3
4 12 8
b ac
. .
Como 0 a equação não possui soluções reais. Ou
seja, S Ø
02 - Problema:
João comprou um terreno de forma retangular com área e
igual a 300 m
2
. Se um lado é 5 m maior que o outro, qual as
dimensões do terreno de João?
Resolução:
Chamando o lado menor do retângulo de x, o outro medirá
(x+5), já que um é maior do que o outro em 5m.
Se a área é 300 m
2
, então o produto entre as dimensões dos
lados deve ser igual a 300.
2
2
5 300
5 300
5 300 0
' 20
" 15
x x
x x
x x
x
x
Como procuramos à dimensão de um terreno, o valor (-20)
não nos serve. Então um lado do terreno mede 15m. Por
conseqüência o outro mede 20m. (15+5).
Relação entre coeficientes e as raízes de uma equação
do 2° grau
Estas relações entre as raízes tabém são conhecidas como
relações de Girard, ou simplesmente, regra da Soma e
Produto.
Então, se uma equação da forma 2
0ax bx c , com
coeficientes reais a , b e c , admite x' e x" como suas
raízes reais, podemos escrever:
b
x' x" soma
a
c
x' x" produto
a
Exemplos:
01 – Determinar as raízes das equações do 2ª grau,
utilizando soma e produto.
a) 2
11 18 0x x
Resolução:
Devemos procurar dois números x' e x" tais que:
11
11
1
18
18
1
x' x"
x' x"
Vamos determinar inicialmente, os pares de números
(inteiros) em que o produto é igual a 18.
1 18 18
2 9 18
3 6 18
Agora, devemos identificar se existe um destes pares que
verifique a soma. Assim:
1 18 19
2 9 11
3 6 9
(não verifica)
(verifica)
(não verifica)
Matemática para Concursos 20
Então, o conjunto solução é 2 9S , .
b) 2
5 24 0x x
Resolução:
Devemos procurar dois números x' e x" tais que:
5
5
1
24
24
1
x' x"
x' x"
Vamos determinar inicialmente, os pares de números
(inteiros) em que o produto é igual a (- 24). É importante
observar que o produto tem sinal negativo, assim os fatores
devem ter sinais opostos, porém nos preocuparemos com os
sinais apenas no passo seguinte.
1 24 24
2 12 24
3 8 24
4 6 24
Agora, devemos identificar se existe um destes pares que
verifique a soma. Assim:
1 24 23
1 24 23
2 12 10
2 12 10
3 8 5
3 8 5
4 6 2
4 6 2
(não verifica)
(não verifica)
(não verifica)
(não verifica)
(não verifica)
(verifica)
(não verifica)
(não verifica)
Então, o conjunto solução é 3 8S , .
c) 2
10 16 0x x
Resolução:
Devemos procurar dois números x' e x" tais que:
10
10
1
16
16
1
x' x"
x' x"
Vamos determinar inicialmente, os pares de números
(inteiros) em que o produto é igual a 16. É importante
observar que o produto tem positivo, assim os fatores devem
ter sinais iguais, porém a soma é negativa e isso nos diz que
se existirem raízes reais elas serão também negativas.
1 16 16
2 8 16
4 4 16
Agora, devemos identificar se existe um destes pares que
verifique a soma. Assim:
1 16 17
2 8 10
4 4 8
(não verifica)
(verifica)
(não verifica)
Então, o conjunto solução é 2 8S , .
Exercícios
153) 2
5 4 0x x
154) 2
8 15 0x x
155) 2
5 14 0x x
156) 2
7 6 0x x
157) 2
11 10 0x x
158) 2
2 8 0x x
159) 2
6 16 0x x
160) 2
6 0x x
161) 2
2 5 2 0x x
162) 2
4 17 15 0x x
163) 2
2 6 0x x
164) 2
10 19 6 0x x
165) 2
7 18 9 0x x
166) 2
5 7 0x x
167) 2
10 24 0x x
168) 2
5 24 0x x
169) 2
11 30 0x x
170) 2
5 36 0x x
171) 2
5 13 6 0x x
172) 2
3 8 16 0x x
173) 2
16 16 3 0x x
174) 2
6 7 10 0x x
175) 2
6 10 0x x
176) 2
12 27 0x x
177) 2
2 35 0x x
178) 2
8 12 0x x
179) 2
2 99 0x x
180) 2
8 29 15 0x x
181) 2
9 41 20 0x x
182) 2
12 29 15 0x x
183) 2
4 25 6 0x x
184) 2
2 3 0x x
185) 2
6 5 0x x
186) O conjunto verdade da equação
2
1
2 2
x x
x x
é:
Matemática para Concursos 21
187) A raiz da equação de 1o
grau
1 2 3 4
1 1 1 1
x x x x
x x x x
é:
a) 2
b) 5
c)-5
d) 3
e) 1
188) Resolva a equação:
1 3 7
1 1 2 1
x
x x ( x )
189) Resolva a equação:
3 1 2 1 2
4 8 2 3
( x ) ( x ) x x
a) 1
b) 2
c) –2
d) –1
e) n.r.a.
190) Resolva a equação
1 3
0 4 0 2 1
2 2
, x , x :
191) Resolva a equação
2
4 1 25 4
2 4
x
( x ) x
192) Na equação (x - b)²- (x - a)² = a² - b2
, a afirmativa correta
é:
a) Se a b a equação é determinada.
b) Se a b a equação é impossível.
c) Se a b a equação é indeterminada.
d) Se a = b a equação é impossível.
e) Se a = b a equação é determinada.
193) A equação 4 8
1 3
x x
a
a a
é indeterminada para:
a) a = l ou a = 3
b) a = 2
c) a = 3
d) a 1;a 2;a 3
e) a = -2
194) Calcule a soma e o produto das raízes da equação 2x² -
8x = 0.
195) Qual é o valor de m, sabendo-se que a equação x
2
- 7x +
m = 0 admite uma raiz igual a 3?
196) A soma das raízes da equação 2x² - 3x + 1 = 0 é:
a) 3/2
b) –3/2
c) 1/2
d) –1/2
e) 1
197) Qual é o valor de m em x² – mx +12 = 0, se uma raiz é o
triplo da outra raiz?
198) Calcule o valor de “81m” de modo que a equação x² -
(2m+1) x + m – 1 = 0, admita 2 como raiz.
199) O valor de “a + b”, sabendo que 1 e 2 são raízes
da equação x² – ax + b = 0 é:
a) 4
b) 5
c) – 4
d) -5
e) N.r.a.
200) O valor de m para o qual a equação
2
7 3 0
2
m
x x tenha uma raiz nula é:
a) 7
b) 6
c) 0
d)-6
201) A equação do 2
o
grau a.x² - 4x - 16 = 0 tem uma raiz
cujo valor é 4. A outra raiz é:
a)
b) 2
c) -1
d) -2
e) 0
202) O valor do “c” na equação 64x²- 160x + c = 0, de modo
que uma raiz seja o triplo da outra é:
a) 15
b) 25
c) 3
d) 75
e) n.r.a.
203) Calcule o valor de “3m”, de modo que a diferença entre
as raízes da equação x² - 15x + 6m +2 = 0, seja 3.
204) Valor de “p”, sabendo que a diferença entre as raízes da
equação 2x2
- (p-1)x + p +1 = 0, é igual a l é:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
205) O valor e k para que a equação
2 2
300 299 42 1( k k )x x tenha -6 e 7 como raízes é:
a) -1
b) 0
c)
3
2
d)
3
3
e) n.d.a
Problemas do 2° grau
206) O quadrado de um número diminuído do seu quádruplo
é igual a 12. Qual é esse número?
a) -2 ou 6
b) 2 ou -6
c) 1 ou 3
d) 3 ou 2
Matemática para Concursos 22
207) Um número natural diminuído do seu inverso é igual a
3/2. Qual é esse número?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
208) A soma dos quadrados de dois números naturais
consecutivos pares é 20. A soma desses números é:
a) 10
b) 8
c) 6
d) 4
209) Um número é tal que se do seu quadrado subtrairmos o
triplo do seu antecedente obtemos a unidade. Calcule o
número.
210) Determine três números inteiros, positivos e
consecutivos, tais que o quadrado do maior seja igual à soma
dos quadrados dos outros dois.
211) Há oito anos o quadrado da minha idade era
exatamente igual ao décuplo da idade que terei daqui a doze
anos. Qual a minha idade?
212) A raiz quadrada de um número diminuído do seu próprio
número é igual a -2. Qual é esse número?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 8
213) A soma das idades de Leonardo e Mauricio é 27 anos.
Sabe-se ainda que há dois anos o produto de suas idades
era 126 anos. Calcule suas idades.
214) Um número é tal que, dividindo-o pela soma de seus
dois algarismos obtém-se 4. Calcule-o sabendo-se ainda que
o produto desses algarismos é 8.
215) Deseja-se repartir 25 moedas entre dois irmãos de tal
modo que diferença dos quadrados das partes de cada um
seja 175. Quantas moedas deverá receber cada um?
INEQUAÇÕES
Denominamos inequação toda sentença aberta por uma
desigualdade.
INEQUAÇÕES DE 1o
GRAU
As inequações de 1º grau com uma variável podem ser
escritas numa das seguintes formas: 0ax b , 0ax b ,
0ax b , 0ax b , com a e b R 0a .
Para resolvermos uma inequação do 1
o
grau, basta isolarmos
a variável.
Atenção:
Se multiplicarmos ou dividirmos uma desigualdade por um
número negativo, a desigualdade se inverte.
Exemplos:
01 - Resolver a inequação 4x – 1 + 2(1 – 3x) 0.
Isolando a variável temos:
4 1 2 6 0
2 1 0
2 1 1
2 1
x x
x
x
x
x
S x R x ou
1
2
1 1
/ [ ,+ [
2 2
02 - Determinar o conjunto verdade da inequação
1 4 1 2
3 2 4 6
4 4 24 24 3 4 2
12 12
20 20 4
21 16 1
21 16
16
21
x ( x ) x x
x x x x
- x x
- x - -
x
x
16 16
21 21
S x R | x ou - ,] [
Exercícios
216)Quais são os valores de x, no conjunto dos números
naturais (N), que satisfazem a inequação 7x – 8 < 4x + 1?
217) Resolvendo a inequação 2x + 4(x – 1) x +16, encontra-
se o conjunto solução :
a) S = (- ; 4 [
b) S = ( - ; 4 ]
c) S = ] 4 ; + )
d) S = [4 ; + )
e) n.r.a
218) Resolva as inequações:
a) 1
2 3
x x
b)
3 1 1 1
2 4 2
( x ) x
c)
5 3 1 3 5 1 3 18
2 4 8 3
( x ) x ( x )
219) O conjunto solução da inequação
1 2 1
0
5 2 10 1 2( a ) ( a )
é o intervalo:
Matemática para Concursos 23
220) O maior número inteiro “x” que satisfaz a inequação 2,1x
+ 1,1 < 10,9 – 2,8x é:
221) Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente
as desigualdades 4 6 2 14x x e 2 10 6 2x x .
222) (CESPE/UnB) A intersecção entre os conjuntos-
soluções das desigualdades 2 3 7 100x e
10 2 80 30x contém exatamente quantos números
naturais?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DE 1º GRAU
A solução de um sistema de inequações é encontrada
através da intersecção dos conjuntos solução de cada uma
das inequações que compõem o sistema.
Exercícios
223) O conjunto solução do sistema:
1 0
2 2
x
x x
224) Resolver o sistema
4 9
3
7
3 10
2 5
4
x
x
x
x
225) O conjunto solução do sistema do sistema.
1 0
2 0
x
x
a) S = {x R / x > 2}
b) S = {x R / x < 2}
c) S = {x R / x > 1}
d) S = {x R / x < 1}
Problemas
226) O dobro de um número diminuído da sua metade é
maior que 6. O conjunto verdade dessa sentença é:
227) A diferença entre o dobro de um número e 10 é maior
que zero. O conjunto verdade dessa sentença é:
228) A soma de um número com sua terça parte é maior que
6. O conjunto verdade dessa sentença é:
INEQUAÇÕES DO 2
o
GRAU
São desigualdades do tipo : ax² + bx + c 0 , ax² + bx + c >
0 , ax² + bx + c 0 e ax² + bx + c < 0 , sempre com a 0.
Para resolvermos essas inequações , devemos analisar o
estudo do sinal da inequação do 2o
grau , seguindo os
seguintes passos:
1
o
passo: Determina-se as raízes (esta vai ser assumida ou
não , dependendo do sinal da desigualdade)
Desigualdade do tipo:
a) > ou < não assume
b) ou assume.
2
o
passo: Analisando-se o estudo do sinal , temos:
a) Se > 0 x’ x”
entre as raízes sinal contrário de a;
para fora das raízes mesmo sinal de a;
b) Se = 0 x’ = x” à esquerda e à direita da raiz mesmo
sinal de a;
c) Se < 0 x R toda ela tem o sinal de a;
3
o
passo: Dar a solução conforme a desigualdade fornecida.
Assim temos:
1- Se > 0
x' x"
Mesmo sinal
de “a”
Mesmo sinal
de “a”
Sinal contrário
de “a”
2- Se = 0
x' x"=
Mesmo sinal
de “a”
Mesmo sinal
de “a”
3- Se < 0
Mesmo sinal
de “a”
Exemplos:
01 - Resolver a inequação x² - 3x + 2 > 0.
Inicialmente iremos achar as raízes (não serão assumidas
pois a inequação é > 0).
x² - 3x + 2 > 0.
S = 3 x’= 2
P = 2 x”=1
Como temos duas raízes reais e diferentes :
Mesmo sinal
de “a”
Mesmo sinal
de “a”
Sinal contrário
de “a”
1 2
Como a inequação está pedindo valores > 0 temos :
S = (- ; 1[ ] 2 ; + )
02 - Determinar o conjunto solução da inequação x² -
10x + 25 0.
Matemática para Concursos 24
Inicialmente iremos achar as raízes (serão assumidas pois a
inequação é 0.)
x² - 10x + 25 0
S = 10 x’ = 5
P = 25 x”= 5
Como temos duas raízes reais e iguais:
Mesmo sinal
de “a”
Mesmo sinal
de “a”
5
Como a inequação está pedindo valores 0 temos :
S = R ou
S = (- ; + ).
03 - Determinar o conjunto solução da inequação x² - x
+ 1 0
Inicialmente iremos achar as raízes (serão assumidas pois a
inequação é 0.)
x² - x + 1 0
S = 1 x R , < 0
P = 1
Como não temos raízes reais:
Mesmo sinal
de “a”
Como a inequação está pedindo valores 0 temos:
S = .
Atenção:
A única maneira do trinômio ax² + bx + c , se sempre positivo
ou negativo (conforme o sinal de “a” ) ocorrerá quando < 0.
Exercícios
229) Resolva as seguintes inequações:
a) x² - 2x – 3 > 0
b) – 4x² + 11x – 6 0
c) 9x² - 6x + 1 > 0
d) x² - 5x < 0
e) x² + 4x + 7 > 0
f) - x² + 10x – 25 > 0
g) - x² + 9x – 8 0
h) x² – 3 < 0
i) - x² - x – 6 < 0
j) 2x² > 3x
k) 1 x²
l) x < x²
m) ( x –1 )² 3 – x
n) x(x + 4) > - 4 ( x + 4 )
230) O conjunto solução da inequação x² - 9x + 18 0 é o
intervalo:
a) ]3;6[
b) [3;6]
c) ( - ;3] [6;+ )
d) ( - ;3[ ]6;+ )
e) n.r.a.
231) O único valor real “x”que não satisfaz a inequação:
- x² + 8x - 16 < 0 é :
232) Resolvendo a inequação x² - 3x + 20 > 0 , encontra-se o
conjunto solução:
a) S = ( - ; 3]
b) S = [3; + )
c) S = ]3 ; + )
d) S = (- ; 5 ]
e) (- ; + )
233) Resolver, em R, o sistema:
2
2
0
3 2 0
x x
x x
234) Dê o conjunto da inequação : 2 2
2 6x x x
OBS: A solução da inequação simultânea é feita através de
um sistema de inequações.
Problemas
235) A soma de um número com seu quadrado é menor que
6. O conjunto solução dessa sentença é:
236) A diferença entre o quadrado de um número e o seu
dobro é maior que zero. O conjunto solução dessa sentença
é:
237) A diferença entre o quadrado de um número e a sua
metade é maior que zero. O conjunto solução dessa sentença
é:
SISTEMAS LINEARES
Chama-se de sistema linear ao conjunto formado por
equações lineares.
Exemplos:
a)
5
1
x y
x y
é um sistema linear que possui 2 equações e 2
variáveis.
b)
3
1
2 4
x y z
x y z
x y z
é um sistema linear que possui 3 equações
e 3 variáveis.
Classificação de um Sistema Linear
Matemática para Concursos 25
det ermi n ado(uma única solução)
possível
Sistema Linear in det er min ado(inf initas soluções)
impossível(não tem solução)
RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
ESCALONAMENTO
Escalonar um sistema é fazer, através da transformação do
sistema em outro equivalente, com que o número de
coeficientes nulos em cada equação do sistema aumente de
equação para equação. Esta transformação pode ser feita
aplicando as propriedades abaixo descritas.
Propriedades:
1. A troca de posições das equações dentro do sistema,
determina um sistema equivalente ao original;
2. A multiplicação de uma ou mais equações do sistema por
um número k k IR , determina um sistema equivalente;
3. A adição de uma equação do sistema com outra equação
do sistema multiplicada por um número k k IR ,
determina um sistema equivalente.
Técnica do escalonamento
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte
procedimento:
a) Fixamos como primeira equação do sistema aquela que
tiver como coeficiente da primeira incógnita igual a 1. Se
nenhuma das equações satisfizer esta condição, devemos
escolher uma delas pra multiplicar por k k IR ,
escolhendo k de modo que após a multiplicação, o coeficiente
da primeira incógnita seja 1.
b) Feito isso, através de operações de adição entre a primeira
e as demais equações anulamos os coeficientes da primeira
incógnita abaixo da primeira equação.
c) Repete-se o processo, agora realizando operações entre a
segunda e as demais (a primeira não deverá ser mais
utilizada), a fim de anular os coeficientes da segunda
incógnita abaixo da segunda equação;
d) O processo segue até que o sistema esteja escalonado.
Exemplos:
01 – Determine, se possível, o conjunto solução de cada um
dos sistemas lineares abaixo:
a)
3 2 2 12
10
4 2 3 29
x y z
x y z
x y z
Primeiramente, vamos trocar de posição as duas primeiras
linhas, fazendo com que o primeiro coeficiente da primeira
incógnita do sistema seja igual a 1.
10
3 2 2 12
4 2 3 29
x y z
x y z
x y z
Fazendo 1 2
3L L (multiplicamos a primeira linha por (-3)
e adicionamos o resultado a segunda) e 1 3
4L L ,
obtemos:
10
0 18
0 2 11
x y z
y z
y z
Fazendo 2 3
2L L , obtemos:
10
0 18
0 0 25
x y z
y z
z
Assim:
25
18 18 18 25 7
10 10 10 7 25 8
z
y z y z y
x y z x y z x
8 7 25S , , - O sistema tem solução única, ou seja, é
possível e determinado.
b)
4 3 5
2 6 4 4
5 15 10 10
x y z
x y z
x y z
Fazendo 1 2
2L L e 1 3
5L L obtemos:
4 3 5
0 2 2 6
0 5 5 15
x y z
y z
y z
Fazendo 2 3
5
2
L L vem:
4 3 5
0 2 2 6
0 0 0 0
x y z
y z
O sistema tem menos equações do que incógnitas. Assim,
dizemos que tem uma variável livre e por isso é dito possível
e indeterminado. Neste caso, podemos escrever a solução
em função da variável livre.
