Ensino Fundamental Roteiro geral
1. Dicionário de Matemática Elementar
Pequeno dicionário de Matemática Elementar.
2. Origem dos números
O surgimento do processo de numeração. Representação numérica. A capacidade humana de
quantificar objetos. O ábaco. O sistema de numeração indo-arábico. Notação posicional e a criação do
zero. O sistema de numeração. Observações sobre a numeração egípcia. O sistema de numeração
romana.
3. Números naturais (primeira parte)
Introdução, construção, igualdade, desigualdades e operações com números naturais.
4. Números naturais (segunda parte)
Múltiplos e Divisores naturais. Números primos. Crivo de Eratóstenes. Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
e o algoritmo para a sua obtenção. Máximo Divisor Comum (MDC) e o algoritmo para a sua obtenção.
Relação entre MMC e MDC. Primos entre sí. Radiciação.
5. Critérios de divisibilidade
Lista ímpar de Critérios de divisibilidade por: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.
Certamente você não encontrará este material em livros comuns! Em todos os casos há exemplos
para você praticar.
6. Exercícios sobre mmc, mdc e divisibilidade
Exercícios Resolvidos sobre Números Naturais, Múltiplos e Divisores naturais.
7. Números inteiros
Curiosidades com números inteiros. Introdução aos números inteiros. Sobre a origem dos sinais. O
conjunto Z dos Números Inteiros. A Reta Numerada. Ordem e simetria no conjunto Z. Módulo de um
número Inteiro. A soma de números inteiros e suas propriedades. A Multiplicação de números inteiros
e suas propriedades. A propriedade distributiva. Potenciação e radiciação de números inteiros.
8. Frações
O papel das frações e números Decimais. Elementos históricos sobre os números Decimais. Frações e
números Decimais. Leitura de Números Decimais. Transformação de frações decimais em números
decimais. Transformação de números decimais em frações decimais. Propriedades dos números
decimais. Operações com números decimais. Expressões com números decimais. Comparação de
números decimais. Porcentagem.
9. Frações decimais
Frações: elementos históricos, conceito, construção, definição, leitura, tipos e a propriedade
fundamental. A fração como classe de equivalência. Números mistos. Simplificação de frações.
Representação gráfica.
10. Números racionais
Relação entre números racionais e frações. Dízima periódica. A Conexão entre números racionais e
números reais. Geratriz de uma dízima periódica. Números irracionais. Representação geométrica dos
racionais. Ordem e simetria no conjunto Q. Módulo de um número racional. Adição e propriedades dos
números racionais. Produto e propriedades dos números racionais. Propriedade distributiva em Q.
Potenciação de números racionais. Radiciação de números racionais. Médias: Aritmética, Aritmética
Ponderada, Geométrica e Harmônica.
11. Exercícios sobre frações e números decimais
Exercícios resolvidos de frações decimais e números Decimais.
12. Equações do 1o. grau

Introdução as equações e sentenças matemáticas. Equações do primeiro grau (1 variável).
Desigualdades do primeiro grau (1 variável). Desigualdades do primeiro grau (2 variáveis). Sistemas de
equações primeiro grau. Desigualdades com duas equações.
13. Razões e proporções
Razões. Proporções. Propriedade fundamental das proporções. Razões e Proporções de Segmentos.
Polígonos e Figuras Semelhantes. Aplicações práticas das razões.
14. Aplicações das Razões e proporções
Proporções com números e propriedades. Grandezas direta e inversamente proporcionais. Elementos
históricos sobre a Regra de três. Regras de três simples direta e inversa. Regras de três composta.
Porcentagem. Juros simples.
15. Divisão proporcional
Decomposição de um número em n partes: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais,
simultaneamente em n partes direta e inversamente proporcionais. Regras de Sociedade.
16. Expressões algébricas
Expressões Numéricas e a sua importância. Elementos históricos. Expressões algébricas. Prioridade
das operações numa expressão algébrica. Monômios e polinômios. Valor numérico de uma expressão
algébrica. A regra dos sinais (multiplicação ou divisão). Regras de potenciação. Eliminação de
parênteses em Monômios. Operações com expressões algébricas de Monômios. Alguns Produtos
notáveis.
17. Equações do 2o.grau
Equações do segundo grau. A fórmula de Sridara (conhecida como sendo de Bhaskara). Exercícios e
algumas tabelas interessantes.
18. Funções quadráticas
A função quadrática ou trinômia do segundo grau. Quatro importantes aplicações das parábolas nem
sempre encontradas em livros básicos de Matemática até mesmo porque tais aplicações envolvem
conhecimento de assuntos tratados num curso superior.
1- Ensino Fundamental: Mini Dicionário de Matemática Elementar
A B C D E F G H I L M N O P Q R S T V
ábaco Uma calculadora com várias hastes de metal, sustentando
bolinhas que podem ser manipuladas, servindo para realizar
operações matemáticas.
abscissa Ver coordenadas
adição Uma das quatro operações básicas da aritmética, utilizada
para adicionar um número a outro.
3+2=(1+1+1)+(1+1)=(1+1+1+1+1)=5
algarismo Símbolo utilizado para escrever os números. Em nosso
sistema de numeração de base 10, existem dez algarismos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
algoritmo Um conjunto de regras necessárias à resolução de um
problema ou cálculo. Consideremos o problema: Sobre o conjunto
dos números reais, resolver a equação a.x+b=0, sendo a constante
a diferente de zero. Para resolver este problema, podemos utilizar o:
Algoritmo
1. Escrever a equação a.x+b=0.
2. Somar o oposto de b, que é -b a ambos os membros da
igualdade.
3. Usar o fato que b+(-b)=0, sendo que 0 é o elemento neutro da
adição de números reais.
4. Verificar que: ax=-b.
5. Multiplicar ambos os membros da nova igualdade por a-1 que é
o inverso multiplicativo de a que está garantido porque a é
não nulo.
6. Usar o fato que a.a-1=1, sendo que 1 é o elemento neutro da
multiplicação de números reais.
7. Obter a solução x=a-1.b.
amostra Um conjunto escolhido para representar uma coleção ou
população.
ângulo Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou
duas semi-retas orientadas) a partir de um ponto comum. A
interseção entre os dois segmentos (ou semi-retas) é denominada
vértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos (ou
semi-retas).

ângulo agudo Um ângulo que mede menos do que 90 graus e mais
do que 0 graus.
ângulo obtuso Um ângulo que mede mais do que 90 graus e menos
do que 180 graus.
ângulo raso Um ângulo que mede exatamente 180 graus.
ângulo reto Um ângulo que mede exatamente 90 graus ou um
ângulo formado pela interseção de duas retas perpendiculares.
arco de curva Parte de uma curva situada entre dois pontos
quaisquer da curva. Se A e B são dois pontos quaisquer de uma
circunferência , existem dois arcos AB, estes arcos são de
comprimentos diferentes se A e B não são pontos extremos do
diâmetro, o maior é designado arco maior e o outro, arco menor.
área É a medida de uma superfície, muitas vezes mal denominada
também como superfície.
aresta A interseção de duas faces de um sólido. No desenho em
anexo, é o segmento de reta que representa a interseção de duas
faces coloridas.

aritmética É o ramo da Matemática dedicado ao estudo das regras
de cálculo com números.
arredondar Fazer uma aproximação do valor de um número.
3,14 é um arredondamento de Pi=3,14159...
associativa Lei que permite reagrupar os termos de uma adição ou
multiplicação sem alterar o resultado.
(A+B)+C = A+(B+C)
(A×B)×C = A×(B×C)
A multiplicação é associativa:
a×(b×c) = (a×b)×c
2×(3×5) = (2×3)×5 =30
A adição é associativa:
a+(b+c) = (a+b)+c
2+(3+5) = (2+3)+5 =10
atributo Uma qualidade ou característica de um objeto matemático.
baricentro de um triângulo As três medianas de um triângulo se
encontram num mesmo ponto, o baricentro, este ponto divide cada
mediana em duas partes tais que, a parte que contém o vértice é o
dobro da outra. Uma lamina triângular com densidade uniforme tem
este ponto como centro de massa.

base de um triângulo É conveniente considerar um dos lados do
triângulo como sendo sua base, a distância entre a base e o vértice
oposto a base é a altura do triângulo.
bilhão 109=1000000000. Número 1 seguido de 9 zeros.
bissetriz É a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos
congruentes. Na figura a semi-reta OM é a bissetriz do ângulo AÔB
pois os ângulos AÔM e MÔB são congruentes.
biunívoca Correspondência de cada objeto a um único objeto. Por
exemplo, uma pessoa para cada carteira de identidade.
blocos lógicos Blocos utilizados em atividades didáticas de
classificação e seriação gráfica. Tais objetos normalmente são
coloridos e têm formas distintas.
calcular Realizar uma operação, como por exemplo, a adição, a
subtração, a multiplicação, a divisão ou potenciação, visando obter
um resultado.
capacidade É a quantidade que um recipiente pode conter, esta
quantidade pode ser de óleo, água, etc. Normalmente a capacidade
é medida em litros.
cilindro Uma região bidimensional no espaço tridimensional formada
por uma superfície curva e por duas superfícies planas que são
congruentes. Um cilindro circular reto pode ser visto no cotidiano
como uma lata de óleo ou de ervilha.