7 3S z , z,z ;z IR
Matemática para Concursos 26
c)
2 3 6
4 5 4 38
8 10 18 20
x y z
x y z
x y z
Fazendo 1 2
4L L e 1 3
8L L obtemos:
2 3 6
0 3 5 14
0 6 6 28
x y z
y z
y z
Fazendo 2 3
2L L obtemos:
2 3 6
0 3 5 14
0 0 0 56
x y z
y z
Como é absurda a igualdade encontrada 0 56 , dizemos
que o sistema é impossível. Isto é, não tem solução.
S Ø
REGRA DE CRAMER
Resolver um sistema linear pela Regra de Cramer onde a
solução é obtida pelas relações:
yx z
DD D
x ; y ;z
D D D
...
Sendo:
D é o determinante da matriz incompleta;
x y z
D ;D ;D ..., são os determinantes obtidos da matriz
incompleta, substituindo-se a coluna dos coeficientes pela
coluna dos termos independentes.
Exercícios
238) Resolver o sistema
0
2 1
x y
x y
239) Resolva o sistema
0
2 1
2
x y z
x y z
x y z
Discussão de um Sistema Linear
- Sistema possível e determinado : D ≠ 0 ( tem uma só
solução )
- Sistema possível e indeterminado : D = 0 e
0x y z n
D D D ... D (infinitas soluções)
- Sistema impossível : D = 0 e ( 0x
D ou 0y
D ou ...
0n
D ) ( não tem solução )
Exercícios
240) Para que valor de m o sistema
2
1
x my
x y
é possível e
determinado.
241) Calcule o valor de a para que o sistema
2 3
3 9
x y
x ay
seja indeterminado.
242) Para que o sistema
2 1
1 3 2
x ky
x y
seja impossível, o
valor de K deve ser?
SISTEMAS HOMOGÊNEOS
Um sistema linear é homogêneo quando todos os termos
independentes de todas as equações são iguais a zero.
Exemplos:
a)
2 0
2 0
x y
x y
b)
2 0
4 2 0
2 0
x y z
x y z
x y z
Discussão de um Sistema Homogêneo
Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial ( 0;
0; 0; ...;0)
Se D ≠ 0 : o sistema é possível e determinado.
Se D = 0 : o sistema é possível e indeterminado.
Exercícios
243) As soluções a; b; c do sistema
1
5 4 3 1
6 3 2 1
a b c
a b c
a b c
.
244) Dê o conjunto solução do sistema
2 3
8
1 1
1
x y
x y
.
245) O sistema
4
3
x my
x y k
é possível e determinado.
Então, temos sempre:
a) m = 0
b) m ≠ k
c)
1
3
m
d)
1
3
m
246) Para que valores de m e p o sistema é possível e
indeterminado.
Matemática para Concursos 27
3 2
2 6 3
mx y
x y p
FUNÇÕES
Definição:
Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A
em B, essa relação f é uma função de A em B quando a
cada elemento x do conjunto A está associado um e um só
elemento y do conjunto B.
Pode-se escrever:
f:A B (lê-se: f é uma função de A em B) ou f (x) = y
OBS: Podemos usar a seguinte notação para a lei de
associação que define uma função:
y = x + 5 ou f (x) = x + 5
y = x² ou f (x) = x²
A lei da função pode ser indicada de uma forma ou de outra,
pois y e f(x) significam o mesmo na linguagem matemática.
Exemplos:
01 - Dados os conjuntos A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20,
25}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x +
5, com x A e y B.
x = 0 y = 0 + 5 = 5
x = 5 y = 5 + 5 = 10
x = 15 y = 15 + 5 = 20
Observamos que:
todos os elementos de A estão associados a elementos de
B;
cada elemento de A está associado a um único elemento
de B.
Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula
5y x é uma função de A em B.
02 - Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5}e B = {0, 2, 5, 10, 20},
seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x, com x
A e y B.
Este exemplo NÃO expressa uma função de A em B, pois
ao elemento – 2 do conjunto A não está associado nenhum
elemento de B.
03 - Dados os conjuntos A = {-3, -1, 1, 3} e B = {1, 3, 6, 9},
seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x²,
A relação expressa pela fórmula y = x², neste caso,
representa uma função de A em B , pois:
todos os elementos de A estão associados a elementos de
B;
cada elemento de A está associado a um único elemento
de B.
04 - Dados os conjuntos A = {16, 81} e B = {-2, 2, 3}, seja a
relação de A em B expressa pela fórmula
4
y = x , com x A
e y B.
Este exemplo NÃO representa uma função de A em B, pois
ao elemento 16 do conjunto A estão associados dois
elementos (- 2 e 2) do conjunto B.
Outros exemplos:
a)
É função
b)
É função
c)
Não é função, pois, o elemento 5 do conjunto “A” não está
associado a nenhum elemento de “B”.
d)
Matemática para Concursos 28
Não é função, pois, o elemento -1 do conjunto “A” não está
associado a dois elementos do conjunto “B”.
Exercícios
247) Observe os digramas abaixo, que representam relações
de A em B. Assinale com F aquelas que são funções e com a
letra R as que não são funções.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
248) Resolva os problemas:
a) Seja f uma relação de A = { 0, 1, 2} em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5,
6} expressa pela fórmula y = x + 3, com x A e y B. Faça
um diagrama e diga se f é uma função de A em B.
b) Seja f uma relação de A = {- 1, 0, 1, 2} em B = {0, 2, 4, 6,
8} expressa pela fórmula y = 2x. Faça um diagrama e diga se
f é uma função de A em B.
c) Dados A = {- 2, - 1, 1, 2} e B = {- 8, - 4, -1, 0, 1, 4, 8}, e
uma relação f de A em B expressa pela fórmula y = x³, com x
A e y B, faça o diagrama e verifique se f é uma função de
A em B.
249) Dado A = {x N | x 6}, determine os pares ordenados
da relação
R = {(x, y) A² | x + 2y = 6} e diga se R é função ou não.
250) A tabela a seguir representa o consumo em Km/l de um
carro em movimento.
Velocidade
(km/h)
Consumo
(km/l)
40 8
60 10
80 13
90 10
100 9
120 8
Faça um diagrama de flechas e diga se a tabela representa
ou não uma função.
251) Observe os gráficos abaixo e assinale com F aqueles
que são funções e com a letra R os que não são funções.
a)
X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
-1
-2
-3
-4
b)
Matemática para Concursos 29
X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
5
6
7
8
c)
X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
5
6
7
8
d)
X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
e)
X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
8
7
6
5
0
DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; vamos
considerar a função f : A B definida por 1y x ou
1f ( x ) x .
Observando o diagrama da função, vamos definir:
O conjunto A é denominado DOMÍNIO DA FUNÇÃO, que
indicamos por D. No exemplo acima, D = {0, 1, 2}.
O domínio de uma função é, também, chamado campo de
definição ou campo de existência da função.
O conjunto {1, 2, 3}, que é um subconjunto de B, é
denominado CONJUNTO IMAGEM da função, que indicamos
por Im = {1, 2, 3}.
No exemplo acima:
1 é a imagem de 0 pela função ; indica-se f (0) = 1;
2 é a imagem de 1 pela função ; indica-se f (1) = 2;
3 é a imagem de 2 pela função ; indica-se f (2) = 3.
O conjunto B, tal que Im B, é denominado
CONTRADOMÍNIO da função.
Outro exemplo:
Sendo A = {-3, -1, 1, 3, 5} e B = {- 4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}, na
função: f : A B; y = x + 1
Temos:
D(f) = {-3, -1, 1, 3, 5} = A
CD(f) = { - 4, -2, 0, 2, 4, 6, 8} = B
Im(f) = {-2, 0 2, 4, 6}
VALOR NUMÉRICO DA FUNÇÃO
Para se obter, o valor numérico da função, devemos substituir
na lei fornecida o valor de x indicado; assim obtendo o valor
de f (x) = y.
Exemplos:
01 - Dados os conjuntos A = {-3, -1, 0, 2} e B = { -1, 0, 1, 2, 3,
4}, determinar o conjunto imagem da função f: A B definida
por f (x) = x + 2.
Resolução:
f(-3) = (-3) + 2 = -1
f(-1) = (-1) + 2 = 1
f(0) = 0 + 2 = 2
f(2) = 2 + 2 = 4
Matemática para Concursos 30
Observando o diagrama, temos:
Im = {-1, 1, 2, 4}
02 - Seja a função f : R R definida por f(x) = x² - 10x + 8.
Calcular os valores reais de x para que se tenha f(x) = -1, ou
seja, tenha imagem –1 pela função f dada.
Resolução:
f(x) = x² - 10x + 8
f(x) = -1
x² - 10x + 8 = -1
x² - 10x + 8 + 1 = 0
x² - 10x + 9 = 0
x’ = 9
x” = 1
Logo : x = 9 ou x = 1.
03 - Dada a função f : R R definida por f(x) = ax + b, com
a, b R, calcular a e b, sabendo-se que f(1) = 4 e f(-1) = -2.
Resolução:
f(x) = ax + b f(1) = a(1) + b 4 = a + b
f(x) = ax + b f(-1) = a . (-1) + b -2 = - a + b
Vamos, então, resolver o sistema:
4
2
a b
a b
-a + b = -2
b = -2 + a
a + b = 4
a + (-2 + a) = 4
2a = 6
a = 3
b = -2 + a
b = -2 + 3
b = 1
logo: a = 3 e b = 1
OBS: Se o problema pedisse a lei que define a função f,
teríamos: f (x) = 3x + 1
04 - Sejam as funções f : R R definida por f (x) = 2x – 1 e
g: R R, definida por g (x) = x + m. Determinar o valor de m
para que se tenha f (2) + g (-1) = 7.
Resolução:
f (x) = 2x – 1
f (2) = 2.(2) – 1
f (2) = 3
g (x) = x + m
g (-1) = (-1) + m
g (-1) = m – 1
f (2) + g (-1) = 7
3 + (m – 1) = 7
m + 2 = 7
m = 5.
Exercícios
252) Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1} e B = {-3, -2, -1, 0,
1, 2, 3, 4}, determine:
a)o conjunto imagem da função f : A B definida por
f ( x ) x²
b)o conjunto imagem da função f : A B definida por
2 2f ( x ) x
c) o conjunto imagem da função f: A B definida por
1f ( x ) x² -
253) Sendo f : R R uma função definida por
2
3 10f x x x , calcule:
a) f(-2)
b) f(0)
c) f(5)
d) f(-1)
e) f(3)
f) f(1/2)
254) Dada a funçâo f : R R definida por f (x) = x² - 5x + 6,
calcule os valores reais de x para que se tenha:
a)f(x) = 0 b)f(x) = 12 c)f(x) = 6
255) Dados A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}e a função
f = {(x. y) A X B | y = x2
+ 1}, determine:
a)a imagem do -1 pela função f.
b)se 4 é imagem de algum elemento de A pela função f.
c) o valor de x para o qual a função f tem imagem igual a 5.
256) Dadas as funções definidas por f (x) = 2x + (1/2) e g(x) =
(2x/5) + 1,determine o valor de f(2) + g(5).
257) Sejam as funções definidas por f(x) = 2x + a e g(x) = 5x -
b. Calcule o valor de a e de b de modo que se tenha f(3) = 9 e
g(1) = 3
258) Seja a função definida por f(x) = mx + n, com m, n R.
Se f (2) = 3 e f(-1) = -3, calcule m e n.
ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
Quando definimos uma função, o domínio D, que é o conjunto
de todos os valores possíveis da variável independente x,
pode ser dado explícita ou implicitamente.
Assim:
1o
- Funções sem restrição:
Se é dado apenas f(x) = 2x - 5, sem explicitar o domínio D,
está implícito que x pode ser qualquer número real, ou seja,
D = R.
Exemplos:
a) f (x) = 3x + 1
Matemática para Concursos 31
b) f (x) = 2x² - 7x + 3
c) f (x) = x³ - 4
Regra geral D = R
2° - Funções com restrição:
a)
1
f x
x
Aqui, devemos notar que podemos aplicar qualquer valor real
de x em f, exceto o 0 (zero), pois não podemos escrever uma
fração com denominador zero. Logo, *
0D f R R .
b)
2
3
x
f x
x
Observe que ao aplicarmos (- 3) a função, encontramos:
2 3 6
3
3 3 0
f . Como vimos anteriormente, não
podemos escrever uma fração com denominador nulo. Então,
3D f R .
Generalizando: sempre que a variável x aparece no
denominador de uma função devemos escrever que
a expressão do denominador deve ser diferente de
zero 0 .
c) f x x
Neste caso, devemos lembrar que não podemos extrair a raiz
quadrada de números negativos. Então D f R
d) 4f x x
Devemos encontrar os valores de x que fazem a expressão
4 x se tornar um número real não negativo. Ou seja,
devemos fazer 4 0x . Resolvendo a desigualdade temos:
4x . Assim / 4D f x R x
Generalizando: quando a variável x encontra-se no
interior de um radical de índice par, devemos fazer
com que o valor da expressão seja sempre maior ou
igual a zero 0 .
OBS: Se houver mais de uma restrição em uma mesma
função, devemos fazer a intersecção entre esses conjuntos.
Exercícios
259) Determine o domínio das funções abaixo:
a)
5
x
f ( x )
x
b)
2
2
x
f ( x )
x
c)
1
3
f ( x )
x
d)
2
4
x
f ( x )
x
e)
1
1
f ( x )
x
f) 2f ( x ) x
g) 3f ( x ) x
h)
1
2
f ( x )
x
i) 2
3 2y x x
j) 2
6 9f ( x ) x x
l) 2
4
x
f ( x )
x
m) 2
1
6 5
f ( x )
x x
n) 2
4
x
f ( x )
x
o)
2 1
x
f ( x )
x
p) 2
1
9 20
f ( x )
x x
q)
1
3
x
f ( x )
x x
r) 2
1
3 2
y
x x
s) 2
2
2
f ( x )
x x
t) 2
2 5
6 5
x
y
x x
u) 3
1f ( x ) x
v) 3
3
8
y
x
260) Calcule o domínio das funções:
a) 2 7f ( x ) x
b) 3f ( x ) x
c) 1f ( x ) x
Matemática para Concursos 32
d) 4
1f ( x ) x
e)
2
5 6f ( x ) x x
f) 4
1 2f ( x ) x
261) Determine o domínio de cada função:
a)
7
3
x
f ( x )
x
b) 2
5
7 12
x
y
x x
c)
2
1
2 6
x
f ( x )
x
d) 2
3 7
4
x
f ( x )
x
e)
4
x
f ( x )
x
f)
2 6
4
x
f ( x )
x
FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU: FUNÇÃO LINEAR
Toda função :f R R definida por f x ax b , com
*
a R e b R , é chamada de função polinomial do 1° grau
ou função afim, onde:
- “ a” é o coeficiente angular da função;
- “b ” é o coeficiente linear da função.
O gráfico cartesiano de uma função polinomial do 1° grau é
uma reta. O coeficiente angular ( a ) nos mostra a inclinação
desta reta, ou seja, se 0a a reta é crescente, se 0a a
reta é decrescente e o coeficiente linear b da função é o
ponto onde a reta intercepta o eixo “y”.
Particularmente quando 0b , ela é chamada de função
linear, e a sentença matemática que a define é f x ax .
Exemplos:
São funções polinomiais do 1° grau:
a) 2 3f x x
2
3
a
b
b) 4 3f x x
3
4
a
b
c) 5
2
x
f x
1
2
5
a
b
d)
4 1
5
x
f x
4
5
1
5
a
b
Gráfico Cartesiano de uma Função Polinomial do 1° Grau.
Como vimos anteriormente o gráfico cartesiano de uma
função polinomial do 1° grau é uma reta, logo para que
possamos determinar sua representação no plano cartesiano
necessitamos definir dois pontos (par ordenado (x, y))
quaisquer no plano que podem ser determinados a partir da
escolha de qualquer valor de x, que aplicados na função
determinarão os valores de y.
Exemplos:
01 – Construir o gráfico da função 2y x .
0 2
1 1
x y
x y
x y
0 2
1 1
1
0
1
2
x
y
Um outro modo de traçar o gráfico da função é utilizando-se
os pontos dados pelo coeficiente linear e a raiz ou zero da
função, respectivamente os pontos de intersecção da reta
com os eixos y e x.
Lembrete:
Como a raiz ou zero da função é o ponto de intersecção da
reta com o eixo x, o valor de y neste ponto é igual a zero.
Logo para determinarmos a raiz da função, devemos
substituir y por zero e resolver a equação.
02 – Um móvel se desloca em uma rodovia da cidade A para
B, segundo a função 80 100s t t , sendo s (espaço) em
Km e t (tempo) em horas. Sabendo que A esta localizada no
km 100 desta rodovia e B dista 350 Km de A, pede-se:
a)mO gráfico da função s:
100
600
500
400
300
200
1 65432
0
( )t h
( )s km
b)mA posição do móvel para t=3 horas;
Matemática para Concursos 33
3 100 80 3 100 80 3 340t s t t s
O móvel está no Km 340 da rodovia.
c)mO tempo de viagem gasto pelo móvel para chegar ao
destino;
O móvel chega ao destino quando 450s t . Isto porque
ele partiu da cidade A, localizada no Km 100 da rodovia e a
cidade B dista 350 Km de A.
Logo,
35
450 450 100 80 350 80
8
s t t t t h
d)mA posição do móvel para t=0. Explique o significado disso.
0 100 80 0 100 80 0 100t s t t s
100s t é a cidade A, o início do deslocamento.
Exercícios
262) Faça o gráfico das funções, indicando os coeficientes e
suas raízes.
a) 2 1f ( x ) - x
b) 2f ( x ) x -
c) 1
2
x
f ( x ) -
d)
1
2 3
x
f ( x ) -
e)
1
2
2
f ( x ) x -
f)
2 1
3 2
x
f ( x ) -
263) O gráfico de f(x) = ax + b, com a ≠ 0 e b ≠ 0 é uma:
a) reta horizontal contida no primeiro e segundo quadrantes.
b) reta vertical.
c) figura não conhecida.
d) reta não passando pela origem e nem paralela a nenhum
dos eixos.
e) n.r.a
264) Qual função corresponde ao gráfico:
X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
265) Sendo a > 0 e b > 0, a única representação gráfica
correta para a função f ( x ) ax b é:
a)
X
Y
b)
X
Y
c)
X
Y
d)
X
Y
266) (CESPE/UnB) O custo mensal da conta de água
de uma residência corresponde a fórmula
5
100
x
C x , em que C representa a quantidade de
reais e x, o consumo mensal em litros. Para que a
conta não ultrapasse R$ 25,00, o consumo mensal, em
litros, deverá ser, no máximo de:
a) 1900
b) 2000
c) 2100
d) 2200
e) 2300
Matemática para Concursos 34
267) Ao chegar em um aeroporto, um turista informou-se
sobra a locação de automóveis e organizou as informações
na seguinte tabela:
Opções Diária (R$) Preço por
Km rodado
LOCADORA 1 50,00 0,20
LOCADORA 2 30,00 0,60
LOCADORA 3 60,00 Km livre
Determine a partir de quantos Km rodados é mais vantajoso
utilizar a locadora 3.
a) 40
b) 45
c) 50
d) 55
e) 60
FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU ou FUNÇÃO
QUADRÁTICA
Uma função :f R R dada por
2
f x ax bx c , em
que , ,a b c R e 0a é chamada função polinomial do 2°
grau ou função quadrática.
Exemplos:
São funções polinomiais do 2° grau:
2
2
2 3 4
2 1
f x x x
f x x x
2
4f x x
2
2
3
3 4
f x x x
f x x
Gráfico Cartesiano
O gráfico cartesiano de uma função quadrática
2
y ax bx c de :f R R é uma curva denominada
parábola.
Para traçá-lo, devemos construir uma tabela atribuindo
valores para x e determinando o valor de y correspondente
pela função.