círculo Uma figura plana formada pelo conjunto de todos os pontos
deste plano situados a uma distância menor ou igual que uma
medida conhecida como raio do círculo, a partir de um ponto fixo
denominado centro do círculo.
circunferência Uma curva plana formada pelo conjunto de todos os
pontos deste plano situados a uma distância exatamente igual a
uma medida conhecida como raio da circunferência, a partir de um
ponto fixo denominado centro da circunferência. É a linha que
envolve o círculo.
classificação Forma de separar objetos ou números que possuem
certos atributos ou características.
colinear Um número qualquer de pontos são colineares se todos
estiverem sobre uma mesma reta.
compensação Um modo de realizar uma estimativa onde se pode
ajustar um resultado subestimado (abaixo do valor) ou
superestimado (acima do valor), para chegar a um resultado
aproximado mais próximo da realidade.
comutativa Lei que permite mudar a ordem dos termos de uma
adição ou multiplicação sem alterar o resultado.
A+B = B+A
A×B = B×A

A multiplicação é comutativa:
a×b = b×a
5×2 = 2×5 = 10
A adição é comutativa:
a+b = b+a
5+2 = 2+5 = 7
concêntrico Figuras concêntricas são aquelas que possuem o
mesmo centro.
cone Uma figura espacial tendo (em geral) uma base circular
delimitada por uma superfície curva obtida pela rotação de uma reta
em torno de um eixo fixo, sendo que estas duas retas cruzam-se no
vértice do cone.
congruência Característica do que é congruente.
congruente Figuras congruentes são aquelas que têm a mesma
forma e a mesma medida.
consecutivo Números consecutivos são números que se seguem.
Por exemplo, 3, 4, 5 e 6 são números consecutivos.
contar Associar objetos de uma forma unívoca aos números
naturais.
coordenadas As coordenadas de um ponto no plano são
identificadas por um par ordenado P=(x,y) de números, que servem
para determinar a posição deste ponto em relação ao sistema

considerado de eixos. A primeira coordenada×do par ordenado é a
abscissa e a segunda coordenada y é a ordenada.
As coordenadas de um ponto no espaço são identificadas por um
terno ordenado P=(x,y,z) de números que servem para determinar a
posição do ponto no espaço em relação ao sistema considerado de
eixos. A primeira coordenada×de um terno ordenado é a abscissa, a
segunda y é o afastamento e a terceira z é a cota.
corda Dois pontos A e B pertencentes a uma curva definem um
segmento de reta AB denominado corda.
criptograma Um jogo no qual os algarismos são trocados por letras
ou outros símbolos de uma operação aritmética.
cubo Um prisma retangular que tem as seis faces quadradas. Cada
conjunto de três arestas se encontra num ponto denominado vértice
e duas destas arestas sempre formam um ângulo reto. As seis faces
são paralelas duas a duas.
dados Elementos numéricos ou algébricos de informação de um
problema.
decágono Um polígono com 10 lados.

denominador Na fração é o número que fica em baixo. É o número
que indica em quantas partes iguais será dividido o número de cima.
ue
Na fração 3/4 o denominador é o número 4.
desigualdade Desigualdade é uma expressão em uma das formas:
a b, a<b, a<b, a>b, a b, onde a e b são quantidades ou
b, a>b,
expressões. Em desigualdades são usados os seguintes símbolos:
são
não é igual (diferente), < é menor do que, < é menor ou igual a, >
é maior do que e > é maior ou igual a.
diagonal Segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos
de um polígono.
diâmetro No círculo, é a medida do segmento de reta que passa
do
pelo centro e que une dois pontos da circunferência do círculo.
diferença O resultado de uma subtração.
2 é a diferença entre 5 e 3, porque 2=5-3.
2=5

5-3=(1+1+1+1+1)-(1+1+1)=(1+1)=2
dígitos Símbolos usados para escrever números em representação
decimal ou alguma outra base. Em notação decimal os dígitos
usados são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Em notação binária são
usados apenas dois dígitos 0 e 1.
distributiva Lei que permite distribuir uma adição ou subtração em
relação ao produto, sem alterar o resultado.
a×(b+c) = (a×b)+(a×c)
a×(b-c) = (a×b)-(a×c)
A multiplicação é distributiva sob a adição:
5×(10+2) = (5×10)+(5×2)
A multiplicação é distributiva sob a subtração:
5×(10-1) = (5×10)-(5×1)
dividendo O número que será dividido em uma operação de divisão.
Na operação 18÷9=2, 18 é o dividendo.
divisão Uma das quatro operações básicas da aritmética. Usada
para saber o número de vezes que um número está contido em
outro número.
6÷3 = (2+2+2)÷3 = 2
divisor É o segundo termo da divisão. É o que divide o dividendo.
Na operação 18÷9=2, 9 é o divisor.
dodecaedro Um poliedro com 12 faces.
dodecágono Um polí com com 12 lados.

eixo de simetria A reta que separa uma figura de sua reflexão ou
rebatimento.
elemento Um objeto de um conjunto é um elemento deste conjunto.
eneágono Um polígono com 9 lados.
enumerar Associar objetos de uma forma unívoca aos números
naturais.
esfera Uma figura formada pelo conjunto de todos os pontos do
espaço tridimensional, equidistantes de um ponto fixo denominado
centro da esfera, por uma distância fixa conhecida como o raio da
esfera.
estimativa Atitude de estimar um resultado numérico. É o resultado
aproximado de uma operação. Pode ser feito mentalmente ou por
escrito. Embora saibamos que Pi=3,1415926535..., podemos fazer
uma estimativa para o valor de Pi como sendo a divisão de 22 por 7.
expressão numérica Uma expressão matemática que pode também
conter termos não matemáticos.
faces São os polígonos que delimitam um sólido.

fator Os números inteiros multiplicados em uma multiplicação são os
fatores. Na equação 2×6 = 12, 2 e 6 são os fatores de 12.
figura geométrica Um desenho serve para representar diversas
noções matemáticas. Uma figura geométrica pode ter dimensão: 0,
1, 2, 3, ...,n. Por exemplo, o ponto é uma figura geométrica sem
dimensão, ou seja 0-dimensional, a reta é 1-dimensional, o triângulo
é 2-dimensional e o cubo é 3-dimensional. Às vezes, simplesmente
escrevemos que o cubo é 3D.
figura plana É uma figura em duas dimensões, como o círculo, o
quadrado, o pentágono, o trapézio, etc.
fração Representa as partes de um todo ou de um conjunto, a razão
entre dois números inteiros ou uma divisão.
fração decimal Um numero fracionário que expressa uma forma
decimal como 4,8 ou 7,23.
4,8=24/5
7,23 = 723/100
fração irredutível Uma fração onde o numerador e o denominador
não têm um fator comum maior do que 1. A fração 3/4 é irredutível,
mas 5/25 não é.
fração ordinária É a fração que não é decimal. A fração 1/4 é
ordinária.

fração simplificada ver fração irredutível
frações equivalentes São frações que representam a mesma
quantidade. As frações 1/2, 2/4 e 8/16 são equivalentes.
fundo de um gráfico Geralmente é a região sobre a qual um
desenho é colocado.
gabarito Um modelo que permite reproduzir figuras.
geoplano Uma prancheta de madeira ou de plástico composta de
pregos ou metais disposta em quadrado, permitindo a construção de
vários polígonos e aprofundamento de uma variedade de conceitos
geométricos.
gráfico Um quadro que permite representar os dados.
gráfico de barras Um gráfico onde os dados são representados com
faixas verticais ou horizontais.
gráfico de linha Um gráfico formado por uma linha construída pela
ligação de segmentos de reta, unindo os pontos que representam os
dados.

grau Unidade de medida de ângulo muito utilizada nos primeiros
níveis educacionais. Ela é obtida pela divisão da circunferência em
360 partes iguais, obtendo-se assim um ângulo de um grau, sendo
que a notação desta medida usa um pequeno º colocado como
expoente do número, como 1º.
heptágono Um polígono com 7 lados.
hexaedro Um prisma retangular que tem as seis faces quadradas.
Cada conjunto de três arestas se encontra num ponto denominado
vértice e duas destas arestas sempre formam um ângulo reto. As
seis faces são paralelas duas a duas.
hexágono Um polígono com 6 lados.

histograma Um diagrama com faixas representando valores
contínuos.
icosaedro Um poliedro com 20 faces.
inclinação de uma reta Se dois pontos de uma reta têm a mesma
abscissa, diz-se que a reta é vertical e se as abscissas são
diferentes a reta é inclinada. Quando é possível, a inclinação é
obtida pela divisão entre a diferença das ordenadas e a diferença
das abscissas de dois pontos quaisquer.
infinito Que não é finito. O conjunto dos números naturais é infinito,
pois sempre existirá um outro natural que supera o anterior.
Significa algo tão grande que não pode ser contado.
interseção A interseção de dois conjuntos é o conjunto de todos os
elementos que pertencem aos dois conjuntos simultaneamente. A
interseção dos conjuntos A e B é denotada por A B e lê-se "A
interseção B". A interseção de conjuntos satisfaz as seguintes
propriedades:
1. A A = A e A Ø=Ø
2. A B = B A (A interseção é comutativa)
3. (A B) C = A (B C) (A interseção é associativa).
intervalo Um intervalo finito da reta real R é um subconjunto de R
que possui uma das seguintes formas:
1. [a,b]={x real: a<×< b}

2. (a,b)={x real: a<×< b}
3. [a,b)={x real: a<×< b}
4. (a,b]={x real: a<×< b}
linha Uma figura geométrica 1D ou seja unidimensional.
linha de tempo Colocação de eventos em ordem cronológica
juntamente com os períodos ou datas das ocorrências dos fatos.
losango Um paralelogramo com quatro lados iguais, dois a dois
paralelos, sendo que os ângulos opostos obtidos a partir de uma
mesma diagonal são iguais.
massa A massa de um objeto é a propriedade de ser mais ou
menos pesada. A massa de um objeto depende de seu volume e da
matéria de que o objeto é constituído. O peso de um objeto, além
disso, depende do local onde se encontra (sobre a Terra ou sobre a
Lua, no Polo Sul ou sobre a Linha do Equador...): o peso mede a
força com a qual o objeto é arremessado.
mil 10³=1000. 1 seguido de três zeros.
milhão 106=1000000. Número 1 seguido de seis zeros.
milhar 10³=1000. 1 seguido de três zeros.
milheiro 10³=1000. 1 seguido de três zeros.
modelo Ver motivo e motivo numérico.
módulo Ver valor absoluto
multiplicação Uma das quatro operações básicas da aritmética, que
realiza o produto de dois ou mais termos denominados fatores. A

multiplicação é uma adição repetida: 8x4 é a mesma coisa que
8+8+8+8=32.
multiplicador O número pelo qual se multiplica. No produto 8x4=32,
4 é o multiplicador.
multiplicando O número que será multiplicado por outro. No produto
8x4=32, 8 é o multiplicando.
múltiplo Um múltiplo de um número inteiro é o produto deste número
por um outro número inteiro. 0, 4, 8, 16... são múltiplos de 4.
multívoca Correspondência de um objeto com vários. Por exemplo,
um carro de $10.000,00 corresponde a dez motos de $1.000,00,
pelo menos em termos monetários.
numerador Indica o número de partes em consideração com o todo.
Na fração é o número que fica em cima. É o número que é dividido
pelo número de baixo. Na fração 3/4 o numerador é o número 3.
número Um símbolo que representa uma quantidade, uma
grandeza, uma posição. Os símbolos utilizados podem ser de
algarismos (26), de letras (vinte e seis) ou outros (lA), sendo que
este último é uma mistura de letras e números e corresponde ao
número 26 na base hexadecimal.
número cardinal É o número de elementos de um conjunto. a
característica associada ao número cardinal é a cardinalidade.
número composto É um número que tem mais do que dois divisores
naturais distintos, tais como 4, 6, 12, 15, 49.
número decimal Número no qual a parte inteira é separada da parte
decimal por uma vírgula.
número ímpar Um número inteiro que não é múltiplo de 2. Exemplos
de tais números são:
..., -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, ...

número inteiro Números inteiros são os números naturais e seus
opostos, reunidos ao zero.
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
número irracional Um número que não pode ser escrito sob a forma
da divisão de dois números inteiros, tais como pi=3,1415926535... e
e=2,71828...
número misto É um número obtido pela soma de um número inteiro
com uma fração ordinária, como:
2 2
6 =6+
7 7
número natural Números naturais são aqueles provenientes dos
processo de contagem na natureza. Existe discussão sobre o fato
do 0 (zero) ser considerado um número natural uma vez que este foi
criado pelos hindús para dar sentido à nulidade de algo.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
número ordinal O ordinal de um número exprime sua posição em
uma sequência, tal como primeiro, segundo, terceiro, vigésimo.
número par Um número inteiro que é múltiplo de dois. Exemplos de
tais números são:
..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...
número primo Um número inteiro maior do que 1, que não é divisível
por qualquer outro número exceto por ele e por 1. Um número primo
tem somente dois divisores naturais diferentes.
número racional Um número que pode ser colocado sobre a forma
de uma fração, sendo que o numerador e o denominador devem ser
dois números inteiros, sendo que o denominador não pode ser zero
(0).

octaedro Um poliedro com 8 faces.
octógono Um polígono com 8 lados.
ordem Arranjo ordenado que pode ser em ordem crescente ou
decrescente. Existe um padrão de comportamento para os objetos.
ordem crescente Arranjo de um grupo de números em ordem, de
modo que um número menor é sempre colocado antes de um maior.
Exemplo: 3, 6, 9, 12, 27.
ordem decrescente Arranjo de um grupo de números em ordem, de
modo que um número maior é colocado antes de um menor.
Exemplo: 27, 12, 9, 6, 3.
ordenada Ver coordenadas.
padrão Um procedimento onde se utilisa as figuras congruentes
repetidas, seja para recobrir uma superfície ou para criar uma
borda. É também uma regularidade, um modelo, uma sequência:
quando se pode identificar o próximo evento ou objeto que virá, se
encontrou um padrão.
padrão numérico Uma regularidade, um modelo, uma sequência:
quando se pode identificar o próximo número que virá, se se
encontrou um padrão numérico.
par Um número inteiro que é divisível por 2. Também entendido
como um conjunto que contem dois elementos.

paralelepipedo Sólido geométrico com seis faces, sendo que as
faces opostas são paralelas. Este sólido se assemelha a uma caixa
de sapato.
paralelogramo Um quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
pentadecágono Um polígono com 15 lados.
pentágono Um polígono com 5 lados.
pentominó Todas as figuras em duas dimensões formadas pela
combinação de 5 quadrados congruentes adjacentes.
perímetro O comprimento da curva em torno de uma figura fechada
e limitada.

perímetro da circunferência É a medida do comprimento da
circunferência. Se esta tem o raio igual a r e Pi é a constante cujo
valor é 3,1415926535..., então o perímetro P é calculado por:
P = 2 × Pi × r
peso Ver massa.
pictograma Um gráfico no qual os dados são representados por
desenhos ou imagens.
pirâmide Um poliedro que tem como base um polígono e como
lados, triângulos que se reunem em um ponto comum.
plurívoca Correspondência de vários objetos com vários objetos.
Quatro doces de $5,00 correspondem a cinco doces de $4,00, pelo
menos no preço.
poliedro Um sólido limitado por polígonos.
polígono Uma região plana fechada limitada por segmentos de
retas.

polígono circunscrito Um polígono é circunscrito a uma
circunferência se todos os seus lados são tangentes à
circunferência. Neste caso pode-se dizer que a circunferência é
inscrita no polígono.
polígono inscrito Um polígono é inscrito a uma circunferência se
todos os seus vértices são pontos da circunferência. Neste caso
podemos dizer que a circunferência é circunscrita ao polígono.
polígono regular Um polígono que tem todos os ângulos e lados
congruentes.
ponto Uma figura geométrica sem dimensão.
ponto de referência Um dado conhecido que nos permite estimar
uma quantidade desconhecida.
predição A declaração de que se deve chegar, fundamentada no
raciocínio ou experiência científica. Pode-se fazer previsões sobre a
meteorologia, tremores de terra, resultados de competições
esportivas, etc.
previsão Ver predição
prisma Um poliedro limitado por dois polígonos paralelos e
congruentes reunidos por dois paralelogramos.
prisma retangular Um prisma que tem polígonos quadriláteros
paralelos e congruentes.

prisma triangular Um prisma que tem polígonos triangulares
paralelos e congruentes.
probabilidade É o quociente entre o número de casos favoráveis e o
número total de casos possíveis em uma experiência. A
probabilidade de obter o número 4 no lançamento de um dado sem
defeito é 1/6.
produto Uma das quatro operações básicas da aritmética, que
realiza o produto de dois ou mais termos denominados fatores. A
multiplicação é uma adição repetida: 8x4 é a mesma coisa que
8+8+8+8=32.
quadrado Um quadrilátero que tem todos os quatro ângulos retos e
os quatro lados congruentes, paralelos dois a dois.
quadrado mágico Os números são dispostos em quadrados (3x3,
4x4, 5x5, ...) de modo que a soma dos números na vertical, na
horizontal ou na diagonal é sempre a mesma. Apresentamos dois
quadrados mágicos, o primeiro com os números 1, 2 e 3 e o outro
com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. As tabelas foram postas ao
lado para aproveitar o espaço.
1 3 2 8 1 6
3 2 1 3 5 7
2 1 3 4 9 2
quadrante Uma região do plano cartesiano delimitada por duas
semi-retas. O plano cartesiano possui 4 quadrantes.