Exemplos:
01 – Traçar o gráfico da função
2
8 12f x x x .
x 2
8 12y x x y
0
2
0 8 0 12y . 12
2
2
2 8 2 12y . 0
4 2
4 8 4 12y . -4
6
2
6 8 6 12y . 0
8
2
8 8 8 12y . 12
02 – Traçar o gráfico da função
2
8 12f x x x .
x 2
8 12y x x y
0
2
0 8 0 12y . -12
2 2
2 8 2 12y . 0
4
2
4 8 4 12y . 4
6 2
6 8 6 12y . 0
8
2
8 8 8 12y . -12
Traçados esses dois gráficos podemos analisar alguns
coeficientes importantes nas funções quadráticas.
Coeficiente “a” - Concavidade da Parábola
Podemos observar nos gráficos traçados anteriormente que
as parábolas têm concavidades distintas, no 1° exemplo com
a concavidade para cima e no 2° com a concavidade para
baixo. Isto se dá pelo sinal do coeficiente “a”, ou seja:
- Se 0a , ou seja, positivo, a concavidade da parábola é
para cima. Como no exemplo 01.
- Se 0a , ou seja, negativo, a concavidade da parábola é
para baixo. Como no exemplo 02.
Coeficiente “c” - Intersecção da Parábola com o eixo “y”
Para determinar esta intersecção basta substituir o valor de x
por zero na função.
22
0 0 0f x ax bx c f a b c y c
Observando os gráficos dos exemplos anteriores,
encontramos, respectivamente (0, 12) e (0, -12) como pontos
de intersecção das funções com o eixo y.
Zeros ou Raízes da Função
Para se determinar os zeros de
2
f x ax bx c , basta
fazer 0f x .
Então: 2
0ax bx c
Utilizando-se a fórmula de Bhaskara temos:
1
2
2
2
2
b
x
b a
x
a b
x
a
em que 2
4b ac
Assim, x1 e x2 são as abscissas nas quais a parábola
intercepta o eixo x, ou seja, (x1, 0) e (x2, 0) são os pontos de
intersecção da parábola com eixo x.
Quando 0 , a função tem duas raízes reais
distintas 1 2
x x e a parábola intercepta o eixo x
em dois pontos diferentes.
Quando 0 , a função tem duas raízes reais
iguais 1 2
x x e a parábola intercepta o eixo x em
um ponto.
Matemática para Concursos 35
Quando 0 , a função não tem raízes reais e a
parábola não intercepta o eixo x.
Ainda observando os gráficos construídos anteriormente
temos que:
- No exemplo 1, as raízes são x1=2 e x2=6
- No exemplo 2, as raízes são x1=2 e x2=6
Exemplos:
01 – Determinar o número de raízes de cada uma das
funções abaixo, bem como seus valores.
a)
2
6 8f x x x
Calculando temos:
2
2
4
6 4 1 8
36 32
4
b ac
Como 0 , a função tem duas raízes reais e distintas.
Logo:
1
2
6 4
4
6 4 2
2 2 1 6 4
2
2
x
b
x
a
x
b)
2
4 4f x x x
Calculando temos:
2
2
4
4 4 1 4
16 16
0
b ac
Como 0 , a função tem duas raízes reais e iguais. Logo:
1
2
4 0
2
4 0 2
2 2 1 4 0
2
2
x
b
x
a
x
c)
2
5 2 2f x x x
Calculando temos:
2
2
4
2 4 5 2
4 40
36
b ac
Como 0 , a função não tem raízes reais e não se faz
necessário continuar com os cálculos.
02 – Encontrar os valores de “k” para que a função
2
3 4 1f x x x k tenha duas raízes reais e iguais.
Para que a função tenha duas raízes reais e iguais é
necessário que 0 . Logo:
2
2
0 4 0
4 4 3 1 0
16 12 1 0
16 12 12 0
4 12 0
12 4
4 1
12 3
b ac
k
k
k
k
k
k
Interpretação Geométrica das Raízes da Função
Quadrática
Abaixo, um quadro esquemático relacionando a concavidade
da parábola e as raízes de uma função do 2° grau.
( ) 0f x <
( ) 0f x > ( ) 0f x >
x' x" x ( ) 0f x <
( ) 0f x >
( ) 0f x <
x"x'
x
0a > 0a <
( ) 0f x >( ) 0f x >
x
( ) 0f x < ( ) 0f x < x
( ) 0f x > ( ) 0f x >
xx' x"=
( ) 0f x < ( ) 0f x < x
x' x"=
Vértice da Parábola
O vértice da parábola é uma importante ferramenta para a
resolução de problemas envolvendo as funções do 2° grau. O
vértice ,v v
V x y é composto por duas coordenadas o xv e yv
que podem ser calculados a partir das fórmulas.
2
v
b
x
a 4
v
y
a
A coordenada do vértice em x determina o eixo de simetria da
parábola.
A coordenada do vértice em y determina o valor máximo
(quando a concavidade é voltada para baixo) ou mínimo
(quando a concavidade é voltada para cima).
Obs:
Matemática para Concursos 36
1 - Podemos encontrar as coordenadas do vértice sem a
utilização das fórmulas, encontrando primeiramente o valor
da coordenada x, fazendo a média aritmética simples entre
as raízes, e com este valor aplicado a função encontrar o
valor da coordenada y.
2 – Além dos valores máximos e mínimos da função, a
coordenada de y do vértice, também nos ajuda a encontrar a
imagem da função:
Se 0a , a função tem valor mínimo e a imagem é
Im ,f v
y
Se 0a , a função tem valor máximo e a imagem é
Im ,f v
y
Exemplo:
01 – Uma pedra é lançada para cima e sua trajetória é dada
pela função
2
40 5h t t t , onde h é a altura da pedra em
metros em função do tempo t decorrido. A partir dos dados
acima responda:
a) Com quantos segundos a pedra volta a tocar o solo?
A pedra toca o solo quando sua altura é igual a zero, ou seja,
independente do tempo 0h t .
Substituindo h t por zero temos:
2
40 5 0t t
Resolvendo a equação do 2° grau obtida encontramos:
1
0t - a pedra esta sendo lançada.
2
8t - a pedra volta a tocar o solo.
b) Em que tempo a pedra atinge sua altura máxima?
A pedra atinge a altura máxima na metade do tempo em que
demora a tocar o solo, ou seja, no eixo de simetria da
parábola, coordenada do eixo x.
Logo:
40 40
4
2 2 5 10
v
b
x
a
Obs:
Observe que fazendo a média entre as raízes da função
( 1
0t e 2
8t ) também se obtém x = 4.
c) Qual é a altura máxima?
Como a pedra é lançada para cima, a trajetória descrita é
uma parábola com concavidade voltada para baixo, tem
ponto de máximo, que é obtido calculando-se o coordenada
do vér4tice em y.
2
40 4 5 0 1600
80
4 4 5 20
vy
a
Obs:
Veja que se aplicarmos o valor do vértice em x na função
também obteremos y = 80.
d) qual o tempo decorrido quando a pedra esta a 60 metros
de altura?
Substituindo h t por 60 temos:
2
40 5 60t t
Igualando a zero.
2
5 40 60 0t t
Encontrando as raízes.
1
2
2
6
t
t
Como visto no item c, a altura máxima é 80m, então a pedra
atinge 60 metros tanto na subida com 1
2t como na
descida com 2
6t . É importante notar que estes tempos
são simétricos, 2 segundos antes e depois do tempo médio.
Estudo do Sinal da Função
Sabemos que estudar o sinal de uma função, significa
determinar os valores de x que tornam a função:
Positiva 0f x ou 0y
Negativa 0f x ou 0y
Nula 0f x ou 0y
No estudo da função quadrática vamos estudar três casos
relacionando a concavidade da parábola e os zeros da
função.
1° caso: 0
Neste caso a função admite duas raízes reais e distintas e o
esboço do gráfico para o estudo do sinal da função é o
seguinte:
x' x" x
x"x'
x
0a > 0a <
( )
( )
( )
0
0
0
para ou
para
para ou
f x x x' x x"
f x x' x x"
f x x x' x x"
> < >
< < <
= = =
( )
( )
( )
0
0
0
para
para ou
para ou
f x x' x x"
f x x x' x x"
f x x x' x x"
> < <
< < >
= = =
x' x" x xx' x"
( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) 0f x <( ) 0f x < ( ) 0f x >( ) 0f x >
2° caso: 0
Neste caso a função admite duas raízes reais e iguais e o
esboço do gráfico para o estudo do sinal da função é o
seguinte:
Matemática para Concursos 37
x x
0a > 0a <
x x
( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) 0f x <( ) 0f x >
x' x"=
x' x"=
x' x"=
x' x"=
( )
( )
( )
0
0
0
para ou
não existe real
para
f x x x' x x"
f x x
f x x x' x"
> < >
<
= = =
( )
( )
( )
0
0
0
para ou
não existe real
para
f x x x' x x"
f x x
f x x x' x"
< < >
>
= = =
3° caso: 0
Neste caso a função não admite raízes reais e o esboço do
gráfico para o estudo do sinal da função é o seguinte:
x
x
0a > 0a <
x x
( ) 0f x <( ) 0f x >
( )
( )
( )
0
0
0
para todo real
não existe real
não existe real
f x x
f x x
f x x
>
<
=
( )
( )
( )
0
0
0
para todo real
não existe real
não existe real
f x x
f x x
f x x
<
>
=
Exercícios
268) Faça o gráfico das funções.
a)
2
1f ( x ) x
b)
2
1f ( x ) x
c)
2
f ( x ) x x
d)
2
3 2f ( x ) x x
e)
2
12 20f ( x ) x x
269) Seja a função quadrática
2
f ( x ) ax bx c , (a; b; c
R e a ≠ 0). Quando a < 0 e 0, a função poderá ter, por
gráfico:
a)
X
Y
b)
X
Y
c)
X
Y
d)
Y
270) Sabe-se que o gráfico abaixo representa uma função do
segundo grau. Esta função é?
X
Y
1 2 3 4-1-2-3-4
1
2
-1
-2
-3
-4
271) (CESPE/UnB) Considerando que o número de altas de
um hospital pode ser expresso pela função
2
14f t t t ,
em que t = 1, 2, 3, 4, ... 12 correspondente aos meses de
janeiro, fevereiro, março, ...., dezembro, respectivamente,
então o número máximo de altas nesse período foi de:
a) 48
b) 49
c) 50
d) 51
e) 52
272) (CESPE/UnB) O consumo de água, em litros, de uma
repartição durante um dia de experiente é expresso pela
função
2
22 105f t t t , em que 0y , é dado em
litros e t é o tempo, em horas. Supondo que (a, 0) e (b, 0) são
os pontos de intersecção do gráfico da função y com o eixo
Ot. Com base nas informações acima assinale a afirmativa
correta.
a) a + b = 15.
b) O maior consumo de água foi de 16 litros.
c) O consumo de água foi superior a 12 litros no intervalo
de tempo 9 14t .
273) (CESPE/UnB) Considere que, em reais, o lucro mensal
de uma empresa na venda de x unidades de determinado
produto seja dado por 1000 L x , em que
2
22 48L x x x . A partir dessas informações,
assinale a alternativa correta:
a) O lucro dessa empresa é sempre superior a R$
72000,00
Matemática para Concursos 38
b) O lucro mensal será maior que R$ 37000,00, se a
empresa vender entre 5 e 17 unidades desse produto
c) O lucro máximo mensal se dá quando são
comercializadas 1200 unidades do produto
d) A empresa nunca terá prejuízo em um mês para
qualquer quantidade x de produtos vendidos.
274) A função cujo gráfico se encontra totalmente abaixo do
eixo x é:
a)
2
400 1y x x
b)
2
111y x x
c)
2
100 100 1y x x
d)
2
400y x x
e)
2
400 100y x x
275) (CESPE/UnB) A figura abaixo apresenta os gráficos
apresenta os gráficos das funções do 2° grau definidas por
2
f x ax bx c e
2
g x px qx r . A partir desses
dados, assinale a alternativa correta.
( )f x
( )g x
x
y
a)O produto ap é negativo
b)Existe, no máximo, um valor x0 tal que 0 0
f x g x
c) Os gráficos permitem concluir que 2
4b ac
276) (CESPE/UnB) O número de ocorrências policiais no dia
x do mês é dado pelo valor da função
2
12 27f x x x , e nos dias em que ocorrências foram
registradas são aqueles que 0f x . Com base nas
informações acima, assinale a alternativa falsa.
a) O maior número de ocorrências em um único dia foi
inferior a 10
b) Do dia 3 ao dia 5, a cada dia que passa, o número de
ocorrências registradas vai aumentando
c) O número de dias em que foram registradas ocorrências é
superior a 9
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual
a incógnita aparece em expoente.
Exemplos:
1)3
x
=81 (a solução é x=4)
2)2
x-5
=16 (a solução é x=9)
3)16
x
-4
2x-1
-10=2
2x-1
(a solução é x=1)
4)3
2x-1
-3
x
-3
x-1
+1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1)
Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois
passos importantes:
1º) redução dos dois membros da equação a potências de
mesma base;
2º) aplicação da propriedade:
0 1m n
a a m n, a ,a
Exemplos:
1) 3
x
=81
Resolução:
Como 81=3
4
, podemos escrever 3
x
= 3
4
E daí, x=4.
2)
3 81
4 256
x
Resolução:
Fazendo
44
4
81 3 3
256 4 4
temos:
4
3 3
4 4
x
Logo, 4x
3) 4
3 27x
Resolução:
Fazendo
3
344 4
27 3 3 , temos:
3
4
3 3x
Logo,
3
4
x
4) 2
3x-1
= 32
2x
Resolução:
2
3x-1
= 32
2x
2
3x-1
= (2
5
)
2x
2
3x-1
= 2
10x
; daí 3x-1=10, de
onde x=-1/7.
5) Resolva a equação 3
2x
–6.3
x
–27=0.
Resolução:
Vamos resolver esta equação através de uma transformação:
3
2x
–6.3
x
–27 = 0 (3
x
)
2
-6.3
x
–27 = 0
Fazendo 3
x
= y, obtemos:
y
2
-6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos y’ = -3 e y’’
= 9
Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação
auxiliar 3
x
= y:
y’=-3 3
x’
= -3 não existe x’, pois potência de base
positiva é positiva
y’’=9 3
x’’
= 9 3
x’’
= 3
2
x’’ = 2
Portanto a solução é x = 2
Exercícios
222) Resolva as equações abaixo:
a) 4 32x
b) 1 3
9 27x x
c) 1 1
2 2 5 2 46x x x
.
d) 2
3 12 3 27 0x x
.
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Apostilamatconcursos 111209123909-phpapp01

  • 1. Matemática para Concursos 1 ? Índice Conjuntos numéricos..........2 Intervalos reais..........4 Razão..........5 Escalas..........6 Proporção..........6 Números diretamente e proporcionais..........7 Grandezas diretamente e inversamente proporcionais..........9 Regra de três..........10 Procentagem..........14 Equações de 1º grau..........15 Equações de 2º grau..........18 Inequações de 1º grau..........22 Inequações de 2º grau..........23 Sistemas lineares..........24 Funções..........26 Função de 1º grau..........32 Função de 2º grau..........33 Equação exponencial..........38 Função exponencial..........38 Logaritmos..........39 Sistema de medidas de tempo.........41 Sistema decimal de medidas.........41 Progressão aritmética (P.A.)..........42 Progressão geométrica (P.G.)..........47 Princípios de contagem..........55 Arranjo simples..........55 Permutação simples..........56 Combinação simples..........57 Noções de probabilidade..........58 Noções de estatística..........62 Gráficos de barras e colunas..........62 Médias..........63 Mediana..........65 Moda..........65 Desvio..........65 Variância..........65 Desvio padrão..........65 Geometria plana..........66 Teorema de Tales..........66 Razões trigonométricas..........67 Semelhança de polígonos..........69 Quadriláteros..........70 Geometria espacial..........73 Poliedros..........76 Prismas..........77 Paralelepípedo..........78 Cilindro..........81 Cone..........82 Pirâmide..........83 Troncos..........84 Esfera..........85 Juros simples..........91 Descontos simples..........97 Juros compostos..........98 Descontos compostos..........101 Rendas certas..........104 Sistemas de amortização..........106
  • 2. Matemática para Concursos 2 “Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade, o que proporciona o máximo prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a posse, mas a aquisição, não é a presença, mas o ato de atingir a meta.” Carl Friedrich Gauss CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ( IN ) N= {0,1,2,3,4,5,...} Um subconjunto importante de IN é o conjunto N* : N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ..} o zero foi excluído do conjunto N. Podemos considerar os números naturais ordenados sobre uma reta, conforme o esquema abaixo. 7 1211109861 54320 Importante: O asterisco (*) representa a eliminação do elemento zero (0) do conjunto. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ( Z ) Z = {... –3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, 4, ...} Além do conjunto IN, convém destacar os seguintes subconjuntos de Z: Z* = Z – { 0 } Z + = conjunto dos números inteiros não negativos = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Z _ = conjunto dos números inteiros não positivos = {..., - 4, -3, -2, -1, 0} * Z = conjunto dos números inteiros positivos ={1, 2, 3, 4, 5, ...} * Z = conjunto dos números inteiros negativos = {..., -4, -3, -2, -1} Observe que Z + = IN Podemos considerar os números inteiros ordenados sobre uma reta conforme abaixo. 1 654320-5 -1-2-3-4-6 Importante: 1) A _ parte não positiva do conjunto 2) A + parte não negativa do conjunto CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) Vamos acrescentar as frações positivas e negativas aos números inteiros e teremos os números racionais. Entao: -2, -5/4 , -1, -1/3, 0, 3/5, 1, 3/2, por exemplo, são números racionais. Todo número racional pode ser colocado em forma a b com a Z, b Z e b 0. Exemplos: -2 = -2/1 = -4/2 = -6/3 0 = 0/1 = 0/2 = 0/3 -5/4 = 5/-4 1 = 1/1 = 2/2 = 3/3 Assim, podemos escrever: Q = {x | x = a b , com a Z, b Z e b 0} É interessante considerar a representação decimal de um número racional a b , que se obtém dividindo-se a por b: Então, toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional a b . 1 5 3 0 5 2 10 6 , 1 3 12 0 3333 3 9 36 , .... Podemos representar geometricamente os números racionais sobre uma reta, conforme o esquema abaixo. 1 654320-5 -1-2-3-4-6 1 2 1 3 - 12 5 37 10 - 21 5 28 5 8 3 - É importante lembrar que: entre dois inteiros nem sempre existe outro inteiro ; entre dois racionais sempre existe outro racional. 1 0 5 2 , 5 1 25 4 , 75 3 75 20 , Estes exemplos se referem às decimais exatas ou finitas. 1 0 3333 0 3 3 , .... , 7 11666 116 6 , ... , 6 0 857142857142 0 857142 7 , ... , Estes exemplos se referem às decimais periódicas ou infinitas.