quadrilátero Um polígono com quatro lados.
quociente O resultado de uma divisão. Na divisão de 8 por 4 o
quociente é 2
radiano É a unidade de medida de ângulo no Sistema Internacional,
o procedimento para obter um radiano é o seguinte: Tomamos um
segmento de reta OA. Com um compasso centrado no ponto O e
abertura OA, traçamos um arco de circunferência AB, sendo que B
deve pertencer ao outro lado do ângulo AOB. Se o comprimento do
arco for igual ao comprimento do segmento OA, diremos que este
ângulo tem medida igual a 1 radiano (1 rad).
raio O segmento de reta que liga o centro do círculo a qualquer
ponto da circunferência do círculo.
rede Obtém um padrão quando se desenvolve um sólido, isto é, se
estende a superfície exterior de um sólido para obter uma superfície
plana.
reflexão A formação dos pontos de um objeto de modo que a nova
figura obtida se pareça como uma imagem refletida em um espelho.

relação de Euler (lê-se:"Óiler") Num poliedro convexo, a soma do
número V de vértices com o número F de faces é igual ao número A
de arestas mais dois.
V+F = A+2
resto A quantidade que sobra após a divisão de um número inteiro
por outro. Ao dividir 13 por 4, o quociente é 3 e o resto é 1.
reta (Conceito primitivo) É um conjunto infinito de pontos alinhados
de tal forma que os segmentos com extremidades em dois
quaisquer desses pontos têm sempre a mesma inclinação.
reta numerada Uma reta graduada que tem o número 0 (zero) como
ponto inicial, um número 1 (unidade) como ponto de referência e
outros números em ordem crescente (por convençao: para a
direita), relativamente à medida do segmento que começa em 0 e
termina em 1.
retângulo Um paralelogramo que tem 4 ângulos retos e os lados são
paralelos e congruentes dois a dois.
retas concorrentes Retas que se cruzam.

retas oblíquas Duas retas que se cortam com um ângulo não
perpendicular.
retas paralelas Retas que nunca se cruzam e que não estão
sobrepostas.
retas perpendiculares Retas que se cruzam formando um ângulo
reto.
revolução Um deslocamento no qual cada ponto do objeto se
desloca mantendo a mesma distância ao centro de rotação mas
formando ângulos diferentes. Por exemplo, o movimento da roda de
uma bicicleta é um movimento de rotação em torno de um eixo.
rombo Ver losango.
rotação Um deslocamento no qual cada ponto do objeto se desloca
mantendo a mesma distância ao centro de rotação mas formando
ângulos diferentes. Por exemplo, o movimento da roda de uma
bicicleta é um movimento de rotação em torno de um eixo.
segmento de reta Uma parte de uma reta limitada entre dois pontos.
semelhante Diz-se que duas figuras são semelhantes se ambas são
congruentes ou uma delas é uma ampliação ou redução da outra.

sentença numérica Ver expressão numérica
simetria com respeito a um ponto Quando uma figura é rodada de
um ângulo de 1140 graus, pode-se dizer que ela é simétrica com
respeito a um ponto.
simetria de rotação Ver simetria com respeito a um ponto
simetria com respeito a uma reta Quando uma figura é rebatida em
relação a uma reta, diz-se que ela é a reflexão de uma outra figura
ou simétrica em relação a uma reta.

simétrico Uma figura em uma, duas ou três dimensões é dita
simétrica se ela possui um ente de simetria (ponto, eixo ou plano),
de modo que do outro lado deste ente de simetria a figura seja
semelhante porem invertida como se tivesse sido colocada na frente
de um espelho.
sólido Uma figura em três dimensões. Exemplos de sólidos são:
cubo, paralelepípedo, pirâmide.
soma Uma das principais operações básicas da aritmética, que
resulta na adição de números.
2+3=(1+1)+(1+1+1)=(1+1+1+1+1)=5
subtração Uma das quatro operações básicas da aritmética, que
objetiva retirar um número de outro. É uma operação artificial criada
a partir da adição.
5-3=(1+1+1+1+1)-(1+1+1)=(1+1)=2
superfície Um ente geométrico bidimensional suave (que não possui
bicos ou autointerseções) que possui medida de área, isto é, uma
região que pode ser planificada (colocada sobre um plano) de modo
que a nova região planificada tenha a área equivalente à de um
quadrado.

tangram Conjunto de peças gráficas específicas que pode ser
reunido para montar figuras geométricas. Muito utilizado nas
atividades práticas de Geometria.
tentativa e erro, chute Uma estratégia de resolução de problemas
onde se faz uma escolha para viabilizar o resultado e assim se
procede várias vezes até que que se chegue a alguma conclusão
próxima ao objetivo para a resolução do problema.
termo Um dos objetos matemáticos em uma operação.
tetraedro Um poliedro com 4 faces. Se o tetraedro for regular, ele
terá 4 faces congruentes, 4 vértices e 6 arestas também
congruentes.
total O resultado de uma adição ou de um produto.
transferidor Um instrumento que serve para medir ângulos.
translação O deslocamento paralelo em linha reta de um objeto ou
figura. Um elevador realiza uma operação de translação.
trapezóide Um quadrilátero que tem dois lados paralelos.
triângulo Um polígono com três lados.
valor absoluto O valor absoluto de um número real a também
chamado "módulo de a" é denotado por |a| e definido como o
máximo valor entre a e -a, isto é:
|a|=max{a,-a}
valor posicional O valor da posição de um algarismo depende de
sua posição no número. No número 728, o algarismo 7 ocupa a

posição das centenas, o 2 ocupa a posição das dezenas e o 8 a
posição das unidades.
vértice O ponto de junção de duas semi-retas de um ângulo, de dois
lados de um polígono ou de três (ou mais) faces de um sólido.
vetor nulo Vetor nulo ou vetor zero de um esapaço vetorial,
denotado neste trabalho por Ö.
vírgula É um sinal matemático que separa a parte inteira da parte
decimal de um número.
Pi = 3,1415926535
volume O volume de um objeto é definido como a medida do lugar
ocupado pelo objeto no espaço. Por exemplo, o volume de uma
caixa é medido em cm³. No contexto das artes visuais, o volume
representa uma característica do objeto e não uma medida do
espaço ocupado.
2- Ensino Fundamental: A origem dos números
A origem dos números Sistema Indo-Arábico
Início do processo de contagem Histórico: notação Posicional
Representação numérica Histórico: criação do zero
Alguns símbolos antigos Notação Posicional
O ábaco Sistema numérico Romano
Introdução sobre a origem dos números
Você já usou muitas vezes os números, mas será que já parou para
pensar sobre:
a. O modo como surgiram os números?
b. Como foram as primeiras formas de contagem?
c. Como os números foram criados, ou, será que eles sempre
existiram?

Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar um
pouco da história humana e entender os motivos religiosos desses
criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro motivo que
tenha gerado os números.
Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o
estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o
estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de
diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.
Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números.
Quanto mais voltarmos na história, veremos que menor é a
presença dos números.
O Início do processo de contagem
Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que
necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria
natureza. A necessidade de contar começou com o
desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi
deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no
solo.

O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas,
proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos
para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais domésticos,
o que trouxe profundas modificações na vida humana.
As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram
criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada
Oriente Médio.
A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das
estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as
primeiras formas de calendário.
No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu
rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao
final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do
rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao
rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada
carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um
saco.
No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de
manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco de
couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto, era
feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que

retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia
sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se
algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais uma
pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da palavra
latina calculus, que significa pedrinha.
A correspondência unidade a unidade não era feita somente com
pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas
paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de
marcação.
Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar
quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na
Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos
ainda a correspondência unidade a unidade.
Representação numérica
Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por
expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo
tinha a sua maneira de representação.
A faculdade humana natural de reconhecimento imediato de
quantidades se resume a, no máximo, quatro elementos. Este senso
numérico que é a faculdade que permite reconhecer que alguma

coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu
conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à coleção.
O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é
um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo
mental.
"Distingüimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmo
quatro elementos. mas aí para nosso poder de identificação dos
números." História Universal dos Algarismos", Georges Ifrah.
Temos também, alguns animais, ditos irracionais, como os rouxinóis
e os corvos, que possuem este senso numérico onde reconhecem
quantidades concretas que vão de um até três ou quatro unidades.
Existe um exemplo célebre sobre um corvo que tinha capacidade de
reconhecer quantidades.
Curiosidade: Um fazendeiro estava disposto a matar
um corvo que fez seu ninho na torre de observação
de sua mansão. Por diversas vezes, tentou
surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação
do homem, o corvo saía do ninho. De uma árvore distante, ele
esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só então
voltava ao ninho. Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois homens
entraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e se afastou. Mas
o pássaro não foi enganado: manteve-se afastado até que o outro

homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos dias
subsequentes com dois, três e quatro homens, ainda sem sucesso.
Finalmente, foram utilizados cinco homens como antes, todos
entraram na torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outros
quatro saíam e se afastavam. Desta vez o corvo perdeu a conta.
Incapaz de distinguir entre quatro e cinco, voltou imediatamente ao
ninho.
Alguns símbolos antigos
No começo da história da escrita de algumas civilizações como a
egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros
eram anotados pela repetição de traços verticais:
I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar
mais do que quatro termos:
IIII
IIII IIII IIII IIII
I II III IIII IIII
I II III IIII
I
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o
egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era composto
pelos seguintes símbolos numéricos:

Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia,
criado a aproximadamente 4 mil anos.
Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as
partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os
indivíduos chegavam a contar até o número 33.
O ábaco
O ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular com fileiras
de arame, cada fileira representando uma classe decimal diferente,
nas quais correm pequenas bolas
No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os cálculos,
logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foi o
ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais.

No Japão, o ábaco é chamado de soroban e na China de suánpan,
que significa bandeja de calcular.
O Sistema de numeração Indo-Arábico
Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no
Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão.
O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e
sua unicidade, o segundo número 2, significava a mulher da família,
a dualidade e o número 3 (três) significava muitos, multidão. A
curiosidade sobre os nomes do 3, não deve ter ocorrido por acaso.
Inglês Francês Latim Grego Italiano Espanhol
three trois tres treis tre tres
Sueco Alemão Russo Polonês Hindu Português
tre drei tri trzy tri três
Notas históricas sobre a atual notação posicional
Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que
nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que é
comprovado por vários documentos, além de ser citado por árabes
(a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos).
Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrional
usaram por muito tempo uma numeração rudimentar que aparece
em muitas inscrições do século III antes de Cristo.
Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno. Seus
nove primeiros algarismos eram sinais independentes:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
o que significava que um número como o 5 não era entendido como
5 unidades mas como um símbolo independente.

Por muito tempo, estes algarismos foram denominados algarismos
arábicos, de uma forma errada.
Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hindus
passaram a usar a notação por extenso para os números, pois não
podiam exprimir grandes números por algarismos.
Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o zero.
Cada algarismo tinha um nome:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
eka dvi tri catur pañca sat sapta asta nava
Quando foi criada pelos hindús a base 10, cada dezena, cada
centena e cada milhar, recebeu um nome individual:
10 = dasa
100 = sata
1.000 = sahasra
10.000 = ayuta
100.000 = laksa
1.000.000 = prayuta
10.000.000 = koti
100.000.000 = vyarbuda
1.000.000.000 = padma
Ao invés de fazer como hoje, de acordo com as potências
decrescentes de 10, os hindus escreviam os números em ordem
crescente das potências de 10 por volta do século IV depois do
nascimento de Jesus Cristo. Eles começavam pelas unidades,

depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante. O número
3.709 ficava:
9 700 3000
nove sete centos três mil
nava sapta sata tri sahasra
Poderiamos escrever o número 12.345 como
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
pois, 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000, logo:
5 = pañca
40 = catur dasa
300 = tri sata
2.000 = dvi sahasra
10.000 = ayuta
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
Esta já era uma forma especial.
Em virtude da grande repetição que ocorria com as potências de 10,
por volta do século V depois do nascimento de Jesus Cristo, os
matemáticos e astrônomos hindus resolveram abreviar a notação
retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números grandes,
assim o número 12.345 que era escrito como:
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
passou a ser escrito apenas:
54321 = pañca catur tri dvi dasa

12345 = 5 + 4×10 + 3×100 + 2×1000 + 1×10000
e esta se transformou em uma notação falada e escrita posicional
excelente para a época, mas começaram a acontecer alguns
problemas como escrever os números 321 e 301.
321 = 1 + 2 x 10 + 3 x 100
321 = dasa dvi tri
301 = 1 + 3 x 100
301 = dasa tri
É lógico que este último número não poderia ser o 31, pois:
31 = 1 + 3 x 10
31 = dasa tri
No número 301 faltava algo para representar as dezenas.
Para construir este material, usamos algumas partes do excelente
livro: "Os números: A história de uma grande invenção", Georges
Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985, com a permissão da Editora.
Notas históricas sobre a criação do zero
Tendo em vista o problema na construção dos números como 31 e
301, os hindus criaram um símbolo para representar algo vazio
(ausência de tudo) que foi denominado sunya (a letra s tem um
acento agudo e a letra u tem um traço horizontal sobre ela).
Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um algarismo
para representar as dezenas no número 301 e assim passaram a
escrever:
301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100
301 = dasa sunya tri

Os hindus tinham acabado de descobrir o zero.
Porém, estas notações só serviam para as palavras e não para os
números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero bem
como o atual sistema de notação posicional.
Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um
tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na data
de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um movimento
religioso hindú para enaltecer as suas próprias qualidades
científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número 14.236.713
escrito claramente:
triny ekam sapta sat trini dve catvary ekakam
três um sete seis três dois quatro um
Escrever tais números na ordem invertida, fornece:
um quatro dois três seis sete um três
1 4 2 3 6 7 1 3
Números como 123.000 eram escritos como:
sunya sunya sunya tri dvi dasa
que significa:
zero zero zero três dois um
que escrito na ordem invertida fornece:
um dois três zero zero zero
No texto existe a palavra hindú sthanakramad que significa "por
ordem de posição".

Observamos que tal notação posicional já era então conhecida no
quinto século de nossa era por uma grande quantidade de cientistas
e matemáticos.
Para escrever este material, usamos alguns tópicos do excelente
livro: "Os números: A história de uma grande invenção", Georges
Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985.
Notação Posicional
O sistema de numeração posicional indiano surgiu por volta do
século V. Este princípio de numeração posicional já aparecia nos
sistemas dos egípcios e chineses.
No sistema de numeração indiana não posicional que aparece no
século I não existia a necessidade do número zero.
Notação (ou valor) posicional é quando representamos um número
no sistema de numeração decimal, sendo que cada algarismo tem
um determinado valor, de acordo com a posição relativa que ele
ocupa na representação do numeral.
Mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o valor
do número. Por exemplo, tomemos o número 12. Mudando as
posições dos algarismos teremos 21.
12 = 1 × 10 + 2
21 = 2 × 10 + 1
O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso matemático
parece ter sido criado pelos babilônios. Os documentos mais
antigos conhecidos onde aparece o número zero, não são
anteriores ao século III antes de Cristo. Nesta época, os números
continham no máximo três algarismos.
Um dos grandes problemas do homem começou a ser a
representação de grandes quantidades. A solução para isto foi
instituir uma base para os sistemas de numeração. Os numerais
indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração usam

a base dez, isto porque o princípio da contagem se deu em
correspondência com os dedos das mãos de um indivíduo normal.
Na base dez, cada dez unidades é representada por uma dezena,
que é formada pelo número um e o número zero: 10.
A base dez já aparecia no sistema de numeração chinês.
Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta.
Alguma vez você questionou sobre a razão pela qual há 360 graus
em um círculo? Uma resposta razoável é que 360=6x60 e 60 é um
dos menores números com grande quantidade de divisores, como
por exemplo:
D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Os indianos reuniram as diferentes características do princípio
posicional e da base dez em um único sistema numérico. Este
sistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos árabes e
por isso, passou a ser conhecido como sistema indo-arábico.
Nosso sistema de numeração retrata o ábaco. Em cada posição que
um número se encontra seu valor é diferente.
O Sistema Romano de Numeração
O sistema de numeração Romano é um sistema decimal, ou seja,
sua base é dez. Este sistema é utilizado até hoje em
representações de séculos, capítulos de livros, mostradores de
relógios antigos, nomes de reis e papas e outros tipos de
representações oficiais em documentos. Estas eram as primeiras
formas da grafia dos algarismos romanos.
Tal sistema não permite que sejam feitos cálculos, não se
destinavam a fazer operações aritméticas mas apenas representar
quantidades. Com o passar do tempo, os símbolos utilizados pelos
romanos eram sete letras, cada uma com um valor numérico:

Letra I V X L C D M
Valor 1 5 10 50 100 500 1000
Leitura Um Cinco Dez Cinquenta Cem Quinhentos Mil
Estas letras obedeciam aos três princípios:
1. Todo símbolo numérico que possui valor menor do que o
que está à sua esquerda, deve ser somado ao maior.
VI = 5 + 1 = 6
XII = 10 + 1 + 1 = 12
CLIII = 100 + 50 + 3 = 153
2. Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que está
à sua direita, deve ser subtraído do maior.
IX = 10 - 1 = 9
XL = 50 - 10 = 40
VD = 500 - 5 = 495
3. Todo símbolo numérico com um traço horizontal sobre ele
representa milhar e o símbolo numérico que apresenta dois
traços sobre ele representa milhão.
3- Ensino Fundamental: Números Naturais: Primeira
parte
Introdução aos Nos. Naturais Propriedades da
A construção dos Nos. Naturais multiplicação
Igualdade e Desigualdades Propriedade Distributiva
Operações com Nos. Naturais Divisão de Números Naturais
Adição de Números naturais Potenciação de Nos. Naturais
Propriedades da Adição Propriedades da Potenciação
Curiosidade: Tabela de adição Números grandes

Multiplicação de Nos. Naturais Exercícios
Introdução aos Números Naturais
O conjunto dos números naturais é representado pela letra
maiúscula N e estes números são construídos com os
algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são
conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os
árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha
sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos
considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as
mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na
verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema
posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para
saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou
Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o
belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II,
Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o
número zero e escreveremos este conjunto como:
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N.
As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim.
N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será
representado por:
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A construção dos Números Naturais
1. Todo número natural dado tem um sucessor (número que
vem depois do número dado), considerando também o zero.