  • 3. Matemática para Concursos 3 Exemplos: entre 1 e 5/4 existe 6/5 entre 6/5 e 3/2 existe 5/4 Dizemos que o conjunto dos números racionais é denso. Isso não significa que preencha todos os pontos da reta, conforme veremos a seguir. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ( I ) Consideremos, por exemplo, os números 2 e 3 . Vamos determinar a sua representação decimal: 2 = 1,4142135... 3 = 1,7320508 ... Observamos então, que existem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome de números irracionais ,que não podem ser escritos na forma a b . Observe a seguinte construção que nos mostra a representação geométrica de um número irracional : 1 2 1 Outros exemplos : - 2 = -1,414213... - 5 = -2,236068.... e = 2,718...(base do logaritmo Natural) = 3,1415926535... CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ( R ) Dados os conjuntos dos números Racionais ( Q ) e irracionais ( I ), define-se o conjunto dos números reais como: - ouIR Q I x / x Q x I Assim, são números reais: os números naturais (N); os números inteiros (Z) ; os números racionais(Q) ; os números irracionais ( I ). Como subconjuntos importantes de R, temos: * R = R – {0} (reais não nulos) R = conjunto dos números reais não negativos. R = conjunto dos números reais não positivos. * R = conjunto dos números reais positivos. * R = conjuntos dos números reais negativos. Como os números reais resultam da união dos números racionais com os números irracionais, pode-se estabelecer uma correspondência biunívoca entre os pontos da reta e os números reais: cada ponto representará um único número real e cada número real será representado por um único ponto. A esta reta nos referimos como reta real. Atenção: Existem 2 exceções nos R ,a saber: a) divisão por zero; b) raízes de índice par com radicando negativo. O diagrama abaixo ilustra a disposição dos conjuntos. INTERVALOS Intervalos são subconjuntos de R, determinados por dois números reais a e b, com ba . Os intervalos podem ser: Fechados Quando suas extremidades pertencem ao conjunto. A representação de intervalo fechado é feita com colchetes virados para dentro. Ex: 5,252/ xIRx Abertos Quando suas extremidades não pertencem ao conjunto. A representação deste intervalo pode ser feita de duas maneiras: com colchetes virados para fora ou com parênteses. Ex: 5,25,252/ xIRx Semi-Abertos (à direita ou à esquerda) Quando apenas uma das extremidades não pertence ao conjunto. Ex: 5,25,252/ xIRx 5,25,252/ xIRx Infinitos Quando uma das extremidades é infinito. Ex: ,55/ xIRx 2,2/ xIRx
  • 4. Matemática para Concursos 4 Obs: Subconjuntos importantes de IR 1. IRxIRx ,00/ Conjunto dos números reais não negativos 2. IRxIRx 0,0/ Conjunto dos números reais não positivos 3. * ,00/ IRxIRx Conjunto dos números reais positivos 4. * 0,0/ IRxIRx Conjunto dos números reais negativos OPERAÇÕES COM INTERVALOS Em alguns casos, como na resolução de inequações, se faz necessário à união ou intersecção de intervalos. Nestes casos, é sempre interessante que se faça uma representação geométrica para realizar a operação, lembrando sempre que os intervalos também são conjuntos e por isso as definições das operações entre conjuntos continuam valendo. Exemplos: Sejam os intervalos 8,0A , 9,4B e 93/ xIRxC determine: a) CBA 0 8 0 9 A 4 9 B AUB 3 9 C 3 9 (A B)U C b) BCA 0 8 A 3 9 C 0 3 A-C 4 9 B 4 90 3 (A-C)UB c) ACB 3 9 C 4 9 B 4 B 0 8 A C B C( )-A 9 8 9 Exercícios 01) Se 0 1 2 3 4 5 6 7A , , , , , , , ,.... , então a é equivalente a: a) * x Q b) x R c) 0 7x N / x d) x Z e) 0 7x I / x 02) Resolva: a) 1 2 2 3 b) 0 6 = c) 1 3 d) 3 1 2 e) 23 a f) 5 3 a a g) 2 2 h) 2 3 5 5 i) 2 1 3 j) 3 0 4 5 , l) 23 2 m) 0 7 9 n) 1 2 o) 2 1 3 1 1 3 10 3 p) 1 1 4 5 1 0 1 2 4 , . , q) 2 3 3 1 1 2 1 4 5 . r) 1 2 3 2 2 2 s) 1 2 2 31 1 2 2 2 2 . 03)Dados os números racionais 12 22 16 5 3 5 9 3 ; ; e , podemos afirmar que: a) 22 12 9 5 b) 22 12 9 5 c) 12 22 5 9 d) 12 22 5 9
  • 5. Matemática para Concursos 5 04) O maior entre os números 2 2 2 3 3 3 2 2 4 4 5 5 e, , é: a) 2 3 4 b) 2 3 4 c) 2 2 5 d) 3 2 5 05) Transformando 6000 em potência de 10, temos: 06) Resolva: a) 1 0 1 3 , b) 2 1 3 2 . c) 1 1 2 1 1 3 2 07) O valor da expressão 81 49 81 49 08) Calcule o valor de x, na proporção 3 1 4 2 1 3 2 5 x / / , RAZÃO Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo, com o segundo número diferente de zero. Numa razão a b , “a” é o primeiro termo, ou antecedente, e “b” é o segundo termo, ou conseqüente. A razão inversa de a b é b a , com a ≠ 0 e b ≠ 0. Exemplos: a) 4 5 = = 0,8 b) 7 4 = = 4 3 7 1 75 4 4 4 , c) A razão de 10 para certo número é 2. Qual é esse número? 10 2 5x x Exercícios 09) (CESPE/UnB) Se uma corda de 30 metros de comprimento é dividida em duas partes, cujos comprimentos estão na razão 2:3, então o comprimento da menor parte, em metros, é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 10) (CESPE/UnB) Em uma loja, o preço x da resma de papel ofício é maior que o preço y da resma do mesmo papel vendido em outra loja. Sabendo que estes preços estão na razão de 101:99, assinale a opção correta: a) A razão x y x y é igual a 100 99 b) Se 10 00x y , , então 5 05x , c) Se 0 10x y , , então 11 00x y , d) Se 3 30y , , então x é maior que 3,40 e) A razão x x y é igual a 1 2 11) A razão entre dois números é de 3 para 8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é? 12) O valor de x e y na proporção 3 2 x y , sabendo que x – y = 5 13) Numa caixa há bolas brancas e bolas pretas num total de 360. Se o número de brancas é o quádruplo do número de pretas, então o número de bolas brancas é? 14) Se a razão entre os números a e b, nesta ordem, é 0,75, então a razão entre os números a + b e b é: 15) Em uma sala de aula há 19 rapazes e 23 moças. Que razão pode ser estabelecida entre o total de rapazes e o total de alunos da sala? 16) A razão entre 20 minutos e uma hora é: 17) A diferença entre dois números racionais é 30 e a razão entre o dobro do maior e o menor é 6. Determine o número maior. 18) Sabendo que a diferença entre dois números racionais é igual a 28 e que a razão entre o dobro do maior e o triplo do menor é 1, calcule o menor número. 19) Qual é a razão igual a 3 7 , cujo antecedente é igual a 6 ? 20) Numa cidade, há uma bicicleta para cada 4 jovens. a) Qual a razão entre o número de bicicletas e o de jovens? b) Qual a razão inversa? 21) Marcelo levantou uma bola de ferro pesando 15 Kg, e Mateus, outra pesando 20 Kg. Qual a razão entre os pesos levantados por Marcelo e Mateus?
  • 6. Matemática para Concursos 6 22) Qual a razão igual a razão 2 5 , cujo antecedente é igual a 8? 23) Qual a razão igual a razão 1 4 , cujo conseqüente é igual a 12? 24) Quem tem maior razão de acertos : Antônio, que, em 40 exercícios, acertou 32, ou Paulo, que, em 36 exercícios, acertou 28? 25) A razão da terça parte de um número para o triplo desse mesmo número é? a) 1 9 b) 1 3 c) 3 d) 9 26) O produto de duas razões inversas é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 27) Chama-se densidade demográfica a razão entre o número de habitantes de uma região e a área da mesma. Assim sendo, se a área do distrito federal for de 5.800 2 Km aproximadamente e sua densidade demográfica for de 203 hab/ 2 Km , então o numero de habitantes deverá ser: a) superior a 6 1 5 10, b) inferior a 6 11 10, c) superior a 6 1 3 10, d) exatamente 6 1 3 10, e) aproximadamente 6 1 2 10, 28) Multipliquei o antecedente de uma razão por 5 e dividi seu conseqüente por 2. a Razão ficou: a) dividida por 2 b) multiplicada por 5 c) dividida por 10 d) multiplicada por 10 ESCALAS Na vida prática, utiliza-se a ESCALA, porque nem sempre é possível desenhar os objetos em tamanho natural. Escala é a relação que existe entre as dimensões dos objetos reais e as de sua representação. Na escala natural o desenho tem as mesmas dimensões do objeto real, 1: 1 ( 1 para 1), 1 cm normal do desenho é igual a 1 cm do objeto. Na escala de Redução a representação gráfica é menor que a dimensão do objeto, 1: 2 ( 1 para 2), 1 cm normal do desenho equivale a 2 cm do objeto. Na escala de aumento a representação gráfica tem dimensão maior que a do objeto, 2 : 1 ( 2 para 1) 2 cm do desenho equivalem a 1 cm do objeto. ESCALA 1comprimento do desenho comprimento real correspondente n 1: n Exemplo: A planta de uma casa está na escala 1 : 50, ou seja, uma medida no desenho representa uma outra 50 vezes maior. Assim, um comprimento de 8 cm na planta corresponde a quantos metros na realidade? 1 8 1 50 50 comp. na planta comp. real x x = 400 cm ou 4 m Exercícios 29) Na planta de uma casa, um muro de 2 metros está representado por um segmento de 4 centímetros. Qual é a escala dessa planta? Obs: comprimento no desenho escala comprimento real 30) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas. Escala do desenho Medida do desenho Medida Real 1:250 10cm X 1:400 25cm Y 1:600 25cm 150m As medidas X e Y são respectivamente? 31) Num mapa, cuja escala é 1 3 000 000. . , a estrada Belém – Brasília tem 67 cm. Calcular, em Km , a distância real. a) 1.010 Km. b) 2.010 Km. c) 510 Km. d) 1000 Km. PROPORÇÃO Proporção é a igualdade entre duas razões. a c b d ( b 0 e d 0 ) (Lê-se a está para b, assim como c está para d ) Escrevendo a, b, c e d, chamamos a e d de extremos da proporção e b e c são os meios da proporção. Exemplo: 1 2 2 4
  • 7. Matemática para Concursos 7 Exemplo: 2 12 4 3 6 3 x x x Outras Propriedades a c a c a c b d b d b d Exercícios 32) Zeca possui em seu sítio 26 porcos, 10 vacas e 24 frangos. A fração que representa os animais mamíferos em relação ao total de animais é: a)3/5 b)1/4 c)2/3 d)5/3 e)2/5 33) A razão entre o preço de um aparelho de som e o preço de uma televisão é de 2 para 9. Se o aparelho de som custou R$ 5.796,00 , qual o preço da televisão ? 34) Numa cidade 3/16 dos moradores são de nacionalidade estrangeira. Se o total de habitantes é 30.000, o número de brasileiros na cidade é: a) 23.865. b) 24.375. c) 25.435. d) 25.985. e) 26.125. 35) Na partida final de um campeonato de basquete, a equipe campeã venceu o jogo com uma diferença de 8 pontos. Quantos pontos assinalou a equipe vencedora, sabendo que os pontos assinalados pelas duas equipes estão na razão de 23 para 21 ? 36) Uma indústria prepara combustível, utilizando álcool e gasolina em quantidades proporcionais a 3 e 7. Com 3600 litros de álcool, quantos litros de gasolina devem ser misturados? 37) O comprimento e a largura de uma lanchonete são proporcionais a 4 e 3. O comprimento é 10 metros. Qual a largura da lanchonete? 38) A razão entre a terça parte de 0,27 e o dobro de 0,2, nessa ordem, é equivalente a: a) 2,25% b) 4,75% c) 22,5% d) 27,5% e) 47,5% 39) Uma mistura contém ferro e chumbo na razão de 3 para 7. Quantos quilogramas de ferro há em 960 quilogramas dessa mistura ? 40) Determine uma fração equivalente a 2/3 que, adicionada de uma unidade no numerador e subtraída de uma unidade no denominador resulte em uma fração equivalente a ¾ . 41) Para o transporte de valores de certa empresa são usados dois veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 32 000 quilogramas, então a razão entre as capacidades de A e B, nessa ordem, equivale a: a) 0,0075 % b) 0,65 % c) 0,75 % e) 6,5 % f) 7,5 % NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Exemplo: Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo que elas são diretamente proporcionais: ( 2, 3, x ) e ( 6, y, 15 ) Resolução: 2 3 6 15 x y 2 3 6 y 9y 2 6 15 x 5x Exercícios 42) Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo que elas são diretamente proporcionais: a) ( 6, x, 9 ) e ( 18, 12, y ) b) ( x, y, 4 ) e ( 12, 10, 8 ) DIVISÃO DE UM NÚMERO “N” EM PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Exemplo: Divida 70 em partes diretamente proporcionais a 3 e 7. Resolução: a) Deve-se representar os números procurados por x e y. b) Considera-se as sucessões (x, y) e (3, 7) como diretamente proporcionais Propriedade Fundamental das Proporções “Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios” Os números a, b e c são diretamente proporcionais aos números x, y e t quando se tem: a b c a b c x y t x y t
  • 8. Matemática para Concursos 8 Logo: 3 7 x y e sabe-se que x + y = 70 Então: 3 7 3 7 x y x y ou ; Assim: 70 10 3 x 21x 70 10 7 y 49y Exercícios 43) Dividir 1830 em partes diretamente proporcionais a 1/3, 1/4 e 1/7. 44) Dividir R$ 4.000,00 em partes diretamente proporcionais a 0,4 ; 1,2 e 3,4. 45) Um prêmio, no valor de R$ 4650,00, deve ser dividido entre três funcionários de uma empresa, na razão direta de seus tempos de trabalho na mesma. Se um trabalha há 4 anos, outro há 5 anos e o terceiro há 6 anos e meio, a maior das partes a ser distribuída será no valor de: a) R$ 2000,00 b) R$ 1950,00 c) R$ 1750,00 d) R$ 1600,00 46) Dois irmãos jogaram na loto, sendo que o primeiro entrou com R$ 140,00 e o segundo com R$ 220,00. Ganharam um prêmio de R$ 162.000,00.O prêmio recebido pelo segundo jogador foi: a) R$ 6.300,00 b) R$ 8.900,00 c) R$ 10.800,00 d) R$ 11.200,00 e) R$ 99.000,00 47) Um terreno, de forma quadrangular, tem a medida dos lados proporcionais aos números 2, 3, 4 e 5. Se o perímetro desse terreno é 70m, a medida, em metros, do maior lado é ? 48) Três amigos fizeram um bolão para concorrer na Mega Sena. Antônio entrou com R$ 4,00 , Luís com R$ 6,50 e Paulo com R$ 2,00. Foram sorteados e ganharam R$100.000,00. Quanto deve receber cada um ? 49) Três amigas resolveram trabalhar em sociedade. Porém, o tempo que elas dispunham era desigual. Ao entregar uma encomenda, elas verificaram que Maria das Graças havia trabalhado 9/10 do total de sessões de trabalho, Carla compareceu a 4/5 e Fernanda a 3/4 das sessões. Tendo recebido R$ 2.450,00 pelo trabalho, quanto deve receber cada uma? 50) A quantia de R$ 1320,00 foi dividida entre Marcos e Carlos, na razão direta de suas idades. Se Marcos tem 29 anos e Carlos 26 anos, a parte que coube a Carlos corresponde a: a) R$ 486,00 b) R$ 528,00 c) R$ 624,00 d) R$ 686,00 51) (CESPE/UnB) O encarregado de uma escavação de uma rede de esgotos dispõe de 540 litros de combustível para distribuir entre os operadores de dois tratores e de uma escavadeira. Um dos tratores consome 18 litros de combustível por hora, enquanto que outro, por ser mais novo, consome apenas 16 litros por hora. Já a escadeira tem um consumo de 26 litros de combustível por hora. Se os encarregado distribui todo o combustível de tal forma que todas as máquinas possam trabalhar pelo mesmo período de tempo, operador da escavadeira receberá uma quantidade de combustível igual a: a)228 b)234 c) 240 d)244 e)248 52) (CESPE/UnB) Considere que os operários Pedro, Carlos e Paulo tenham sido contratados para fazer reparos em um edifício. Pedro trabalhou durante 20 horas, Carlos trabalhou durante 25 horas e Paulo, durante 32 horas. Eles dividiram uma quantia de R$ 616,00, valor combinado pelo serviço, proporcionalmente ao número de horas que cada um trabalhou. Assinale a alternativa falsa: a) Paulo recebeu menos que Pedro e Carlos juntos b) Carlos recebeu mais de 6/5 do que Pedro recebeu c) Pedro Recebeu R$100,00 53) (CESPE/UnB) Considere que para a vigilância de um depósito de material bélico, um turno de 60 horas é dividido entre os agentes de segurança Paulo, Pedro e Mário, e que o número de horas de serviço de cada um deles é diretamente proporcional aos números 3, 4 e 8, respectivamente. Então o número de horas de serviço de Paulo é: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Exemplo: Verifique se as sucessões são inversamente proporcionais: ( 2, 6, 9 ) e ( 18, 6, 4 ) Resolução: Os números a, b e c são inversamente proporcionais aos números x, y e t, quando se tem: 1 1 1 a b c a.x b.y c.t x y t
  • 9. Matemática para Concursos 9 2 6 9 2 18 6 6 9 4 36 36 36 1 1 1 18 6 4 . . . Logo, as sucessões são inversamente proporcionais. Exercícios 54) Verifique se as seqüências são inversamente proporcionais: ( 4, 5, 3 ) e ( 15, 12, 20 ) 55)Determine x e y nas seguintes sucessões, sabendo – se que elas são inversamente proporcionais : a) ( x, 8, 6 ) e ( 12, 3, y ) b) ( 5, 6, x ) e ( 30, y, 2 ) DIVISÃO DE UM NÚMERO “N” EM PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Exemplo: Dividindo 52 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4; obtém-se: Resolução: a) Deve-se representar os números procurados por x, y e t. b) Considera-se as sucessões ( x, y, t ) e ( 2, 3, 4 ) como inversamente proporcionais. Logo: 1 1 1 2 3 4 x y t e sabe-se que x + y + t = 52 Então: 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 x y t x y t ou ou 52 52 12 52 48 6 4 3 13 13 12 12 1 48 48 24 1 2 2 x x x 1 48 48 16 1 3 3 y y y 1 48 48 12 1 4 4 t t t Exercícios 56) Reparta 36 em partes inversamente proporcionais aos números 3 e 6. 57) Divida 33 em partes inversamente proporcionais aos números 1/3 e 1/8. 58) Uma empresa distribuiu um prêmio de R$ 900,00 entre três funcionárias. Cada uma receberá uma gratificação cujo valor é inversamente proporcional ao número de faltas dadas no ano anterior. Cristina faltou 8 dias, Gláucia faltou 6 dias e Juliane 3 dias. Quanto receberá cada uma? 59) Um tio ofereceu R$ 60,00 para ser repartido entre três sobrinhos, em partes inversamente proporcionais ao número de faltas que eles deram no semestre anterior. Se dois deles faltaram duas vezes e o outro 5, quanto cada um recebeu? 60) Dividir 380 em partes inversamente proporcionais aos números 2, 4 e 5. 61) Dividir 6.500 em três partes inversamente proporcionais aos números: 2,5 ; 5/6 e 5/17. 62) O perímetro de um terreno é de 72 metros. As medidas de seus lados são inversamente proporcionais a 2, 3, 5 e 6. A medida, em metros, do menor lado desse terreno é? 63) (CESPE/UnB) Três marceneiros receberam R$ 6000,00 pela execução conjunta de uma reforma de certo prédio. Um dos artífices trabalhou 5 dias; o outro 4 dias e meio; e o terceiro , 8 dias. Tinham respectivamente a idade de 20 anos, 22 anos e seis meses, 26 anos e oito meses. Eles haviam acertado repartir, entre si, a remuneração global em partes diretamente proporcionais ao tempo de trabalho de cada um e inversamente proporcionais às respectivas idades. Com base na situação acima, assinale a alternativa verdadeira. a) O marceneiro que trabalhou 5 dias, recebeu 2/3 da quantia recebida pelo marceneiro que trabalhou 8 dias; b) O marceneiro mais jovem foi o que recebeu a menor quantia; c) O marceneiro que trabalhou 8 dias recebeu 1/4 da remuneração global; d) A soma das quantias recebidas pelo marceneiro mais jovem e pelo marceneiro mais velho perfaz 11/15 da remuneração global. GRANDEZAS Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. s Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção. É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo: Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo. Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção. DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são classificadas como diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma proporção em que a primeira. Exemplo: Um carro percorre, com velocidade constante, em uma hora, 60 Km e, em duas horas, 120 Km. TEMPO DISTÂNCIA PROPORÇÃO 1h 60 km 1 60 2 1202h 120 km