Exemplos: Seja m um número natural.
(a) O sucessor de m é m+1.
(b) O sucessor de 0 é 1.
(c) O sucessor de 1 é 2.
(d) O sucessor de 19 é 20.
2. Se um número natural é sucessor de outro, então os dois
números juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
(a) 1 e 2 são números consecutivos.
(b) 5 e 6 são números consecutivos.
(c) 50 e 51 são números consecutivos.
3. Vários números formam uma coleção de números naturais
consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o
terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do
terceiro e assim sucessivamente.
Exemplos:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
4. Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um
antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de
zero.
(a) O antecessor do número m é m-1.
(b) O antecessor de 2 é 1.
(c) O antecessor de 56 é 55.
(d) O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números
naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto
matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a
denominação sequência dos números naturais pares para
representar o conjunto dos números naturais pares:
P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números
naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos
números ímpares.
I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
Igualdade e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente
se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está
contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita,
escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita
denotaremos tal fato por:
(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos,
vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.

Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que
os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto
B. Neste caso, A=B.
Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos
conjuntos A e B serão distintos.
Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do
conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do
conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que
um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso,
afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.
Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada
linha. Qual é o sinal apropriado que deve ser posto neste espaço: <,
> ou =?
159 170
852 321
587 587
Exercício: Representar analiticamente cada conjunto, isto é, através
de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os
elementos:
a. Conjunto N dos números Naturais
b. Conjunto P dos números Naturais Pares
c. Conjunto I dos números Naturais Ímpares
d. Conjunto E dos números Naturais menores que 16
e. Conjunto L dos números Naturais maiores que 11
f. Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28

g. Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10
Operações com Números Naturais
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis
no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática
é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.
A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade
reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais
números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições
podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio
de pedras ou por meio de ábacos.
Propriedades da Adição
1. Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é
fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um
número natural. O fato que a operação de adição é fechada
em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é
uma lei de composição interna no conjunto N.
2. Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é
associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de
números naturais quaisquer é possível associar as parcelas
de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais,
somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido

somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual
à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.
3. Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o
elemento neutro que é o zero, pois tomando um número
natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o
resultado será o próprio número natural.
4. Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é
comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou
seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela,
teremos o mesmo resultado que se somando a segunda
parcela com a primeira parcela.
Curiosidade: Tabela de adição
Para somar dois números, com a tabela, um em uma linha e outro
em uma coluna, basta fixar um número na 1a. coluna e um segundo
número na 1a. linha. Na interseção da linha e coluna fixadas,
obtemos a soma dos números.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Por exemplo, se tomarmos o número 7 na linha horizontal e o
número 6 na linha vertical, obteremos a soma 13 que está no
cruzamento da linha do 7 com a coluna do 6.
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número
denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as
unidades do segundo número denominado multiplicador.
Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:
4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36
O resultado da multiplicação é denominado produto e os números
dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o
sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.
Propriedades da multiplicação
1. Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos
números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais
númros naturais, o resultado estará em N. O fato que a
operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na

literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de
composição interna no conjunto N.
2. Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais
fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o
primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um
terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que
multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.
(m.n).p = m.(n.p)
(3.4).5 = 3.(4.5) = 60
3. Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe
um elemento neutro para a multiplicação que é o 1.
Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:
1.n = n.1 = n
1.7 = 7.1 = 7
4. Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais
quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja,
multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento
teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo
elemento pelo primeiro elemento.
m.n = n.m
3.4 = 4.3 = 12
Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números
naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das
parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

m.(p+q) = m.p + m.q
6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber
quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro
número que é o maior é denominado dividendo e o outro número
que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado
quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o
dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois
nem sempre é possível dividir um número natural por outro número
natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve
ser menor do que o dividendo.
35 : 7 = 5
2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o
produto do divisor pelo quociente.
35 = 5 x 7
3. A divisão de um número natural n por zero não é possível
pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então
poderiamos escrever:

n÷0=q
e isto significaria que:
n=0xq=0
o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem
sentido ou ainda é dita impossível.
Exercício: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual é o valor da soma do
dobro de X pelo triplo de Y.
Potenciação de Números Naturais
Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de
n fatores iguais ao número m, ou seja:
mn = m . m . m ... m . m
m aparece n vezes
O número que se repete como fator é denominado base que neste
caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado
expoente que neste caso é n. O resultado é donominado potência.
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais,
como por exemplo:
23 = 2 × 2 × 2 = 8
43 = 4 × 4 × 4 = 64
Propriedades da Potenciação
1. Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n,
denotada por 1n, será sempre igual a 1.
Exemplos:
a. 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1
b. 13 = 1×1×1 = 1

c. 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
2. Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1.
Por exemplo:
3. (a) nº = 1
4. (b) 5º = 1
5. (c) 49º = 1
6. A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente
de sentido no contexto do Ensino Fundamental. O visitante
que necessitar aprofundamento neste assunto, deve visitar
nosso link Zero elevado a zero?
7. Qualquer que seja a potência em que a base é o número
natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual
ao próprio n. Por exemplo:
8. (a) n¹ = n
9. (b) 5¹ = 5
10. (c) 64¹ = 64
11. Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1
seguido de n zeros.
Exemplos:
a. 103 = 1000
b. 108 = 100.000.000
c. 10o = 1
Números grandes
No livro "Matemática e Imaginação", o matemático americano
Edward Kasner apresentou um número denominado googol que
pode ser representado por 1 seguido de 100 zeros.
1 Googol = 10100

Ele pensou que este era um número superior a qualquer coisa que
passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa
que pode ser posta na forma de palavras. Um googol é um pouco
maior do que o número total de partículas elementares conhecidas
no universo, algo da ordem de 1080. Se o espaço com estas
partículas fosse comprimido de uma forma sólida com neutrons,
este ficaria com algo em torno de 10128 partículas.
Outro matemático criou então o googolplex e o definiu como 10
elevado ao googol.
1 Googolplex = 10Googol
Exercícios
1. Na figura abaixo, insira os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos
círculos, de tal modo que a soma de cada lado seja sempre
igual a 10.
2. Um gavião viu um grupo de pombos, chegou perto deles e
disse:
3. Olá minhas 100 pombinhas.
4. Uma delas respondeu:
5. Não somos 100 não meu caro gavião,
6. seremos 100, nós, mais dois tantos de nós
7. e mais você meu caro gavião.
8. Quantos pombos há neste grupo?

9. Três homens querem atravessar um rio. O barco que eles
possuem suporta no máximo 150 kg. Um deles pesa 50 kg,
o segundo pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual será o
processo para eles atravessarem o rio sem afundar?
10. Forme um quadrado mágico com os números 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 e 9 tal que, a soma dos números de qualquer linha,
qualquer coluna ou qualquer diagonal deverá ser sempre
igual a 15.
4- Ensino Fundamental: Números Naturais: Segunda parte
Múltiplos de Nos. naturais Máximo Divisor Comum
Divisores de Nos. naturais Método para obter o MDC
Números primos Relação entre o MMC e MDC
Crivo de Eratóstenes Primos entre si
Mínimo Múltiplo Comum Radiciação de Nos. naturais
Método para obter o MMC
Múltiplos de números Naturais
Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se
existe um número natural k tal que:
a=k×b
Exemplos:
(a) 15 é múltiplo de 5, pois 15=3×5.
(b) 24 é múltiplo de 4, pois 24=6×4.
(c) 24 é múltiplo de 6, pois 24=4×6.
(d) 27 é múltiplo de 9, pois 27=3×9.
Se a=k×b, então a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k,
como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois:
35=7×5

Se a=k×b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos
obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os
números naturais possíveis. Para obter os múltiplos de 2, isto é, os
números da forma a=k×2 onde k é substituído por todos os números
naturais possíveis. A tabela abaixo nos auxiliará:
0=0×2, 2=1×2, 4=2×2, 6=3×2, 8=4×2, 10=5×2, 12=6×2
O conjunto dos números naturais é infinito, assim existem infinitos
múltiplos para qualquer número natural. Se y é um número natural,
o conjunto de todos os múltiplos de y, será denotado por M(y). Por
exemplo:
M(7)={ 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... }
M(11)={ 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, ... }
Observação: Como estamos considerando 0 como um número
natural, então o zero será múltiplo de todo número natural.
Tomando k=0 em a=k.b obtemos a=0 para todo b natural. Por
exemplo:
0=0×2, 0=0×5, 0=0×12, 0=0×15
Observação: Um número b é múltiplo dele mesmo.
a = 1 × b se, e somente se, a=b
Por exemplo, basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para
obter um múltiplo dele próprio, como: 3=1x3, 5=1x5 e 15=1x15.
Divisores de números Naturais
A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um
número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b.

Exemplo: 3 é divisor de 15, pois 15=3×5, logo 15 é múltiplo de 3 e
também é múltiplo de 5.
Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. Por
exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois
trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos dividir
6 por um número maior do que ele.
Os divisores de um número y também formam um conjunto finito,
aqui denotado por D(y).
Exemplos:
(a) Divisores de 6: D(6)={1,2,3,6}
(b) Divisores de 18: D(18)={1,2,3,6,9,18}
(c) Divisores de 15: D(15)={1,3,5,15}
Observação: O número zero é múltiplo de todo número natural e
além disso, zero não divide qualquer número natural, exceto ele
próprio.
Se aceitarmos que 6÷0=b, então teremos que admitir que:
6=0xb
mas não existe um número b que multiplicado por 0 (zero) seja igual
a 6, portanto a divisão de 6 por 0 é impossível.
A divisão de 0/0 (zero por zero) é indeterminada, o que significa que
pode existir uma situação que ela passe a ter significado, no sentido
seguinte:

Se aceitarmos que 0÷0=X, então poderemos escrever que:
0÷0=X÷1
Como temos uma igualdade de frações, gerando uma proporção,
deveremos aceitar que o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos nesta proporção e assim:
0×1=0×X=0
que não é contraditório e isto pode ser realizado para todo X real,
razão pela qual a expressão da forma 0÷0 é dita indeterminada.
Números primos
Um número primo é um número natural com exatamente dois
divisores naturais distintos.
Exemplos:
(a) 1 não é primo pois D(1)={1}
(b) 2 é primo pois D(2)={1,2}
(c) 3 é primo pois D(3)={1,3}
(d) 5 é primo pois D(5)={1,5}
(e) 7 é primo pois D(7)={1,7}
(f) 14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14}
Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo número
natural pode ser escrito como o produto de números primos, de
forma única.

Crivo de Eratóstenes
É um processo para obter números primos menores do que um
determinado número natural n. Devemos construir uma tabela
contendo os primeiros n números naturais. Para determinar os
números primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos.
1. Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um número primo.
2. Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e
eliminamos todos os múltiplos de 2 que encontrarmos na
tabela.
3. Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3
que encontrarmos na tabela.
4. Determinamos o próximo número primo, que será o próximo
número não marcado da tabela e eliminamos todos os
múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela.
5. Continuamos o processo, sempre voltando ao passo
anterior, com o próximo número primo.
6. Os números que não foram eliminados são os números
primos.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Na tabela, listamos os 100 primeiros números naturais, indicando
com a cor mais forte os números primos e com a cor clara os
números que não são primos. Como exemplo, 2 é primo, enquanto
25 não é primo, pois é múltiplo de 5.

No quadro abaixo, mostramos os números primos menores do que
100, obtidos pelo crivo de Eratóstenes.
P=
{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,
89,97}
Mínimo Múltiplo Comum
Diz-se que um número m é múltiplo comum dos número a e b se m
é múltiplo de a e também é múltiplo de b, ou seja.
m=k×a e m=w×b
onde k e w números naturais.
Exemplos: Múltiplos comuns
(a) 24 é múltiplo comum de 6 e 8.
(b) 15 é múltiplo comum de 3 e 5.
Determinaremos agora todos os números que tem 18 como múltiplo
comum, o que é o mesmo que obter todos os divisores naturais de
18.
18 é múltiplo comum de 1 e 18 pois 18=1x18
18 é múltiplo comum de 2 e 9 pois 18=2x9
18 é múltiplo comum de 3 e 6 pois 18=3x6
O número 18 é múltiplo comum de todos os seus divisores, logo:
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }
Agora obteremos os múltiplos comuns dos números a e b. Para isso
denotaremos por M(a) o conjunto dos múltiplos de a, por M(b) o
conjunto dos múltiplos de b e tomaremos a interseção entre os
conjuntos M(a) e M(b).

Exemplo: Múltiplos comuns de 3 e 5.
M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...}
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...}
M(3) M(5)={0,15,30,45,...}
Como estamos considerando 0 (zero) como número natural, ele irá
fazer parte dos conjuntos de todos os múltiplos de números naturais
e será sempre o menor múltiplo comum, mas por definição, o
Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números naturais é
o menor múltiplo comum a esses números que é diferente de zero.
Logo, no conjunto:
M(3) M(5)={0, 15, 30, 45, ...}
o Mínimo Múltiplo Comum entre 3 e 5 é igual a 15.
Ao trabalhar com dois números a e b, utilizamos a notação
MMC(a,b) para representar o Mínimo Múltiplo Comum entre os
números naturais a e b, lembrando sempre que o menor múltiplo
comum deve ser diferente de zero. Por exemplo:
M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...}
M(6)={ 0, 6, 12, 18, 24, ...}
MMC(4,6)=min {12,24,36,...}=12
O conjunto dos múltiplos do MMC(a,b) é igual ao conjunto dos
múltiplos comuns de a e b. Por exemplo, se a=3 e b=5:
M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...}
M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...}
M(3) M(5)={0,15,30,45,...}
M(15)={0,15,30,45,60,...}

Observe que M(15)=M(3) M(5)
Método prático para obter o MMC
Do ponto de vista didático, o processo acima é excelente para
mostrar o significado do MMC mas existe um método prático para
realizar tal tarefa sem trabalhar com conjuntos.
1. Em um papel faça um traço vertical, de forma que sobre
espaço livre tanto à direita como à esquerda do traço.
|
|
|
2. À esquerda do traço escreva os números naturais como uma
lista, separados por vírgulas, para obter o MMC(a,b,c,...).
Por exemplo, tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do
traço vertical e do lado direito do traço poremos o menor
número primo que divide algum dos números da lista que
está à esquerda. Aqui usamos o 2.
12 22 28 | 2
|
|
3. Dividimos todos os números da lista da esquerda, que são
múltiplos do número primo que está à direita do traço,
criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os
valores resultantes das divisões (possíveis) e com os
números que não foram divididos.
12 22 28 | 2

6 11 14 |
|
|
4. Repetimos a partir do passo 3 até que os valores da lista
que está do lado esquerdo do traço se tornem todos iguais a
um.
12 22 28 | 2
6 11 14 | 2
3 11 7 | 3
1 11 7 | 7
1 11 1 | 11
1 1 1 | 924
5. O MMC é o produto dos números primos que colocamos do
lado direito do traço e neste caso: MMC(12,22,28)=924.
Exemplo: Obtemos o MMC dos números 12 e 15, com a tabela:
12 15 |
|
|
e depois dividimos todos os números da lista da esquerda pelos
números primos (quando a divisão for possível), criando novas listas
sob as listas anteriores. O MMC(12,15)=60 é o produto de todos os
números primos que colocamos do lado direito do traço.
12 15 | 2
6 15 | 2
3 15 | 3

1 5 | 5
1 1 | 60
Máximo Divisor Comum
Para obter o Máximo Divisor Comum devemos introduzir o conceito
de divisor comum a vários números naturais. Um número d é divisor
comum de outros dois números naturais a e b se, d divide a e d
divide b simultaneamente. Isto significa que devem existir k1 e k2
naturais tal que:
a = k1 × d e b = k2 × d
Exemplos: Divisores comuns.
(a) 8 divide 24 e 56, pois 24=3x8 e 56=7x8.
(b) 3 divide 15 e 36, pois 15=5x3 e 36=12x3.
Observação: Um número d é divisor de todos os seus múltiplos. O
conjunto dos divisores comuns de dois números é finito, pois o
conjunto dos divisores de um número é finito. O conjunto dos
divisores de um número natural y, será denotado por D(y).
Obteremos agora os divisores comuns aos números 16 e 24, isto é,
obteremos a interseção entre os conjunto D(16) e D(24).
D(16)={ 1, 2, 4, 8, 16 }
D(24)={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
D(16) D(24)={1, 2, 4, 8}
Ocorre que o menor divisor comum entre os números 16 e 24, é 1,
assim não interessa o menor divisor comum mas sim o maior divisor
que pertence simultaneamente aos dois conjuntos de divisores.

Denotaremos por MDC(a,b), o Máximo Divisor Comum entre os
números naturais a e b. Por exemplo, tomemos os conjuntos de
divisores D(16)={1,2,4,8,16} e D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}, então:
MDC(16,24)=max( D(16) D(24))=8
Método prático para obter o MDC
De forma similar ao cálculo do MMC(a,b), temos também um
procedimento prático para determinar o MDC(a,b) entre dois
números naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cada
número pode ser trabalhoso. Para introduzir este método,
determinaremos o MDC entre os números 30 e 72, a título de
exemplo.
1. Construímos uma grade com 3 linhas e algumas colunas,
pondo os números dados na linha do meio. Na primeira
coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor.
72 30
2. Realizamos a divisão do maior pelo menor colocando o
quociente no espaço sobre o número menor na primeira
linha e o resto da divisão no espaço logo abaixo do maior
número na terceira linha.
2
72 30
12
3. Passamos o resto da divisão para o espaço localizado à
direita do menor número na linha central.