  • 10. Matemática para Concursos 10 Podemos notar que quando duplicado o tempo a distância também duplicou-se. INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na proporção inversa em que a primeira cresce. Exemplo: Um carro percorre uma distância fixa em quatro horas com velocidade constante de 100 Km/h. Com 50 Km/h de velocidade a distância é percorrida em oito horas. TEMPO VELOCIDADE PROPORÇÃO 4 h 100 Km/h 4 50 8 100 8 h 50 km/h Neste exemplo, quando a velocidade é reduzida à metade o tempo de percurso dobra. REGRA DE TRÊS Simples Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2 , uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2 , qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m 2 ) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 X Identificação do tipo de relação: Área Energia 1,2 1,5 400 X Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Área Energia 1,2 1,5 400 X 1 2 400 1 5 1 2 600 600 500 1 2 , , x , x x , Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x Identificação do tipo de relação: Velocidade Tempo 400 480 3 X Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Velocidade Tempo 400 480 3 X 3 480 400 480 1200 1200 2 5 480 x x x , = = = = Os termos foram invertidos Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas Preço(R$) 3 120 5 X Identificação do tipo de relação: Camisetas Preço 3 5 120 X
  • 11. Matemática para Concursos 11 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço também aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Camisetas Preço 3 5 120 X 3 120 5 3 600 600 200 3 x x x Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. Composta A regra de três composta é utilizada em problemas com três ou mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3 ? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas Caminhões Volume 8 20 160 5 x 125 Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Horas Caminhões 8 5 20 X Volume 160 125 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Horas Caminhões 8 5 20 X Volume 160 125 Os termos foram invertidos 20 160 5 125 8 20 800 8 4 1000 10 5 4 100 100 25 4 . x x x x = = = = = = = Logo, serão necessários 25 caminhões. 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? Solução: montando a tabela: Homens Carrinhos Dias 8 20 5 4 x 16 Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Homens Carrinhos 8 4 20 X Dias 5 16 Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Homens Carrinhos 8 4 20 X Dias 5 16 20 8 5 4 16 20 40 10 5 64 16 8 5 160 160 32 5 . x x x x Logo, serão montados 32 carrinhos. 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem. Pedreiros Dias Altura 2 9 2 3 x 4 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Pedreiros Dias 2 3 9 X Altura 2 4 Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:
  • 12. Matemática para Concursos 12 Pedreiros Dias 2 3 9 X Altura 2 4 Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Os termos foram invertidos 9 2 3 4 2 9 6 3 8 4 3 36 36 12 3 . x x x x = = = = = = Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. Exercícios 64) Se 5 torneiras enchem um tanque em 7h 30min, 9 torneiras encherão o mesmo tanque em quanto tempo?(Dê a resposta em horas) 65) Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo trabalho, quantos operários farão esse mesmo trabalho em 6 dias? 66) Um relógio atrasa 4 minutos a cada 24 horas. Quantos minutos atrasará em 120 horas? 67) Seis operários gastam 20 dias para construir uma casa. Quanto tempo gastaria 10 operários para construir a mesma casa? 68) Para fazer um carregamento de areia, 6 caminhões de 5 3 m de capacidade fizeram 30 viagens. O número de viagens necessárias para que 10 caminhões de 6 3 m façam o mesmo carregamento será ? 69) Uma pessoa dá 90 passos por minuto, com passos de 70 cm, faz um trajeto de treinamento em 4h 20min. Quanto tempo levará para percorrer essa mesma distância com passos de 65cm, dando 100 passos por minuto? 70) Um circo pode ser armado, por 15 homens, em 3 dias de trabalho de 10 horas por dia. Em quantos dias 25 homens armariam o circo, trabalhando 9 horas por dia? 71) Em uma empresa, 8 funcionários produzem 2000 peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O número de funcionários necessários para que essa empresa produza 6000 peças em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 8 e) 16 72) Para asfaltar 1 Km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por dia. 20 homens, para asfaltar 2 Km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia gastarão quantos dias? 73) 15 teares, trabalhando 6 horas por dia, durante 20 dias, produzem 600 m de pano. Quantos teares são necessários para fazer 1.200 m do mesmo pano, em 30 dias, com 8 horas de trabalho por dia? 74) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 Km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 Km, consumirá quantos litros ? 75) Para fazer uma toalha quadrada de renda com 1 m de lado, uma rendeira utiliza 16 novelos de linha. Para fazer uma outra toalha quadrada com 2 m de lado, com o mesmo ponto e a mesma linha, ela utilizará uma quantidade de novelos igual a: a) 256 b) 128 c) 64 d) 32 e) 28 76) Um reservatório contendo 120 litros de água apresentava um índice de salinidade de 12%. Devido a evaporação, esse índice subiu para 15%. Determine, em litros o volume de água evaporada. 77) Um ciclista percorreu 3/10 de uma prova em 1/4 de hora. Mantendo a mesma velocidade, determine o tempo gasto, em minutos, para completar o restante da prova. 78) Um motociclista percorre 200 Km em 2 dias, se rodar durante 4 horas por dia. Em quantos dias esse motociclista percorrerá 500 Km, se rodar 5 horas por dia ? 79) Em 3 horas 3 torneiras despejam 3600 litros de água. Quantos litros despejam 5 dessas torneiras em 5 horas ? 80) Fiz meus cálculos: durante 25 dias de férias eu precisaria ler 12 páginas por dia para terminar a leitura pedida pela escola. Infelizmente, eu nem peguei o livro. Agora, só restam 15 dias de férias. Quantas páginas terei de ler por dia, para completar a leitura no último dia de férias? 81) Um livro tem 120 páginas de 40 linhas, cada linha com 12 cm de comprimento. Quantas páginas teria esse livro se houvesse 60 linhas em cada página, e as linhas tivessem 10 cm de comprimento? 82) Em 30 dias, uma frota de 34 táxis consome 85.000 litros de combustível. Um pequeno incêndio no estacionamento da frota destruiu 4 táxis. Calcule agora para quantos dias serão suficientes os 100.000 litros de combustível que a frota tem em estoque, supondo que os táxis restantes continuem rodando normalmente. 83) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100 2 m em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11900 2 m ? 84) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 Kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-los durante 5 dias, estando ausente 2 pessoas? 85) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer uma nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava
  • 13. Matemática para Concursos 13 quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar doze horas por dia, executando o serviço em: a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias e) 15 dias 86) Com a velocidade média de 42 Km/h um carro percorre uma distância em 6 horas e 30 minutos. Que velocidade deverá desenvolver para fazer o mesmo trajeto em 5 horas e 15 minutos? 87) Uma tinturaria paga a quantia de R$ 750,00 pelo consumo de energia elétrica, durante 6 dias, de um ferro elétrico que funciona 5 horas por dia. A despesa que esse ferro dará mensalmente, se funcionar 9 horas por dia será de: a) R$ 3750,00 b) R$ 4500,00 c) R$ 6759,00 d) R$ 7250,00 88) Um supermercado dispõe de 20 atendentes que trabalham 8 horas por dia e custam R$ 3.600,00 por mês. Se o supermercado passar a ter 30 atendentes trabalhando 5 horas por dia, eles custarão, por mês: a) R$ 3.375,00. b) R$ 3.400,00. c) R$ 3.425,00. d) R$ 3.450,00. e) R$ 3.475,00. 89) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é: a) 48 b) 50 c) 52)(()) d) 54 e) 56 90) Um determinado serviço é realizado por uma única maquina em 12 horas de funcionamento ininterrupto e, em 15 horas, por uma outra máquina, nas mesmas condições. Se funcionarem simultaneamente, em quanto tempo realizarão esse mesmo serviço? a) 3 horas. b) 9 horas. c) 25 horas. d) 4 horas e 50 minutos. e) 6 horas e 40 minutos. 91) Considere que uma máquina específica seja capaz de montar um livro de 400 páginas em 5 minutos de funcionamento ininterrupto. Assim sendo, outra máquina, com 50% da capacidade operacional da primeira, montaria um livro de 200 páginas após funcionar ininterruptamente por um período de: a) 2 minutos e 30 segundos. b) 5 minutos. c) 6 minutos e 15 segundos. d) 7 minutos. e) 7 minutos e 30 segundos. 92) Na construção de 6 Km de uma ponte, foram empregados 30 operários, durante 60 dias, trabalhando 8 horas por dia. Nas mesmas condições, 50 operários, trabalhando 6 horas por dia, em quantos dias construirão 10 Km dessa ponte? 93) (CESPE/UnB) Com velocidade constante de 65 Km/h, um veículo vai de uma cidade a outra em 3 horas e 7 minutos. Então, se a velocidade for aumentada em 20 km/h e mantida constante, o intervalo de tempo para que o veículo faça o mesmo trajeto será de: a) 2h 19min b) 2h 20min c) 2h 21min d) 2h 22min e) 2h 23min 94) CESPE/UnB) Se 6 pessoas trabalhando 8 horas por dias cumprem uma determinada tarefa em 9 dias, então 12 pessoas, trabalhando 9 horas nas mesmas condições, concluirão a mesma tarefa em: a) 8 dias b) 7 dias c) 6 dias d) 5 dias e) 4 dias 95) (CESPE/UnB) Considere que 8 copiadoras igualmente produtivas, trabalhando 4 horas por dia, produzem em 5 dias 160.000 cópias. Então, em 5 dias de trabalho, 7 dessas copiadoras, trabalhando seis horas por dia produzirão: a) 205.000 cópias b) 207.000 cópias c) 208.500 cópias d) 210.000 cópias e) 210.900 cópias 96) (CESPE/UnB) Para o tratamento de água de um reservatório de 45000 litros, recomendam-se 180g de cloro. Seguindo a proporcionalidade recomendada, para um reservatório de 215000 litros de capacidade, mas que esta somente com 4/5 de sua capacidade, a quantidade de cloro a ser adicionada a água deverá ser: a) Inferior a 0,5 kg b) Maior que 0,5 kg e menor que 0,6 kg c) Maior que 0,6 kg e menor que 0,7 kg d) Maior que 0,7 kg e menor que 0,8 kg e) Superior a 0,8 kg 97) (CESPE/UnB) Com o regime de trabalho de 8 horas diárias, 12 empregados são necessários para dar proteção aos recursos hídricos de uma empresa, em uma área de 100 Km2 . Tendo passado a adotar o regime de trabalho de 6 horas diárias e necessitando ampliar a área a ser protegida para 200 Km 2 , a empresa terá de aumentar o número desses empregados para: a)18 b)24 c) 28 d)32 e)36
  • 14. Matemática para Concursos 14 98) (CESPE/UnB) Considerando que todos os consultores de uma empresa desempenhem as suas atividades com a mesma eficiência e que todos os processos que eles analisam demandem o mesmo tempo de análise, se 10 homens analisam 400 processos em 9 horas, então 8 homens analisariam 560 processos em quantas horas? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 99) (CESPE/UnB) Os 33 alunos formandos de uma escola estão organizando a sua festa de formatura e 9 desses estudantes ficaram encarregados de preparar os convites. Esse pequeno grupo trabalhou durante 4 horas e produziu 2343 convites. Admitindo-se que todos os estudantes sejam igualmente eficientes, se todos os 33 formandos tivessem trabalhado na produção desses convites, o número de convites que teriam produzido nas mesmas 4 horas seria igual a: a) 7987 b) 8591 c) 8737 d) 8926 e) 9328 PORCENTAGEM É toda razão na qual o denominador é 100, ou seja, 100 N N . Exemplos: a) 35 35 0 35 100 % , b) 25 25 500 500 125 100 % de Exercícios 100) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada. a) Um apartamento foi vendido por R$ 62.400,00. Determine a comissão recebida pelo corretor. b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$ 79.800,00, já descontada a comissão do corretor. Determine o valor da comissão. 101) Quanto é 18% de a + b, quando a = 7/3 e b = 5? 102) Se 0,6% de 1 3 3 1 3 x , então o valor de x é: a) 3,4% b) 9,8% c) 34% d) 54% e) 98% 103) Paulo ganha 70 salários mínimos mensais. Joaquim ganha 30% a menos do que ganha Paulo. Quantos salários mínimos mensais ganha Joaquim? 104) Trinta por cento da quarta parte de 6400 é igual a: a) 480 b) 640 c) 240 d) 160 e) 180 105) Em Florianópolis, com suas 42 praias, são esperados para a temporada de 1998, 60% de turistas estrangeiros e um total de 150000 turistas nacionais. A previsão de estrangeiro é: a) 375000 b) 250000 c) 400000 d) 150000 e) 225000 106) Seja 26 9 5 4 8 5 x , . Então, o valor de 0,3% de x é: a) 0,66 b) 0,066 c) 2,2 d) 6,6 e) 3,3 107) O preço de um carro “zero Km” é de R$ 10.000,00. Sabe-se que ele sofre uma desvalorização anual de 20%. Decorridos 3 anos de uso, seu preço será de: a) R$ 17.280,00 b) R$ 6.740,00 c) R$ 5.120,00 d) R$ 4.000,00 e) R$ 3.806,00 108) Com 20% de desconto, paguei R$ 64,00 por uma capa. O preço sem desconto é: a) R$ 90,00 b) R$ 76,80 c) R$ 80,00 d) R$ 66,00 109) Uma fábrica tem 350 operários. O número de mulheres corresponde a 40% do número de homens. O número de homens, é: a) 280 b) 250 c) 220 d) 210 e) 140 110) Um comerciante marcou o preço de venda de uma mercadoria computando um lucro de 18% sobre o preço de custo. Se em uma promoção, ele der 18% de desconto sobre o preço de venda, concluímos que: a) ganhará dinheiro b) perderá dinheiro c) empatará
  • 15. Matemática para Concursos 15 d) é impossível determinar se perderá, ganhará ou empatará, pois não se conhece o preço de venda da mercadoria. e) é impossível determinar se perderá, ganhará ou empatará, pois não se conhece o preço de compra da mercadoria. 111) Um comerciante comprou uma peça de tecido de 50m por R$ 1.000,00. Se ele vender 20m com lucro de 60%, 20m com lucro de 35% e 10m pelo preço de custo, o seu lucro total na venda dessa peça será de: a) 38% b) 15% c) 5% d) 12% e) 25% 112) Se eu tivesse mais 20% da quantia que tenho, poderia pagar uma dívida de R$ 92,00 e ainda ficaria com R$ 8,80. A quantia que possuo é: 113) As promoções do tipo ``leve 3 e pague 2`` comuns no comércio, acenam com um desconto, sobre cada unidade vendida, de: a) 50/3 % b) 20% c) 25% d) 30% e) 100/3 % 114) A organização de uma festa distribuiu 200 ingressos para 100 casais. Outros 300 ingressos foram vendidos, 30% dos quais para mulheres. As 500 pessoas com ingresso foram à festa. a) Determine o percentual de mulheres na festa. b) Se os organizadores quisessem ter igual número de homens e de mulheres na festa, quantos ingressos a mais eles deveriam distribuir apenas para pessoas do sexo feminino? 115) Um comerciante adquire uma mercadoria por um preço P e paga um imposto no valor de 15% de P. Ao revendê-la, o comerciante cobrou um valor 75% superior ao preço P. O lucro deste comerciante, em relação ao custo total, é aproximadamente de: a) 45% b) 52% c) 55% d) 59% e) 60% 116) Ao vender um artigo por R$ 2000,00, obtive um lucro de 25%. O valor do meu lucro corresponde, na unidade monetária em uso, a: a) 250,00 b) 400,00 c) 500,00 d) 1500,00 e) 1600,00 117) No custo industrial de um livro, 60% é devido ao papel e 40% à impressão. Sendo que num ano o papel aumentou 259% e a impressão, 325%, o aumento percentual no custo do livro foi de: a) 278,1% b) 280,5% c) 283,7% d) 285,4% e) 287,8% 118) Após um aumento de 20%, um livro passa a custar R$ 180,00. O preço antes do aumento era: a) R$ 170,00 b) R$ 144,00 c) R$ 160,00 d) R$ 150,00 119) Uma loja realiza uma liquidação vendendo certa mercadoria por R$ 950,00, com prejuízo de 5% sobre o preço de custo. De quanto foi o prejuízo? a) R$ 50,00 b) R$ 60,00 c) R$ 70,00 d) R$ 80,00 120) O preço de uma geladeira é de R$ 1200,00. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um acréscimo de 10% sobre o preço à vista. Dando 30% de entrada e pagando restante em duas prestações iguais, o valor de cada prestação será de: a) R$ 302,00 b) R$ 402,00 c) R$ 450,00 d) R$ 462,00 121) Num lote de 1000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo A e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças devem ser rejeitadas neste lote? a) 66 b) 70 c) 42 d) 80 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DE 1° E 2° GRAUS EQUAÇÃO É toda a sentença aberta expressa por uma igualdade. EQUAÇÃO DE 1º GRAU É toda equação que pode ser reduzida a forma 0ax b , com a 0 e a e b R. A solução é dada quando isolamos x. Assim: a x + b = 0 x = -b/a S = {-b/a }. Exemplos: 01 - Resolva as equações do 1º grau: a) 2 8 3 10x x b) 2 6 12x c) 2 2 x x d) 3 5x
  • 16. Matemática para Concursos 16 Resolução: a) 2 8 3 10 8 10 3 2 2x x x x x b) 2 6 12 2 12 6 2 6 3x x x x c) 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x d) 3 5 5 3 2x x x 02 - Problema: Em uma cidade A uma corrida de táxi custa R$ 5,00 pela bandeirada e R$ 0,20 por quilômetro rodado. Na cidade B a bandeirada custa R$ 2,00 mais R$ 0,30 o quilômetro. Quantos quilômetros uma pessoa pode rodar para pagar o mesmo nas duas cidades? Resolução: Chamando de X a quantidade de quilômetros rodados, temos: Custo de uma corrida na cidade A. 5,00 + 0,20x Custo de uma corrida na cidade B. 2,00 + 0,30x Como queremos gastar o mesmo em ambas as cidades, devemos igualar os custos. Daí: 5,00 0,20 2,00 0,30 0,20 0,30 2,00 5,00 0,10 3,00 3,00 0,10 30 x x x x x x x Logo, para que os custos de ambas as corridas seja igual, devemos rodar 30 quilômetros. Exercícios Nos exercícios de 122 a 126 resolva as equações. 122) 3 5 2 8x x 123) 4 1 2 5x x 124) 4 1 5 3 x 125) 4 1 5 3 x 126) 1 5 2 1 12x Problemas do 1° grau 127) O dobro de um número diminuído de 3 é igual a 11. Qual é o número? 128) A soma de um número com a sua quinta parte é 2. Qual é esse número? 129) A soma de dois números consecutivos é 25. Calcule os números. 130) Um fazendeiro repartiu 240 reses entre seus três herdeiros na seguinte forma: o primeiro recebeu 2/3 do segundo e o terceiro tanto quanto o primeiro e o segundo juntos. A parte recebida pelo primeiro herdeiro foi? 131) A soma das idades de duas pessoas é 42 anos e a diferença é 6 anos. Quais são as idades? 132) A soma de dois números é 44 e a diferença é 4. Quais são esses números? a) 20 e 24 b) 18 e 6 c) 18 e 20 d) 26 e 20 133) Atualmente, quando um empregado sai de férias tem direito a 1/3 do salário como abono. João, ao sair de férias, disse: “Estou ganhando muito pouco. O abono mais R$ 600 ( de horas extras e atrasados) equivale a três vezes o meu salário”. João ganha em reais: a) R$ 175,00 b) R$ 200,00 c) R$ 225,00 d) R$ 300,00 134) A minha idade é, hoje, o triplo da sua. E daqui a 5 anos, será o dobro da sua.Qual é, hoje, a soma das nossas idades? a) 10 b) 15 c) 25 d) 30 e) 20 135) Hoje, um pai tem o dobro da idade de um filho. Dez anos atrás, o pai tinha o triplo da idade que o filho tinha. Hoje, a idade do pai é: a) 20 b) 25 c) 40 d) 30 136) A diferença entre o quádruplo de um número e a terça parte desse mesmo número é 187. Este número é: a) primo b) múltiplo de 3. c) divisível por 4. d)múltiplo de 5. 137) Se a soma de três números pares consecutivos é 402, o menor dos três é divisível por: a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 138) As idades de Carlos e Felipe somam, hoje, 45 anos e há 6 anos passados, a idade de Carlos era o dobro da idade de Felipe. A idade atual de Carlos é: a) 20
  • 17. Matemática para Concursos 17 b) 22 c) 26 d) 28 139) Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel, e a metade do que sobra, para a alimentação. Descontados o dinheiro do aluguel e o da alimentação, coloco um terço do que sobra na poupança, restando então R$ 1.200,00 para gastos diversos. Qual é o meu salário? 140) Cada filha de Luiz Antônio tem o número de irmãs igual a quarta parte do número de irmãos. Cada filho de Luiz Antônio tem o número de irmãos igual ao triplo do número de irmãs. O total de filhas de Luiz Antônio é: a)5 b)6 c)11 d)16 e)21 141) Resolva os sistemas: a) 3 10 5 2 16 x y x y b) 4 3 2 8 5 26 x y x y c) 4 3 6 1 60 3 5 24 2 3 ( x ) ( y ) x y 142) Marcelo e Renato têm juntos 360 figurinhas. Se Marcelo der 40 figurinhas para Renato, eles ficarão com igual número de figurinhas. O número de figurinhas de Renato, inicialmente, era: a) 140 b) 160 c) 200 d) 220 143) Num grupo de cavalos e patos, num total de 100 animais, o número de pés excede o número de cabeças em 150 unidades. O número de cavalos é: a) 25 b) 30 c) 50 d) 75 144) (CESPE/UnB) Um grupo composto de x empregados de uma empresa pretende comprar um presente de R$ 70,00 para o chefe, dividindo esse valor em partes iguais. Devido à desistência de dois colegas em participarem do evento, o encarregado da compra solicitou mais R$ 4,00 de cada participante restante. Com base nas informações acima, assinale a alternativa correta. a) A equação 70 74 4 2x x permite determinar o número x de empregados da empresa b) Inicialmente, o grupo de empregados era composto por mais de 8 participantes c) Cada empregado participante do evento contribuirá com mais de R$ 10,00 para a compra do presente 145) (CESPE/UnB) Ao fazer o controle de entrada e saída de veículos de garagem de uma empresa, o encarregado de segurança registrou a saída de 10 veículos, alguns com capacidade de transporte de 7 passageiros, outros com capacidade de transporte de 3 passageiros. Sabendo que todos os veículos deixaram a garagem com sua lotação máxima e que 54 passageiros foram transportados, a quantidade de veículos com capacidade de 7 passageiros que saiu da garagem foi igual a: a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 146) Uma criança comprou n canetas por 300 reais e n+4 lapiseiras por 200 reais. Sabendo que o preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira, o número de canetas e lapiseiras, respectivamente, que ele comprou é: a) 8 e 12 b) 10 e 14 c) 12 e 16 d) 16 e 12 e) 12 e 8 147) O número 110 3 foi dividido em três parcelas de modo que 10 3 da primeira é igual à segunda, e a terceira é o dobro da segunda. A menor parcela é: a) 10 3 b) 20 3 c) 10 d) 100 e) 100 3 148) Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então, o número original de garrafas de vinho na caixa é: a) 42 b) 33 c) 30 d) 24 e) 18 149) Maria e Manuel disputaram um jogo no qual são atribuídos 2 pontos por vitória e é retirado um ponto por derrota. Inicialmente cada um tinha 5 pontos. Se o Manuel ganhou exatamente 3 partidas, e a Maria no final ficou com 10 pontos, quantas partidas eles disputaram? a)3 b)4 c) 5 d)6 e)7
  • 18. Matemática para Concursos 18 150) (CESPE/UnB) Um juiz tem quatro servidores em seu gabinete. Ele deixa uma pilha de processos para serem divididos igualmente entre seus auxiliares. O primeiro servidor conta os processos e retira a quarta parte para analisar. O segundo, achando que era o primeiro, separa a quarta parte que encontrou e deixa 54 processos para serem divididos entre os outros dois servidores. Quantos foram os processos deixados pelo juiz? a) 96 b) 97 c) 98 d) 99 e) 100 151) (CESPE/UnB) Um ciclista deseja percorrer 800 km em cinco dias. Se, no primeiro dia, ele consegue percorrer 1/5 do total e, no segundo dia, ele percorre 1/4 do restante do percurso, então, nos três dias subseqüentes, ele deverá percorrer: a) 240 km b) 360 km c) 400 km d) 440 km e) 480 km 152) (CESPE/UnB) Marcos e Pedro receberam, no início de abril, mesadas de valores iguais. No final do mês, Marcos havia gastado 4/5 de sua mesada e Pedro 5/6 da sua. Sabendo que Marcos ficou com R$ 10,00 a mais que Pedro, o valor da mesada recebida por cada um deles é: a) Inferior a R$ 240,00 b) Superior a R$ 240,00 e inferior a R$ 280,00 c) Superior a R$ 280,00 e inferior a R$ 320,00 d) Superior a R$ 320,00 e inferior a R$ 360,00 e) Superior a R$ 360,00 EQUAÇÃO DE 2º GRAU É toda equação na forma ax2 + bx + c = 0, com a 0 e a, b e c R . Equações completas e incompletas Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: 2 9 20 0x x e 2 10 16 0x x são equações completas; Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos: 2 36 0 0 x b 2 10 0 0 x x c 2 4 0 0 x b c Raízes de uma equação de 2º grau Resolver uma equação de 2º grau significa determinar suas raízes. Raiz é um número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira. O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina- se conjunto verdade ou conjunto solução. Resolução de equações incompletas Quando a equação tem c = 0 as sua raízes são do tipo: 0x e b x a Quando a equação tem b=0 suas raízes são simétricas (um número é o oposto do outro) e as mesmas só serão reais se 0 c a , caso contrário a equação não tem solução no conjunto dos reais. Resolução de equações completas Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos à fórmula de Bhaskara. 2 4 2 b b ac x a , e podemos representar as duas raízes reais por 'x e "x , assim: 2 2 4 ' 2 4 " 2 b b ac x a b b ac x a Discriminante Denominamos discriminante o radical 2 4b ac que é representado pela letra grega (delta). 2 4b ac Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara: x 2 b a De acordo com o discriminante temos três casos a considerar: 1º Caso - 0 - O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes. 2º Caso - 0 - O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais. 3º Caso - 0 - O valor de não existe no conjunto dos reais, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são números complexos. Exemplos: 01 – Resolva as equações do 2º grau abaixo: a) 2 5 6 0x x
  • 19. Matemática para Concursos 19 Temos: 1 5 6 a b c Assim: 2 2 4 5 4 1 6 25 24 1 b ac . . 2 5 1 3 5 1 2 5 12 2 2 b x a x' x x" 3 2S , b) 2 4 4 0x x Temos: 1 4 5 a b c Assim: 2 2 4 4 4 1 4 16 16 0 b ac . . 2 4 0 2 4 0 2 4 02 2 2 b x a x' x x" 2S c) 2 2 3 0x x Temos: 1 2 3 a b c Assim: 2 2 4 2 4 1 3 4 12 8 b ac . . Como 0 a equação não possui soluções reais. Ou seja, S Ø 02 - Problema: João comprou um terreno de forma retangular com área e igual a 300 m 2 . Se um lado é 5 m maior que o outro, qual as dimensões do terreno de João? Resolução: Chamando o lado menor do retângulo de x, o outro medirá (x+5), já que um é maior do que o outro em 5m. Se a área é 300 m 2 , então o produto entre as dimensões dos lados deve ser igual a 300. 2 2 5 300 5 300 5 300 0 ' 20 " 15 x x x x x x x x Como procuramos à dimensão de um terreno, o valor (-20) não nos serve. Então um lado do terreno mede 15m. Por conseqüência o outro mede 20m. (15+5). Relação entre coeficientes e as raízes de uma equação do 2° grau Estas relações entre as raízes tabém são conhecidas como relações de Girard, ou simplesmente, regra da Soma e Produto. Então, se uma equação da forma 2 0ax bx c , com coeficientes reais a , b e c , admite x' e x" como suas raízes reais, podemos escrever: b x' x" soma a c x' x" produto a Exemplos: 01 – Determinar as raízes das equações do 2ª grau, utilizando soma e produto. a) 2 11 18 0x x Resolução: Devemos procurar dois números x' e x" tais que: 11 11 1 18 18 1 x' x" x' x" Vamos determinar inicialmente, os pares de números (inteiros) em que o produto é igual a 18. 1 18 18 2 9 18 3 6 18 Agora, devemos identificar se existe um destes pares que verifique a soma. Assim: 1 18 19 2 9 11 3 6 9 (não verifica) (verifica) (não verifica)
  • 20. Matemática para Concursos 20 Então, o conjunto solução é 2 9S , . b) 2 5 24 0x x Resolução: Devemos procurar dois números x' e x" tais que: 5 5 1 24 24 1 x' x" x' x" Vamos determinar inicialmente, os pares de números (inteiros) em que o produto é igual a (- 24). É importante observar que o produto tem sinal negativo, assim os fatores devem ter sinais opostos, porém nos preocuparemos com os sinais apenas no passo seguinte. 1 24 24 2 12 24 3 8 24 4 6 24 Agora, devemos identificar se existe um destes pares que verifique a soma. Assim: 1 24 23 1 24 23 2 12 10 2 12 10 3 8 5 3 8 5 4 6 2 4 6 2 (não verifica) (não verifica) (não verifica) (não verifica) (não verifica) (verifica) (não verifica) (não verifica) Então, o conjunto solução é 3 8S , . c) 2 10 16 0x x Resolução: Devemos procurar dois números x' e x" tais que: 10 10 1 16 16 1 x' x" x' x" Vamos determinar inicialmente, os pares de números (inteiros) em que o produto é igual a 16. É importante observar que o produto tem positivo, assim os fatores devem ter sinais iguais, porém a soma é negativa e isso nos diz que se existirem raízes reais elas serão também negativas. 1 16 16 2 8 16 4 4 16 Agora, devemos identificar se existe um destes pares que verifique a soma. Assim: 1 16 17 2 8 10 4 4 8 (não verifica) (verifica) (não verifica) Então, o conjunto solução é 2 8S , . Exercícios 153) 2 5 4 0x x 154) 2 8 15 0x x 155) 2 5 14 0x x 156) 2 7 6 0x x 157) 2 11 10 0x x 158) 2 2 8 0x x 159) 2 6 16 0x x 160) 2 6 0x x 161) 2 2 5 2 0x x 162) 2 4 17 15 0x x 163) 2 2 6 0x x 164) 2 10 19 6 0x x 165) 2 7 18 9 0x x 166) 2 5 7 0x x 167) 2 10 24 0x x 168) 2 5 24 0x x 169) 2 11 30 0x x 170) 2 5 36 0x x 171) 2 5 13 6 0x x 172) 2 3 8 16 0x x 173) 2 16 16 3 0x x 174) 2 6 7 10 0x x 175) 2 6 10 0x x 176) 2 12 27 0x x 177) 2 2 35 0x x 178) 2 8 12 0x x 179) 2 2 99 0x x 180) 2 8 29 15 0x x 181) 2 9 41 20 0x x 182) 2 12 29 15 0x x 183) 2 4 25 6 0x x 184) 2 2 3 0x x 185) 2 6 5 0x x 186) O conjunto verdade da equação 2 1 2 2 x x x x é:
  • 21. Matemática para Concursos 21 187) A raiz da equação de 1o grau 1 2 3 4 1 1 1 1 x x x x x x x x é: a) 2 b) 5 c)-5 d) 3 e) 1 188) Resolva a equação: 1 3 7 1 1 2 1 x x x ( x ) 189) Resolva a equação: 3 1 2 1 2 4 8 2 3 ( x ) ( x ) x x a) 1 b) 2 c) –2 d) –1 e) n.r.a. 190) Resolva a equação 1 3 0 4 0 2 1 2 2 , x , x : 191) Resolva a equação 2 4 1 25 4 2 4 x ( x ) x 192) Na equação (x - b)²- (x - a)² = a² - b2 , a afirmativa correta é: a) Se a b a equação é determinada. b) Se a b a equação é impossível. c) Se a b a equação é indeterminada. d) Se a = b a equação é impossível. e) Se a = b a equação é determinada. 193) A equação 4 8 1 3 x x a a a é indeterminada para: a) a = l ou a = 3 b) a = 2 c) a = 3 d) a 1;a 2;a 3 e) a = -2 194) Calcule a soma e o produto das raízes da equação 2x² - 8x = 0. 195) Qual é o valor de m, sabendo-se que a equação x 2 - 7x + m = 0 admite uma raiz igual a 3? 196) A soma das raízes da equação 2x² - 3x + 1 = 0 é: a) 3/2 b) –3/2 c) 1/2 d) –1/2 e) 1 197) Qual é o valor de m em x² – mx +12 = 0, se uma raiz é o triplo da outra raiz? 198) Calcule o valor de “81m” de modo que a equação x² - (2m+1) x + m – 1 = 0, admita 2 como raiz. 199) O valor de “a + b”, sabendo que 1 e 2 são raízes da equação x² – ax + b = 0 é: a) 4 b) 5 c) – 4 d) -5 e) N.r.a. 200) O valor de m para o qual a equação 2 7 3 0 2 m x x tenha uma raiz nula é: a) 7 b) 6 c) 0 d)-6 201) A equação do 2 o grau a.x² - 4x - 16 = 0 tem uma raiz cujo valor é 4. A outra raiz é: a) b) 2 c) -1 d) -2 e) 0 202) O valor do “c” na equação 64x²- 160x + c = 0, de modo que uma raiz seja o triplo da outra é: a) 15 b) 25 c) 3 d) 75 e) n.r.a. 203) Calcule o valor de “3m”, de modo que a diferença entre as raízes da equação x² - 15x + 6m +2 = 0, seja 3. 204) Valor de “p”, sabendo que a diferença entre as raízes da equação 2x2 - (p-1)x + p +1 = 0, é igual a l é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 205) O valor e k para que a equação 2 2 300 299 42 1( k k )x x tenha -6 e 7 como raízes é: a) -1 b) 0 c) 3 2 d) 3 3 e) n.d.a Problemas do 2° grau 206) O quadrado de um número diminuído do seu quádruplo é igual a 12. Qual é esse número? a) -2 ou 6 b) 2 ou -6 c) 1 ou 3 d) 3 ou 2
  • 22. Matemática para Concursos 22 207) Um número natural diminuído do seu inverso é igual a 3/2. Qual é esse número? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 208) A soma dos quadrados de dois números naturais consecutivos pares é 20. A soma desses números é: a) 10 b) 8 c) 6 d) 4 209) Um número é tal que se do seu quadrado subtrairmos o triplo do seu antecedente obtemos a unidade. Calcule o número. 210) Determine três números inteiros, positivos e consecutivos, tais que o quadrado do maior seja igual à soma dos quadrados dos outros dois. 211) Há oito anos o quadrado da minha idade era exatamente igual ao décuplo da idade que terei daqui a doze anos. Qual a minha idade? 212) A raiz quadrada de um número diminuído do seu próprio número é igual a -2. Qual é esse número? a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 213) A soma das idades de Leonardo e Mauricio é 27 anos. Sabe-se ainda que há dois anos o produto de suas idades era 126 anos. Calcule suas idades. 214) Um número é tal que, dividindo-o pela soma de seus dois algarismos obtém-se 4. Calcule-o sabendo-se ainda que o produto desses algarismos é 8. 215) Deseja-se repartir 25 moedas entre dois irmãos de tal modo que diferença dos quadrados das partes de cada um seja 175. Quantas moedas deverá receber cada um? INEQUAÇÕES Denominamos inequação toda sentença aberta por uma desigualdade. INEQUAÇÕES DE 1o GRAU As inequações de 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas: 0ax b , 0ax b , 0ax b , 0ax b , com a e b R 0a . Para resolvermos uma inequação do 1 o grau, basta isolarmos a variável. Atenção: Se multiplicarmos ou dividirmos uma desigualdade por um número negativo, a desigualdade se inverte. Exemplos: 01 - Resolver a inequação 4x – 1 + 2(1 – 3x) 0. Isolando a variável temos: 4 1 2 6 0 2 1 0 2 1 1 2 1 x x x x x x S x R x ou 1 2 1 1 / [ ,+ [ 2 2 02 - Determinar o conjunto verdade da inequação 1 4 1 2 3 2 4 6 4 4 24 24 3 4 2 12 12 20 20 4 21 16 1 21 16 16 21 x ( x ) x x x x x x - x x - x - - x x 16 16 21 21 S x R | x ou - ,] [ Exercícios 216)Quais são os valores de x, no conjunto dos números naturais (N), que satisfazem a inequação 7x – 8 < 4x + 1? 217) Resolvendo a inequação 2x + 4(x – 1) x +16, encontra- se o conjunto solução : a) S = (- ; 4 [ b) S = ( - ; 4 ] c) S = ] 4 ; + ) d) S = [4 ; + ) e) n.r.a 218) Resolva as inequações: a) 1 2 3 x x b) 3 1 1 1 2 4 2 ( x ) x c) 5 3 1 3 5 1 3 18 2 4 8 3 ( x ) x ( x ) 219) O conjunto solução da inequação 1 2 1 0 5 2 10 1 2( a ) ( a ) é o intervalo:
  • 23. Matemática para Concursos 23 220) O maior número inteiro “x” que satisfaz a inequação 2,1x + 1,1 < 10,9 – 2,8x é: 221) Quantos números inteiros satisfazem simultaneamente as desigualdades 4 6 2 14x x e 2 10 6 2x x . 222) (CESPE/UnB) A intersecção entre os conjuntos- soluções das desigualdades 2 3 7 100x e 10 2 80 30x contém exatamente quantos números naturais? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 SISTEMAS DE INEQUAÇÕES DE 1º GRAU A solução de um sistema de inequações é encontrada através da intersecção dos conjuntos solução de cada uma das inequações que compõem o sistema. Exercícios 223) O conjunto solução do sistema: 1 0 2 2 x x x 224) Resolver o sistema 4 9 3 7 3 10 2 5 4 x x x x 225) O conjunto solução do sistema do sistema. 1 0 2 0 x x a) S = {x R / x > 2} b) S = {x R / x < 2} c) S = {x R / x > 1} d) S = {x R / x < 1} Problemas 226) O dobro de um número diminuído da sua metade é maior que 6. O conjunto verdade dessa sentença é: 227) A diferença entre o dobro de um número e 10 é maior que zero. O conjunto verdade dessa sentença é: 228) A soma de um número com sua terça parte é maior que 6. O conjunto verdade dessa sentença é: INEQUAÇÕES DO 2 o GRAU São desigualdades do tipo : ax² + bx + c 0 , ax² + bx + c > 0 , ax² + bx + c 0 e ax² + bx + c < 0 , sempre com a 0. Para resolvermos essas inequações , devemos analisar o estudo do sinal da inequação do 2o grau , seguindo os seguintes passos: 1 o passo: Determina-se as raízes (esta vai ser assumida ou não , dependendo do sinal da desigualdade) Desigualdade do tipo: a) > ou < não assume b) ou assume. 2 o passo: Analisando-se o estudo do sinal , temos: a) Se > 0 x’ x” entre as raízes sinal contrário de a; para fora das raízes mesmo sinal de a; b) Se = 0 x’ = x” à esquerda e à direita da raiz mesmo sinal de a; c) Se < 0 x R toda ela tem o sinal de a; 3 o passo: Dar a solução conforme a desigualdade fornecida. Assim temos: 1- Se > 0 x' x" Mesmo sinal de “a” Mesmo sinal de “a” Sinal contrário de “a” 2- Se = 0 x' x"= Mesmo sinal de “a” Mesmo sinal de “a” 3- Se < 0 Mesmo sinal de “a” Exemplos: 01 - Resolver a inequação x² - 3x + 2 > 0. Inicialmente iremos achar as raízes (não serão assumidas pois a inequação é > 0). x² - 3x + 2 > 0. S = 3 x’= 2 P = 2 x”=1 Como temos duas raízes reais e diferentes : Mesmo sinal de “a” Mesmo sinal de “a” Sinal contrário de “a” 1 2 Como a inequação está pedindo valores > 0 temos : S = (- ; 1[ ] 2 ; + ) 02 - Determinar o conjunto solução da inequação x² - 10x + 25 0.