2
72 30 12
12
4. Realizamos agora a divisão do número 30, pelo resto obtido
anteriormente que é 12. Novamente, o quociente será
colocado sobre o número 12 e o resto da divisão ficará
localizado abaixo do número 30.
2 2
72 30 12
12 6
5. Realizamos agora a (última!) divisão do número 12, pelo
resto obtido anteriormente que é 6. De novo, o quociente
será posto sobre o número 6 e o resto da divisão ficará
localizado abaixo do número 12.
2 2 2
72 30 12 6
12 6 0
6. Como o resto da última divisão é 0 (zero), o último quociente
obtido representa o MDC entre 30 e 72, logo denotamos tal
fato por:
MDC(30,72) = 6
Exercícios:

a. Se a diferença entre dois números naturais é 126 e o
máximo divisor comum entre eles é 18, quais são esses
números?
Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem
ser múltiplos de 18 e podem ser escritos na forma X=18a e
Y=18b onde a e b devem ser determinados. Assim: 18a-
18b=126, de onde segue que 18(a-b)=18×7, o que é
equivalente a: a-b=7. Tomando a=8 e b=1 teremos X=144 e
Y=18.
b. Se a soma de dois números naturais é 420 e o máximo
divisor comum entre eles é 60, quais são esses números?
Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se
MDC(X,Y)=60, os números X e Y devem ser múltiplos de 60,
logo podem ser escritos na forma X=60a e Y=60b onde a e b
são números inteiros positivos. Assim: 60a+60b=420, o que
garante que a+b=7. Devemos escolher números naturais tal
que a+b=7, e assim, temos várias opções.
Se a=6 e b=1 então X=360 e Y= 60
Se a=5 e b=2 então X=300 e Y=120
Se a=4 e b=3 então X=240 e Y=180
Se a=3 e b=4 então X=180 e Y=240
Se a=2 e b=5 então X=120 e Y=300
Se a=1 e b=6 então X= 60 e Y=360
c. Se a divisão entre dois números naturais é igual a 6/5 e o
máximo divisor comum entre eles é 15, quais são esses
números?
Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se
MDC(X,Y)=15, então X e Y devem ser múltiplos de 15, logo
podem ser escritos na forma X=15a e Y=15b. Assim:

(15a)/(15b)=6/5, logo a/b=6/5. Algumas soluções para o
problema, são:
Se a= 6 e b= 5 então X= 90 e Y= 75
Se a=12 e b=10 então X=180 e Y=150
Se a=18 e b=15 então X=270 e Y=225
Relação entre o MMC e MDC
Uma relação importante e bastante útil entre o MMC e o MDC é o
fato que o MDC(a,b) multiplicado pelo MMC(a,b) é igual ao produto
de a por b, isto é:
MDC(a,b) × MMC(a,b) = a × b
MDC(12,15) × MMC(12,15)=12 × 15
Esta relação é útil quando precisamos obter o MMC e o MDC de
dois números, basta encontrar um deles e usar a relação acima.
Exemplo: Para obter o MMC(15,20) e o MDC(15,20), o primeiro
passo é obter o que for possível. Se MDC(15,20)=5 e 15 x 20=300,
basta lembrar que MDC(15,20)×MMC(15,20)=15×20 e fazer:
5 × MMC(15,20) = 300
de onde se obtém que MMC(15,20)=60.
Exercício: Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplo
comum entre eles é 600, quais são esses números? Qual é o
máximo divisor comum entre eles?
Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser
divisores de 600, logo devem pertencer ao conjunto D(600):

{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,75,100,120,150,200,300,600}
Pares de números deste conjunto que somam 320, são: 300 e 20 ou
200 e 120. O primeiro par não serve pois MMC(300,20)=300. Os
números que servem são X=200 e Y=120 pois MMC(200,120)=600
e MDC(200,120)=40.
Primos entre si
Dois números naturais são primos entre si quando o MDC entre eles
é igual a 1. Por exemplo, 16 não é um número primo, 21 também
não é um número primo mas 16 e 21 são primos entre si pois
MDC(16,21)=1.
Radiciação de números naturais
Radiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um número
natural a devemos determinar um número natural b tal que:
bn = a
onde n é um número natural. É o processo inverso da potenciação.
Neste trabalho, representaremos a operação de radiciação por
Rn[a], a1/n, pot(a,1/n), pow(a,1/n),
que se lê: raiz n-ésima de a. Uma notação simples e muito comum
no meio científico é aquela que usa o acento circunflexo: a^(1/n).
Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (não
somente natural) é um outro número não negativo b tal que:
b2 = a

A raiz quadrada de um número a>0 pode ser denotada por a1/2.
Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 deve-se obter o valor
numérico de b de forma que:
b2 = b × b = 36
Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36
por seus divisores até que o divisor seja igual ao quociente
36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6
Portanto 6 é a raiz quadrada de 36.
Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número (não somente natural) a é
um número b tal que:
b3 = b . b . b = a
A raiz cúbica de um número a pode ser denotada por a1/3.
Exemplo: Para determinar a raiz cúbica de 64, deve-se obter um
número b de forma a obter
b3=b×b×b=64
Por tentativa, temos:
1×1×1=1, 2×2×2=8, 3×3×3=27, 4×4×4=64
Portanto 4 é raiz cúbica de 64.

Em estudos mais avançados, pode-se aprender a extrair a raiz
quadrada ou a raiz cúbica de um número não necessariamente
natural, com qualquer precisão que se queira.
5- Ensino Fundamental: Critérios de Divisibilidade
Divisibilidade por Divisibilidade por Divisibilidade por
5 10 19
Sobre a Divisibilidade por Divisibilidade por Divisibilidade por
divisibilidade 6 11 23
Divisibilidade por 2 Divisibilidade por Divisibilidade por Divisibilidade por
7 13 29
Divisibilidade por 3
Divisibilidade por Divisibilidade por Divisibilidade por
Divisibilidade por 4 8 16 31
Divisibilidade por Divisibilidade por Divisibilidade por
9 17 49
Sobre a divisibilidade
Em algumas situações precisamos apenas saber se um número
natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de
obter o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras
conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras
de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 23,
29, 31 e 49.
Alguns critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2,
4, 6 ou 8.

Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último
algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número
terminado com o algarismo 5 que não é par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é
divisível por 3.
Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576
é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não
é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois
últimos algarismos é divisível por 4.
Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635
não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou
5.
Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas
107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero)
nem 5.
Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é
divisível por 3.
Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus
algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6,
pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de
seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo,
subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número
divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o
processo até que se possa verificar a divisão por 7.
Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
16592 Número sem o último algarismo
-16 Dobro de 8 (último algarismo)
16576 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
1657 Número sem o último algarismo
-12 Dobro de 6 (último algarismo)
1645 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
164 Número sem o último algarismo
-10 Dobro de 5 (último algarismo)
154 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
15 Número sem o último algarismo

-8 Dobro de 4 (último algarismo)
7 Diferença
A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente
também é divisível por 7.
Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:
426 Número sem o último algarismo
-2 Dobro do último algarismo
424 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
42 Número sem o último algarismo
-8 Dobro do último algarismo
34 Diferença
A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número
4261 dado inicialmente não é divisível por 7.
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três
últimos algarismos é divisível por 8.
Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece
16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um
número divisível por 9.

Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível
por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é
divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas
6342 não termina em 0 (zero).
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem
par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um
número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se
Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.
Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:
Número 1 3 5 3
Ordem ímpar par ímpar par
O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é:
Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua
soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp
é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é
divisível por 11.
Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:
Número 2 9 4 5 8

Ordem ímpar par ímpar par ímpar
A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos
algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são
iguais, o número 29458 é divisível por 11.
Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:
Número 2 5 4 3
Ordem ímpar par ímpar par
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos
algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não
é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.
Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:
Número 6 5 2 0 8
Ordem ímpar par ímpar par ímpar
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma
dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-
Sp=11, o número 65208 é divisível por 11
Divisibilidade por 13
Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último
algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um
número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande,
repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13.
Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade
por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de
subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.
1656 Número sem o último algarismo
+8 Quatro vezes o último algarismo
1664 Soma
Repete-se o processo com este último número.
166 Número sem o último algarismo
+16 Quatro vezes o último algarismo
182 Soma
Repete-se o processo com este último número.
18 Número sem o último algarismo
+8 Quatro vezes o último algarismo
26 Soma
Como a última soma é divisível por 13, então o número dado
inicialmente também é divisível por 13.
Divisibilidade por 16
Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus
quatro últimos algarismos é divisível por 16.
Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16
fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é
divisível por 16.
Divisibilidade por 17

Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do
último algarismo, subtraído do número que não contém este último
algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número
obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa
verificar a divisão por 17.
Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:
1859 Número sem o último algarismo
-40 Cinco vezes o último algarismo
1819 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
181 Número sem o último algarismo
-45 Cinco vezes o último algarismo
136 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
13 Número sem o último algarismo
-30 Cinco vezes o último algarismo
-17 Diferença
A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número
dado inicialmente também é divisível por 17.
Divisibilidade por 19
Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo,
somado ao número que não contém este último algarismo,
proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda
for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão
por 19.