  • 24. Matemática para Concursos 24 Inicialmente iremos achar as raízes (serão assumidas pois a inequação é 0.) x² - 10x + 25 0 S = 10 x’ = 5 P = 25 x”= 5 Como temos duas raízes reais e iguais: Mesmo sinal de “a” Mesmo sinal de “a” 5 Como a inequação está pedindo valores 0 temos : S = R ou S = (- ; + ). 03 - Determinar o conjunto solução da inequação x² - x + 1 0 Inicialmente iremos achar as raízes (serão assumidas pois a inequação é 0.) x² - x + 1 0 S = 1 x R , < 0 P = 1 Como não temos raízes reais: Mesmo sinal de “a” Como a inequação está pedindo valores 0 temos: S = . Atenção: A única maneira do trinômio ax² + bx + c , se sempre positivo ou negativo (conforme o sinal de “a” ) ocorrerá quando < 0. Exercícios 229) Resolva as seguintes inequações: a) x² - 2x – 3 > 0 b) – 4x² + 11x – 6 0 c) 9x² - 6x + 1 > 0 d) x² - 5x < 0 e) x² + 4x + 7 > 0 f) - x² + 10x – 25 > 0 g) - x² + 9x – 8 0 h) x² – 3 < 0 i) - x² - x – 6 < 0 j) 2x² > 3x k) 1 x² l) x < x² m) ( x –1 )² 3 – x n) x(x + 4) > - 4 ( x + 4 ) 230) O conjunto solução da inequação x² - 9x + 18 0 é o intervalo: a) ]3;6[ b) [3;6] c) ( - ;3] [6;+ ) d) ( - ;3[ ]6;+ ) e) n.r.a. 231) O único valor real “x”que não satisfaz a inequação: - x² + 8x - 16 < 0 é : 232) Resolvendo a inequação x² - 3x + 20 > 0 , encontra-se o conjunto solução: a) S = ( - ; 3] b) S = [3; + ) c) S = ]3 ; + ) d) S = (- ; 5 ] e) (- ; + ) 233) Resolver, em R, o sistema: 2 2 0 3 2 0 x x x x 234) Dê o conjunto da inequação : 2 2 2 6x x x OBS: A solução da inequação simultânea é feita através de um sistema de inequações. Problemas 235) A soma de um número com seu quadrado é menor que 6. O conjunto solução dessa sentença é: 236) A diferença entre o quadrado de um número e o seu dobro é maior que zero. O conjunto solução dessa sentença é: 237) A diferença entre o quadrado de um número e a sua metade é maior que zero. O conjunto solução dessa sentença é: SISTEMAS LINEARES Chama-se de sistema linear ao conjunto formado por equações lineares. Exemplos: a) 5 1 x y x y é um sistema linear que possui 2 equações e 2 variáveis. b) 3 1 2 4 x y z x y z x y z é um sistema linear que possui 3 equações e 3 variáveis. Classificação de um Sistema Linear
  • 25. Matemática para Concursos 25 det ermi n ado(uma única solução) possível Sistema Linear in det er min ado(inf initas soluções) impossível(não tem solução) RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR ESCALONAMENTO Escalonar um sistema é fazer, através da transformação do sistema em outro equivalente, com que o número de coeficientes nulos em cada equação do sistema aumente de equação para equação. Esta transformação pode ser feita aplicando as propriedades abaixo descritas. Propriedades: 1. A troca de posições das equações dentro do sistema, determina um sistema equivalente ao original; 2. A multiplicação de uma ou mais equações do sistema por um número k k IR , determina um sistema equivalente; 3. A adição de uma equação do sistema com outra equação do sistema multiplicada por um número k k IR , determina um sistema equivalente. Técnica do escalonamento Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como primeira equação do sistema aquela que tiver como coeficiente da primeira incógnita igual a 1. Se nenhuma das equações satisfizer esta condição, devemos escolher uma delas pra multiplicar por k k IR , escolhendo k de modo que após a multiplicação, o coeficiente da primeira incógnita seja 1. b) Feito isso, através de operações de adição entre a primeira e as demais equações anulamos os coeficientes da primeira incógnita abaixo da primeira equação. c) Repete-se o processo, agora realizando operações entre a segunda e as demais (a primeira não deverá ser mais utilizada), a fim de anular os coeficientes da segunda incógnita abaixo da segunda equação; d) O processo segue até que o sistema esteja escalonado. Exemplos: 01 – Determine, se possível, o conjunto solução de cada um dos sistemas lineares abaixo: a) 3 2 2 12 10 4 2 3 29 x y z x y z x y z Primeiramente, vamos trocar de posição as duas primeiras linhas, fazendo com que o primeiro coeficiente da primeira incógnita do sistema seja igual a 1. 10 3 2 2 12 4 2 3 29 x y z x y z x y z Fazendo 1 2 3L L (multiplicamos a primeira linha por (-3) e adicionamos o resultado a segunda) e 1 3 4L L , obtemos: 10 0 18 0 2 11 x y z y z y z Fazendo 2 3 2L L , obtemos: 10 0 18 0 0 25 x y z y z z Assim: 25 18 18 18 25 7 10 10 10 7 25 8 z y z y z y x y z x y z x 8 7 25S , , - O sistema tem solução única, ou seja, é possível e determinado. b) 4 3 5 2 6 4 4 5 15 10 10 x y z x y z x y z Fazendo 1 2 2L L e 1 3 5L L obtemos: 4 3 5 0 2 2 6 0 5 5 15 x y z y z y z Fazendo 2 3 5 2 L L vem: 4 3 5 0 2 2 6 0 0 0 0 x y z y z O sistema tem menos equações do que incógnitas. Assim, dizemos que tem uma variável livre e por isso é dito possível e indeterminado. Neste caso, podemos escrever a solução em função da variável livre. 7 3S z , z,z ;z IR
  • 26. Matemática para Concursos 26 c) 2 3 6 4 5 4 38 8 10 18 20 x y z x y z x y z Fazendo 1 2 4L L e 1 3 8L L obtemos: 2 3 6 0 3 5 14 0 6 6 28 x y z y z y z Fazendo 2 3 2L L obtemos: 2 3 6 0 3 5 14 0 0 0 56 x y z y z Como é absurda a igualdade encontrada 0 56 , dizemos que o sistema é impossível. Isto é, não tem solução. S Ø REGRA DE CRAMER Resolver um sistema linear pela Regra de Cramer onde a solução é obtida pelas relações: yx z DD D x ; y ;z D D D ... Sendo: D é o determinante da matriz incompleta; x y z D ;D ;D ..., são os determinantes obtidos da matriz incompleta, substituindo-se a coluna dos coeficientes pela coluna dos termos independentes. Exercícios 238) Resolver o sistema 0 2 1 x y x y 239) Resolva o sistema 0 2 1 2 x y z x y z x y z Discussão de um Sistema Linear - Sistema possível e determinado : D ≠ 0 ( tem uma só solução ) - Sistema possível e indeterminado : D = 0 e 0x y z n D D D ... D (infinitas soluções) - Sistema impossível : D = 0 e ( 0x D ou 0y D ou ... 0n D ) ( não tem solução ) Exercícios 240) Para que valor de m o sistema 2 1 x my x y é possível e determinado. 241) Calcule o valor de a para que o sistema 2 3 3 9 x y x ay seja indeterminado. 242) Para que o sistema 2 1 1 3 2 x ky x y seja impossível, o valor de K deve ser? SISTEMAS HOMOGÊNEOS Um sistema linear é homogêneo quando todos os termos independentes de todas as equações são iguais a zero. Exemplos: a) 2 0 2 0 x y x y b) 2 0 4 2 0 2 0 x y z x y z x y z Discussão de um Sistema Homogêneo Todo sistema linear homogêneo admite a solução trivial ( 0; 0; 0; ...;0) Se D ≠ 0 : o sistema é possível e determinado. Se D = 0 : o sistema é possível e indeterminado. Exercícios 243) As soluções a; b; c do sistema 1 5 4 3 1 6 3 2 1 a b c a b c a b c . 244) Dê o conjunto solução do sistema 2 3 8 1 1 1 x y x y . 245) O sistema 4 3 x my x y k é possível e determinado. Então, temos sempre: a) m = 0 b) m ≠ k c) 1 3 m d) 1 3 m 246) Para que valores de m e p o sistema é possível e indeterminado.
  • 27. Matemática para Concursos 27 3 2 2 6 3 mx y x y p FUNÇÕES Definição: Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma relação f de A em B, essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e um só elemento y do conjunto B. Pode-se escrever: f:A B (lê-se: f é uma função de A em B) ou f (x) = y OBS: Podemos usar a seguinte notação para a lei de associação que define uma função: y = x + 5 ou f (x) = x + 5 y = x² ou f (x) = x² A lei da função pode ser indicada de uma forma ou de outra, pois y e f(x) significam o mesmo na linguagem matemática. Exemplos: 01 - Dados os conjuntos A = {0, 5, 15} e B = {0, 5, 10, 15, 20, 25}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x + 5, com x A e y B. x = 0 y = 0 + 5 = 5 x = 5 y = 5 + 5 = 10 x = 15 y = 15 + 5 = 20 Observamos que: todos os elementos de A estão associados a elementos de B; cada elemento de A está associado a um único elemento de B. Neste caso, a relação de A em B expressa pela fórmula 5y x é uma função de A em B. 02 - Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5}e B = {0, 2, 5, 10, 20}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x, com x A e y B. Este exemplo NÃO expressa uma função de A em B, pois ao elemento – 2 do conjunto A não está associado nenhum elemento de B. 03 - Dados os conjuntos A = {-3, -1, 1, 3} e B = {1, 3, 6, 9}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula y = x², A relação expressa pela fórmula y = x², neste caso, representa uma função de A em B , pois: todos os elementos de A estão associados a elementos de B; cada elemento de A está associado a um único elemento de B. 04 - Dados os conjuntos A = {16, 81} e B = {-2, 2, 3}, seja a relação de A em B expressa pela fórmula 4 y = x , com x A e y B. Este exemplo NÃO representa uma função de A em B, pois ao elemento 16 do conjunto A estão associados dois elementos (- 2 e 2) do conjunto B. Outros exemplos: a) É função b) É função c) Não é função, pois, o elemento 5 do conjunto “A” não está associado a nenhum elemento de “B”. d)
  • 28. Matemática para Concursos 28 Não é função, pois, o elemento -1 do conjunto “A” não está associado a dois elementos do conjunto “B”. Exercícios 247) Observe os digramas abaixo, que representam relações de A em B. Assinale com F aquelas que são funções e com a letra R as que não são funções. a) b) c) d) e) f) 248) Resolva os problemas: a) Seja f uma relação de A = { 0, 1, 2} em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} expressa pela fórmula y = x + 3, com x A e y B. Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. b) Seja f uma relação de A = {- 1, 0, 1, 2} em B = {0, 2, 4, 6, 8} expressa pela fórmula y = 2x. Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. c) Dados A = {- 2, - 1, 1, 2} e B = {- 8, - 4, -1, 0, 1, 4, 8}, e uma relação f de A em B expressa pela fórmula y = x³, com x A e y B, faça o diagrama e verifique se f é uma função de A em B. 249) Dado A = {x N | x 6}, determine os pares ordenados da relação R = {(x, y) A² | x + 2y = 6} e diga se R é função ou não. 250) A tabela a seguir representa o consumo em Km/l de um carro em movimento. Velocidade (km/h) Consumo (km/l) 40 8 60 10 80 13 90 10 100 9 120 8 Faça um diagrama de flechas e diga se a tabela representa ou não uma função. 251) Observe os gráficos abaixo e assinale com F aqueles que são funções e com a letra R os que não são funções. a) X Y 1 2 3 4-1-2-3-4 1 2 -1 -2 -3 -4 b)
  • 29. Matemática para Concursos 29 X Y 1 2 3 4-1-2-3-4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 5 6 7 8 c) X Y 1 2 3 4-1-2-3-4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 5 6 7 8 d) X Y 1 2 3 4-1-2-3-4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 e) X Y 1 2 3 4-1-2-3-4 1 2 3 4 8 7 6 5 0 DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; vamos considerar a função f : A B definida por 1y x ou 1f ( x ) x . Observando o diagrama da função, vamos definir: O conjunto A é denominado DOMÍNIO DA FUNÇÃO, que indicamos por D. No exemplo acima, D = {0, 1, 2}. O domínio de uma função é, também, chamado campo de definição ou campo de existência da função. O conjunto {1, 2, 3}, que é um subconjunto de B, é denominado CONJUNTO IMAGEM da função, que indicamos por Im = {1, 2, 3}. No exemplo acima: 1 é a imagem de 0 pela função ; indica-se f (0) = 1; 2 é a imagem de 1 pela função ; indica-se f (1) = 2; 3 é a imagem de 2 pela função ; indica-se f (2) = 3. O conjunto B, tal que Im B, é denominado CONTRADOMÍNIO da função. Outro exemplo: Sendo A = {-3, -1, 1, 3, 5} e B = {- 4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}, na função: f : A B; y = x + 1 Temos: D(f) = {-3, -1, 1, 3, 5} = A CD(f) = { - 4, -2, 0, 2, 4, 6, 8} = B Im(f) = {-2, 0 2, 4, 6} VALOR NUMÉRICO DA FUNÇÃO Para se obter, o valor numérico da função, devemos substituir na lei fornecida o valor de x indicado; assim obtendo o valor de f (x) = y. Exemplos: 01 - Dados os conjuntos A = {-3, -1, 0, 2} e B = { -1, 0, 1, 2, 3, 4}, determinar o conjunto imagem da função f: A B definida por f (x) = x + 2. Resolução: f(-3) = (-3) + 2 = -1 f(-1) = (-1) + 2 = 1 f(0) = 0 + 2 = 2 f(2) = 2 + 2 = 4
  • 30. Matemática para Concursos 30 Observando o diagrama, temos: Im = {-1, 1, 2, 4} 02 - Seja a função f : R R definida por f(x) = x² - 10x + 8. Calcular os valores reais de x para que se tenha f(x) = -1, ou seja, tenha imagem –1 pela função f dada. Resolução: f(x) = x² - 10x + 8 f(x) = -1 x² - 10x + 8 = -1 x² - 10x + 8 + 1 = 0 x² - 10x + 9 = 0 x’ = 9 x” = 1 Logo : x = 9 ou x = 1. 03 - Dada a função f : R R definida por f(x) = ax + b, com a, b R, calcular a e b, sabendo-se que f(1) = 4 e f(-1) = -2. Resolução: f(x) = ax + b f(1) = a(1) + b 4 = a + b f(x) = ax + b f(-1) = a . (-1) + b -2 = - a + b Vamos, então, resolver o sistema: 4 2 a b a b -a + b = -2 b = -2 + a a + b = 4 a + (-2 + a) = 4 2a = 6 a = 3 b = -2 + a b = -2 + 3 b = 1 logo: a = 3 e b = 1 OBS: Se o problema pedisse a lei que define a função f, teríamos: f (x) = 3x + 1 04 - Sejam as funções f : R R definida por f (x) = 2x – 1 e g: R R, definida por g (x) = x + m. Determinar o valor de m para que se tenha f (2) + g (-1) = 7. Resolução: f (x) = 2x – 1 f (2) = 2.(2) – 1 f (2) = 3 g (x) = x + m g (-1) = (-1) + m g (-1) = m – 1 f (2) + g (-1) = 7 3 + (m – 1) = 7 m + 2 = 7 m = 5. Exercícios 252) Dados os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1} e B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, determine: a)o conjunto imagem da função f : A B definida por f ( x ) x² b)o conjunto imagem da função f : A B definida por 2 2f ( x ) x c) o conjunto imagem da função f: A B definida por 1f ( x ) x² - 253) Sendo f : R R uma função definida por 2 3 10f x x x , calcule: a) f(-2) b) f(0) c) f(5) d) f(-1) e) f(3) f) f(1/2) 254) Dada a funçâo f : R R definida por f (x) = x² - 5x + 6, calcule os valores reais de x para que se tenha: a)f(x) = 0 b)f(x) = 12 c)f(x) = 6 255) Dados A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}e a função f = {(x. y) A X B | y = x2 + 1}, determine: a)a imagem do -1 pela função f. b)se 4 é imagem de algum elemento de A pela função f. c) o valor de x para o qual a função f tem imagem igual a 5. 256) Dadas as funções definidas por f (x) = 2x + (1/2) e g(x) = (2x/5) + 1,determine o valor de f(2) + g(5). 257) Sejam as funções definidas por f(x) = 2x + a e g(x) = 5x - b. Calcule o valor de a e de b de modo que se tenha f(3) = 9 e g(1) = 3 258) Seja a função definida por f(x) = mx + n, com m, n R. Se f (2) = 3 e f(-1) = -3, calcule m e n. ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO Quando definimos uma função, o domínio D, que é o conjunto de todos os valores possíveis da variável independente x, pode ser dado explícita ou implicitamente. Assim: 1o - Funções sem restrição: Se é dado apenas f(x) = 2x - 5, sem explicitar o domínio D, está implícito que x pode ser qualquer número real, ou seja, D = R. Exemplos: a) f (x) = 3x + 1
  • 31. Matemática para Concursos 31 b) f (x) = 2x² - 7x + 3 c) f (x) = x³ - 4 Regra geral D = R 2° - Funções com restrição: a) 1 f x x Aqui, devemos notar que podemos aplicar qualquer valor real de x em f, exceto o 0 (zero), pois não podemos escrever uma fração com denominador zero. Logo, * 0D f R R . b) 2 3 x f x x Observe que ao aplicarmos (- 3) a função, encontramos: 2 3 6 3 3 3 0 f . Como vimos anteriormente, não podemos escrever uma fração com denominador nulo. Então, 3D f R . Generalizando: sempre que a variável x aparece no denominador de uma função devemos escrever que a expressão do denominador deve ser diferente de zero 0 . c) f x x Neste caso, devemos lembrar que não podemos extrair a raiz quadrada de números negativos. Então D f R d) 4f x x Devemos encontrar os valores de x que fazem a expressão 4 x se tornar um número real não negativo. Ou seja, devemos fazer 4 0x . Resolvendo a desigualdade temos: 4x . Assim / 4D f x R x Generalizando: quando a variável x encontra-se no interior de um radical de índice par, devemos fazer com que o valor da expressão seja sempre maior ou igual a zero 0 . OBS: Se houver mais de uma restrição em uma mesma função, devemos fazer a intersecção entre esses conjuntos. Exercícios 259) Determine o domínio das funções abaixo: a) 5 x f ( x ) x b) 2 2 x f ( x ) x c) 1 3 f ( x ) x d) 2 4 x f ( x ) x e) 1 1 f ( x ) x f) 2f ( x ) x g) 3f ( x ) x h) 1 2 f ( x ) x i) 2 3 2y x x j) 2 6 9f ( x ) x x l) 2 4 x f ( x ) x m) 2 1 6 5 f ( x ) x x n) 2 4 x f ( x ) x o) 2 1 x f ( x ) x p) 2 1 9 20 f ( x ) x x q) 1 3 x f ( x ) x x r) 2 1 3 2 y x x s) 2 2 2 f ( x ) x x t) 2 2 5 6 5 x y x x u) 3 1f ( x ) x v) 3 3 8 y x 260) Calcule o domínio das funções: a) 2 7f ( x ) x b) 3f ( x ) x c) 1f ( x ) x
  • 32. Matemática para Concursos 32 d) 4 1f ( x ) x e) 2 5 6f ( x ) x x f) 4 1 2f ( x ) x 261) Determine o domínio de cada função: a) 7 3 x f ( x ) x b) 2 5 7 12 x y x x c) 2 1 2 6 x f ( x ) x d) 2 3 7 4 x f ( x ) x e) 4 x f ( x ) x f) 2 6 4 x f ( x ) x FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU: FUNÇÃO LINEAR Toda função :f R R definida por f x ax b , com * a R e b R , é chamada de função polinomial do 1° grau ou função afim, onde: - “ a” é o coeficiente angular da função; - “b ” é o coeficiente linear da função. O gráfico cartesiano de uma função polinomial do 1° grau é uma reta. O coeficiente angular ( a ) nos mostra a inclinação desta reta, ou seja, se 0a a reta é crescente, se 0a a reta é decrescente e o coeficiente linear b da função é o ponto onde a reta intercepta o eixo “y”. Particularmente quando 0b , ela é chamada de função linear, e a sentença matemática que a define é f x ax . Exemplos: São funções polinomiais do 1° grau: a) 2 3f x x 2 3 a b b) 4 3f x x 3 4 a b c) 5 2 x f x 1 2 5 a b d) 4 1 5 x f x 4 5 1 5 a b Gráfico Cartesiano de uma Função Polinomial do 1° Grau. Como vimos anteriormente o gráfico cartesiano de uma função polinomial do 1° grau é uma reta, logo para que possamos determinar sua representação no plano cartesiano necessitamos definir dois pontos (par ordenado (x, y)) quaisquer no plano que podem ser determinados a partir da escolha de qualquer valor de x, que aplicados na função determinarão os valores de y. Exemplos: 01 – Construir o gráfico da função 2y x . 0 2 1 1 x y x y x y 0 2 1 1 1 0 1 2 x y Um outro modo de traçar o gráfico da função é utilizando-se os pontos dados pelo coeficiente linear e a raiz ou zero da função, respectivamente os pontos de intersecção da reta com os eixos y e x. Lembrete: Como a raiz ou zero da função é o ponto de intersecção da reta com o eixo x, o valor de y neste ponto é igual a zero. Logo para determinarmos a raiz da função, devemos substituir y por zero e resolver a equação. 02 – Um móvel se desloca em uma rodovia da cidade A para B, segundo a função 80 100s t t , sendo s (espaço) em Km e t (tempo) em horas. Sabendo que A esta localizada no km 100 desta rodovia e B dista 350 Km de A, pede-se: a)mO gráfico da função s: 100 600 500 400 300 200 1 65432 0 ( )t h ( )s km b)mA posição do móvel para t=3 horas;
  • 33. Matemática para Concursos 33 3 100 80 3 100 80 3 340t s t t s O móvel está no Km 340 da rodovia. c)mO tempo de viagem gasto pelo móvel para chegar ao destino; O móvel chega ao destino quando 450s t . Isto porque ele partiu da cidade A, localizada no Km 100 da rodovia e a cidade B dista 350 Km de A. Logo, 35 450 450 100 80 350 80 8 s t t t t h d)mA posição do móvel para t=0. Explique o significado disso. 0 100 80 0 100 80 0 100t s t t s 100s t é a cidade A, o início do deslocamento. Exercícios 262) Faça o gráfico das funções, indicando os coeficientes e suas raízes. a) 2 1f ( x ) - x b) 2f ( x ) x - c) 1 2 x f ( x ) - d) 1 2 3 x f ( x ) - e) 1 2 2 f ( x ) x - f) 2 1 3 2 x f ( x ) - 263) O gráfico de f(x) = ax + b, com a ≠ 0 e b ≠ 0 é uma: a) reta horizontal contida no primeiro e segundo quadrantes. b) reta vertical. c) figura não conhecida. d) reta não passando pela origem e nem paralela a nenhum dos eixos. e) n.r.a 264) Qual função corresponde ao gráfico: X Y 1 2 3 4-1-2-3-4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 265) Sendo a > 0 e b > 0, a única representação gráfica correta para a função f ( x ) ax b é: a) X Y b) X Y c) X Y d) X Y 266) (CESPE/UnB) O custo mensal da conta de água de uma residência corresponde a fórmula 5 100 x C x , em que C representa a quantidade de reais e x, o consumo mensal em litros. Para que a conta não ultrapasse R$ 25,00, o consumo mensal, em litros, deverá ser, no máximo de: a) 1900 b) 2000 c) 2100 d) 2200 e) 2300
  • 34. Matemática para Concursos 34 267) Ao chegar em um aeroporto, um turista informou-se sobra a locação de automóveis e organizou as informações na seguinte tabela: Opções Diária (R$) Preço por Km rodado LOCADORA 1 50,00 0,20 LOCADORA 2 30,00 0,60 LOCADORA 3 60,00 Km livre Determine a partir de quantos Km rodados é mais vantajoso utilizar a locadora 3. a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 e) 60 FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU ou FUNÇÃO QUADRÁTICA Uma função :f R R dada por 2 f x ax bx c , em que , ,a b c R e 0a é chamada função polinomial do 2° grau ou função quadrática. Exemplos: São funções polinomiais do 2° grau: 2 2 2 3 4 2 1 f x x x f x x x 2 4f x x 2 2 3 3 4 f x x x f x x Gráfico Cartesiano O gráfico cartesiano de uma função quadrática 2 y ax bx c de :f R R é uma curva denominada parábola. Para traçá-lo, devemos construir uma tabela atribuindo valores para x e determinando o valor de y correspondente pela função. Exemplos: 01 – Traçar o gráfico da função 2 8 12f x x x . x 2 8 12y x x y 0 2 0 8 0 12y . 12 2 2 2 8 2 12y . 0 4 2 4 8 4 12y . -4 6 2 6 8 6 12y . 0 8 2 8 8 8 12y . 12 02 – Traçar o gráfico da função 2 8 12f x x x . x 2 8 12y x x y 0 2 0 8 0 12y . -12 2 2 2 8 2 12y . 0 4 2 4 8 4 12y . 4 6 2 6 8 6 12y . 0 8 2 8 8 8 12y . -12 Traçados esses dois gráficos podemos analisar alguns coeficientes importantes nas funções quadráticas. Coeficiente “a” - Concavidade da Parábola Podemos observar nos gráficos traçados anteriormente que as parábolas têm concavidades distintas, no 1° exemplo com a concavidade para cima e no 2° com a concavidade para baixo. Isto se dá pelo sinal do coeficiente “a”, ou seja: - Se 0a , ou seja, positivo, a concavidade da parábola é para cima. Como no exemplo 01. - Se 0a , ou seja, negativo, a concavidade da parábola é para baixo. Como no exemplo 02. Coeficiente “c” - Intersecção da Parábola com o eixo “y” Para determinar esta intersecção basta substituir o valor de x por zero na função. 22 0 0 0f x ax bx c f a b c y c Observando os gráficos dos exemplos anteriores, encontramos, respectivamente (0, 12) e (0, -12) como pontos de intersecção das funções com o eixo y. Zeros ou Raízes da Função Para se determinar os zeros de 2 f x ax bx c , basta fazer 0f x . Então: 2 0ax bx c Utilizando-se a fórmula de Bhaskara temos: 1 2 2 2 2 b x b a x a b x a em que 2 4b ac Assim, x1 e x2 são as abscissas nas quais a parábola intercepta o eixo x, ou seja, (x1, 0) e (x2, 0) são os pontos de intersecção da parábola com eixo x. Quando 0 , a função tem duas raízes reais distintas 1 2 x x e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes. Quando 0 , a função tem duas raízes reais iguais 1 2 x x e a parábola intercepta o eixo x em um ponto.
  • 35. Matemática para Concursos 35 Quando 0 , a função não tem raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x. Ainda observando os gráficos construídos anteriormente temos que: - No exemplo 1, as raízes são x1=2 e x2=6 - No exemplo 2, as raízes são x1=2 e x2=6 Exemplos: 01 – Determinar o número de raízes de cada uma das funções abaixo, bem como seus valores. a) 2 6 8f x x x Calculando temos: 2 2 4 6 4 1 8 36 32 4 b ac Como 0 , a função tem duas raízes reais e distintas. Logo: 1 2 6 4 4 6 4 2 2 2 1 6 4 2 2 x b x a x b) 2 4 4f x x x Calculando temos: 2 2 4 4 4 1 4 16 16 0 b ac Como 0 , a função tem duas raízes reais e iguais. Logo: 1 2 4 0 2 4 0 2 2 2 1 4 0 2 2 x b x a x c) 2 5 2 2f x x x Calculando temos: 2 2 4 2 4 5 2 4 40 36 b ac Como 0 , a função não tem raízes reais e não se faz necessário continuar com os cálculos. 02 – Encontrar os valores de “k” para que a função 2 3 4 1f x x x k tenha duas raízes reais e iguais. Para que a função tenha duas raízes reais e iguais é necessário que 0 . Logo: 2 2 0 4 0 4 4 3 1 0 16 12 1 0 16 12 12 0 4 12 0 12 4 4 1 12 3 b ac k k k k k k Interpretação Geométrica das Raízes da Função Quadrática Abaixo, um quadro esquemático relacionando a concavidade da parábola e as raízes de uma função do 2° grau. ( ) 0f x < ( ) 0f x > ( ) 0f x > x' x" x ( ) 0f x < ( ) 0f x > ( ) 0f x < x"x' x 0a > 0a < ( ) 0f x >( ) 0f x > x ( ) 0f x < ( ) 0f x < x ( ) 0f x > ( ) 0f x > xx' x"= ( ) 0f x < ( ) 0f x < x x' x"= Vértice da Parábola O vértice da parábola é uma importante ferramenta para a resolução de problemas envolvendo as funções do 2° grau. O vértice ,v v V x y é composto por duas coordenadas o xv e yv que podem ser calculados a partir das fórmulas. 2 v b x a 4 v y a A coordenada do vértice em x determina o eixo de simetria da parábola. A coordenada do vértice em y determina o valor máximo (quando a concavidade é voltada para baixo) ou mínimo (quando a concavidade é voltada para cima). Obs:
  • 36. Matemática para Concursos 36 1 - Podemos encontrar as coordenadas do vértice sem a utilização das fórmulas, encontrando primeiramente o valor da coordenada x, fazendo a média aritmética simples entre as raízes, e com este valor aplicado a função encontrar o valor da coordenada y. 2 – Além dos valores máximos e mínimos da função, a coordenada de y do vértice, também nos ajuda a encontrar a imagem da função: Se 0a , a função tem valor mínimo e a imagem é Im ,f v y Se 0a , a função tem valor máximo e a imagem é Im ,f v y Exemplo: 01 – Uma pedra é lançada para cima e sua trajetória é dada pela função 2 40 5h t t t , onde h é a altura da pedra em metros em função do tempo t decorrido. A partir dos dados acima responda: a) Com quantos segundos a pedra volta a tocar o solo? A pedra toca o solo quando sua altura é igual a zero, ou seja, independente do tempo 0h t . Substituindo h t por zero temos: 2 40 5 0t t Resolvendo a equação do 2° grau obtida encontramos: 1 0t - a pedra esta sendo lançada. 2 8t - a pedra volta a tocar o solo. b) Em que tempo a pedra atinge sua altura máxima? A pedra atinge a altura máxima na metade do tempo em que demora a tocar o solo, ou seja, no eixo de simetria da parábola, coordenada do eixo x. Logo: 40 40 4 2 2 5 10 v b x a Obs: Observe que fazendo a média entre as raízes da função ( 1 0t e 2 8t ) também se obtém x = 4. c) Qual é a altura máxima? Como a pedra é lançada para cima, a trajetória descrita é uma parábola com concavidade voltada para baixo, tem ponto de máximo, que é obtido calculando-se o coordenada do vér4tice em y. 2 40 4 5 0 1600 80 4 4 5 20 vy a Obs: Veja que se aplicarmos o valor do vértice em x na função também obteremos y = 80. d) qual o tempo decorrido quando a pedra esta a 60 metros de altura? Substituindo h t por 60 temos: 2 40 5 60t t Igualando a zero. 2 5 40 60 0t t Encontrando as raízes. 1 2 2 6 t t Como visto no item c, a altura máxima é 80m, então a pedra atinge 60 metros tanto na subida com 1 2t como na descida com 2 6t . É importante notar que estes tempos são simétricos, 2 segundos antes e depois do tempo médio. Estudo do Sinal da Função Sabemos que estudar o sinal de uma função, significa determinar os valores de x que tornam a função: Positiva 0f x ou 0y Negativa 0f x ou 0y Nula 0f x ou 0y No estudo da função quadrática vamos estudar três casos relacionando a concavidade da parábola e os zeros da função. 1° caso: 0 Neste caso a função admite duas raízes reais e distintas e o esboço do gráfico para o estudo do sinal da função é o seguinte: x' x" x x"x' x 0a > 0a < ( ) ( ) ( ) 0 0 0 para ou para para ou f x x x' x x" f x x' x x" f x x x' x x" > < > < < < = = = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 para para ou para ou f x x' x x" f x x x' x x" f x x x' x x" > < < < < > = = = x' x" x xx' x" ( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) 0f x <( ) 0f x < ( ) 0f x >( ) 0f x > 2° caso: 0 Neste caso a função admite duas raízes reais e iguais e o esboço do gráfico para o estudo do sinal da função é o seguinte:
  • 37. Matemática para Concursos 37 x x 0a > 0a < x x ( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) 0f x <( ) 0f x > x' x"= x' x"= x' x"= x' x"= ( ) ( ) ( ) 0 0 0 para ou não existe real para f x x x' x x" f x x f x x x' x" > < > < = = = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 para ou não existe real para f x x x' x x" f x x f x x x' x" < < > > = = = 3° caso: 0 Neste caso a função não admite raízes reais e o esboço do gráfico para o estudo do sinal da função é o seguinte: x x 0a > 0a < x x ( ) 0f x <( ) 0f x > ( ) ( ) ( ) 0 0 0 para todo real não existe real não existe real f x x f x x f x x > < = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 para todo real não existe real não existe real f x x f x x f x x < > = Exercícios 268) Faça o gráfico das funções. a) 2 1f ( x ) x b) 2 1f ( x ) x c) 2 f ( x ) x x d) 2 3 2f ( x ) x x e) 2 12 20f ( x ) x x 269) Seja a função quadrática 2 f ( x ) ax bx c , (a; b; c R e a ≠ 0). Quando a < 0 e 0, a função poderá ter, por gráfico: a) X Y b) X Y c) X Y d) Y 270) Sabe-se que o gráfico abaixo representa uma função do segundo grau. Esta função é? X Y 1 2 3 4-1-2-3-4 1 2 -1 -2 -3 -4 271) (CESPE/UnB) Considerando que o número de altas de um hospital pode ser expresso pela função 2 14f t t t , em que t = 1, 2, 3, 4, ... 12 correspondente aos meses de janeiro, fevereiro, março, ...., dezembro, respectivamente, então o número máximo de altas nesse período foi de: a) 48 b) 49 c) 50 d) 51 e) 52 272) (CESPE/UnB) O consumo de água, em litros, de uma repartição durante um dia de experiente é expresso pela função 2 22 105f t t t , em que 0y , é dado em litros e t é o tempo, em horas. Supondo que (a, 0) e (b, 0) são os pontos de intersecção do gráfico da função y com o eixo Ot. Com base nas informações acima assinale a afirmativa correta. a) a + b = 15. b) O maior consumo de água foi de 16 litros. c) O consumo de água foi superior a 12 litros no intervalo de tempo 9 14t . 273) (CESPE/UnB) Considere que, em reais, o lucro mensal de uma empresa na venda de x unidades de determinado produto seja dado por 1000 L x , em que 2 22 48L x x x . A partir dessas informações, assinale a alternativa correta: a) O lucro dessa empresa é sempre superior a R$ 72000,00
  • 38. Matemática para Concursos 38 b) O lucro mensal será maior que R$ 37000,00, se a empresa vender entre 5 e 17 unidades desse produto c) O lucro máximo mensal se dá quando são comercializadas 1200 unidades do produto d) A empresa nunca terá prejuízo em um mês para qualquer quantidade x de produtos vendidos. 274) A função cujo gráfico se encontra totalmente abaixo do eixo x é: a) 2 400 1y x x b) 2 111y x x c) 2 100 100 1y x x d) 2 400y x x e) 2 400 100y x x 275) (CESPE/UnB) A figura abaixo apresenta os gráficos apresenta os gráficos das funções do 2° grau definidas por 2 f x ax bx c e 2 g x px qx r . A partir desses dados, assinale a alternativa correta. ( )f x ( )g x x y a)O produto ap é negativo b)Existe, no máximo, um valor x0 tal que 0 0 f x g x c) Os gráficos permitem concluir que 2 4b ac 276) (CESPE/UnB) O número de ocorrências policiais no dia x do mês é dado pelo valor da função 2 12 27f x x x , e nos dias em que ocorrências foram registradas são aqueles que 0f x . Com base nas informações acima, assinale a alternativa falsa. a) O maior número de ocorrências em um único dia foi inferior a 10 b) Do dia 3 ao dia 5, a cada dia que passa, o número de ocorrências registradas vai aumentando c) O número de dias em que foram registradas ocorrências é superior a 9 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Chamamos de equações exponenciais toda equação na qual a incógnita aparece em expoente. Exemplos: 1)3 x =81 (a solução é x=4) 2)2 x-5 =16 (a solução é x=9) 3)16 x -4 2x-1 -10=2 2x-1 (a solução é x=1) 4)3 2x-1 -3 x -3 x-1 +1=0 (as soluções são x’=0 e x’’=1) Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos importantes: 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma base; 2º) aplicação da propriedade: 0 1m n a a m n, a ,a Exemplos: 1) 3 x =81 Resolução: Como 81=3 4 , podemos escrever 3 x = 3 4 E daí, x=4. 2) 3 81 4 256 x Resolução: Fazendo 44 4 81 3 3 256 4 4 temos: 4 3 3 4 4 x Logo, 4x 3) 4 3 27x Resolução: Fazendo 3 344 4 27 3 3 , temos: 3 4 3 3x Logo, 3 4 x 4) 2 3x-1 = 32 2x Resolução: 2 3x-1 = 32 2x 2 3x-1 = (2 5 ) 2x 2 3x-1 = 2 10x ; daí 3x-1=10, de onde x=-1/7. 5) Resolva a equação 3 2x –6.3 x –27=0. Resolução: Vamos resolver esta equação através de uma transformação: 3 2x –6.3 x –27 = 0 (3 x ) 2 -6.3 x –27 = 0 Fazendo 3 x = y, obtemos: y 2 -6y–27=0 ; aplicando Bhaskara encontramos y’ = -3 e y’’ = 9 Para achar o x, devemos voltar os valores para a equação auxiliar 3 x = y: y’=-3 3 x’ = -3 não existe x’, pois potência de base positiva é positiva y’’=9 3 x’’ = 9 3 x’’ = 3 2 x’’ = 2 Portanto a solução é x = 2 Exercícios 222) Resolva as equações abaixo: a) 4 32x b) 1 3 9 27x x c) 1 1 2 2 5 2 46x x x . d) 2 3 12 3 27 0x x .